江苏省如皋中学2026-2027学年高三上学期数学限时练习3 （9.12）

如皋中学高三数学限时练习3 一、单选题 1.已知集合A={x2≥4，B={xlog2x<},则BnA=() A.(-2,1) B.(0,2) C.(2,+∞) D.☑ 2.下列说法中，正确的个数是() ①终边相同的角一定相等；②锐角一定是第一象限角：③第一象限角可能是负角：④小于90的角都是锐角. A.1 B.2 C.3 D.4 3.在平面直角坐标系中，若角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点 Pl sin S 3,c0 3 则() A.a是第一象限角 B.工角与a的终边相同 6 C.cosa= D.sn(k+a）= 4.现有一把纸折扇，其结构如图所示.己知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为18cm,完全展开时扇 骨间的夹角为若扇面的上弧长与下弧长之比为3：1，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为() 3 上弧长L 扇面 下弧长1 扇骨-l8cm A.6v2cm B.6v3cm C.8√2cm D.83cm B.V5 2 C. 3 3 n号 6.已知函数f(x)=-x2+8x+alnx在区间(4，+oo)上是减函数，则a的取值范围是() A.[0,+o) B.[-1,+oo) C.(-o,0] D.(-o,l] 7.已知函数f()=si血x-:在区间0写上有极值点，则实数a的取值范围是（） B. D.(0,1) 8.给出下列命题，其中正确的是() 试卷第1页（共3页） A.已知直线1经过点A(2,3,),且=(2,0，√2)是1的方向向量，则点P(4,3,2)到1的距离为√2 B.设{a,b,c}是空间的一个基底，则{a+b,a+b+c,c也是空间的一个基底 C.平行四边形ABCD中，AB=AC=1,∠ACD=90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使得AB与 CD成60°，此时B,D间的距离为2 D.向量a=(22,0)在向量6=(0,4上的投影向量的模长为号 二、多选题 9.已知f(x)=(3x-2)"(n∈N)展开式的二项式系数和为512，f(x)=a+ax+a2x2+…+anx”,下列选项正 确的是() A.n=10 B.a+a+a2+…+an=1 C.ao+a+…+an=39 D.a1+2a2+3a3+…+nan=27 10.如图，矩形ABCD是圆柱OO的轴截面，AB=2,AD=4,E为AB的中点，M为BE的中点，则() 0 ! -B A.圆柱OO的侧面积为16π B.三棱锥B-ADE的体积为3 C.圆柱OO的外接球的表面积为20π D.OMI∥平面ADE x+3,x≤0 11.己知函数f(x)= c+2,x>0,若方程f()=m(m∈R)有三个不同的零点x,名，与，且5<5<5， 则() A.函数f(x)在(0，e2)单调递减 B.实数m的取值范围为(0,3) C.函数g(x)=f(f(x)有4个零点 D.xxx的取值范围为(-3e4,0 三、填空题 12.若复数z满足z=2,则2-4的最大值为 试卷第2页（共3页） 13.如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块 底与桌面成30°角，则点A走过的路程是 14.为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入A虹智能图书盘点机器人.现对该机器人的图书识别准确率进行 标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书：2 本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中 不放回地随机抽取2本，逐本开展测试若第一次抽取到有效馆藏图书，则第二次也抽取到有效馆 藏图书的概率为 记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X,则的数学期望 E(X)= 四、解答题 15.(15分)(1)若)元<a<2m,化简 1-cosa 1+cosa 1+cosa 11-cosa (2)求证： tanasina tana+sina tana-sina tanasina (3)已知cosA+simA-l,求i证：cosB+simB cos2B'sin2B cos24 sin24 16.(15分)函数f(x)=a(x+)-nx. (1)若a=e,求f(x)的极小值： (2)当a=-1时，证明：xe+f(x)≥0 试卷第3页（共3页）如皋中学高三数学限时练习3 一、单选题 1.已知集合A={x2≥4，B={xlog2x<1},则BnCA=() A.(-2,0 B.(0,2) C.(2,+∞) D. 【答案】B 【详解】由2x≥4，得x≤-2，由log2x<1得0<x<2, 故A={x|x≤-2}，B={x|0<x<2}, 所以BnCA={x|0<x<2}n{xx)-2=(0,2) 2.下列说法中，正确的个数是( ①终边相同的角一定相等：②锐角一定是第一象限角；③第一象限角可能是负角：④小于90°的角都是锐角. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，②正确： 第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确： 小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误. 综上，正确的个数是2 3.在平面直角坐标系中，若角a的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点 3 则() A.a是第一象限角 B.元角与a的终边相同 6 C.cosa= 2 D.sn(a+a-月 【答案】D 【详解)因为2元 3 所以m<0s弩>0，则点P在第二家限，是第二家限角、A选项错灵 3 cosa sin 因为 3 2, 5π1 sin a =cos 3-2 试卷第1页（共11页） 所以a=S弧+2km(k∈Z)）,B选项错误，C选项错误： 6 sin(x+a)=-sina=- ,D选项正确 4.现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为18cm,完全展开时扇 骨间的夹角为行若扇面的上级长与下或长之比为3：山，将该面围成一个圆台，则该网台的商为《） 上弧长L 扇面 下弧长1 扇骨=18cm A.6v2cm B.6v3cm C.8v√2cm D.8v3cm 【答案】c 【分析】应用几何扇形弧长计算，结合圆台的几何特征计算即可 【详解】设圆台的上下底面半径分别为片，2，由题知扇面的外径为18cm,内径为6cm, 所以圆台的母线长r-12cm,上颜长L-2知-号x×18=12am,则5=6cm, 下弧长1=2=三π×6=4rcm,则片=2cm, 3 则圆台的高h=VP-（5-}=V12-(6-2y=8N2cm 5.已知cos A,⑤ B./5 3 3 c. 3 n号 【答案】C 【样解】子网-（任+小号 做m+0-m[g+小m日+j号 6.已知函数f(x)=-x2+8.x+anx在区间(4，+oo)上是减函数，则a的取值范围是() A.[0,+oo) B.[-1,+oo) C.(-0,0] D.(-0,l] 【答案】C 试卷第2页（共11页） 【分析】根据题意得到x∈(4，+)，-2x+8+0≤0恒成立.从而得到x∈(4，+∞)，a≤2x2-8x恒成立，再根 据g(x)=2x2-8x的单调性求解即可. 【详解】因为f(x)=-2x+8+a，函数f=-x2+8x+alnx在区间(4，+∞)上是减函数， 所以x∈(4，+o),-2x+8+口≤0恒成立. 所以x∈(4，+o),a≤2x2-8x恒成立. 设g(x)=2x2-8x,x∈(4，+o), 因为对称轴为x=2,所以g(x)=2x2-8x在(4，+o)为增函数， 所以8(x)>g(4)=0,所以a≤0. 故选：C 7.已知函数f(x)=sinx-m在区间0，？ 上有极值点，则实数α的取值范围是() A B 2 D.(0,1) 【答案】B 【详解】设函数f(x)=sinx-ax,其导数为f'(x)=cosx-a, 函数f(x)在区间 上存在极值点，等价于其导数'(x)在该区间内存在变号零点， 即方程cosx=a在区间 上有解， 由于函数y=cosx在区间 上单调递减，其值域为： π cos 3 cosx<cos0,<cosx<1, 2 因此，当且仅当 时，方程cosx=a在区间0， 上有解，函数f(x)存在极值点， 故实数a的取值范围为 8.给出下列命题，其中正确的是() A.已知直线1经过点A(2,3,),且n=(2,0,√2)是的方向向量，则点P(4,3,2)到1的距离为√2 B.设{a,b,c是空间的一个基底，则{a+b,a+b+c,c也是空间的一个基底 C.平行四边形ABCD中，AB=AC=1,∠ACD=90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使得AB与 CD成60°，此时B,D间的距离为2 试卷第3页（共11页） D.向量ā=(2,2,0)在向量b=(3,0,4)上的投影向量的模长为 6 5 【答案】D 【分析】应用向量的坐标运算结合勾股定理计算点到直线的距离判断A,由空间向量基底的性质判断B,利 用空间向量线性运算可得BD=BA+AC+CD,结合数量积的运算律可求得BD,进而得到所求结果判断C, 先求出投影向量再计算模长判断D, 【详解】对于A,因为PA=(2,3,1)-（4,3,2)=（-2,0,-1), 又=(2,0，√2)为1的一个方向向量， PA.n 故A错误； 对于B, 因为a+b+c=(a+b)+c 即ā+b,ā+b+c,c共面，不能作为空间的一个基底，故B错误： B 对于C,因为四边形ABCD为平行四边形，∴.AB/ICD, 又∠ACD=90°，.∠CAB=90°，AC.CD=0,AC.BA=0, 因为在空间四边形ABCD中，AB与CD成60°角， (BA,CD)=60°或120°， 又BD=BA+AC+CD BD=BA+AC+CD'+2B4-AC+2B4.CD+24C.CD =3+2×1×1×cos<BA,CD>, 当<BA,CD>=60时， BD2=4, BD=2,即此时B,D两点间的距离为2： 当<BA,CD>=120时，BD=2, 试卷第4页（共11页） :BD=√2，即此时B,D两点间的距离为√2， 综上所述，B,D两点间的距离为2或√2，故C错误； 对于D,因为向量ā=(2,2,0)，b=(3,0,4), 所以ā6=2×3+2×0+0×4=6,6=V32+02+42=5, 所以向量a在向量b上的投影向量为： ab b a-b 8 55,故D正确。 66 所以向量a在向量b上的投影模长为： 二、多选题 9.已知f(x)=(3x-2)(n∈N)展开式的二项式系数和为512，f(x)=a。+ax+a2x2+…+anx”,下列选项正 确的是() A.n=10 B.a+41+a2+…+an=1 C.a+a+…+la=39 D.a1+2a2+3a3+…+nan=27 【答案】BD 【分析】选项A,通过二项式系数和等于2”求解选项B,代入x=1求解系数和选项C,通过转化f(x)来 实现绝对值选项D,通过对f(x)求导来实现选项中an前的系数. 【详解】选项A,由f(x)=(3x-2)(n∈N)展开式的二项式系数和为512，得2”=512，解得n=9,错误. 选项B,f(x)=(3x-2)°=a+ax+a2x2+…+a,x,令x=1,得(3×1-2)=a+4+a2+…+a,=1,正确. 选项C,a+a++a等价于(3x+2)”展开式的系数和，令x=1,得a+a+…+a=5,错误 选项D,对f(x)=a+ax+a2x2+…+ax两边同时求导，得f'(x)=27(3x-2)3=a+2a,x+…+9a,x8, 令x=1,得27×(3×1-2)8=a+2a2++9a,=27,正确. 10.如图，矩形ABCD是圆柱OO的轴截面，AB=2,AD=4,E为AB的中点，M为BE的中点，则() 试卷第5页（共11页） 01 B A.圆柱OO的侧面积为16π B.三棱锥B-ADE的体积为 3 C.圆柱OO的外接球的表面积为20π D.OM∥平面ADE 【答案】BCD 【分析】代入圆柱侧面积的公式，判断A,将三棱锥B-ADE的体积转化为求三棱锥D-ABE的体积，判断 B,首先确定BD是圆柱外接球的直径，根据勾股定理求半径，再代入球的表面积公式，判断C,构造平行 四边形，得到线线平行，再结合线面平行的判断定理，即可判断D 【详解】对于A,圆柱OO的侧面积S侧=2πrl=2π×1×4=8π，故A错误； 对于B,由题意得AE⊥BE,且AE=BE=√2 所以心=业x2x4手故B正确： 对于C,取OO的中点F,连接FD,易求得FD=VP+22=√5， 即圆柱00的外接球的半径为、√5，故该球的表面积为4π×5=20m,故C正确： 对于D,取AE的中点2.连接DO,Mg.因为M为BE的中点，所以MQilAB,MQ=AB., 又D0MBD0=)4B,所以MQ/DQ,M0=D0,所以四边能DO,M0为干行四边形， 则DQI∥O,M,又DQc平面ADE,O,M丈平面ADE,所以OM∥平面ADE,故D正确. 故选：BCD 试卷第6页（共11页） A B x+3,x≤0 11.已知函数f(x)= lnr+2,x>0' 若方程f(x)=m(m∈R)有三个不同的零点x,x2,x,且x<x2<, 则() A.函数f(x)在(0，e2）单调递减 B.实数m的取值范围为(0,3) C.函数g(x)=f(f(x)有4个零点 D.x2的取值范围为(-3e4,0] 【答案】ACD 【分析】作出f(x)的图象，根据图象可判断AB;根据图象确定出x的范围，根据对数运算求解出x2x的 值，即xxx的取值范围可知，则D可判断；采用换元法令f(x)=,确定出t的值，结合f(x)的图象求解 出g(x)的零点个数 【详解】作出f(x)的图象，如下图所示： =x) y=m 3 e 由图象可知，函数在(0)（已+切上单调通增，在0己）单调造诚， 故A正确： 由图象可知，实数m的取值范围为{m0<m≤3，故B错误： 1 由g(x)=f(f(x),令f(x)=t,则f()=0,解得1=-3或t= 2 由图象可知f()=-3时，方程有1个解，f()=三时，方程有3个解，所以函数有4个零点，故C正确： 由图象可知，x的取值范围为-3<x≤0， 试卷第7页（共11页） 由lnx2+2=nx3+2,即-(nx2+2)=lnx+2,解得x2x3=e4, 所以xx2x3的取值范围为(-3e4,0,故D正确。 故选：ACD 三、填空题 12.若复数z满足z=2,则z-4的最大值为 【答案】6 【分析】首先设复数z=a+bi,a,b∈R,再根据复数模的公式，即可求解. 【详解】设复数z=a+bi,a,b∈R则a2+b2=4, 12-4=V(a-4)2+b2=Va+b2-8a+16=V20-8a, 由a2+b2=4可知，-2≤a≤2，当a=-2时，z-4的最大值为6 13.如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块 底与桌面成30°角，则点A走过的路程是 【答案】 x+5 6 【分析】根据题意，分别求得第一次、第二次和第三次旋转时走过的路程，结合扇形的弧长公式，即可求 解。 【详解】根据题意，第一次是以B为旋转中心，以BA=√22+1=√5为半径旋转90°， 此次点A走过的路径是×5=5元： π： 2 2 第二次是以C为旋转中心，以CA=1为半径旋转90°，此次点A走过的路径是元x1=工 2 2 第三次是以D为旋转中心，以D4,=2为半径旋转60，此次点A走过的路径是×2=2， 3 所以点A三次共走过的路径是V5x,严，2红7， 2 236π+、 B A D 14.为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入A虹智能图书盘点机器人，现对该机器人的图书识别准确率进行 标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆 试卷第8页（共11页） 藏图书：2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6 本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试若第一次抽取到有效馆藏图书，则第二次也抽取到有效馆 藏图书的概率为 记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X,则X的数学期望 E(X)= 【答案】 【分析】①利用条件概率公式计算所求概率；②根据超几何分布的性质或分布列求解数学期望 【详解】记事件A为“第一次抽取到有效馆藏图书”，事件B为“第二次抽取到有效馆藏图书”， C-6_2 函古爽裰型得P(A)。},两次均抽取到有效馆微图书的概率P(®){ 2 根据条件概率公式P(B|A)= P(AB) 代入得P(BA)=-3 2 5 3 随机变量X表示抽取的2本图书中有效馆藏图书的数量，可能取值为0,1,2， 服从参数为总体容量N=6、总体中有效图书数M=4、抽取样本量=2的超几何分布， 方法1：由超几何分布期望公式E(X),代入得E(X)2X4:4 6=3 方法2：先计氛分布列：P(X=0)号GPH=)C 故E(X)=0x+1x8 1 24 +2×二 1515 53 四、解答题 15.(15分)(1)若3元 π<a<2π，化简 1-cosa 1+cosa 2 1+cosa 11-cosa tanasina tana+sina (2)求证： tana-sina tanasina (3)己知cos4A,sin1A 1,求证： cosB sinB cos2B'sin2B =1 cos24'sin24 【答案】 2 (1) sina tanasina tana+sina (2)证明：要证 tana-sina tanasina 只需证：tan2 asin'a=(tana-sina)(tana+sina)=tan2a-sina, 试卷第9页（共11页） 只需证： sin'a sin'a -sin2a, cos'a cos a 只箭证：sne_sm'a-sn2 acon'a_sima自-cosa, 即证： sin'asin'a cos-a cosa cos a cos'acos'a 显然上式成立，枚sna-aa+sn“成立，得证。 tana-sina tanasina (3)证明：由cosA+sin4A cos2B'sin2B 1, 得：cos4Asin2B+sin4Acos2B=cos2Bsin2B, 所以(1-sin2Asin2B+sin'Acos2B-cos2Bsin2B=0, (1-2sin24+sin4)sin2B+sin'Acos2B-cos2Bsin2B=0, sin2B-2sin2Asin2B+sinAsin2B+sinAcos2B-cos2Bsin2B=0, sin2B(1-cos2B)-2sin2Asin2B+sinA(sin2B+cos2B)=0,sinB-2sin2Asin2B+sin4=0, (sin2B-sin24)=0, 得sin2B=sin2A,再由平方关系得，cos2B=cos2A, 代入cos'B sin'B cos24 sin24 得cos2B+sin2B=1,即： cos'B sin'B=l,得证. cos24 sin24 【详解】(1)因为<a<2n,cosa>0,sina<0, 所以 1-cosa 1+cosa V(1-cosa)2 (1+cosa) 1-cosa,1+cosa=_ 2 V1+cosa V1-cosa v1-cos a v1-cos a -sina -sina sina (2)略 (3)略 16.(15分)函数f(x)=a(x+1)-nx. (1)若a=e,求f(x)的极小值： (2)当a=-1时，证明：xe+f(x)≥0. 【答案】(1)e+2; (2) 当a=-1时，f(x)=-(x+l)-nx=-(x+nx+l), 令 试卷第10页（共11页） h(x)=e*+f(x)=xe-(x+lhx+),定义域为(0，+o∞)， 则(=c+e-1-(6+e- 其中x+1>0, 由g树=e-士在@+o)上单调递8.且8得)=e-3<e-3<0,g0=e-10, 则存在6行使得e-0, Xo 当0<x<x,时，e-<0,(x)<0,h(x)在(0，x)上单调递减： 当x>时，。->0，h()>0,h(x)在(，+)上单调递增： 所以h(x)的最小值为h(xo)=xe-x。-lnx。-1, 白0，可得士日 所u)=6-he-1=1-美-1=0，即的最小方0 综上，h(x)=xe-x-lnx-1≥0，即xe+f(x)≥0得证 【分析】(1)代入a=e,求导判断函数单调性，根据单调性求解函数的极小值 (2)要证xe+f(x)≥0，即证xe-x-nx-1≥0，令h(x)=xe-x-lnx-1,求导判断单调性，求出h(x) 的最小值，得证 【详解】(1)函数f()的定义域为(0，+o),当a=e时，f()=e--er 由)>0，得x>。即f()在心树上单调递增： 由了)<0，得0<x<。即f在区同0 上单调递减， 所以f()脸概小值为f伯=+小-nge+2 (2)略 试卷第11页（共11页)