16.3.1平方差公式教学课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十六章 整式的乘法 16.3.1平方差公式 整式的除法 底数不变，指数相减 转化为单项式除以单项式 多项式除以单项式 同底数幂的除法 单项式除以单项式 ①系数相除； ②同底数的幂相除； ③只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式 复习导入 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另一个多项式的 ，再把所得的积 . ( a + b )( p + q ) = ap + aq + bp + bq 每一项 每一项 相加 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (x＋1)(x－1) = ; x2 － 1 (2) (m＋2)(m－2) = ; m2 － 4 (3) (2x＋1)(2x－1) = . 4x2 － 1 上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？ 相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？ 03 新知讲解 探究 ① ( x＋1) ( x－1)； ② (m＋2) (m－2)； ③ (2x＋1)(2x－1)； 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ x2－12 m2－22 (2x)2－12 两数的___ 两数的___ 和 差 两数____的差 平方 猜想： (a + b)(a – b) = a2 – b2 03 新知讲解 (a + b)(a – b) + = a2 (–ab) ab (–b2) + + 证明一：利用多项式乘多项式的法则. = a2 – b2 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (x＋1)(x－1) = ; x2 － 1 (2) (m＋2)(m－2) = ; m2 － 4 (3) (2x＋1)(2x－1) = . 4x2 － 1 你能将发现的规律用式子表示出来吗？ (a＋b)(a－b) = a2 － b2 你能对发现的规律进行推导吗？ (a＋b)(a－b) = a2－ab = a2－b2 (a＋b)(a－b)=a2－b2 ＋ab－b2 03 新知讲解 探究 a b b a (a – b) 纸片剩余面积： a2 – b2 拼成的长方形面积： (a – b)(a + b) (a – b) (a – b)(a + b) = a2 – b2 证明二：利用几何图形. 03 新知讲解 (a+b)(a−b)= a2−b2 两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差. 公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 平方差公式 结构特点： 左边：a符号相同，b符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方. 平方差公式是多项式乘法 (a+b)(p+q) 中 p = a，q = –b 的特殊情形. 符号语言： (a+b)(a-b) =a2 -b2 文字描述： 两个数的和与这两数的差的积， 等于这两数的平方差. 特别提醒：相同项的平方减去相反项的平方. a和b可以是数字、单项式或多项式. 平方差公式 你能从几何图形的角度来说明平方差公式吗？ a b a b b (a+b) (a-b) 思考 03 新知讲解 (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 03 新知讲解 (a+b)(a−b) a b a2 − b2 (1+x)(1−x) (−3+a)(−3−a) (1+a)(−1+a) (0.3x−1)(1+0.3x) 1 x –3 a 12 – x2 = 1 – x2 (–3)2 – a2 =9 – a2 a 1 a2 – 12 = a2 – 1 0.3x 1 (0.3x)2 – 12 = 0.09x2 – 1 填一填 例1　运用平方差公式计算：　 (1) (3x + 2)(3x – 2)； (2) (–x + 2y)(–x – 2y). 解：原式= (3x)2 – 22 = 9x2 – 4 解：原式= (–x)2 – (2y)2 = x2 – 4y2 分析：(1) 符号相同项a = ___， 符号相反项b = ____ (2) 符号相同项a = ___， 符号相反项b = ____ 3x 2 –x 2y 【教材P112】 典例精析 下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x + 2)(x – 2) ＝ x2 – 2； （2）(–a – 2)(a – 2) ＝a2 – 4； （3）(3a + 4b)(3a – 4b) = 9a2 – 4b2. 原式 = x2 – 22 = x2 – 4 原式 = (–2)2 – a2 = 4 – a2 原式 = (3a)2 – (4b)2 = 9a2 – 16b2 练习 03 新知讲解 例2 计算：（1）(x-1)(x+1)(x2+1)； （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)； 解：（1）(x-1)(x+1)(x2+1) =(x-1)(x+1)(x2+1) =(x2-1)(x2+1) =x4-1. （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1. 03 新知讲解 例2 计算：（3）102×98. 解：（3）102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =10000-4 =9996. 1.下列分解因式正确的是( ) A.a2－2b2＝(a＋2b)(a－2b) B.－x2＋y2＝(－x＋y)(x－y) C.－a2＋9b2＝－(a＋9b)(a－9b) D.4x2－0.01y2＝(2x＋0.1y)(2x－0.1y) D 综合演练 2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　) A.a2＋(－b)2 B.5m2－20mn C.－x2－y2 D.－x2＋9 D 3.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　） A.3(x2+4x+3) B.3(x2+2x+3) C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3) D 04 课堂练习 基础题 3．如图，将分割的长方形拼接，由此可以验证(　　) A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(a－b)2＝(a＋b)2－4ab D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D 04 课堂练习 基础题 (1)(a+3b)(a– 3b)； =4a2–9； =4x4–y2. 原式=(2a+3)(2a–3) =a2–9b2 ； =(2a)2–32 原式=(–2x2 )2–y2 原式=(a)2–(3b)2 (2)(3+2a)(–3+2a)； (3)(–2x2–y)(–2x2+y). 4. 利用平方差公式计算： a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 a + b 1 (a + b)2－12 (a + b)(a - b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (a + b - 1)(a + b + 1) (1 + a)(-1 + a) 探究点： 运用平方差公式进行计算 【填一填】 平方差公式： (a+b)(a-b) =a2 -b2 文字描述： 两个数的和与这两数的差的积， 等于这两数的平方差. 特别提醒：相同项的平方减去相反项的平方. a和b可以是数字、单项式或多项式. 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 一级标题：黑体， 05 课堂小结 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用 谢谢大家聆听 $