第12讲 角平分线几何模型【考点梳理+知识总结+6大题型+查缺补漏+课后作业】 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第12讲：角平分线几何模型 一、考点梳理 名称 基本图形 条件 结论 垂直两边模型 垂直角平分线模型 截取角两边相等模型 平行于角一边模型 是等腰三角形 梯形底角角平分线模型 梯形ABCD中，点E在AB上，ED平分∠ADC，EC平分BCD AD+BC=CD 对角互补模型 二、知识点总结 知识点一、垂直两边模型 即角平分线定理 条件： 结论：或PD=PE 知识点二、垂直角平分线模型 条件：OC平分∠AOB，ED⊥OC 作辅助线方法：延长ED交OB于点F. 结论：△ODE≌△ODF． 知识点三、截取角两边相等模型 图形１ 图形２ 条件：OC平分∠AOB，OE=OF（一般辅助线作法：截长、补短）． 结论：△ODE≌△ODF． 知识点四、平行于角一边模型 条件：OC平分∠AOB，PD∥OB 结论：△POD是等腰三角形 知识点五、梯形底角角平分线模型 原图 加辅助线  　  　 条件：梯形ABCD中，点E在AB上，ED平分∠ADC，EC平分BCD； 结论：AD+BC=CD． 分析思路1：若AB⊥BC，则过E点作EF⊥CD，连接EF，证全等； 分析思路2：截长法，在CD上截取DF=DA，证全等； 分析思路3：补短法，延长CB使CF=CD，证全等 知识点六、对角互补模型 条件：OP平分∠AOB，∠PCO+∠PDO=180° 分析思路：过P作PM⊥OA，PN⊥OB 结论：△PMC≌△PND 三、常考的题型 考点一、垂直两边模型 1．如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 【答案】 【知识点】点到直线的距离、与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】过点作于点，根据的面积为，求出，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求出． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， 是的平分线，， ． 2．如图，点P在的平分线上，于点，点Q是射线上的一个动点，线段长度的最小值为______ 【答案】1 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】根据垂线段最短可知当时最短，再根据角平分线的性质可得，从而求解． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当时，线段的长度最小， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∵， ∴的最小值为1． 3．在中，已知，是的角平分线，，垂足为点E，． (1)求证； (2)如果，，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线，，， ∴，，又， ∴， ∴，又， ∴，又，， ∴； (2)18 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，然后证明，根据全等三角形的性质，结合证得，进而可证得结论； （2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴． 4．已知如图：，P为上一点，且于点D，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过点P作，垂足为点M，首先证明，根据，且，求出，进而利用证明，于是得到，进而得出． 【详解】解：过点P作，垂足为点M， ∵， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵，且 ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质的知识，解答本题的关键是求出，利用证明． 5．问题呈现： （1）如图1， 是的一条角平分线，，垂足为E．你认为与相等吗？并说明理由． 方法应用： （2）①如图2，在中，，是的角平分线，过点D作，若，，则的长为__________． ②如图3，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积是72，，，求的长． 【答案】 （1）相等， 理由：∵是直角三角形，， ∴， ∵平分，且，， ∴． （2）①3；②6 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得； （2）①由角平分线的性质可得，求得，因此； ②根据角平分线的性质可得，再根据即可求出的长． 【详解】略 （2）①∵是的角平分线，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：3． ②∵为的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 解得． 考点二、垂直角平分线模型 6．如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为______． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键． 【详解】解：延长交于， 是的角平分线，， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于D，则△ADC的面积是__________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、全等三角形的性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】延长BD交AC于点E，则可得：△ABD≌△AED，可得： 则可得出，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长BD交AC于点E， ∵AD平分∠BAE，AD⊥BD， ∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴BD=DE， ∴ ∴， ∴ 故答案为： ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形中线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 8．如图所示，在中，平分，，，求证：． 【答案】 证明：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 即． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义和三角形内角和定理，得出，进而得到．再由三角形外角的性质，得到，进而得到，即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定额性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 9．已知，为的角平分线． (1)如图1，若于点，交于点，，．求的长； (2)如图2，若，，的面积是10，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】（1）证明得出，再由计算即可得出结果； （2）过作于点，于点，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：是的角平分线， ． ， ． 在和中， ， ， ， ； （2）解：如图，过作于点，于点， 为的角平分线， ． ，的面积是10， ， ， ， ， 的面积． 10．【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法， (1)如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据_______，证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得_______． (3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】亚太经合组织（）第三十三次领导人非正式会议将于2026年11月18日~19日在深圳市福田区香蜜湖新金融中心举行．为建设会议配套景观广场，政府统一规划一块三角形土地，如图4，其中与香蜜湖路相邻．规划人员进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知米，米，面积为4200平方米，则划出的的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) (3) 解：，证明如下： 如图，延长、交于点， 则， ， ， ， ， 又， ， ， 同理（1）得，， ； (4)的面积是 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）利用证明，得，即可； （2）延长交于点，同理（1）得，，再由等腰三角形的性质得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）延长、交于点，证，得，同理（1）得，，，即可得出结论； （4）延长交于，同理（1）得，， 米，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， 在和中，， ， ， 则可根据证明； （2）解：如图，延长交于点， 同理（1）得，， ， ， ， （3）略 （4）解：如图，延长交于E， 同理（1）得，，米， ∴， ∵， ∴ ∴； 答：的面积是． 考点三、截取角两边相等模型 11．如图，在中，，是的角平分线，是上一点，且，若，则______． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先由三角形的内角和定理得，又是的角平分线，则，从而证明，再由全等三角形的性质可得，然后通过三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 12．如图所示，为的角平分线，且，，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先证明，得到，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 13．如图，在中，，，是的平分线，延长至E，使．求证：．      【答案】 证明：如图，在上截取，连接，   是的平分线，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， 由对顶角相等得：， ， 在和中，， ， ， ． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 14．如图，为的角平分线，点是上的一点，于，于，为上另一点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．证明，由全等三角形的性质可推出，证明，由全等三角形的性质可推出．，，则可得出答案． 【详解】解：①∵为角平分线， ∴， ∵于点D，于点E， ∴°， ∵， ∴， ∴． 故①正确； ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故②正确； ③∵， ∴， 故③正确； ④∵， ∴， 故④正确． 故答案为：①②③④． 15．如图1，已知，D为的角平分线上面一点，连接、；如图2，已知，D、E为的角平分线上面两点，连接、、、；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上面三点，连接、、、、、；…，依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是（   ） A．40 B．36 C．55 D．45 【答案】D 【知识点】图形类规律探索、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查图形的变化规律，全等三角形的判定，根据图形的变化规律总结出全等三角形对数的变化规律是解题的关键． 根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，找出图形变化的规律即可得到结果． 【详解】解：如图1所示，∵D为的角平分线上面一点， ∴ 又∵， ∴ ∴图1中有1对三角形全等； 同理可证，图2中，， ∴图2中有3对三角形全等； 以此类推，图3中有6对三角形全等； ∵，，，…， ∴由规律可得第9个图中有对全等三角形． 故选：D． 考点四、平行于角一边模型 16．如图，中，是角平分线，交于，交于，若，则_____． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，即可得到结论． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ， 是等腰三角形 ， ， ． 故答案为： 17．如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交、于点D、E．若，，则的周长是__________． 【答案】16 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，同理可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵与的平分线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵，， ∴的周长为； 故答案为16． 18．如图，，平分．以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的性质定理 【分析】本题可根据平行线的性质、角平分线的定义，对每个选项逐一进行分析判断．本题主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、角平分线的定义以及三角形的性质（等角对等边、三边关系）．解题的关键在于熟练运用这些性质，通过角与角之间的等量代换，以及边与边关系的推导，对每个选项进行准确判断． 【详解】解：选项A： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴，该选项成立． 选项B： 仅由，平分，无法得出． 例如，当时，，，的度数取决于的形状，不一定等于 ，该选项不一定成立． 选项C： ∵， ∴，又平分，即， ∴． 在中，等角对等边， ∴，该选项成立． 选项D： 在中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边， ∵（已证）， ∴，即，也就是，该选项成立． 故选：B． 19．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，再根据等角对等边即得BE＝EG，GF＝CF，进而可对①进行判断；根据角平分线的定义和三角形的内角和即可对②进行判断；过点G作GM⊥AB于点M，作GH⊥BC于点H，如图1，根据角平分线的性质即可对③进行判断；连接AG，如图2，则AEF的面积=AEG的面积+AFG的面积，再根据题意和③的结论即可对④进行判断． 【详解】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G， ∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG． ∵EF∥BC， ∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF， ∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF， ∴BE＝EG，GF＝CF， ∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题正确； ②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G， ∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）， ∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故本小题正确； ③过点G作GM⊥AB于点M，作GH⊥BC于点H，如图1， ∵GB和GC是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴GM=GH，GD=GH， ∴GM=GH=GD， 即点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确； ④连接AG，如图2，∵GD＝m，AE+AF＝n， 则由③知：GM=GD=m， ∴S△AEF＝AE•GM+AF•GD＝（AE+AF）•m＝nm，故本小题错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理和角平分线的性质，属于基础题型，熟练掌握角平分线的性质等基本知识是解题关键． 20．如图，平分，，，垂足分别为点，，． (1)求证：； (2)如果，，直接写出___________（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明：∵ 平分，，， ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ． (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】（1）先利用角平分线的性质得到，结合条件，用 证明与全等，得到对应边． （2）先利用 证明与全等，得到，再代入、以及，整理求出． 【详解】（1）略． （2）解：∵ 平分，， ∴ ， 在和中 ∴ ∴ ， ∵ ，， ∴ ． 由（1）可知 ， ∴ ． ∴ ． 考点五、梯形底角角平分线模型 21．教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． (1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程． 已知： 求证： 证明过程： (2)定理应用：如图②，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【答案】(1) 已知：，，垂足分别是D、E，且． 求证：平分(或者是的平分线) 证明过程： ，． 在和中， ， ． ， 是的平分线． (2) 如图：过点E作于F， 平分，， ， 是的中点， ， ． 又， ， ， 是的平分线． 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，掌握这两个定理是解题的关键． （1）根据题干找出已知条件和结论，再结合图片用符号语言描述，并证明即可； （2）运用角平分线的性质和判定证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 22．在学习完角平分线的性质与判定后，老师布置了如下作业： 如图，点E是的中点，平分． ①如图1，若，求证：平分； ②如图2，若，求的长． (1)小明发现第①小题只需要作辅助线，用全等的知识即可完成证明．老师看了小明的做法，说道：用你的辅助线，如果要求不能利用全等，你能完成这一问题吗？请你帮小明按老师的要求完成证明． (2)请完成第②小题． 【答案】(1) 证明：过点作， ，， ，， ，，平分， ． 为的中点， ， ． 又，， 是的平分线； (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、等边对等角 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，推得，根据角平分线的判定定理即可证明； （2）在上截取，连接，判定△△，即可得出，，再判定△△，可得，进而得出． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，在上截取，连接， 平分， ， 又， △△， ，， 又是的中点， ， ， ， ，， ， 又， △△， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的综合运用，角平分线的性质；解题的关键是作辅助线，灵活运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点来分析、解决． 23．如图，，是的中点，平分． (1)画图：过点画的垂线段； (2)求证：平分； (3)若，，直接写出的长． 【答案】(1) 如图：即为所求， (2) 证明：由（1）可得，， ∵，， ∴，． ∵，，平分， ∴． ∵为的中点， ∴， ∴． 又∵，， ∴是的平分线； (3) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、做垂线，等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． （1）根据作垂线的步骤，画图即可求解； （2）根据角平分线的性质得出，推得，根据角平分线的判定定理即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解：作法：以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点、；再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的左侧交于点，连接，与交于点，即为所求． （2）略 （3）解：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 同理可得：， ∴． 24．点E是BC的中点，DE平分． (1)如图1，若，求证：AE平分； (2)如图1，若，，求的度数； (3)如图2，若，求证：． 【答案】(1)见详解； (2)； (3)见详解. 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由题意延长DE交AB的延长线于F，判定△CDE≌△BFE（AAS），即可得出DE=FE，再判定等腰三角形ADF，即可得到结论； （2）根据题意由（1）可知△ADF是等腰三角形，进而依据对顶角相等和互余性质进行分析求解即可； （3）根据题意在DA上截取DF=DC，连接EF，判定△CDE≌△FDE（SAS），即可得出CE=FE，∠CED=∠FED，再判定△AEF≌△AEB（SAS），可得AF=AB，进而得出AD=AF+DF=AB+CD． 【详解】（1）解：如图1，延长DE交AB的延长线于F， ∵∠ABC=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠CDE=∠F， 又∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∴△CDE≌△BFE（AAS）， ∴DE=FE，即E为DF的中点， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE=∠ADE， ∴∠ADE=∠F， ∴AD=AF， ∴AE平分∠DAB； （2）解：如图1，由（1）可知△ADF是等腰三角形， 可得, ∵， ∴, ∵, ∴, ∵, ∴； （3）解：如图2，在DA上截取DF=DC，连接EF， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE=∠FDE， 又∵DE=DE， ∴△CDE≌△FDE（SAS）， ∴CE=FE，∠CED=∠FED， 又∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∴FE=BE， ∵∠AED=90°， ∴∠AEF+∠DEF=90°，∠AEB+∠DEC=90°， ∴∠AEF=∠AEB， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴AF=AB， ∴AD=AF+DF=AB+CD． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及其性质的综合运用，解题的关键是作辅助线，灵活运用角平分线的定义和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点来分析问题． 25．（1）如图1，四边形中，，点E是的中点，平分．求证：是的平分线； （2）如图2，若将题（1）中“”改为“”，其它条件不变，题（1）的结论还成立吗？若成立请写出证明过程，若不成立，说明理由 （3）在（2）的条件下若，，，求的长．    【答案】 （1）如图，延长，交的延长线于点， ∵， ∴． ∴． 又， ∴． ∴，． ∵平分， ∴． ∴． ∴ ∴是的角平分线．    （2）成立．同（1）延长，交的延长线于点，    ∵， ∴． ∴． 又， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． ∴． ∴ ∴是的角平分线． （3）4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）如图，延长，交的延长线于点，可证，于是，，结合角平分线求证，于是，由三线合一，得是的角平分线； （2）成立．同（1）延长，交的延长线于点，可证，于是，得证，后续同（1）同理求证； （3）求证是等边三角形．由，得，解中，，求得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，中，， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴ 中，∵ ， ∴． ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质；添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 考点六、对角互补模型 26．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 27．如图1和图2，在四边形中，，，平分． 【知识重现】 （1）如图1，若，则______，根据“角的平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，直接可得和的数量关系为：______． 【问题解决】 （2）如图2，过点分别作，，交射线于点．求证：． 【拓展研究】 （3）如图3，在等腰中，，平分．求证：． 【答案】（1），相等 （2）证明：如图所示，过点分别作，，交射线于点， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，在上截取，，连接，， ∵在等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答即可； （2）过点分别作，，交射线于点，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，，连接，，可得，可证明，，，结合图形证明，从而得到，，进而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴根据“角的平分线上的点到角两边的距离相等”得到，， 故答案为：，相等； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 28．（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． （1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过点D作于E，交延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过点D作于E，交延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解：（1）如图1， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2）， 如图2，过点D作于E，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ． ∴； （3）如图3，过点D作于E，交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 29．已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．    【答案】 （1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，    ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF， ∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°， ∴∠CBE＝∠CDF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS） ∴BC＝DC； （2）AD﹣AB＝2BE （3）3． 【知识点】全等三角形综合问题、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、角平分线的性质定理 【分析】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可； （3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：AD﹣AB＝2BE， 理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，    ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF，AE＝AF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠CDF＝∠CBE， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴DF＝BE， ∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE， ∴AD﹣AB＝2BE； （3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，    ∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB 在△OBH和△OBG中， ， ∴△OBH≌△OBG（SAS） ∴∠OHB＝∠OGB， ∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线， ∴点O到AD，AB，BD的距离相等， ∴∠ODH＝∠ODF， ∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB， ∴∠DOH＝∠DAB＝60°， ∴∠GOH＝120°， ∴∠BOG＝∠BOH＝60°， ∴∠DOF＝∠BOG＝60°， ∴∠DOH＝∠DOF， 在△ODH和△ODF中， ， ∴△ODH≌△ODF（ASA）， ∴DH＝DF， ∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． 30．如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 【答案】(1) 过点C作，交于点F，如图， 则， 平分， ， ， ∴， ， 又， ∴， 在与中， ， ． (2)，， 【知识点】角平分线的有关计算、全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）过点C作，交于点F，结合角平分线定理和等角对等边可证明，即可求得结论； （2）①方法一：过点作，，根据角平分线得，进一步求得，有即可得．利用含角的直角三角形性质得和，则有；方法二：以为一边作，可以得到是等边三角形，有，进一步证得，有，则有． ②以为一边，作，得为等边三角形，有，进一步得和，则有，可得和，得；过点C作，，得，设，有和，结合三角形面积公式得，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）①． 理由如下： 方法一：过点作，，垂足分别为，，如图， 则， 又∵平分， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴． 在中，， ∴，同理， ∴． 方法二：以为一边作，交于点，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴． ∴． ②有结论成立． 以为一边，作与交于F点，如图， ∵，为的角平分线， ∴， 又∵， ∴为等边三角形 ∴， ∵，， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即． 过点C作，垂足分别为M，N，如图， 则， 又∵平分， ∴， 设， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线性质、含角的直角三角形性质、等边三角形的判定和性质以及三角形面积公式，解题的关键是作辅助线并熟练应用全等的判定． 四、查缺补漏 一、单选题 1．如图，在中，，平分，于点E，若，，则的长为（   ） A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题考查角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等，解题的关键是将角转化为垂直，得到与角平分线有关的垂线段． 由得，因为角平分线上的点到角两边的距离相等，而，平分，所以，可以求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为6， 故选：D． 2．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 【答案】A 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定， 作，根据角平分线的性质定理得，再证明，，进得出方程，求出解即可． 【详解】解：过点D作，于点H， ∵是的角平分线，， ∴． 在和中， ， ∴， 同理． 设的面积是x，则的面积是x，根据题意，得 ， 解得， 所以的面积是11． 故选：A． 3．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（   ） A．8 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】垂线段最短、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解：过作于， ，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故选：C． 二、填空题 4．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是_____． 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理 【详解】∵CD平分∠ACB交AB于点D， ∴∠DCE=∠DCF， ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DF=DE=2， ∴S△BCD=BC×DF÷2=4×2÷2=4． 故答案为：4． 考点：角平分线的性质． 5．已知，如图，平分，，，，，，则的面积为：________，________． 【答案】 / 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、多边形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理． 过点作于点，根据角平分线的性质可知，再利用三角形的面积公式计算即可； 首先根据判定，利用全等三角形的性质可得，根据四边形内角和定理可得． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 平分， ， 又， ； ，， ， 在和中， ， ， ， 在四边形中，， ， 故答案为：；． 6．如图,在△ABC中,∠B=46°,∠ADE=40°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,则∠C的大小是____. 【答案】54° 【知识点】三角形的内角和定理 【详解】试题分析：根据DE∥AB可得：∠BAD=∠ADE=40°，根据角平分线的性质可得：∠BAC=80°，根据三角形内角和定理可得：∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-46°-80°=54°． 二、解答题 7．如图，点C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到； （2）证明，得到，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．已知，如图，，M是的中点，平分， (1)试说明：平分． (2)试说明为直角． 【答案】(1) 解：作于，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的平分线． (2) 解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴为直角． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系． （1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立； （2）根据可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可证，从而可说明结论． 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】 证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】略 10．如图，在中，点在上，． (1)如图1，，请利用尺规作图作出的角平分线，交于点，交于点；并求出的度数； (2)如图2，若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1) 如图，射线即为所求 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺柜作图，角平分线的定义，三角形外角的性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可；由角平分线的定义得，由直角三角形两锐角互余得，然后根据对顶角相等即可求解； （2）先由三角形内角和求出，然后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）如图， ，平分， ， ， ， ， （2）由（1）知， ， ， 又， ， ． 11．【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明： 证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：； 解决问题：50 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】模型证明：略 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 五、课后作业 一、单选题 1．如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ） A．30 B．15 C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．作于点，根据三角形的角平分线的性质定理求得，利用三角形的面积公式得到，再根据三角形的中线性质即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上中线， ∴， 故选：C． 2．如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【详解】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　） A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【详解】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC， ∵DM=DE，AD=AD，AD是△ABC的角平分线， ∴△ADE≌△ADM， ∵DE=DG， ∴DM=DG， ∴MN=GN， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DN， ∴△DFE≌△DNM， ∵△ADG和△AED的面积分别为50和39， ∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMD=50﹣39=11， S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5 故选：B． 二、填空题 4．如图，已知，在和上分别截取，，使，再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，过射线上一点作，交于点，若，则_____． 【答案】25 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的作法、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的作法成为解题的关键． 由平行线的性质可得、，由作图可知平分，即，进而完成解答． 【详解】解：∵，， ∴，， 由作图可知：平分， ∴， ∴． 故答案为：25． 5．如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，则等于_______． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，过作于，由角平分线的定义得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，由角平分线的性质推出． 【详解】解：过作于， 平分，， ， ， ， ， ， ，，平分， ． 故答案为：3． 6．如图，已知在中，，点，分别在边，上，于，，． （1）若，则______； （2）已知，，则的长是______． 【答案】 6 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，证明三角形全等是解此题的关键． （1）先证明得到平分，由三角形内角和定理计算出，即可得到答案； （2）先计算出，证明得到，最后由即可得到答案． 【详解】解：（1） ，， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：6． 7．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，_____． 【答案】4或9 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用相似三角形的性质求解 【分析】根据平行线的性质得到，根据相似三角形的性质列方程即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 当与相似， 则或， ∵，，， ∴或， 解得或4． 故答案为：4或9． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和平行线的性质． 三、解答题 8．如图，中，是角平分线，，垂足为． (1)已知，，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：设，则， ， 是角平分线， ， 又， ， ， ， ． 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，最后再由，进行计算即可得出答案； （2）设，则，由三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义得出，计算出，，即可得证． 【详解】（1）解：，， ， 是角平分线， ， ； （2）略 9．如图，，，E是边中点，平分． (1)求证：平分； (2)，，三条线段之间有什么数量关系，请证明． 【答案】(1)证明：如图，过点E作于点F ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵E是边中点 ∴ ∴ ∵， ∴平分； (2)解：，理由如下： ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 【知识点】两直线平行同旁内角互补、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】（1）过点E作于点F，由平行线的性质得到，然后利用角平分线的性质定理得到，等量代换得到，然后利用角平分线的判定定理证明； （2）证明，得到，证明，得到，然后等量代换证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 10．已知中，分别平分和，交于点O． (1)直接写出与的数量关系； (2)若，利用（1）的关系，求出的度数； (3)利用（2）的结果，试判断的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）把代入计算即可； （3）在上取点G，使得，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，再证明，得到，结合图形证明结论． 【详解】（1）解：， 理由如下：， ∵分别平分和， ∴， ∴ ； （2）解：当时，； （3）解：， 证明：在上取点G，使得，连接， 由（2）知：， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $第12讲：角平分线几何模型 一、考点梳理 名称 基本图形 条件 结论 D PD⊥OA,PE⊥OB C 垂直两边模型 ∠AOC=∠B0C RIAPOD兰RIAPOE(AHS) B E M N⊥Oc, 垂直角平分线棋型 C ∠.AOC=∠B0C RtAMOP RtANOP(AS.A) 0 截取角两边相等模 OM =ON ∠AOC=∠B0C △POM=△PON(S.AS) 型 B PD//OB 平行于角一边模型 ∠1=∠2 △POD是等腰三角形 梯形ABCD中，点E 梯形底角角平分线 在AB上，ED平分 AD+BC=CD 模型 ∠ADC,EC平分BCD ∠POA=∠POB 对角互补棋型 RtAPMC RtAPND(AAS) LPC0+∠PD0=1800 B >:☒ 二、知识点总结 知识点一、垂直两边模型 即角平分线定理 PD⊥OA,PE⊥OB 条件： ∠A0C=∠B0C 结论：RiAPOD兰RIAPOE(4或PD=PE 知识点二、垂直角平分线模型 A A E C E D B B 条件：0C平分∠A0B,ED⊥0C 作辅助线方法：延长ED交OB于点F. 结论：△ODE≌△ODF. 知识点三、截取角两边相等模型 图形1 图形2 A B 条件：0C平分∠AOB,OE=OF(一般辅助线作法：截长、补短)· 结论：△ODE≌△0DF. 知识点四、平行于角一边模型 ·B 条件：OC平分∠AOB,PD∥0B 结论：△POD是等腰三角形 知识点五、梯形底角角平分线模型 原图 加辅助线 D E 条件：梯形ABCD中，点E在AB上，ED平分∠ADC,EC平分BCD: 结论：AD+BC=CD. 分析思路1：若AB⊥BC,则过E点作EF⊥CD,连接EF,证全等： 分析思路2：截长法，在CD上截取DF=DA,证全等： >☒ 分析思路3：补短法，延长CB使CF=CD,证全等 知识点六、对角互补模型 D N 条件：0P平分∠A0B,∠PC0+∠PD0=180° 分析思路：过P作PM LOA,PN⊥OB 结论：△PMC≌△PND 三、常考的题型 考点一、垂直两边棋型 1.如图，在∠AOB的平分线上取一点P,过点P作PC⊥OA于点C,在射线OB上取一点D, 连接PD,若OD=6,△POD的面积为21，则PC的长为 DB 2.如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C,PC=1,点9是射线OB上的一个动点， 线段PQ长度的最小值为 了4☒ A C P B 3.在△ABC中，已知∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为点E, AE=BE· C D ■ E B (I)求证△ACD≌△BED: (2)如果AC=4cm,CD=3cm,求△ABC的面积. 4.己知如图：∠ABP=∠CBP,P为BN上一点，且PD⊥BC于点D, ∠BAP+∠BCP=180,求证：AB+BC=2BD: ∑。☒ 5.问题呈现： (1)如图1，BD是Rt△ABC的一条角平分线，DE⊥AB,垂足为E.你认为DE与DC相等 吗？并说明理由. 方法应用： (2)①如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BC, 若AC=8,CD=5,则DE的长为 ②如图3，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若 △ABC的面积是72，AB=13'AC=11:求DE的长. D 图1 图2 图3 考点二、垂直角平分线模型 6.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD,AB=2,BC=4,△ABE的面积是3，则 △ABC的面积为 D 7.如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC,且AD1BD于D,则△ADC的面积是 C 8.如图所示，在△ABC中，AE平分∠BAC,BE⊥AE,∠ABE=2∠C,求证： AC-AB=2BE' >7☒ 9.已知，AD为△ABC的角平分线 A E B B D 图1 图2 (1)如图1，若CE⊥AD于点F,交AB于点E,AB=7,AC=5.求BE的长： (2)如图2，若AB=7,AC=5,△ACD的面积是10，求△ABC的面积. >&☒ 10.【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法， B A N B M B 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，OP平分∠MON.点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交 ON于点B,可根据一，证明AAOC≌△BOC:则A0=B0'AC=BC(即点C为AB 的中点)， (2)【类比解答】如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于E,若∠EAC=62°， ∠B=37,通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE=一， (3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD, 垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论， (4)【实际应用】亚太经合组织(APEC)第三十三次领导人非正式会议将于2026年11月18 日~19日在深圳市福田区香蜜湖新金融中心举行.为建设会议配套景观广场，政府统一规划一 块三角形土地，如图4，其中AC与香蜜湖路相邻.规划人员进行如下操作：①用量角器取 ∠ACB的角平分线CD:②过点A作AD⊥CD于D.已知BC=210米，AC=150米，△ABC 面积为4200平方米，则划出的△ACD的面积是多少平方米？ 考点三、截取角两边相等模型 11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是∠BAC的角平分线，E是AC上一点，且 AB=AE若∠C=32,则∠CDE=—。 12.如图所示，FB为∠CFD的角平分线，且DF=CF,∠ACB=60°，∠CBF=50°，则 10 ∠A的大小是() D A.40° B.50° C.60° D.100° 13.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至 E,使DE=AD.求证：BC=AB+CE. E 14.如图，OC为∠AOB的角平分线，点P是OC上的-点，PD⊥OA于D,PE⊥OB于E, F为OC上另一点，连接DF'EF:则下列结论：①OD=OE:②DF=FE:③ ∠DF0=∠EF0:④SAr=SAP'正确的是一·（填序号) D以 E 15.如图1，已知AB=AC,D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD、CD;如图2，己知 1☒ AB=AC:D、B为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD CD BE CE:如图3，已知 AB=AC,D、B、P为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD CD BE CE BF CF: …,依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是() B D 图1 图2 图3 A.40 B.36 C.55 D.45 考点四、平行于角一边模型 16.如图，△ABC中，BE是角平分线，交AC于E,DE‖BC交AB于D,若DE=9,AD=7, 则AB= 17.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE‖BC,分别交AB、 AC于点D、B.若AB=9'AC=7:则△ADE的周长是 >18< D B 18.如图，AC‖BD,BC平分∠ABD.以下结论不一定成立的是() A C D A.∠ABD=2∠ACB B.∠BAC=3∠ACBC.AB=AC D.BC<2AB I9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EFBC交AB于E, 交AC于R,过点G作GDIAC-于D,下列四个结论：①BF=BE+CP;②∠BGC=90+吃A: 1 ③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=,AE+AF=n,则S△gr=m.其中正确的结论 有() E G D B A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 13 20.如图，AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,DB=DC. (I)求证：BE=CF; (2)如果BD‖AC,CF=a,直接写出AC-AB= (用含a的代数式表示) 考点五、梯形底角角平分线模型 21.教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容. 我们知道，角的平分线上的点到 角的两边的距离相等，到角的两边的 按照上述证明命题 距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 的步骤，自己证 利用三角形全等，可以得到 证这个结论。 角的内部到角的两边的距离相等的 点在角的平分线上 >4☒ D BB C D B 图① 图② (1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程， 己知： 求证： 证明过程： (2)定理应用：如图②，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是 ∠DAB的平分线. 22.在学习完角平分线的性质与判定后，老师布置了如下作业： 如图，点E是BC的中点，DE平分∠ADC. ☒ 15 ①如图1，若∠B=∠C=90°，求证：AE平分∠DAB; ②如图2，若DE⊥AE,AB=5,CD=2,求AD的长. D E B 图1 图2 ()小明发现第①小题只需要作辅助线EF⊥AD,用全等的知识即可完成证明.老师看了小明 的做法，说道：用你的辅助线，如果要求不能利用全等，你能完成这一问题吗？请你帮小明按 老师的要求完成证明 (2)请完成第②小题. > 16 ☒ 23.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC. D E B (I)画图：过点E画AD的垂线段EF; (2)求证：AE平分∠DAB: (3)若CD=2,AB=3,直接写出AD的长. 24.点E是BC的中点，DE平分∠ADC. D D 图1 图2 (1)如图1，若∠B=∠C=90°，求证：AE平分∠DAB; (2)如图1，若∠B=∠C=90°，∠CED=35°，求∠EAB的度数； (3)如图2，若DE⊥AE,求证：AD=AB+CD 7☒ 25.(1)如图1，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点，DE平分∠ADC. 求证：AE是∠DAB的平分线； (2)如图2，若将题(1)中“∠B=∠C=90°”改为“∠B+∠C=180°”，其它条件不变， 题(1)的结论还成立吗？若成立请写出证明过程，若不成立，说明理由 (3)在(2)的条件下若∠DAB=60°，DE=3,CD=2,求AB的长. 图1 图2 备用图 29K 考点六、对角互补模型 26.如图，在四边形ABCD中，BD是它的对角线，AD=CD,若BD平分∠ABC, ∠A=119o,则∠DCB的度数为() A.62° B.61° C.60° D.59° 27.如图1和图2，在四边形ABCD中，∠BAD=Q,∠BCD=180°-a,BD平分∠ABC. B 图1 图2 图3 【知识重现】 (1)如图1，若a=90°，则∠BCD=°，根据“角的平分线上的点到角两边的距离相 等”这一性质，直接可得DA和DC的数量关系为： 【问题解决】 (2)如图2，过点D分别作DE⊥BA,DF⊥BC,交射线BA,BC于点E,F.求证： DA=DC 【拓展研究】 (3)如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC.求证：BD+AD=BC. 19 28.(1)如图1，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°.当∠B=90°时，根据角平分线的性 质，我们可知DB与DC之间的数量关系为一： (2)如图2，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°.当∠B<90°时，试说明DB与DC之间的 数量关系； (3)如图3，AD平分∠BAC,若∠B=70°，DB=DC,求∠ACD的度数. 图1 图2 图3 29.己知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于 B,D两点，且∠ABC+LADC=180°.过点C作CE LAB,垂足为E. (1)如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC; (2)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系： (3)如图3，在(2)的条件下，若∠MAN=60°，连接BD,作∠ABD的平分线BF交AD于点 20 F,交AC于点O,连接DO并延长交AB于点G.若BG=1,DF=2,求线段DB的长. N 文必g R F G B E 图1 图2 图3 30.如图，己知∠DCE与∠AOB,OC平分∠AOB. 2工2☒ A E E B 图1 图2（备用） 图3 图4 (1)如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E,∠AOB=∠DCE=90°，试判断线 段CD与CE的数量关系，并说明理由. 以下是小宇同学给出如下正确的解法： 解：CD=CE 理由如下：如图1，过点C作CF⊥OC,交OB于点F,则∠OCF=90°， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分， (2)若∠AOB=120°，∠DCE=60. ①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D、E时，写出线段OD、OE、OC的数量关 系_ ②如图4，∠DCE的一边与AO的延长线相交时，写出线段OD、OE、OC的数量关系_； 若OD:OC=2:5,△OCD的面积为a,则△OCE的面积=（用含a的代数式表示） 221☒ 四、查缺补漏 一、单选题 1.如图，在△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB,DE⊥BC于点E,若DE=4,AB=10, 则BD的长为() A D B E A.10 B.8 C.7 D.6 2.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的 面积分别为48和26，则△EDF的面积为() G D A.11 B.22 C.26 D.37 3.如图，ABCD,BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD,AD过点E,且与AB互相垂直，点 p为线段BC上一动点，连接PE:若AD=8则PE的最小值为（) 23 D A.8 B.5 C.4 D.2 二、填空题 4.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,DELAC交于点E,DFBC于点F,且 BC4,DE=2,则△BCD的面积是 D 5.已知，如图，AD平分∠BAC,DE⊥AC,DB=DC,DE=3,AB=4,∠BDC=Q,则 △ABD的面积为： -’∠BAC= 6.如图，在△ABC中，∠B=46°，∠ADE=40°，AD平分∠BAC,交BC于D,DEAB,交AC于E,则∠C的 大小是 二、解答题 7.如图，点C是∠MAN的角平分线上一点，CE⊥AN,CF⊥AM,垂足分别为E,F.过 点C作CD‖AN,交AM于点D,在射线EN上取一点B,使∠CBE=∠DAE. 24☒ M FA BN (I)求证：DF=BE: (2)若AB=13,AF=9,求DF的长. 8.已知，如图，∠A=∠B=90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC, A (I)试说明：CM平分∠BCD, (2)试说明∠DMC为直角. > ☒ 25 9.如图，已知AP‖BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,CE的连线交AP于 点D,求证：AD+BC=AB, P E D B 10.如图，在△ABC中，点E在AC上，∠ACB=56° E B D 图1 图2 (I)如图1，BE⊥AC,请利用尺规作图作出∠ACB的角平分线，交AB于点D,交BE于点F; 并求出∠DFB的度数： 26 (2)如图2，若CD是∠ACB的角平分线，BE⊥CD,∠A=50°，求∠ABE的度数. 11.【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法. 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，OC为∠AOB的角平分线，CA⊥OA,垂足为点A,CB⊥OB,垂足为点B. 结论：CA=CB,△OAC≌△OBC 常见模型2 条件：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD为∠CAB的角平分线，过点DE⊥AB,垂足为点 E 结论：DC=DE,且△DAC≌△DAE(当△ABC是等腰直角三角形时，有AB=AC+CD). 常见模型3 条件：如图，OC是∠AOB的角平分线，∠OAC=∠CBN. B 结论：AC=BC. 27☒ 根据模型3的条件，请证明上述结论AC=BC, 【模型运用】 如图，BE,CE分别为∠ABC和∠BCD的平分线，AB‖CD,则AB,CD,BC的数量关系 是 B 【解决问题】 如图，ABCD是一个四边形人工湖，AB=AD,BC=80米，CD=60米，甲、乙两人同时从点 C出发，甲沿CB方向以2米/秒的速度前进，乙沿CD方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、 乙分别到达E,F处，此时测得∠EAF=号∠BAD,∠B+∠D=180·,此时甲、乙两人的距 离为_米。 28 ☒ 五、课后作业 一、单选题 1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,BE为AC边上中线，AD与BE交于点F,连接CF. 若CF平分∠ACB,DF=3,AC=10,则△AEF的面积为() A.30 B.15 e号 n 2.如图，在射线BA,BC上，分别截取BM,BN,使BM=BN;再分别以点M和点N为圆 心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D,作射线BD:过点D 作DEBC交BA于点E.若∠BDE=30°，则∠AED的度数是() A D E A.30° B.45° C.60° D.75 3.如图，AD是△ABC的角平分线，DFLAB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分 别为50和39，则△EDF的面积为() 29 E G B D C A.11 B.5.5 C.7 D.3.5 二、填空题 4.如图，已知∠AOB,在OA和OB上分别截取OE,OF,使OE=OF,再分别以点E和点F 为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠A0B内相交于点G,作射线OG,过射线OB 上一点D作DC‖OA,交OG于点C,若∠CDB=50°，则∠OCD=°. E G F D 5.如图，己知P是∠AOB平分线上-点，∠AOP=15°，CP‖OB交OA于点C,PD⊥OB, 垂足为D,且PC=6,则PD等于· A C d D B 6.如图，已知在△ACE中，∠AEC=90°，点D,B分别在边CE,AE上，DF⊥AC于F, 30 BD=CD'BE=CF (1)若∠C=60°，则∠BAD=: (2)已知AC=10,BE=2,则AB的长是 E B D R 7.如图，直角梯形ABCD中，AD‖BC,∠B=90°，AD=3,BC=6,点E在高AB上滑动， 若△DAE与△EBC相似，则当AE=2时，EB=· D 三、解答题 8.如图，△ABC中，AD是角平分线，BE⊥AD,垂足为E (1)已知∠ABC=70°，∠C=30°，求∠ADB的度数： (2)若∠ABC=3∠C,求证：∠DBE=∠C. >厂1☒ 9.如图，ABCD,∠A=90°，E是AD边中点，CE平分∠BCD D E (I)求证：BE平分∠ABC: (②)DC'AB'BC三条线段之间有什么数量关系，请证明. 10.已知△ABC中，BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD、CE交于点O. (1)直接写出∠BOC与∠A的数量关系： (2)若∠A=60°，利用(1)的关系，求出∠BOC的度数： (3)利用(2)的结果，试判断BE,CD,BC的数量关系，并证明. > ☒ 32