第二十八章 旋转 单元测试卷-2026‑2027学年人教版九年级数学上册

九年级上数学第二十八章《旋转》单元测试卷 测试时间：120分 试卷满分：120分 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．列说法中正确的是（    ） A．如果把一个图形绕着一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称; B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应顶点之间距离相等; C．如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它不是中心对称图形； D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形。 3．如图，将三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，，交于点，则下面结论错误的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 6．如图，在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，线段EF经过点O，AH⊥BC于点H．若AH=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为(    ） A．1.5 B．2 C．3 D．4.5 7．如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 8．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 9．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是．现将绕点逆时针旋转，则旋转后点的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为 （     ） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．已知，点和点关于原点对称，则的值为 ． 12．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 13．如图，在，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则旋转角的度数为 ． 14．如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为 ． 15．如图，点是边长为6的等边三角形边上一点，连接并绕点顺时针旋转60度得线段，连接，当是等腰三角形时，的长为 ． 16．如图所示，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是 ． 3、 解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ． （1）如图﹣1，求证：△BCP≌△DCQ； （2）如图﹣2，延长BP交直线DQ于点E，求证：BE⊥DQ． 18．（8分）图1、图2、图3都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了黑色，请你再涂黑两个小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件． （1）图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形； （2）图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形； （3）图3中，整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 19．（8分）如图所示，，，，绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)连接，求的长． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别为，，．点的坐标为． (1)画出将先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的； (2)画出将绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)写出与点关于原点中心对称的点的坐标． 21．（8分）把直角三角形与直角三角形如图1放置，直角顶点O与重合在一起，点D在OB上，，．现将固定，绕点O顺时针旋转，旋转角为，与交于点E． (1)如图2，在旋转过程中，若时，则________；若时，则________． (2)如图2，在旋转过程中，当有两个角相等时，________． (3)如图3，在旋转过程中，猜想与的和是否是一个定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 22．（10分）在中，，，点为内一点，连接、．    (1)把逆时针旋转得到了如图1，旋转中心是点______，旋转角是______． (2)在（1）的条件下，延长交于，求证：． (3)在图1中，若，把绕点逆时针旋转得到，如图2，若旋转一周，当旋转角是多少度时，，直接写出结果． 23．（10分）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的面积． 24．（12分）根据要求完成下列小题； 【问题初探】 (1)在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点、、不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________：（写出一对即可）上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”． 【类比分析】 (2)如图2，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由； ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题： ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图3，中，当时，点、为、上的点，，，若，，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上数学第二十八章《旋转》单元测试卷 测试时间：120分 试卷满分：120分 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．结合各选项所给图形进行判断即可解答． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； B．是中心对称图形，故本选项正确，符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意． 2．列说法中正确的是（    ） A．如果把一个图形绕着一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称; B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应顶点之间距离相等; C．如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它不是中心对称图形； D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形。 【答案】C 【分析】根据中心对称图形定义及性质依次判断即可. 【详解】A：只有旋转180°后重合才是中心对称，故此选项错误； B：对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，故错误； C：如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它不是中心对称图形，正确； D：如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它不一定是中心对称图形，故错误； 故选:C. 【点睛】此题考查中心对称图形，掌握中心对称图形的定义及性质即可正确判断. 3．如图，将三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，，交于点，则下面结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，旋转角，再根据全等三角形的性质可得，，由此即可得． 【详解】解：∵将三角形绕点沿顺时针方向旋转后得到三角形， ∴，，故选项A正确，不符合题意； ∴，，故选项C和D均正确，均不符合题意； 由已知条件无法得出，故选项B错误，该选项符合题意． 4．如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，画出平面直角坐标系，作出新的，的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，， 故选：D． 5．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，旋转角，先利用等腰三角形两底角相等求出的度数，再结合等量代换得到的度数，最后根据平角为计算出的大小． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ． 6．如图，在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，线段EF经过点O，AH⊥BC于点H．若AH=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为(    ） A．1.5 B．2 C．3 D．4.5 【答案】A 【分析】证明△AEO≌△CFO即可得阴影部分面积等于△BCO的面积，即为平行四边形ABCD面积的． 【详解】解：在平行四边形ABCD中有：ADBC，AO=CO， ∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴阴影部分的面积与△BCO的面积相等， ∴==1.5； 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分的性质是解题关键． 7．如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质和勾股定理求得，再根据中心对称的性质，即可得． 【详解】解：∵等边中，为的中点， ∴，，， ， ∵， ∴， 解得（负值已经舍去）， ∵与关于点成中心对称， ∴． 8．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得到 对称性得到，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点，， ∴， ∵与关于点成中心对称， ∴，，三点共线， ∴， 在中，． 9．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是．现将绕点逆时针旋转，则旋转后点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在网格中绘制出旋转后的图形，得到点C旋转后对应点的坐标即可． 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到， ∴旋转后点的坐标是， 故选B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，正确画出旋转后的图形是解题的关键，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转． 10．如图，在中，，，顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、确定点的坐标，再求出正方形顶点的坐标；旋转周期为，用除以的余数确定等效旋转角，进而求旋转后点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于， ，顶点的坐标为， ， 在中，，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∵每次绕点逆时针旋转，而， ∴旋转次图形回到原位置，即每旋转次为一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时，相当于把原图形绕点逆时针旋转， 如图所示， ， 则，， 作轴于，则， ，， ， ， ，， ， ∴点绕点逆时针旋转后的对应点为， 故选：B． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．已知，点和点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，熟练掌握“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是”是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标的特点求出、的值，即可求解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， 则． 故答案为：． 12．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 【答案】2． 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 13．如图，在，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则旋转角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质．先利用平行线的性质得到，则可计算出，再根据旋转的性质得等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可计算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置， ∴等于旋转角， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接AC，BD，过点O作于点，交于点，利用勾股定理求得的长即可解题． 【详解】解：如图，连接AC，BD，过点O作于点，交于点， 四边形ABCD是矩形， 同理可得 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键． 15．如图，点是边长为6的等边三角形边上一点，连接并绕点顺时针旋转60度得线段，连接，当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质，连接，由旋转的性质可得：，，从而得出是等边三角形，证明，得出，，从而得出，当是等腰三角形时，只存在，得出，从而得出，结合等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， 由旋转的性质可得：，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，即， ， ， ， 当是等腰三角形时，只存在， 为的中点， ， 故答案为：． 16．如图所示，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先确定，得到，根据旋转性质，得到，轴，计算即可． 【详解】∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴，， ∴， 根据旋转性质，得到，， ∴轴， 作轴，垂足为C， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，旋转的性质，矩形的判定和性质，点的坐标，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标，旋转的性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 3、 解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ． （1）如图﹣1，求证：△BCP≌△DCQ； （2）如图﹣2，延长BP交直线DQ于点E，求证：BE⊥DQ． 【分析】（1）根据旋转的性质证明∠BCP＝∠DCQ，得到△BCP≌△DCQ； （2）根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°， ∴∠BCP＝∠DCQ， 在△BCP和△DCQ中， ， ∴△BCP≌△DCQ（SAS）； （2）如图b，∵△BCP≌△DCQ， ∴∠CBF＝∠EDF， 又∵∠BFC＝∠DFE， ∴∠DEF＝∠BCF＝90°， ∴BE⊥DQ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质证明三角形全等是解题的关键． 18．（8分）图1、图2、图3都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了黑色，请你再涂黑两个小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件． （1）图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形； （2）图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形； （3）图3中，整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：答案不唯一． （1） （2） （3） 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 19．（8分）如图所示，，，，绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）连接， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别为，，．点的坐标为． (1)画出将先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的； (2)画出将绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)写出与点关于原点中心对称的点的坐标． 【答案】 (1) (2) ， (3) 【分析】（1）按“左减右加，上加下减”求出三个顶点平移后的坐标，描点连线画出图形； （2）求出各点相对旋转中心的坐标，描点连线，得到的坐标； （3）关于原点对称的两点，横、纵坐标都为相反数，直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：已知，，， 先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解：已知，，， 绕点逆时针旋转得到， 则点的坐标为，点的坐标为． （3）解：已知点的坐标为， 则与点关于原点中心对称的点的坐标为． 21．（8分）把直角三角形与直角三角形如图1放置，直角顶点O与重合在一起，点D在OB上，，．现将固定，绕点O顺时针旋转，旋转角为，与交于点E． (1)如图2，在旋转过程中，若时，则________；若时，则________． (2)如图2，在旋转过程中，当有两个角相等时，________． (3)如图3，在旋转过程中，猜想与的和是否是一个定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)是， 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形锐角互余求解即可； （2）分三种情况讨论，注意旋转角是，求出即可； （3）利用角的和差求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 当时，， ； 当时，， ∴ ∴． ，， ， ∴ ； （2）解：当时，， 当时，； 当时，，不符合题意； ∴综上：当有两个角相等时，或 （3）解：，理由如下： ． 22．（10分）在中，，，点为内一点，连接、．    (1)把逆时针旋转得到了如图1，旋转中心是点______，旋转角是______． (2)在（1）的条件下，延长交于，求证：． (3)在图1中，若，把绕点逆时针旋转得到，如图2，若旋转一周，当旋转角是多少度时，，直接写出结果． 【答案】(1)C， (2)证明见解析 (3)30°或210° 【分析】（1）根据图形旋转的概念回答即可； （2）由旋转的性质可得，对顶角，再根据三角形内角和定理推出，结论即可得证； （3）结合图形，由平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：在图1中，点是三角形的旋转中心，旋转角为； 故答案为：C， （2）证明： 由逆时针旋转得到了可知， 在中，， 在中，， 而 ， 即 （3）解：如图，依题意得， 当点在内部时， ， ， 当点在外部时， ， ， 绕点旋转， 综上所述，当旋转角是或时，． 故答案为：或    【点睛】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，正确理解相关的概念及性质是解决本题的关键． 23．（10分）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)BE⊥AB，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得到，，因此，得到，即可证明平分； （2）由余角的性质推出，由等腰三角形的性质得到，由直角三角形的性质，即可证明； （3）作于，由三角形内角和定理，得到，得到，是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， 平分； （2） 解：，理由如下： ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：作于， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，求三角形面积等知识，关键是掌握旋转的性质． 24．（12分）根据要求完成下列小题； 【问题初探】 (1)在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点、、不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________：（写出一对即可）上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”． 【类比分析】 (2)如图2，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由； ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题： ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图3，中，当时，点、为、上的点，，，若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)， 理由：如图2，过点作平分交于， 四边形中，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 即， 由旋转得：，， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用得； （2）过点作平分交于，根据已知条件计算可得，从而证明，进而证明四边形是平行四边形，得，结合角平分线计算出，证明是等边三角形，得、，进而得，，由旋转得、，进而得，根据证明，得； （3）以、为边作平行四边形，连接，证明是等边三角形，将绕点逆时针旋转得，连接，得是等边三角形、，进而得，则，设，得关于的方程，求解即可得的长． 【详解】（1）解： 和是等边三角形， ， ，即， ， （2）解：略； （3）如图3，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，， 设，则， ， ， 又， 是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， 即， ， 即的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $