28.2（1）相似三角形的判定 讲义 2026—2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

28.2（1）相似三角形的判定（解析版·教师用） 2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 第10讲 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 12 分钟 · 检测基础 本部分共 3 题，限时 12 分钟，检测课前基础。 第 1 题 已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案与解析】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 第 2 题 如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案与解析】 证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 第 3 题 如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案与解析】 证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 理解相似三角形的概念，掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理 ★★★★ 2 掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理 ★★★★ 3 了解“三边对应成比例的两个三角形相似”及直角三角形相似的判定 ★★★ 4 能根据题设条件选择合适的判定方法，完成相似三角形的证明与计算 ★★★★ 5 会用相似三角形的判定解决测量、面积等实际问题 ★★ ⭐ 学习重点 两个基本判定定理（两角对应相等；两边成比例且夹角相等）的条件、符号语言与规范书写。 🔥 学习难点 在复杂图形中寻找等角、等比例线段；隐含条件（公共角、对顶角、平行线）的挖掘与判定方法的灵活选择。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 一、相似三角形的概念 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。△ABC 与 △DEF 相似，记作 △ABC ∽ △DEF，对应边的比叫做相似比（相似比为 1 时两三角形全等）。 （答案：注意：书写相似式时，对应顶点的字母必须写在对应的位置上。 🔑 二、预备定理（平行线截三角形） 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 如图，若 DE∥BC，则 △ADE ∽ △ABC。这一结论是下面各判定定理的基础（俗称“A 型”与“X 型”基本图形）。 （答案：由 DE∥BC 可得 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）。 🔑 三、判定定理 1（两角对应相等） 判定定理 1：两角对应相等的两个三角形相似。 符号语言：在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC ∽ △A′B′C′。 （答案：理由：两角对应相等，由三角形内角和可知第三个角也相等，即“两角”条件已经足够。 🔑 四、判定定理 2（两边成比例且夹角相等） 判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 符号语言：在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，若 AB∶A′B′=AC∶A′C′，且 ∠A=∠A′，则 △ABC ∽ △A′B′C′。 （答案：注意：这个角必须是两组对应边的夹角，否则不能判定相似。 🔑 五、判定定理 3（三边成比例）与直角三角形 判定定理 3：三边对应成比例的两个三角形相似。 直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 （答案：直角三角形中，若有一对锐角相等，或两直角边对应成比例，也都可判定相似。 🔑 六、判定思路（口诀：找角、找边、找夹边） 已知一对等角 → 再找一组等角（AA），或找夹这个角的两边成比例（SAS）； 已知两边成比例 → 找它们的夹角相等，或再找第三边成比例； 有平行线 → 优先用预备定理（A 型、X 型）； 有公共角、对顶角、直角 → 直接作为“一组等角”使用。 常见基本图形：A 型（DE∥BC）、X 型（对顶角 + 平行）、母子型（公共角 + 另一等角，如斜边上的高）。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图概括了本讲的核心概念与方法，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型一 相似三角形判定条件的辨析 ✏ 题型模版 第1 步 审题：明确已给的角、边条件，判断是否成对出现； 第2 步 逐条检验：每个条件能否构成“两角”“两边成比例且夹角”“三边成比例”； 第3 步 注意陷阱：角必须是夹角，边长必须是对应边。 典例 1 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案与解析】 C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：，， ，故①符合题意； ， ，不能判定，故②不符合题意； ③，且夹角， ，故③符合题意； ④， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：C． 变式 1-1 如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案与解析】 (1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 📌 题型二 用“两角对应相等”判定相似 ✏ 题型模版 第1 步 找第一组等角：常用公共角、对顶角、直角、平行线截得的角； 第2 步 找第二组等角：用余角、同角的补角、等角的余角等关系转化； 第3 步 按“∵…∴ ∠…=∠…，又∵∠…=∠…，∴△…∽△…”书写。 典例 2 如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案与解析】 (1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 变式 2-1 如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案与解析】 (1)证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）由，两边同时加，推得；结合已知边的比例关系，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得； （2）由得对应角，结合对顶角，可证．根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 📌 题型三 用“两边成比例且夹角相等”判定相似 ✏ 题型模版 第1 步 先确定夹角：找出两组对应边所夹的那个角； 第2 步 再算比例：列出两组对应边的比并说明它们相等（注意对应关系）； 第3 步 最后按“∵…，∠…=∠…，∴△…∽△…”书写。 典例 3 如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案与解析】 (1)证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 变式 3-1 如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若求的长． 【答案与解析】 (1)证明：∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 📌 题型四 判定与性质的综合应用 ✏ 题型模版 第1 步 先判定：选择恰当的判定定理证明两三角形相似； 第2 步 再用性质：由相似得对应边成比例、对应角相等（相似三角形对应边的比相等）； 第3 步 多小问的题目，后面的结论常依赖前面的相似关系，注意承前启后。 典例 4 如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． (1)求证：． (2)若，，求正方形的面积． (3)直接写出的值． 【答案与解析】 (1)证明：∵四边形和四边形都是正方形， ，． ， ． ． ； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明出，再由公共角相等即可证明； （2）先利用勾股定理计算出，再利用求出，接着计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到正方形的面积； （3）证明，然后利用相似比求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积； （3）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 变式 4-1 完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案与解析】 (1) (2) 【分析】（1）利用三角形相似的判断推导即可； （2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，解得， ． 📌 题型五 相似判定的实际应用 ✏ 题型模版 第1 步 建模：把实物图形抽象为三角形（射线、标杆、影子等常构成相似三角形）； 第2 步 找条件：利用垂直、平行关系得到相等的角； 第3 步 算结果：列比例式求线段长，注意单位与近似值的要求。 典例 5 受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案与解析】 (1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 变式 5-1 如图，四边形是某学校的一块种植实践基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知，，，． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为60，求水果园的面积． 【答案与解析】 (1) 证明：∵，，， ∴，，   ∴，    ∵， ∴，     ∴； (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为：， 答：水果园的面积为． ✅ 六、出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 2 题，限时 15 分钟，巩固本讲核心方法。 第 1 题 如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案与解析】 (1)证明：，， ， ， ， ∵四边形内角和为， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再由证明，从而得到，则可证； （2）先求出再利用求出，求出两个三角形的相似比和的面积，利用相似三角形面积之比等于相似比求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）知， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ． 第 2 题 如图，在中，，点E在边上，平分． (1)尺规作图：在射线上求作点F，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若E是的中点，，，求的长． 【答案与解析】 (1) (2) 【分析】（1）过点E作的垂线交于点F即可； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】（1）解：作图略； 由作图可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 🏠 七、课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 3 题，建议课后 20 分钟内完成。 1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，AB=4，DE=6，则 △ABC 与 △DEF 的相似比是2∶3。 答案：2∶3 2. 在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB=1∶2，则 DE∶BC=1∶3。 答案：1∶3 3. 已知 △ABC ∽ △DEF，∠A=50°，∠B=70°，则 ∠F=60°。 答案：60° 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2（1）相似三角形的判定（原卷版·学生用） 2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 第10讲 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 12 分钟 · 检测基础 本部分共 3 题，限时 12 分钟，检测课前基础。 第 1 题 已知，如图，四边形中，，，．求证：． 第 2 题 如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 第 3 题 如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 理解相似三角形的概念，掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理 ★★★★ 2 掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理 ★★★★ 3 了解“三边对应成比例的两个三角形相似”及直角三角形相似的判定 ★★★ 4 能根据题设条件选择合适的判定方法，完成相似三角形的证明与计算 ★★★★ 5 会用相似三角形的判定解决测量、面积等实际问题 ★★ ⭐ 学习重点 两个基本判定定理（两角对应相等；两边成比例且夹角相等）的条件、符号语言与规范书写。 🔥 学习难点 在复杂图形中寻找等角、等比例线段；隐含条件（公共角、对顶角、平行线）的挖掘与判定方法的灵活选择。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 一、相似三角形的概念 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。△ABC 与 △DEF 相似，记作 △ABC ∽ △DEF，对应边的比叫做相似比（相似比为 1 时两三角形全等）。 🔑 二、预备定理（平行线截三角形） 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 如图，若 DE∥BC，则 △ADE ∽ △ABC。这一结论是下面各判定定理的基础（俗称“A 型”与“X 型”基本图形）。 🔑 三、判定定理 1（两角对应相等） 判定定理 1：两角对应相等的两个三角形相似。 符号语言：在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC ∽ △A′B′C′。 🔑 四、判定定理 2（两边成比例且夹角相等） 判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 符号语言：在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，若 AB∶A′B′=AC∶A′C′，且 ∠A=∠A′，则 △ABC ∽ △A′B′C′。 🔑 五、判定定理 3（三边成比例）与直角三角形 判定定理 3：三边对应成比例的两个三角形相似。 直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 🔑 六、判定思路（口诀：找角、找边、找夹边） 已知一对等角 → 再找一组等角（AA），或找夹这个角的两边成比例（SAS）； 已知两边成比例 → 找它们的夹角相等，或再找第三边成比例； 有平行线 → 优先用预备定理（A 型、X 型）； 有公共角、对顶角、直角 → 直接作为“一组等角”使用。 常见基本图形：A 型（DE∥BC）、X 型（对顶角 + 平行）、母子型（公共角 + 另一等角，如斜边上的高）。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图概括了本讲的核心概念与方法，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型一 相似三角形判定条件的辨析 ✏ 题型模版 第1 步 审题：明确已给的角、边条件，判断是否成对出现； 第2 步 逐条检验：每个条件能否构成“两角”“两边成比例且夹角”“三边成比例”； 第3 步 注意陷阱：角必须是夹角，边长必须是对应边。 典例 1 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式 1-1 如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 📌 题型二 用“两角对应相等”判定相似 ✏ 题型模版 第1 步 找第一组等角：常用公共角、对顶角、直角、平行线截得的角； 第2 步 找第二组等角：用余角、同角的补角、等角的余角等关系转化； 第3 步 按“∵…∴ ∠…=∠…，又∵∠…=∠…，∴△…∽△…”书写。 典例 2 如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 变式 2-1 如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 📌 题型三 用“两边成比例且夹角相等”判定相似 ✏ 题型模版 第1 步 先确定夹角：找出两组对应边所夹的那个角； 第2 步 再算比例：列出两组对应边的比并说明它们相等（注意对应关系）； 第3 步 最后按“∵…，∠…=∠…，∴△…∽△…”书写。 典例 3 如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 变式 3-1 如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若求的长． 📌 题型四 判定与性质的综合应用 ✏ 题型模版 第1 步 先判定：选择恰当的判定定理证明两三角形相似； 第2 步 再用性质：由相似得对应边成比例、对应角相等（相似三角形对应边的比相等）； 第3 步 多小问的题目，后面的结论常依赖前面的相似关系，注意承前启后。 典例 4 如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． (1)求证：． (2)若，，求正方形的面积． (3)直接写出的值． 变式 4-1 完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 📌 题型五 相似判定的实际应用 ✏ 题型模版 第1 步 建模：把实物图形抽象为三角形（射线、标杆、影子等常构成相似三角形）； 第2 步 找条件：利用垂直、平行关系得到相等的角； 第3 步 算结果：列比例式求线段长，注意单位与近似值的要求。 典例 5 受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 变式 5-1 如图，四边形是某学校的一块种植实践基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知，，，． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为60，求水果园的面积． ✅ 六、出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 2 题，限时 15 分钟，巩固本讲核心方法。 第 1 题 如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 第 2 题 如图，在中，，点E在边上，平分． (1)尺规作图：在射线上求作点F，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若E是的中点，，，求的长． 🏠 七、课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 3 题，建议课后 20 分钟内完成。 1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，AB=4，DE=6，则 △ABC 与 △DEF 的相似比是______。 2. 在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB=1∶2，则 DE∶BC=______。 3. 已知 △ABC ∽ △DEF，∠A=50°，∠B=70°，则 ∠F=______。 学科网（北京）股份有限公司 $