第二十三章 旋转图形的旋转与中心对称 五大核心模型 讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

九年级数学人教版上册 第二十三章 旋转 图形的旋转与中心对称五大核心模型精讲与配套练习 　 本研究以初中几何范畴内“图形的旋转”模块的五类核心常规模型为分析框架，对手拉手旋转模型、半角旋转模型、对角互补旋转模型、鸡爪形一点三线旋转模型及费马点极值旋转模型开展系统性归纳.上述模型均遵循“等线段共端点，旋转变换构造全等”的统一几何本质. 模型一　“手拉手”旋转模型：共顶点的等腰三角形旋转变换 结论与模型　两个顶角相等且共顶点的等腰三角形（如等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形），顶角均为 。当绕公共顶点旋转任意角度时，连接对应顶点的两条线段必相等，且两线段所在直线的夹角恒等于旋转角 。交角平分线必经过旋转中心。 核心结论： 1. （）； 2. 对应边相等：； 3. 对应线段夹角：两线段 与 的交角等于旋转顶角 （若 则 ；若 则交角为 ）； 4. 旋转中心 到两条对应线段 、 的距离相等，即 在两线段交角的平分线上。 推导　在 与 中，已知 ，，。 ∵ ，两边同加（或同减）公共角 ，得 ， 即 。 在 和 中， ∵ ，，， 由全等三角形判定定理（），得 。 ∴ ，。 设 与 相交于点 ， 与 相交于点 。 在 和 中，对顶角 。 由三角形内角和定理，。 作 于 ， 于 。 由 ，面积相等且底边 ，可得 。 由角平分线性质的逆定理可知， 平分 。 适用边界与易错辨析　 (1) 手拉手模型的核心识别标志是“共顶点”+“两组等长邻边”+“两个顶角相等”。 (2) 旋转过程中两线段可能在图形内部相交，也可能在延长线上相交，求夹角时要看清钝角还是锐角（两线夹角是指不大于 的角，或直接指明旋转角 与其邻补角）。 (3) 当 （等腰直角三角形）时，结论加强为 ；当 （等边三角形）时，对应线段夹角恒为 。 (4) 书写大题解答时，必须交代角的和差转化过程（），不可省略步子直接套用全等。 配套练习 一、选择题 1．两个共顶点的等边三角形 与 绕点 旋转，连接 、 交于点 。若 ，则 的度数为（　　） A．　 B．　 C．　 D． 【答案】　C 【解析】手拉手模型中，两对应线段的夹角恒等于旋转顶角，与具体旋转角度无关，故 。 2． 与 均为等腰直角三角形，，连接 、。下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】　D 【解析】由 得 ，故 、、 均成立； 与 无固定相等关系。 二、填空题 3．两个等边三角形 与 共顶点 ，连接 、 相交于点 ，则 ______ 。 【答案】　 【解析】夹角等于旋转顶角，即 。 4．　 与 共直角顶点 ，，，，且 ，则 ______。 【答案】　 【解析】由 得 。以 为原点计算：，，故 。 三、解答题 题1　如图， 和 都是等腰直角三角形，，，。连接 、 交于点 。求证：，且 。 【证明】 ∵ 和 都是等腰直角三角形，∴ ，，。 ∴ ， 即 。 在 和 中， ∵ ，，， 由全等三角形判定定理（），得 。 ∴ 。 由全等三角形性质，得 。 设 与 相交于点 。 在 与 中， 对顶角 。 由三角形内角和定理，得 。 ∴ ，即 。 答： 且 成立。 题2　如图， 与 均为等边三角形，点 、、 在同一直线上，连接 。若 ，。求线段 的长及 的度数。 【解】 ∵ 和 都是等边三角形，∴ ，，，。 ∵ ，∴ ，即 。 在 和 中， ∵ ，，， 由 判定定理，得 。 ∴ 。 已知 ，∴ 。 由全等三角形性质，得 。 ∵ 点 、、 在同一直线上，∴ 。 ∴ 。 ∵ 点 、、 共线，，∴ 。 答：线段 的长为 ， 的度数为 。 题3　如图，在 和 中，，，。连接 、 交于点 。某同学认为 ，请判断该观点是否正确，并求出 与 的夹角。 【解】 该同学的观点不正确。 理由如下： ∵ ，∴ ，即 。 在 和 中， ∵ ，，， 由 判定定理，得 。 ∴ ，。 设 与 相交于点 。 在 与 中，对顶角 。 由三角形内角和定理，得 。 ∴ 两直线 与 相交形成的锐角夹角为 。 ∵ 两直线夹角为 ，∴ 与 不垂直。 答：该观点不正确， 与 的夹角（锐角）为 ，钝角为 。 题4　如图，工业机械手由两个共转轴 的等臂组件构成，组件一 ，组件二 ，两组件均保持张角 。当组件二绕转轴 自由旋转时，两联动滑块 与 之间由连杆 连接，滑块 与 之间由连杆 连接。求连杆 与 长度的恒等关系，并求两连杆运动中所成的夹角。 【解】 两连杆 与 的长度始终恒等，且两连杆始终互相垂直。 论证如下： 在运动过程中，转轴 处的两组构件始终满足： ，，。 ∴ ， 。 ∴ 。 在 和 中， ∵ ，，， 由全等三角形判定定理（），得 。 ∴ ，即两连杆长度恒相等。 由全等三角形性质，。 设 与 相交于点 ， 与 相交于点 。 在 与 中，对顶角 。 由三角形内角和定理，得 。 ∴ 连杆 ，夹角恒为 。 答：连杆 与 的长度始终相等（），且两连杆在运动中始终互相垂直（夹角为 ）。 模型二　“半角”旋转模型：旋转构造二次全等 结论与模型　在正方形（或等腰直角三角形、顶角 菱形）中，一个大角内部包含其一半大小的旋转角。通过将一侧的直角三角形绕公共顶点旋转使其与另一侧拼接，构造对称图形，进而证明包含半角的两个三角形全等（二次全等）。 核心结论（以正方形 含 半角 为例）： 1. 旋转构造一次全等：将 绕点 顺时针旋转 得 ，则 ； 2. 旋转拼接二次全等：（）； 3. 线段和差关系：； 4. 面积关系：； 5. 高线关系：过顶点 作 于 ，则高线长 （正方形边长）； 6. 勾股关系（等腰直角含半角）：若点 、 在斜边 上，则 。 推导　在正方形 中，，，，，点 在 上，点 在 上。 第一步：旋转构造。 将 绕点 顺时针旋转 得到 。 由旋转的性质可知：。 ∴ ，，。 ∵ ，∴ 。 ∴ ，即点 、、 三点共线。 线段 。 第二步：二次全等证明。 ∵ ，，∴ 。 又∵ ，∴ 。 ∴ 。 在 与 中， ∵ ，，（公共边）， 由全等三角形判定定理（），得 。 ∴ 。 第三步：高线长结论。 作 于 。由 且 ，可知点 到 的距离等于点 到 的距离，即 。 适用边界与易错辨析 (1) 半角模型的旋转中心必须是半角的顶点，不可围绕其他顶点旋转。 (2) 旋转方向应将分散的两个小角拼在一起构成半角自身（），从而为第二次全等创造条件。 (3) 注意线段共线论证：旋转后必须先根据邻补角证明 、、 三点共线，才能写出 。 (4) 反向旋转变式（反套路）：若半角旋转到正方形外部，线段关系不再是和（），而是差（如 或 ），必须根据旋转后的落点重新推导，不可生搬硬套公式。 配套练习 一、选择题 1．正方形 的边长为 ，点 、 分别在边 、 上，且 ，则 的周长为（　　） A．　 B．　 C．　 D．无法确定 【答案】　B 【解析】半角模型得 ，故周长 ，为定值。 2．等腰直角 中 ，，点 、 在斜边 上，。若 ，，则 的长为（　　） A．　 B．　 C．　 D． 【答案】　A 【解析】由半角模型得 ，故 。 二、填空题 3．正方形 的边长为 ，点 、 分别在 、 上，。若 ，则 ______。 【答案】　 【解析】设 ，由 及 得 ，解得 。 4．正方形 的边长为 ，点 、 分别在边 、 上，且 ，则 的周长为 ______（用 表示）。 【答案】　 【解析】，周长 。 三、解答题 题1　如图，在正方形 中，点 在边 上，点 在边 上，。连接 。求证：。 【证明】 将 绕点 顺时针旋转 得到 。 由旋转的性质，得 。 ∴ ，，，。 ∵ 四边形 是正方形，∴ 。 ∴ 。 ∴ 点 、、 三点在同一条直线上。 线段 。 ∵ ，，∴ 。 ∵ ，∴ 。 ∴ 。 在 和 中， ∵ ，，， 由全等三角形判定定理（），得 。 ∴ 。 又∵ ，∴ 。 答： 成立。 题2　如图，在等腰直角 中，，，点 、 均在斜边 上，且 。求证：。 【证明】 将 绕点 逆时针旋转 得到 。 由旋转的性质，得 。 ∴ ，，，。 ∵ 是等腰直角三角形，，，∴ 。 ∴ 。 ∴ 。 在 中，由勾股定理，得 。 ∵ ，，∴ 。 ∵ ，∴ 。 ∴ 。 在 和 中， ∵ ，，， 由全等三角形判定定理（），得 。 ∴ 。 ∴ 。 答： 成立。 题3　如图，四边形 是正方形，。将 绕点 旋转至正方形外部，点 在 的延长线上，点 在 的延长线上。请探究线段 、、 之间的数量关系，并给出证明。 【解】 线段 、、 的数量关系为：。 证明如下： 在边 上截取 ，连接 。 ∵ 四边形 是正方形，∴ ，。 ∵ 点 在 的延长线上，∴ 。 ∴ 。 在 和 中， ∵ ，，， 由 判定定理，得 。 ∴ ，。 ∵ ，∴ 。 ∵ ，∴ 。 ∴ 。 在 和 中， ∵ ，，， 由 判定定理，得 。 ∴ 。 ∵ 点 在 的延长线上，点 在边 上，∴ 。 将 与 代入，得 。 答：线段之间的数量关系为 。 题4　如图，某广场拐角处为边长为 米的正方形花坛 。管理处在拐角顶点 处安装了一盏旋转探照灯，探照灯的照射光束张角恒为 （即 ），光束两边分别扫过花坛边沿 、 于点 、。现要在光束照射区域与花坛边沿围成的 外周安装警示隔离带。求 的周长是否随探照灯旋转而改变？若不变，求其周长。 【解】 的周长不随探照灯的旋转而改变，其周长恒等于正方形边长的 倍，即 米。 论证如下： 由半角模型旋转性质（结论一）： 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，可得 。 ∴ 。 的周长为线段 之和。 将 代入周长公式，得 的周长 = (BM + CM) + (CN + DN) 。 ∵ 花坛 是边长为 米的正方形，∴ 米。 ∴ 的周长 米。 这是一个与光束旋转角度无关的定值。 答： 的周长不随探照灯旋转而改变，警示隔离带的总周长恒为 米。 模型三　“对角互补”旋转模型：四边形对角互补与邻边相等 结论与模型　在四边形中，若存在一对对角互补（即 ），且夹该互补角的一组邻边相等（即 ）。通过将 绕公共顶点 旋转使其与 重合（旋转角等于 ），由于对角互补，旋转后边 的对应边 与边 必在同一条直线上，从而将不规则四边形转化为规则三角形求解。 核心结论： 1. 面积守恒转化：四边形 的面积等于旋转后大等腰三角形 的面积； 2. 共斜边直角对角互补模型（，）：四边形面积恒为；若过点 作双垂线，两截线段之和恒满足 ； 3. 与 对角互补模型（， 平分 ，）：必有 ，且 ，。 推导　在四边形 中，已知 ，。 第一步：旋转变换。 将 绕顶点 顺时针旋转，使边 与边 重合，点 旋转至点 。 由旋转的性质可知：。 ∴ ，，，。 第二步：证明三点共线。 ∵ ，且 ， ∴ 。 即 ， ∴ 点 、、 三点在同一条直线上。 第三步：面积与线段转化。 线段 。 四边形 的面积为： 。 在特殊情形下（ 且 时）： 旋转角为 ， 为等腰直角三角形，，。 ∴ 。 在 中，，故 。 适用边界与易错辨析　 (1) 该模型成立的关键前提是「对角互补」保证了旋转后两边能拼成平角（三点共线），若对角不互补，则拼接后出现凹折，无法直接使用大三角形面积公式。 (2) 旋转中心必须是两等长邻边的公共顶点 。 (3) 旋转方向要看准：应将一条等边旋至与另一等边重合，不可旋反。 (4) 若题目给出的是两条角平分线或正方形重叠转动，本质上都是对角互补模型的变式，要善于透过表象识别核心特征。 配套练习 一、选择题 1．　四边形 中，，，对角线 ，则四边形 的面积为（　　） A．　 B．　 C．　 D． 【答案】　A 【解析】旋转拼成等腰直角三角形 ，面积 。 2．　正方形 的中心 与正方形 的顶点重合，两正方形边长均为 ，将 绕 旋转任意角度，两正方形重叠部分的面积为（　　） A．随旋转变化　 B．　 C．　 D． 【答案】　B 【解析】重叠部分面积恒等于原正方形面积的，即 ，为定值。 二、填空题 3．， 平分 ，点 、 分别在 、 上，。若 ，则 ______。 【答案】　 【解析】作双垂线证 ，得 ，故 。 4．　四边形 中，，，，，则四边形 的面积为 ______。 【答案】　 【解析】旋转拼成等腰直角三角形 ，面积 。 三、解答题 题1　如图，在四边形 中，，，对角线 的长为 。求四边形 的面积。 【解】 将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，点 落在点 处。 由旋转的性质，得 。 ∴ ，，，。 ∵ ，∴ 。 ∴ 点 、、 三点在同一条直线上。 在 中，∵ ， 又∵ ， 由旋转角可知 。 ∴ 是等腰直角三角形，直角边长为 。 ∴ 四边形 的面积为 。 由直角三角形面积公式，得 。 ∴ 四边形 的面积为 。 答：四边形 的面积为 。 题2　如图，正方形 的中心与正方形 的顶点 重合，边长均为定值 。正方形 的两边分别与边 、 相交于点 、。将正方形 绕点 逆时针旋转任意角度，记阴影部分四边形 的面积为 ，线段 与 的长度之和为 。探究 与 是否随旋转而改变，并说明理由。 【解】 阴影部分面积 与线段之和 均不随旋转而改变， 与 均为定值。 理由如下： 连接 、。 ∵ 点 是正方形 的中心，∴ ，（即 ），。 ∵ 四边形 是正方形，∴ 。 ∴ 。 ∴ 。 在 和 中， ∵ ，，， 由全等三角形判定定理（），得 。 ∴ ，。 关于线段之和 ： （定值）。 关于面积 ： 。 ∵ 点 是正方形中心， 占正方形面积的 ，∴ （定值）。 答： 与 均不变，，。 题3　如图，已知 ， 平分 ，点 在射线 上，点 在射线 上，。求证：，且 。 【证明】 过点 作 于点 ， 于点 。 ∴ 。 ∵ 平分 ，∴ 点 在角平分线上，得 。 ∵ ，∴ 。 在 中，， ∴ ，同理 。 ∴ 。 已知 ， ∴ 。 ∴ 。 在 和 中， ∵ ，，， 由 判定定理，得 。 ∴ ，。 在 中，，得 。 同理 。 ∵ 点 在 上，点 在 延长线上，∴ ，。 ∴ 。 ∵ ，代入得 。 答： 且 成立。 题4　如图，某科技园区规划了一块四边形绿地 。经测绘得知：，，两邻边 ，连接对角线 。规划部门拟将四边形通过拆拼改造成平整的三角形草坪。请说明该四边形绿地能否通过旋转拼成一个规则三角形，并求出该绿地的实际占地面积。 【解】 该四边形绿地可以通过旋转拼成一个等腰直角三角形草坪，其实际占地面积为 。 论证与计算如下： 观察四边形 的对角： ，满足对角互补。 两邻边 ，满足邻边相等。 将 绕顶点 顺时针旋转，使边 与 重合，点 落在点 处。 由旋转的性质，得 。 ∴ ，，。 ∵ ，∴ 。 ∴ 点 、、 三点共线，四边形 拼接成大三角形 。 ∵ 四边形内角和为 ，∴ 。 由旋转性质可知，旋转角为 。 在 中，。 若测得旋转角 （即 ）， 则 为等腰直角三角形。 ∴ 绿地总面积为 ； 若 ，则为等边三角形，面积为 。 在标准直角四边形设定下（， 与对角互补对应），面积为 。 答：该绿地能通过旋转拼成等腰三角形草坪，占地面积为 。 模型四　“鸡爪”旋转模型：一点三线的旋转全等构造 结论与模型　在等边三角形（或等腰直角三角形、正方形、正六边形）内部或外部有一点 ，引出到三个顶点的三条线段 、、（形似“鸡爪”三趾）。通过绕多边形的顶点旋转对应特征角（等边三角形旋转 ，等腰直角或正方形旋转 ，正六边形旋转 ），构造手拉手全等三角形，将三条分散线段集中到一个三角形中，结合勾股定理逆定理或特殊角求出线段长度、夹角及图形面积。 核心结论（以等边 内一点 ，，， 为例）： 1. 旋转变换：将 绕点 逆时针旋转 得到 ； 2. 构造等边三角形：连接 ，由 且 ，可知 是等边三角形，从而 ； 3. 集中三线段：在 中，三边分别为 ，，； 4. 直角与特殊角：若满足 ，则 是直角三角形，。进而可求出张角 ； 5. 正方形内一点：旋转 ，构造等腰直角三角形，斜边为 ，三边满足勾股关系可得 角。 推导　在等边 中，，。点 是其内部一点，，，，且 。 第一步：旋转构造。 将 绕点 逆时针旋转 得到 。 由旋转的性质可知：。 ∴ ，，，。 第二步：等边三角形推导。 连接 。 在 中，∵ ，且夹角 ，∴ 是等边三角形。 ∴ ，且 。 第三步：勾股逆定理判定直角。 在 中，三边长分别为： ，，。 已知 ，即 。 由勾股定理逆定理，可知 是直角三角形，且 。 第四步：求张角 。 。 过点 作 延长线的垂线，垂足为 。 在 中，，斜边 ，由 角性质和勾股定理可求出 与 ，进而由勾股定理求得等边三角形边长 。 适用边界与易错辨析　 (1) “鸡爪”模型的核心特征是「一点引出三条线段」+「正多边形/特殊三角形」。 (2) 旋转角必须严格对应图形的内角：等边三角形旋转 ，正方形/等腰直角旋转 ，切勿旋转错误角度。 (3) 旋转后得到的过渡三角形必须交代性质（等边或等腰直角），从而将第三边代换为已知线段。 (4) 求角时要将平角、周角或直角逐步相加，不能跳过中间过渡角的推导。 配套练习 一、选择题 1．　点 是等边 内一点，，，，则 的度数为（　　） A．　 B．　 C．　 D． 【答案】　C 【解析】旋转构造得 为直角三角形（），故 。 2．　点 是正方形 内一点，，，，则 的度数为（　　） A．　 B．　 C．　 D． 【答案】　B 【解析】由正方形内点恒等式 得 ；绕 旋转 后 、，勾股逆定理得 ，故 。 二、填空题 3．　点 是等边 内一点，，，，则 ______ 。 【答案】　 【解析】，故旋转后得直角三角形，。 4．　点 是正方形 内一点，，，，则 ______。 【答案】　 【解析】由 得 ，故 。 三、解答题 题1　如图，点 是等边 内一点，，，。将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 。 （1）求证： 是等边三角形； （2）求线段 的长。 【解】 （1）证明： ∵ 将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 由旋转的性质，得 ，旋转角 。 在 中，两边相等且夹角为 ， ∴ 是等边三角形。 （2）解： ∵ 是由 旋转得到，∴ 。 ∴ ，。 由（1）知 是等边三角形， ∴ ，。 在 中， 。 ∴ 是直角三角形，。 由勾股定理，得 。 答：线段 的长为 。 题2　如图，点 是等边 内一点，，，。将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、。 （1）求线段 的长； （2）求 的度数； （3）求 的面积。 【解】 （1）∵ 线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，∴ ，。 在 中， 且 ， ∴ 是等边三角形。 ∴ 。 （2）∵ 是等边三角形，∴ ，。 ∵ ，∴ ，即 。 在 和 中， ∵ ，，， 由 判定定理，得 。 ∴ 。 在 中，三边长为 ，，。 ∵ ， 由勾股定理逆定理，可知 是直角三角形，且 。 ∵ 是等边三角形，∴ 。 ∴ 。 （3）过点 作 延长线的垂线，垂足为 。 在 中，，斜边 。 由 角性质，高 。 ∴ 。 答：，， 的面积为 。 题3　如图，已知点 是正方形 内一点，，，。求 的度数。 【解】 将 绕点 逆时针旋转 得到 。 由旋转的性质可知：。 ∴ ，，，。 ∵ 四边形 是正方形，∴ 。 ∴ 。 在 中，∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形。 由勾股定理，得 ，且底角 。 ∵ 四边形 是正方形， 为其内一点，由旋转可证正方形内一点满足恒等式 ， ∴ ，即 。 在 中，三边长分别为 ，，。 ∵ ， ∴ 由勾股定理逆定理可知 是直角三角形，且 。 ∴ 。 ∵ ，∴ 。 答： 的度数为 。 题4　如图，某市民休闲广场规划为正六边形 。广场内部设立了一座观景灯塔 。经测绘，灯塔 到顶点 、、 的直线距离分别为 ，，。求游客在灯塔处眺望两相邻地标顶点 与 的视线夹角 的度数。 【解】 游客在灯塔处眺望两地标顶点的视线夹角 的度数为 。 推导过程如下： 正六边形 的每个内角均为 。 边长相等，。 将 绕点 顺时针旋转 得到 。 由旋转的性质可知： 。 ∴ ，，，。 连接 。 在 中，∵ ，， 由等腰三角形性质，两底角为 . 作 于 。在 中，，斜边 ， ∴ 。 ∴ 。 在 中，三边长分别为 ，，。 计算两短边的平方和： 。 过 作 延长线的垂线，由坐标几何或余弦解得 。 ∴ 。 由旋转对应角相等，得 。 答：视线夹角 的度数为 。 模型五　“费马点”旋转模型：距离和最小值的几何极值问题 结论与模型　在 内寻找一点 ，使得点 到三个顶点 、、 的线段长度之和 达到最小值，这个极值点称为三角形的费马点。 核心结论： 1. 最大内角小于 时： 费马点 落在三角形内部，且对三边的张角均为 ，即： ； 构造作法：以 的三边向外各作一个等边三角形，连结相对的顶点（如 与对边等边三角形顶点 ），三条连线相交于一点，该交点即为费马点 ；且最小距离和恒等于连线长：； 2. 最大内角大于等于 时： 费马点 退化为最大内角的顶点自身，此时距离和最小值为两较短边之和：。 推导　以最大内角小于 的情形为例： 设点 是 内部任意一点。 将 绕点 逆时针旋转 得到 。 连接 、。 由旋转的性质可知： 。 ∴ ，，，，。 在 中，∵ 且 ，∴ 是等边三角形。 ∴ 。 将距离和中的线段进行代换： 。 观察折线 ：从起点 经点 、点 到达终点 。 根据公理“两点之间线段最短”，折线段之和必大于等于两端点的直线距离： 。 当且仅当点 、、、 四点在同一条直线上时，等号成立。 此时距离和取得最小值，最小值为线段 的长。 当四点共线时，各角关系为： ∵ 是等边三角形，∴ ；∵ ，∴ 。 由于 、、 共线，平角 ， ∴ 。 同理，∵ 、、 共线，平角 ， 得 。 由周角为 ，得 。 ∴ 费马点处满足 。 适用边界与易错辨析　 (1) 费马点的存在性分为两种情形：先检查三角形最大内角是否小于 ，若最大角 ，不可盲目构造 张角，此时最值点落在最大角顶点。 (2) 旋转构造等边三角形时，必须向外作，若向内作会导致点重叠或方向错误。 (3) 求最小值长度时，不需要求出费马点 的具体坐标，只需利用构造出的外侧等边三角形顶点，直接求连线段 的长（通常结合勾股定理计算）。 (4) 在正方形或特殊四边形中求一点到三顶点距离和最小，本质也是以某两点作等边三角形转化为费马点线段求值。 配套练习 一、选择题 1．　若 的最大内角为 ，点 为平面内一点，当 取得最小值时，点 位于（　　） A．三角形内部　 B．最大内角的顶点处　C．某一边的中点　D．无法确定 【答案】　B 【解析】最大内角不小于 时，费马点退化为最大内角的顶点。 2．　等边 的边长为 ，点 为三角形内一点，则 的最小值为（　　） A．　 B．　 C．　 D． 【答案】　B 【解析】向外作等边三角形后，最小值等于原三角形的高，即 . 二、填空题 3．　正方形 的边长为 ，点 为正方形内一点，则 的最小值为 ______。 【答案】　 【解析】以 向外作等边三角形，最小值为对应连线长，边长为 时该值为 . 4．　在 中，，，，点 为三角形内一点，则 的最小值为 ______。 【答案】　 【解析】以 向外作等边三角形，、，得 ，故最小值 。 三、解答题 题1　如图，在 中，，，，点 为 内部一点。求 的最小值。 【解】 以 为边向外作等边 ，连接 。 由费马点旋转模型可知， 的最小值即为线段 的长。 在 中，，，。 由勾股定理，得 。 在 中，∵，∴ ，。 ∵ 是等边三角形，∴ ，。 ∴ 。 ∴ 在 中，，两直角边分别为 ，。 由勾股定理，得 。 ∴ 的最小值为 。 答： 的最小值为 。 题2　如图，在锐角 中，，，点 为 内任意一点。已知当 取得最小值时，该最小值为 。求边 的长。 【解】 以 为边向外作等边 ，连接 。 过点 作 的延长线于点 。 由费马点性质，当 取得最小值时，其最小值为线段 的长，即 。 ∵ 是等边三角形，∴ ，。 ∵ ，点 在 的延长线上，平角为 ，∴ 。 在 中，，， ∴ 是等腰直角三角形。 设 （）。 由勾股定理，。 线段 。 在 中，由勾股定理，得 ， 即 。 展开整理，得 ， ， 。 因式分解，得 。 ∵ ，∴ 解得 。 ∴ 。 答：边 的长为 。 题3　如图，在 中，，，，点 为三角形所在平面内一点。某同学根据“费马点张角 ”的结论，在形内构造点 使得 ，并由此计算距离和。请判断该同学的作法是否正确，并求出 的实际最小值。 【解】 该同学的作法不正确。 理由如下： 费马点对三边的张角均为 的结论仅适用于三角形最大内角小于 的情形。 在本题中，，最大内角已达到 。 若在形内取点 ，∵ 四边形 内角和为 ，内部点到三顶点的夹角无法同时满足三边张角均为 ，否则点 与顶点 发生重合。 根据费马点极值定理：当三角形的最大内角大于或等于 时，费马点退化为最大内角的顶点自身，即点 与顶点 重合。 此时，，，。 ∴ 距离和为 。 若取平面内其他任意点 ，由三角形三边关系，，。 ∴ 。 故距离和的实际最小值为 。 答：该同学的作法不正确，费马点即为顶点 ， 的实际最小值为 。 题4　如图，某市政公园有一块边长为 米的正方形花带 。现要在花带内部设置一个地下灌溉喷头 ，从点 分别向三个顶点 、、 铺设直埋水管 、、。为了节约管材，要求水管总长度 达到最小。求水管总长度的最小值。 【解】 水管总长度的最小值为米。 求解过程如下： 问题等价于在正方形内部求一点 ，使 最小。 以边 为边向正方形外部作等边 。 过点 作 交 的延长线于点 ，连接 。 由费马点旋转构造原理可知， 的最小值等于线段 的长。 ∵ 四边形 是边长为 的正方形，∴ ，。 ∵ 是等边三角形，∴ ，。 ∵ 点 在 的延长线上，∴ 。 ∴ 。 在 中，，，斜边 。 由 角性质，得 。 由勾股定理，得 ∴ 线段 在 中，由勾股定理，得 展开计算： 。 配方化简： ∴ 水管总长度的最小值为米。 答：水管总长度的最小值为 米。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $九年级数学人教版上册第二十三章旋转 图形的旋转与中心对称五大核心模型精讲与配套练习 本研究以初中几何范畴内“图形的旋转”模块的五类核心常规模型为分析框架， 对手拉手旋转模型、半角旋转模型、对角互补旋转模型、鸡爪形一点三线旋转模型及 费马点极值旋转模型开展系统性归纳.上述模型均遵循“等线段共端点，旋转变换构造 全等”的统一几何本质 模型一“手拉手”旋转模型：共顶点的等腰三角形旋转变换 结论与模型两个顶角相等且共顶点的等腰三角形（如等腰三角形、等腰直角三角 形、等边三角形)，顶角均为。当绕公共顶点旋转任意角度时，连接对应顶点的两 条线段必相等，且两线段所在直线的夹角恒等于旋转角0。交角平分线必经过旋转中 心。核心结论： 1.△ABD≌△ACE(SAS); 2.对应边相等：BD=CE: 3.对应线段夹角：两线段BD与CE的交角等于旋转顶角a(若Q=90°则BD⊥CE :若0=60°则交角为60)： 4.旋转中心A到两条对应线段BD、CE的距离相等，即A在两线段交角的平分线 上。 推导在△ABC与△ADE中，已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=a。 -1— .'∠BAC=∠DAE,两边同加（或同减）公共角∠CD,得 ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE。在△BAD和△CAE 中， .AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,由全等三角形判定定理(SAS),得 △BAD≌△CAE。 ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE。设BD与CE相交于点M,BD与AC相交于点 O。在△ABO和△MCO中，对顶角∠AOB=∠MOC. 由三角形内角和定理， ∠BMC=180°-∠MOC-∠MCO=180°-∠AOB-∠ABD=∠BAC=Q。作AT⊥BD 于T,AN⊥CE于N。由△BAD≌△CAE,面积相等且底边BD=CE,可得 AT=AN。由角平分线性质的逆定理可知，AM平分∠BME。 适用边界与易错辨析 (1)手拉手模型的核心识别标志是“共顶点”+“两组等长邻边”+“两个顶角相等”。 (②)旋转过程中两线段可能在图形内部相交，也可能在延长线上相交，求夹角时要看清钝 角还是锐角（两线夹角是指不大于90°的角，或直接指明旋转角α与其邻补角）。 (3)当c=90°（等腰直角三角形）时，结论加强为BD1CE;当=60°（等边三角形） 时，对应线段夹角恒为60°。 (4)书写大题解答时，必须交代角的和差转化过程（∠BAD=∠CAE),不可省略步子直 接套用全等。 配套练习 一、选择题 1.两个共顶点的等边三角形△ABC与△ADE绕点A旋转，连接BD、CE交于 点M。若∠BAD=20°，则∠BMC的度数为() 一2 。M D 20° A ⊙ A.20 B.40 C.60 D.80 2.△ABD与△ACE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE、DC。 下列结论不一定成立的是() A B A.BE=DC B.BE⊥DC C.∠ABE=∠ACDD.BC=DE 二、填空题 3.两个等边三角形△ABC与△ADE共顶点A,连接BD、CE相交于点M,则 ㄥBMC= °。 E · A 一3— 4.△ABD与△ACE共直角顶点A,AB=AD=1,AC=AE=2, ∠BAD=∠CAE=90°，且∠BAC=30°，则BE= E D 30° A B 三、解答题 题1如图，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°， AB=AD,AC=AE。连接BE、DC交于点O。求证：BE=DC,且BE⊥DC。 D E 题2如图，△ABC与△ADE均为等边三角形，点C、D、E在同一直线上，连接 BD。若AE=2,CE=5。求线段BD的长及∠BDE的度数。 -4 D C 题3如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=120°。 连接BD、CE交于点M。某同学认为BD⊥CE,请判断该观点是否正确，并求出 BD与CE的夹角。 B E D A —5— 题4如图，工业机械手由两个共转轴A的等臂组件构成，组件一AB=AC=40cm, 组件二AD=AE=25cm,两组件均保持张角∠BAC=∠DAE=90°。当组件二绕转轴 A自由旋转时，两联动滑块B与E之间由连杆BE连接，滑块C与D之间由连 杆CD连接。求连杆BE与CD长度的恒等关系，并求两连杆运动中所成的夹角。 E A 模型二“半角”旋转模型：旋转构造二次全等 结论与模型在正方形（或等腰直角三角形、顶角120°菱形）中，一个大角内部包 含其一半大小的旋转角。通过将一侧的直角三角形绕公共顶点旋转使其与另一侧拼 接，构造对称图形，进而证明包含半角的两个三角形全等（二次全等）。 核心结论（以正方形ABCD含45°半角∠MAN=45°为例）： 1.旋转构造一次全等：将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABT,则 △ADN≌△ABT: 2.旋转拼接二次全等：△AMN△AMT(SAS): 3.线段和差关系：MN=TM=BM+DN: 4.面积关系：S△AMN=SAABM+S△ADN; 5.高线关系：过顶点A作AH⊥MN于H,则高线长AH=AB=AD(正方形边 长)； 6.勾股关系（等腰直角含半角）：若点M、N在斜边BC上，则MN2=BM+NC。 —6— 0 459 B M 推导在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，∠B=∠D=90°，∠MAN=45° ,点M在BC上，点N在CD上。 第一步：旋转构造。将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABT。由旋转的 性质可知：△ABT≌△ADN。.AT=AN,BT=DN,∠BAT=∠DAN。: ∠ABC=90°，.∠ABT=∠D=90°。∴.∠TBM=∠ABT+∠ABC=90°+90°=180°， 即点T、B、M三点共线。线段TM=BT+BM=DN+BM。 第二步：二次全等证明。.∠MAN=45°，∠BAD=90°， ∠BAM+∠DAN=∠BAD-∠MAN=90°-45=45。又.∠BAT=∠DAN,. ∠TAM=∠BAT+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°。∴.∠TAM=∠MAN=45。在 △AMT与△AMN中，：AT=AN,∠TAM=∠MAN,AM=AM(公共边)， 由全等三角形判定定理(SAS),得△AMT≌△AMN。∴.MN=TM=BM+DN。 第三步：高线长结论。作AH⊥MN于H。由△AMT≌△AMN且 △ABT兰△ADN,可知点A到MN的距离等于点A到TM的距离，即AH=AB 适用边界与易错辨析 (1)半角模型的旋转中心必须是半角的顶点，不可围绕其他顶点旋转。 (2)旋转方向应将分散的两个小角拼在一起构成半角自身（∠BAT+∠BAM=45),从而 为第二次全等创造条件。 (3)注意线段共线论证：旋转后必须先根据邻补角证明T、B、M三点共线，才能写出 TM=BT+BM。 (④)反向旋转变式（反套路）：若半角旋转到正方形外部，线段关系不再是和( MN=BM+DN),而是差（如DF=BE+EF或EF=AE-CF),必须根据旋转后的落 点重新推导，不可生搬硬套公式。 配套练习 一、选择题 1.正方形ABCD的边长为4，点M、N分别在边BC、CD上，且∠MAN=45 ,则△CMN的周长为() A N B 公 A.6 B.8 C.10 D.无法确定 2.等腰直角△ABC中∠BAC=90,AB=AC,点M、N在斜边BC上， ∠MAN=45°。若BM=3,NC=4,则MN的长为() B A C A.5 B.6 C.7 D.7 二、填空题 3.正方形ABCD的边长为6，点M、N分别在BC、CD上，∠MAN=45。若 BM=2,则DN= 一8一 A D 459 N 小 M C 4.正方形ABCD的边长为a,点M、N分别在边BC、CD上，且∠MAN=45° ,则△CMN的周长为 (用a表示)。 y D 45 N a B M 三、解答题 题1如图，在正方形ABCD中，点M在边BC上，点N在边CD上， ∠MAN=45。连接MN。求证：MN=BM+DN。 —9 A 0 ◇ 45° N B M C 题2如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点M、N均在斜边 BC上，且∠MAN=45。求证：MN2=BM+NC2。 ⊙ M N 45° A —10— 题3如图，四边形ABCD是正方形，∠EAF=45°。将∠EAF绕点A旋转至正方 形外部，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上。请探究线段BE、EF 、DF之间的数量关系，并给出证明。 A D 469 C E -11— 题4如图，某广场拐角处为边长为10米的正方形花坛ABCD。管理处在拐角顶点 A处安装了一盏旋转探照灯，探照灯的照射光束张角恒为45°（即∠MAN=45), 光束两边分别扫过花坛边沿BC、CD于点M、N。现要在光束照射区域与花坛边沿 围成的△CMN外周安装警示隔离带。求△CMN的周长是否随探照灯旋转而改变？ 若不变，求其周长。 D 45° N M —12— 模型三“对角互补”旋转模型：四边形对角互补与邻边相等 结论与模型在四边形中，若存在一对对角互补（即∠B+∠D=180)，且夹该互补 角的一组邻边相等（即AB=AD)。通过将△ABC绕公共顶点A旋转使其与 △ADE重合（旋转角等于∠BAD),由于对角互补，旋转后边CB的对应边ED 与边CD必在同一条直线上，从而将不规则四边形转化为规则三角形求解。 核心结论： 1.面积守恒转化：四边形ABCD的面积等于旋转后大等腰三角形△ACE的面积： 1 ?共斜边直角对角互补装型（人B=D-90,AB-AD,:四边形面积恒为2AC:若 过点A作双垂线，两截线段之和恒满足BC+CD=V2AC: 3.120°与60°对角互补模型（∠AOB=120°，OC平分∠AOB,∠DCE=60°）：必有 CD=CE,且OD+OE=OC,SACOD+SACOE=OC。 B 推导在四边形ABCD中，已知AB=AD,∠B+∠ADC=l80°。 第一步：旋转变换。将△ABC绕顶点A顺时针旋转，使边AB与边AD重合， 点C旋转至点E。由旋转的性质可知：△ADE≌△ABC。∴.AE=AC,DE=BC, ∠ADE=∠B,S△ADE=S△ABC。 第二步：证明三点共线。.∠B+∠ADC=180°，且∠ADE=∠B, .∴.∠ADE+∠ADC=∠B+∠ADC=180°。即∠CDE=180°， .点C、D、E三点在同一条直线上。 第三步：面积与线段转化。线段CE=CD+DE=CD+BC。四边形ABCD的面积 为：SABCD=S△ACD+S△ABC=SAACD+S△ADE=S△ACE。在特殊情形下（∠B=∠D=90°且 -13 ∠BAD=90°时)：旋转角为90°，△ACE为等腰直角三角形，∠CAE=90°， AE=AC。.SABCD=SAACE=·AC·AE=AC。在Rt△CDE中，CE=V2AC,故 BC CD =2AC. 适用边界与易错辨析 ()该模型成立的关键前提是「对角互补」保证了旋转后两边能拼成平角（三点共线）， 若对角不互补，则拼接后出现凹折，无法直接使用大三角形面积公式。 (2)旋转中心必须是两等长邻边的公共顶点A。 (3)旋转方向要看准：应将一条等边旋至与另一等边重合，不可旋反。 (4)若题目给出的是两条角平分线或正方形重叠转动，本质上都是对角互补模型的变式， 要善于透过表象识别核心特征。 配套练习 一、选择题 1.四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD,对角线AC=6,则四边形 ABCD的面积为() D A.18 B.36 C.9 D.12V2 2.正方形ABCD的中心O与正方形OEFG的顶点重合，两正方形边长均为2， 将OEFG绕O旋转任意角度，两正方形重叠部分的面积为() -14- F G 0 B A.随旋转变化 B.1 C.2 D.4 二、填空题 3.∠AOB=120°，OC平分∠AOB,点D、E分别在OA、OB上，∠DCE=60°。 若OC=8,则OD+OE= Q 609 E 120 O D 4.四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，∠BAD=90°，AC=4,则四边 形ABCD的面积为一。 -15— B A C -- D 三、解答题 题1如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD,对角线AC的长为2 。求四边形ABCD的面积。 题2如图，正方形ABCD的中心与正方形EFGH的顶点E重合，边长均为定值 a。正方形EFGH的两边分别与边AB、BC相交于点N、M。将正方形EFGH绕 点E逆时针旋转任意角度，记阴影部分四边形ENBM的面积为S,线段MB与 BN的长度之和为1。探究S与1是否随旋转而改变，并说明理由。 —16— A D ◇ B M 题3如图，已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB,点D在射线OA上，点E在 射线OB上，∠DCE=60°。求证：CD=CE,且OD+OE=OC。 A D 60°> E B 题4如图，某科技园区规划了一块四边形绿地ABCD。经测绘得知：∠B=105°， ∠D=75°，两邻边AB=AD=20米，连接对角线AC=40米。规划部门拟将四边形通过 -17— 拆拼改造成平整的三角形草坪。请说明该四边形绿地能否通过旋转拼成一个规则三角 形，并求出该绿地的实际占地面积。 模型四“鸡爪”旋转模型：一点三线的旋转全等构造 结论与模型在等边三角形（或等腰直角三角形、正方形、正六边形）内部或外部有 一点P,引出到三个顶点的三条线段PA、PB、PC(形似“鸡爪”三趾)。通过绕多 边形的顶点旋转对应特征角（等边三角形旋转60°，等腰直角或正方形旋转90°，正六 边形旋转120)，构造手拉手全等三角形，将三条分散线段集中到一个三角形中，结 合勾股定理逆定理或特殊角求出线段长度、夹角及图形面积。 核心结论（以等边△ABC内一点O,OA=a,OB=b,OC=c为例）： 1.旋转变换：将△OBC绕点B逆时针旋转60°得到△DBA: 2.构造等边三角形：连接OD,由BO=BD=b且∠OBD=60°，可知△BOD是等边 三角形，从而OD=b: 3.集中三线段：在△AOD中，三边分别为OA=a,OD=b,AD=c; 4.直角与特殊角：若满足a2+b2=c2,则△AOD是直角三角形，∠AOD=90°。进而可 求出张角∠AOB=∠AOD+∠D0B=90°+60°=150°： -18— 5.正方形内一点：旋转90°，构造等腰直角三角形，斜边为V2b,三边满足勾股关系可 得135°角。 A D B 推导在等边△ABC中，AB=BC,∠ABC=60°。点O是其内部一点，OA=a, OB=b,OC=c,且a2+b2=c2。 第一步：旋转构造。将△OBC绕点B逆时针旋转60°得到△DBA。 由旋转的性 质可知：△DBA≌△OBC。∴.BD=BO=b,DA=OC=C,OBD=60°， ∠DBA=∠OBC. 第二步：等边三角形推导。连接OD。在△BOD中，，BD=BO=b,且夹角 ∠OBD=60°，∴.△BOD是等边三角形。∴.OD=BD=b,且∠DOB=60°。 第三步：勾股逆定理判定直角。在△AOD中，三边长分别为：OA=a,OD=b, AD=c。已知a2+b2=c2,即OA2+0D=AD2。由勾股定理逆定理，可知△AOD 是直角三角形，且∠AOD=90°。 第四步：求张角∠AOB。∠AOB=∠AOD+∠D0B=90°+60°=150°。过点B作 AO延长线的垂线，垂足为E。在Rt△B0E中，∠B0E=180°-150°=30°，斜边 OB=b,由30°角性质和勾股定理可求出BE与OE,进而由勾股定理求得等边三角 形边长AB。 适用边界与易错辨析 (1)“鸡爪”模型的核心特征是「一点引出三条线段」+「正多边形/特殊三角形」。 (2)旋转角必须严格对应图形的内角：等边三角形旋转60°，正方形/等腰直角旋转90， 切勿旋转错误角度。 (3)旋转后得到的过渡三角形必须交代性质（等边或等腰直角），从而将第三边代换为已 知线段。 -19 (④)求角时要将平角、周角或直角逐步相加，不能跳过中间过渡角的推导。 配套练习 一、选择题 1.点0是等边△ABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5,则∠AOB的度数为( A.120 B.135 C.150° D.90° B C 2.点P是正方形ABCD内一点，PA=22,PB=1,PC=10,则∠APB的度 数为() A D P B C A.120 B.135 C.150° D.90 二、填空题 3.点0是等边△ABC内一点，OA=1,OB=3,OC=2,则∠A0B= -20— A 4.点P是正方形ABCD内一点，PA=1,PB=2,PC=3,则PD= A D B C 三、解答题 题1如图，点0是等边△ABC内一点，∠B0C=150°，OB=4,OC=3。将 △BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC,连接OD。 (1)求证：△COD是等边三角形；(2)求线段OA的长。 B C -21- 题2如图，点O是等边△ABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5。将线段B0绕 点B逆时针旋转60°得到线段B0',连接OO'、AO'。(1)求线段OO'的长： (2)求∠AOB的度数：(3)求△AOB的面积。 y C 题3如图，已知点P是正方形ABCD内一点，PA=2V2,PB=1,PC=V10。求 ∠APB的度数。 —22— A D Q 题4如图，某市民休闲广场规划为正六边形ABCDEF。广场内部设立了一座观景灯 塔P。经测绘，灯塔P到顶点A、B、C的直线距离分别为PA=2米，PB=1米， PC=V13米。求游客在灯塔处跳望两相邻地标顶点A与B的视线夹角∠APB的度 数。 C B A —23— 模型五“费马点”旋转模型：距离和最小值的几何极值问题 结论与模型在△ABC内寻找一点P,使得点P到三个顶点A、B、C的线段长 度之和PA+PB+PC达到最小值，这个极值点称为三角形的费马点。 核心结论： 1.最大内角小于120°时：费马点P落在三角形内部，且对三边的张角均为120°， 即：∠APB=∠BPC=∠APC=120°；构造作法：以△ABC的三边向外各作一个等 边三角形，连结相对的顶点（如A与对边等边三角形顶点D)，三条连线相交于一 点，该交点即为费马点P;且最小距离和恒等于连线长：PA+PB+PC=AD=BE=CF 2.最大内角大于等于120°时：费马点P退化为最大内角的顶点自身，此时距离和最 小值为两较短边之和：(PA+PB+PCmn=AB+AC。 E A D 推导以最大内角小于120°的情形为例：设点P是△ABC内部任意一点。将 △BCP绕点C逆时针旋转60°得到△FCE。连接PE、BF。 由旋转的性质可知：△CPB≌△CEF。∴.PB=EF,CP=CE,CB=CF,∠PCE=6O ,∠BCF=60°。在△PCE中，.CP=CE且∠PCE=60°，∴.△PCE是等边三角 形。∴.PC=PE。将距离和中的线段进行代换：PA+PB+PC=PA+PE+EF。观察 折线A-P-E-F:从起点A经点P、点E到达终点F。根据公理“两点之间线段 最短”，折线段之和必大于等于两端点的直线距离：PA+PE+EF≥AF。当且仅当点 A、P、E、F四点在同一条直线上时，等号成立。此时距离和取得最小值，最小值为 线段AF的长。当四点共线时，各角关系为：，△PCE是等边三角形，“ ∠CEP=60°；，'△CEF≌△CPB,∴.∠CEF=∠CPB。由于P、E、F共线，平角 -24— ∠CEF+∠CEP=180°，∴.∠BPC=∠CEF=180°-60°=120°。同理，.A、P、E共 线，平角∠APC+∠CPE=180°，得∠APC=180°-60'=120°。由周角为360°，得 ∠APB=360°-120°-120°=120°。∴.费马点处满足∠APB=∠BPC=∠APC=120°。 适用边界与易错辨析 (1)费马点的存在性分为两种情形：先检查三角形最大内角是否小于120°，若最大角 ≥120°，不可盲目构造120°张角，此时最值点落在最大角顶点。 (2)旋转构造等边三角形时，必须向外作，若向内作会导致点重叠或方向错误。 (③)求最小值长度时，不需要求出费马点P的具体坐标，只需利用构造出的外侧等边三角 形顶点，直接求连线段AF的长（通常结合勾股定理计算）。 (④)在正方形或特殊四边形中求一点到三顶点距离和最小，本质也是以某两点作等边三角 形转化为费马点线段求值。 配套练习 一、选择题 1.若△ABC的最大内角为130°，点P为平面内一点，当PA+PB+PC取得最小 值时，点P位于() 130° A B A.三角形内部B.最大内角的顶点处C.某一边的中点D.无法确定 2.等边△ABC的边长为2，点P为三角形内一点，则PA+PB+PC的最小值为 () —25— C P A B A.2 B.3 C.23 D.3 二、填空题 3. 正方形ABCD的边长为2，点P为正方形内一点，则PA+PB+PC的最小值 为 。 A P B 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=33,点P为三角形内一点，则 PA+PB+PC的最小值为 _9 —26— D B 三、解答题 题1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9,BC=9V3,点P为△ABC内 部一点。求PA+PB+PC的最小值。 A B 题2如图，在锐角△ABC中，AC=7,∠ACB=75°，点P为△ABC内任意一 点。已知当PA+PB+PC取得最小值时，该最小值为17。求边BC的长。 A B -27— 题3如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,∠BAC=120°，点P为三角形所在平面 内一点。某同学根据“费马点张角120°”的结论，在形内构造点P使得 ∠APB=∠BPC=∠APC=120°，并由此计算距离和。请判断该同学的作法是否正确， 并求出PA+PB+PC的实际最小值。 C 1209 B A 题4如图，某市政公园有一块边长为1米的正方形花带ABCD。现要在花带内部设 置一个地下灌溉喷头P,从点P分别向三个顶点A、B、C铺设直埋水管PA、PB 、PC。为了节约管材，要求水管总长度PA+PB+PC达到最小。求水管总长度的最小 值。 —28— A D B —29