第二十八章旋转章末复习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十八章 旋转 学科网（北京）股份有限公司 中考热点 ① 半角模型 1.如图,点M,N分别在正方形 ABCD 的边 BC,CD 上,且∠MAN=45°,把△ADN绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABE. (1)求证:△AEM≌△ANM; (2)若 BM=3,DN=2,求正方形ABCD 的边长. 中考热点 ② 共顶点旋转模型 2.阅读下面材料，并解答问题. (1)如图1,等边△ABC 内有一点 P,若点 P 到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求∠APB 的度数.为了解答本题，我们可以将△ABP 绕顶点 A 旋转到△ACP'处,此时△ACP'≌△ABP,这样就可以利用旋转变换，将三条线段 PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= . 【基本运用】 (2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题： 如图2,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E,F为BC上的点,且∠EAF=45°.求证: 【能力提升】 (3)如图 3,在 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,AC=1,∠ABC=30°,O 为 Rt△ABC 内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC 的值. 数学·九全(上)·RJ 23 培优滚动练L 学科网（北京）股份有限公司 3.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,将 绕点A顺时针旋转一个角度α得到△ADE，点 B，C 的对应点分别是D，E. (1)如图1,若点 E恰好与点 B 重合,DF⊥AB,垂足为F，求 的大小； (2)如图2,若 连接 EC 交 AB 于点 G.求证：四边形ADEG是平行四边形. 中考热点 3 旋转与等边三角形综合 4.如图，P是等边△ABC外的一点. (1)画出将△PAC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到的△EAB; (2)若PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB 的度数. 5.如图，在等边三角形ABC 的内部有一点 D，连接BD,CD.以点 B 为中心,把 BD逆时针旋转60°得到BD',连接AD',DD'.以点 C为中心,把CD顺时针旋转60°得到 CD",连接AD'',DD''. (1)判断∠D'BA 和∠DBC 的数量关系,并说明理由； (2)求证:D'A=DC; (3)求证：四边形AD'DD"是平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 中考热点 ④ 旋转与等腰直角三角形综合 6.在△ABC 中,∠A=45°,∠CBA=α,点 D 在边 AB 上,将线段 CD 逆时针旋转β得到 CE,连接DE. (1)如图1,当α=45°,β=90°时,求证: (2)如图2,当α=30°,β=120°时,若CE=BE,求 的值. 中考热点 ⑤ 网格作旋转图形 7.请按以下要求仅用无刻度的直尺画图： (1)如图1,线段AB 和线段A'B'关于点 M 成中心对称，画出点M； (2)如图 2,将△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°得△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁; (3)如图3,设∠BAC=α,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转α得△A'B'C,画出△A'B'C. 中考热点 ⑥ 组合三角板中的旋转 8.将一副三角板如图1放置，点B，A，E在同一条直线上,点D 在AC上,CA⊥BE,垂足为A,∠BCA=30°,∠AED=45°. (1)如图1,∠ADE 的度数为 ,∠ABC 的度数为 . (2)若将三角板 ADE 绕点 A 逆时针旋转角 ①如图2,当旋转角α等于45°时,试问DE∥BA吗?请说明理由. ②如图3，当AD⊥BC于点 F时，请求出旋转角α的度数. 学科网（北京）股份有限公司 中考热点⑦ 旋转与正方形、菱形综合 9.如图1,菱形AEFG的两边AE,AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上,且∠BAD=60°,连接CF. (1)求证: (2)如图2，将菱形AEFG绕点 A 进行顺时针旋转，在旋转过程中(1)中的结论是否发生变化?请说明理由. 10.如图1，把正方形CGEF 的对角线CE放在正方形ABCD的边 BC 的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点 M. (1)探究线段MD，MF的位置及数量关系，直接写出答案即可； (2)将正方形CGEF 绕点 C 逆时针旋转45°(如图2),令CG=2BC,其他条件不变,判断(1)中的结论是否发生变化，并加以证明； (3)将正方形CGEF 绕点 C旋转任意角度后(如图3)，其他条件不变，探究线段MD，MF 的位置及数量关系，并加以证明. 学科网（北京）股份有限公司 中考热点 ⑧ 旋转中的分类讨论问题 11.一副三角尺按如图所示的位置摆放(顶点 C 与 F重合,边 CA 与边 FE 叠合,顶点 B,C,D 在一条直线上).将三角尺ABC 绕着点 C按逆时针方向旋转n°后(0<n<360),如果 EF∥AB,那么 n的值是 . 12.如图，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点,把△AOB绕点A 旋转90°后得到△AO'B',则点 B'的坐标是 . 中考热点9 旋转中的多结论问题 13.【旋转与正方形】如图，正方形ABCD 的边长为1，AC,BD 是对角线,将△DCB 绕点 D 顺时针旋转45°得到△DGH,HG 交AB 于点 E,连接DE 交 AC于点 F，连接FG，则下列结论： ①DE平分∠ADB; ③四边形 AEGF 是菱形; ④BC+FG=1.5. 其中结论正确的序号是 . 中考热点⑩ 旋转与周期规律 14.如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形OABC,D为OA上一点,其坐标为(1,3),将正方形 OABC 绕坐标原点 O 顺时针旋转，每秒旋转90°,则旋转2 026秒后点 D 的对应点 D'的坐标为( ) A.(1,3) B.(3,1) C.(-1,-3) D.(3,-1) 中考热点① 旋转与最值 15.【利用三角形三边关系求最值】如图，已知正方形ABCD与正方形 AEFG的边长分别为4 cm,1 cm.若将正方形AEFG绕点 A 旋转，则在旋转过程中，点 C，F之间的最小距离为( ) A.3cm B.2 cm D.3 cm 16.【利用“垂线段最短”求最值】如图，在矩形 ABCD中,AB=5, 点P 在线段BC上运动(含B，C两点)，连接AP，以点A为中心，将线段AP 逆时针旋转 60°到 AQ,连接 DQ,则线段 DQ 的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 17.课题学习 问题背景：甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题：如图1，E是边长为a 的正方形ABCD中边 CD上任意一点，以点A 为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 任务要求： (1)请你在图1中画出旋转后的图形. (2)甲、乙、丙三名同学又继续探索:如图2,在正方形ABCD 中,∠EAF=45°,F为BC上一点,E为 DC上一点,∠EAF 的两边AE,AF 分别与直线BD 相交于点 M,N,连接EF. 甲发现：线段 BF，EF，DE 之间存在着关系式：EF=BF+DE; 乙发现：△CEF的周长是一个恒定不变的值； 丙发现：线段BN，MN，DM之间存在着关系式： 现请你也参与三位同学的研究工作中来，你认为三名同学中谁的发现是正确的?请说明你的理由. 第二十八章 旋转 1.(1)证明:∵△ADN绕点 A 顺时针旋转90°得到△ABE, ∴ △ADN≌△ABE. ∴ ∠DAN=∠BAE,AN=AE. . ∠DAB=90°,∠MAN=45°, ∴ ∠MAE=∠BAE+∠BAM =∠DAN+∠BAM=45°. ∴∠MAE=∠MAN. 在△AEM 和△ANM中, ∴△AEM≌△ANM(SAS). (2)解:设CD=BC=x, 则CM=x-3,CN=x-2. ∵△ABE≌△ADN,∴BE=DN=2. ∵△AEM≌△ANM,∴EM=NM. 又∵EM=BE+BM,BM=3, ∴MN=5. ∵∠C=90°, 即 解得x=6或x=-1(不合题意,舍去). ∴正方形ABCD的边长为6. 2.解:(1)150° (2)如图2,把△ABE 绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',连接E'F. 由旋转的性质，得AE'=AE,,CE'=BE,∠ACE'=∠B,∠EAE'=90°. ∵∠EAF=45°, ∴∠E'AF =∠EAE'-∠EAF =90°-45°=45°. ∴∠EAF=∠E'AF. 在△EAF和△E'AF中, lenovo ∴△EAF≌△E'AF(SAS). ∴EF=E'F. ∵∠CAB=90°,AB=AC, ∴∠B=∠ACB=45°. ∵∠E'CF=45°+45°=90°. 由勾股定理，得 即 (3)如图3,将△AOB 绕点 B顺时针旋转60°至△A'O'B处,连接OO'. 在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°, ∴AB=2.∴ 由旋转可知 ∠A'BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°, A'B=AB=2,BO'=BO,A'O'=AO, ∠O'BO=60°, ∴△BOO'是等边三角形. ∴BO=OO',∠BOO'=∠BO'O=60°. ∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°, ∴ ∠COB+∠BOO'=∠BO'A'+∠BO'O =120°+60°=180°. ∴C,O,O',A'四点共线. 在 Rt△A'BC中, 3.(1)解:∵AB=AC,∠BAC=36°, ∴∠ABC=∠ACB=72°. ∴∠ADB=∠ABD=72°. ∵DF⊥AB,∴∠DFB=90°. ∴∠BDF=18°. (2)证明:∵α=∠CAE=108°,AE=AC, ∴∠ACE=∠AEC=36°. ∵∠DAE=∠AEC=36°, ∴DA∥EG. ∵∠BAC=36°, ∴∠EAB=108°-36°=72°. ∵∠AED=∠ACB=72°, ∴∠AED=∠EAB. ∴DE∥AG. ∴四边形ADEG是平行四边形. 4.解:(1)如图所示,△EAB 即为所求. (2)如图,连接PE. ∵PA=AE,∠PAE=60°, ..△PAE 是等边三角形. ∴∠EPA=60°,PE=PA=3. 由旋转,得BE=PC=5. ∴∠BPE=90°. ∴∠APB=30°. 5.(1)解:∠D'BA=∠DBC.理由如下: ∵BD逆时针旋转60°得到 BD', ∴∠DBD'=60°. ∵∠ABD+∠D'BA=60°. ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=60°. ∴∠ABD+∠DBC=60°. ∴∠D'BA=∠DBC. (2)证明:由旋转的性质,得BD'=BD. ∵△ABC 是等边三角形, ∴BA=BC. 在△ABD'和△CBD 中, ..△ABD'≌△CBD(SAS). ∴ D'A=DC. (3)证明:∵ CD 顺时针旋转 60°得到CD", ∴∠DCD"=60°,CD=CD". ∴△DCD"为等边三角形. ∴ DD"=DC. 由(2)可知D'A=DC, ∴D'A=DD". ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB=60°,CA=CB. ∵∠D"CA+∠ACD=60°, ∠ACD+∠DCB=60°, ∴ ∠D"CA=∠DCB. 在△ACD"和△BCD中, ∴ △ACD"≌△BCD(SAS). ∴AD"=BD. ∵BD=BD',∠DBD'=60°, ∴△BDD'为等边三角形. ∴ DD'=BD.∴DD'=AD". 又∵D'A=DD", ∴四边形AD'DD"是平行四边形. 6.(1)证明:如图1,连接BE. 依题意,得∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中, 14.4002.100 ∴△ACD≌△BCE(SAS). ∴AD=BE,∠A=∠CBE. 又∵∠A=∠CBA=45°, ..∠DBE=90°. (2)解：如图2，在BD 的延长线上取点G,使∠G=30°,过点 C 作 CH⊥AB于点H. .∠CBA=∠G=30°, ∴CG=CB. 由(1)同理得△CGD≌△CBE, . ∠G=∠CBE=30°. ∴设CE=BE=CD=a,∠DCB=90°. ∴BD=2a. 7.解：如图所示. 8.解:(1)45°60° (2)①DE∥BA.理由如下: 当旋转角α等于45°时， ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD=∠BAC-α=45°. 又∵∠ADE=45°,∴∠BAD=∠ADE. ∴DE∥BA. ②当AD⊥BC于点 F时,∠AFC=90°. ∵∠C=30°, ∴α=180°-∠AFC-∠C =180°-90°-30°=60°. 9.(1)证明:如图1,延长EF 交 CD 于点H,过点H作HN⊥CF于点 N. ∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是菱形， ∴AE=AG=GF=EF,AD=AB=CD=BC, AG∥EF∥BC,AE∥GF∥CD, ∠BAD=60°=∠BCD. ∴四边形 BEHC 是平行四边形， 四边形 DHFG是平行四边形， ∠DHE=∠BCD=60°. ∴DG=FH,BC=EH,∠FHC=120°. ∴AB-AE=EH-EF. ∴BE=FH=CH. 又∵HN⊥CF,FH =∠C=DG, HF=2HN=DC,FN=3HN, 即 DG=CF. (2)解：结论仍然成立.理由如下： 如图2，把△ADG绕点 D 逆时针旋转120°得到△CDH,连接GH,过点 D 作DN⊥GH于点 N. ∴AG=CH,∠AGD=∠CHD. ·四边形AEFG是菱形， . AG=FG,∠AGF=120°.∴CH=GF. ∵∠GDH=120°,DG=DH,DN⊥HG, ∴∠DGH=∠DHG=30°,GN=NH. ∴DG=2DN,GN= DN,GH=2GN. ·∠CHG=∠CHD-∠DHG =∠CHD-30°, ∠HGF=360°-∠AGF-∠AGD-∠DGH =360°-120°-∠AGD-30° =210°-∠AGD, ..∠CHG+∠HGF=180°. .. CH∥FG. 又∵CH=FG, ∴四边形CHGF 是平行四边形. ∴CF=HG.∴ 10.解:(1)MD⊥MF,MD=MF. (2)结论不变.证明如下： 如图2,延长DM交 FE 于点 N. ∵四边形ABCD,CGEF 是正方形, ∴CF=EF=CG,AD=DC=BC, ∠CFE=90°,AD∥FE. ∴∠1=∠2. ∵M是AE的中点,∴MA=ME.在△AMD和△EMN中, ∴△AMD≌△EMN(ASA). ∴AD=EN,MD=MN. 又∵CG=2BC, ∴CF=2CD,EF=2EN. ∴FD=FN. 又∵∠DFN=90°, ∴MD⊥MF,MD=MF. (3)MD⊥MF,MD=MF.证明如下: 如图3，过点E作AD的平行线分别交DM,DC 的延长线于点 N,H,连接DF,FN. ∴∠ADC=∠H,∠3=∠4. 又∵AM=EM,∠1=∠2, ∴△AMD≌△EMN(ASA). ∴DM=NM,AD=EN. ∵四边形ABCD,CGEF 是正方形, ∴AD=DC,FC=FE, ∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°,CG∥EF. ∴DC=NE,∠H=90°,∠5=∠NEF. ∴∠DCF+∠6=∠5+∠6=90°. ∴∠DCF=∠5=∠NEF. 在△DCF和△NEF中, DC=NE, ∠DCF=∠NEF, ∴△DCF≌△NEF(SAS). ∴FD=FN,∠DFC=∠NFE. 又∵∠CFE=90°,∴∠DFN=90°. ∴MD⊥MF,MD=MF. 11.45或225 12.(-1,-2)或(5,2) 13.①②③ 14. C 15. D 17.解:(1)如图1所示. (2)甲、乙、丙三名同学的发现均是正确的.理由如下： 甲的发现： 如图2,延长CB到点 K,使BK=DE,连接AK, 则△AKB≌△AED. 又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD-∠EAF=45°, ..∠KAF=45°.∴∠KAF=∠EAF. 又∵AK=AE,AF=AF, ∴△AKF≌△AEF(SAS). ∴KF=EF. 又∵BK=DE,KF=BF+BK, ∴EF=BF+DE. 乙的发现： 由甲的发现可得EF=BF+DE, ∴△CEF 的周长为 CF+CE+EF=CF+CE+(BF+DE) =(CF+BF)+(CE+DE) =BC+DC=2a. ∴△CEF 的周长是一个恒定不变的值. 丙的发现： 如图2,在 AK上截取AG=AM,连接BG,GN. ∵AG=AM,AB=AD,∠GAB=∠MAD, ∴△ABG≌△ADM(SAS). ∴BG=DM,∠ABG=∠ADM=45°.又∵∠ABD=45°,∴∠GBN=90°.由甲的发现可得∠KAF=∠EAF,即∠GAN=∠MAN, 又∵AG=AM,AN=AN, ∴△GAN≌△MAN(SAS). ∴GN=MN. 在Rt△GBN中, 综上所述，甲、乙、丙三名同学的发现均是正确的. 学科网（北京）股份有限公司 $