江苏省如皋中学2026-2027学年高三上学期数学限时规范练1

高三年级限时规范练（一） 高三数学 命题人：曹春茂 命题中心审核人：钱如美 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 则AUB=() 2.已知a=5.32,b=0.631,c=log20.5,则() A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 3.若2+i是关于x的实系数一元二次方程x2+m+5=0的一个虚根，则a=() A.-4 B.4 C.2 D.-2 4已知la+川-子ma-)-背则细 amp的值为() B.5 C.-5 D.5 5.己知函数f(x)在x>0上可导且满足'(x)-f（x)>0,则下列不等式一定成立的为() A.f(2)>cf(3)B.f(3)<cf(2) c.f3)>ef(2) D.f(2)<cf(3) 6.某圆锥的侧面展开图是一个弧长为2π，圆心角为120°的扇形.若将一个球放入该圆锥体 内，则球的表面积的最大值为() A.π B.2π C.4π D.8π 7.已知)=sm5x+p<引且()=f代+国是偶函数，则p=（） 高三数学第1页（共4页） 8.若函数f(x)=lnx-ar有3个零点，则a的取值范围是() a() c.(02) D.(0) e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若P(4)=P同-}P(4B)=G则() A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B互相独立 D.P时名 10.在三棱台ABC-ABC中，A4⊥底面ABC,AB⊥AC,AB=AC,M,N分别为棱BC,B,C 的中点，则下列判断正确的有() A.AM⊥B,C B.MNI/平面ABB,A C.直线AA与直线MN共面 D.直线AN与直线BC异面 1.已知f)=2smr+)-1(o>0),则() A若f)=1,f)=-,即-L受则@=2 B.3a∈(0,2)，使得f(x)的图像向左平移”个单位长度后所得图像关于原点对称。 C当o=时，函数y=f)+mme,x(音 π2π 恰有三个零点x,x,x,且 <名<，则+2+名=1g D.若f(x)在(0，)上恰有2个最大值点和1个最小值点，则o∈ 周 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.己知随机变量X服从正态分布N(1,4),若P(X≤)=0.3413，则P1≤X≤3)= 13.已知函数f)=si血(@r+p)(0>0,0<p<,(径0)为f图象的一个对称中心， 直线x=为f)图象的对称轴，且f)在区间0了上单调，则0=一，f(受= 6 高三数学第2页（共4页） 14.己知函数f(x)= 3别24，若对于任意的、名树 x3-2a2+3x,x<4 且x<x2, 都有xf(x)-xf(x)<a匹x-a匹x2成立，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)(1)若a,Be@动.osa-号sma-)=昌 =13求cosB: 2)若ae任}Ba引且ma-到-子sm[经+言求oa+叭， 16.(本小题满分15分)已知函数/)=5 +sinxcosx-√5cos2x. (1)求y=f(x)的单调递增区间： ②)求函数y=f(x)在xe及 6'4 时的值域： (3)对任意的x∈ ππ 16'4 不等式∫(x)-mf(x)-1≤0恒成立，求m的取值范围. 17.(本小题满分15分)甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，规则如下：每人投三次，在 A处投一次三分球，投中得3分，投不中不得分，在B处连续投两次两分球，每投中一次得2 中不得分。甲、乙两同学投中三分球的概率均为，投中两分球的概率均为} 次投篮互不影响，最终得分较多者赢得比赛。 (1)设甲同学的得分为X,求X的分布列和数学期望： (2)在已知甲同学的得分不低于4分的条件下，求乙同学最终赢得比赛的概率. 高三数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=2CC=4W5,BC=4, AC⊥BC,D为棱AC的中点. (1)求点B到平面BCD的距离： D (2)若点E在AB上，且AEII平面BCD. B ①球传的位： ②求AE与平面BCCB所成角的正弦值， 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=e+msinx, (1)当m=1时，求曲线y=(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若函数∫(x)在(0，π)上单调递增，求正实数m的取值范围： (3)求证：当m=1时，f(x)在(-元，+∞)上存在唯一极小值点x。,且-1<f(x)<0. 高三数学第4页 (共4页) 高三年级限时规范练（一) 高三数学 命题人：曹春茂 命题中心审核人：钱如美 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.己知集合A=: 则AUB=() 【答案】A 2 4 2 2.已知a=5.32,b=0.631,c=log720.5,则() A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 【答案】B 【详解】函数y=5.3单调递增，又0.2>0，所以a=5.32>5.3°=1，即a>1: 函数y=0.6单调递减，又3.1>0，所以b=0.631<0.6°=1，即0<b<1; 函数y=log72x单调递增，又0.5<1，所以c=log720.5<log721=0,即c<0,所以c<b<a. 高三数学第1页（共14页） 3.若2+i是关于x的实系数一元二次方程x2+r+5=0的一个虚根，则a=() A.-4 B.4 C.2 D.-2 【答案】A 【详解】因为2+i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2+am+5=0的一个虚根， 所以将其代入方程中得到(2+)2+a(2+i)+5=0, 化简得a(2+)=4i-8,所以a=-i+8三4. 2+i 4已知如（口+小-分血a-川=写：奥 anB的值为() tan a A.5 1 1 B.5 C.-5 D.5 【答案】D 【详解】白sin(a+）-=号.得sinaos+月i=0 由sin(a-P)=3得，sinos-i-包 ①-②得， 2'①+②得，sinco= cosasin B=1 Γ12 因此ang_sinacosB =5 tan B cosasin B 5.已知函数f(x)在x>0上可导且满足f'(x)-f(x)>0,则下列不等式一定成立的为() A.f(2)>ef(3) B.f(3)<ef(2) c.f3)>ef(2) D.f(2)<ef(3) 【答案】C 【分析】构造函数g)= ,讨论其单调性即可求解。 【详解】构造函数g)= ex g'(x)= fe-fwe_f)-f四，0在x>0时恒成立， (e) 所以g=f四在x>0时单调递增，所以g6)>g(2,即>f,所以f3)>e(2), ex e3 e2 故选：C 高三数学第2页（共14页） 6.某圆锥的侧面展开图是一个弧长为2π，圆心角为120°的扇形.若将一个球放入该圆锥体内， 则球的表面积的最大值为() A.π B.2π C.4π D.8π 【答案】B 【详解】设圆锥底面半径为r,母线长为1，高为h, 侧面展开图弧长等于底面周长，即：2r=2π，解得r=1: 展开图圆心角为120°=红，由扇形弧长公式a1=2π(u为圆心角弧度值)， 代入得号1=2x,解得1=3，由勾股定理得国链高h=P-7-3-平=22。 圆锥内最大球为内切球，其半径等于圆锥轴截面（三边长为3,3,2的等腰三角形） 的内切圆半径R 轴截面面积S=×2rxh=x2x2W2=22, 2 2 轴截面半周长p= 3+3+2=4, 2 由三角形内切圆公式S=pR,得R=S_22_V2 p42 =a,代入R=得：==2 7.已知f()=sin(5x+p网<引，且()=f)+f()是偶函数.则9=() A.- 4 B.8 C.6 D.π 4 【答案】C 【详解】由f(x)=sim(N3x+p,得f'(x)=V3cosV3x+p): h(x)=(coso-3sing)sin 3x+(sino+3coso)cos3x 由于h(x)为偶函数，所以对任意x, 均有h(x)-h(-x)=2(cosp-V3 sino).sin3x=0. 高三数学第3页（共14页） 取42方、得op-5n-0,从万如8-5结合网<经得=吾 6 8.若函数f(x)=nx-ar有3个零点，则a的取值范围是() B D.(0,1) 2e 【答案】c 【详解】设()=nx-x,则对0<x<1有()-产>0，对x>1有()-片<0， 所以h(x)在(0，)上递增，在(1，+o)上递减，这表明h(x)≤h)=-1,且等号成立当且仅当x=1. ①当a≤0时，对x∈(0，)U(1,+o)有f(x)=lnx-ax≥nx>0,故f(x)至多有一个零点，不 满足条件： ②当0<a<时，取充分小的正数u,使得u<,M<,M<1: a e 再取充分大的正数y,使得v>1,v>1, ·V少>二，则w<1<<,且 f=-n}m>e-a。0.f0=c0,f日-hg1e1-o, a f(v)-Inv-@v-2Invv-av-2.h(Vv)+2v-@vs -2+2D-w<2D-aw=F(2-aW)<0. 从而根据零点存在定理，可知∫(x)有3个零点，满足条件： ③当a≥时，由于当0<x≤1时，f(x)=-lnx-a单调递减，故f(x)在0<x≤1的范围内至 多有一个零点. 而当x>1时，有f(x)=hx-x=n(ax)-am-na=h(ar）-na≤-1-lha≤-l-ln'=0,且若 f)=0,则必有=1，即x=a 所以f(x)在x>1的范围内至多有一个零点 二者结合，可知g(x)至多有两个零点，不满足条件 综合①②③，可知a的取值范围是 0e 高三数学第4页 (共14页) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若P(利=话P回-子P()=G则() A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B互相独立 n.P4+刷=G 【答案】CD 【详解】对于A,若事件A与B互斥，则P(M)=0,由逻意知P40)-G≠0，放A错误： 对于B,因为事件A与B不互斥，则事件A与B一定不对立，故B错误； 对于c因为P(国-=子所以P=1-P叫国=1-子子 由P0P)-好6P(4)=石放c正确： 对于D,根据概率加法公式得：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+- 441616 ,故D正确. 10.在三棱台ABC-AB,C中，AA⊥底面ABC,AB⊥AC,AB=AC,M,N分别为棱BC,B,C 的中点，则下列判断正确的有() A.AM⊥BC B.MN/平面ABB,A C.直线AA与直线MN共面 D.直线AN与直线BC异面 【答案】ACD 【详解】对于选项A,如图所示：己知AB=AC,M是BC中点，所 A 以AM⊥BC,又BC//B,C,因此AM⊥B,C, N 由AA⊥底面ABC,BCC平面ABC,故AA⊥BC,则AA⊥B,C, 又AM∩AA=A,且AM,AAc平面AAM,所以B,C⊥平面AAM, 又AMc平面AAM可得AM⊥B,C,则A正确. 高三数学第5页（共14页） 对于选项B,棱台由棱锥截得，延长侧棱交于顶点P,因为M,N分别为棱BC,BC的中点， 则P,M,N三点共线，同时P,A,A三点共线，故P是MN与直线AA的交点，P∈AAC平面 ABB,A,即直线MN与平面ABB,A存在公共点P,则B错误. 对于选项C,由B选项可知，直线AA,与直线MN交于原棱锥顶点P,空间中，两条相交直线可 以确定唯一一个平面，因此A4与MN在同一个平面内，两直线共面，故C正确。 对于选项D,若AN,BC共面，则A,B,C,N四点共面，则N∈平面ABC,又N∈B,C,C∈ 平面ABC,所以B,C,C平面ABC,所以B∈平面ABC,但B,E平面ABC,矛盾，假设错误， 所以直线AN与直线BC异面，故D正确！ 1.设函数f(x)=sin ax- )o>0.已如儿)Q上有H汉有4个香点，下列法正 确的是() A.O的取值范围是 1114 3’3 B.y=f(x)在(0，π)上可能有3个极小值点 C.y=f(x)与直线y=1在(0，π)上的交点恰有2个 D.f()在（到）上单调递减 【答案】ABC 【详解1对FAf-saro>0).令1r智el0小p1e[行ar-] f创在D可上有且仅有4个专点，等价于m-0在[否r 有且仅有4个零点， 3 应当依次为1=0，π，2π，3n,则要求3z≤0n-2 <4π，计算得 3 sw<4 1 3 ,故A正确， 对于B,sint的极小值点为t 37+2k元，keZ,由A可知，0<4 2π142 →0- 3 π=4π 3 在1（号初）里极小值点最多有3个，成B正瑞： 对于C,sin1=l→1=花+2k元，k∈Z,结合A可知te 2 3 高三数学第6页 (共14页) 区间右端0π 23元，4)，因此可取1=，” 2’2 一共两解，故C正确： 对于D,结合o [x(引1=0-左端方取花国为 「1114) ππ 42 右端点取值范围为6,3 7π5π t的区间随0的取值变化，对于任意o∈ 1114 33 t的区间均包含t= 的两，因此f)在 上不单调递减，故D错误 1.已知f国=2mor+君)-o>0,期《) A若)1，f)=-,-l至则o=2 B.3®∈(0,2)，使得f(x)的图像向左平移”个单位长度后所得图像关于原点对称. 6 c.当o=3时，函数y=f()+m(meR,x∈g3 π2π 恰有三个零点x,2,七，且 2 14π x<x2<x3,则x+2x2+x3= 9 D,若/在(Q上治有2个最大值点和1个最小值点，则0（行 【答案】BCD 【详解】f(x)=2sin2 +}1-2or+到-n2ar引 周期T=”=”,值域为1,1： 200 选项A:已知f(x)=1,f(x2)=-1,则相邻最值点的水平距离为半个周期， 故-至石解得@=12，故A错误： 选项B:f(x)的图像向左平移严个单位，得：g(x)=si 2+-m2x+引 图象关于原点对称，则g(x)为奇函数，即g(0)=0, m_元=k,k∈Z,则0=3k+2 36 当k=0时，0=2(0,2)，存在符合条件的0，故B正确： 选项c:当时=m3x-君引令f+m=0,即sm3x君引, 高三数学第7页（共14页） 己知x∈ 方程sint=-m恰有3个解，4<t2<3时，由正弦函数的对称性， 46关于1=受对称46关于1-对称，则+6=45=3江，故4+2，+5=红. 2 4π 由 。5+π + 1+2L2+43+ x=- +6,则x+2x,+名=3 +2 6+ 6 6=14π，故C正确： 3 33 3 9 选项D:已知xQ动.则2r名司名20司 最大值点：20x-元-7+2：，恰有2个最大值点需满足，<20m及≤%→4< 62 2 6239 3 最小值点：20x- 62 业日美可、连↓一学别 6 综上，含os,散DE确 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机变量X服从正态分布N(1,4),若P（X≤1)=0.3413，则P(1≤X≤3)= 【答案】0.3413 【详解】因为X~N(1,4),所以正态曲线关于x=1对称，且标准差o=√4=2， 因为P(（X≤1)=P(-1≤X≤1)=0.3413，所以P(-1≤X≤1)=P(1≤X≤3)： 因此P(1≤X≤3)=0.3413 13.已知函数f(=sin(@x+p)(0>0,0<p<),(径0)为f(图象的一个对称中心， 直线x=刀为f)图象的对称轴，且f)在区间Q爵上单调，则@=一，f孕=一 6 【答案】6；1 【详解】函数f()=sin(ox+p)的最小正周期T=2红 由（受0）为f)图象的一个对称中心，直线x=为f)图象的对称轴。 6 得C-D子看及eN,即2m-0亮语meN,解得@=12n-6meN, T_ππ 高三数学第8页（共14页） 自在区间o的上单调，得子产号即后之行解得0<059，因此=10=6， 白得-0，得6+p=红keZ,面0<g<,则k=lp-受 此时f()=-1,符合题意， 6 函数倒=血(6x+孕)=cos6x在0爱单调递减，符合影意，所以（了=cos2x=l 6 14.己知函数f(x)= (a+3列2-(（2a-2)xx之4，若对于任意的、名∈ x3-22+3x,x<4 且x<x2, 都有xf(x)-xf(x)<a匹x号-ax2成立，则实数a的取值范围是 【答案】 【详解】xf(x)-xf()<a号-x,f(x)-xf()<a,(s-x), 3 >2名>2%>0， a).))a).)) xx xx2 x, 设g因-f儿因+，g6)=f+m,g)-）+m,g6)5gk) X 活<西，∴8国网上是单调遥培商数。 [(a+3)x2-(2a-2)x,x≥4 [(2a+3)x-(2a-2),x≥4 :f(x)= ≤x<4 x-ax+3,2 是单调递增函数， [2a+3>0 0、3 2 1 .31 ，六a≤3,2≤a≤3 (2a+3)×4-(2a-2)≥42-4a+3 01 -2 ∴a的取值范围为 高三数学第9页 (共14页) 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤， 15(本小愿满分13分）1)若a,Q.c0sa子如a-例-音求ap, 3 4 【详解】(1)因为a∈(0，π)，cosa= 所以sima=亏 因为ae0引Be0,所以-x<a-B<受 因为sin(a-)>0,所以0<a-B<C 2 风为(a-言所以a-叭-，（信哥号 cos B-cos[a-(a]-cosacos(a-)+sinasin()xx556 5*1*73656分 2)因为a后）所以a牙ea), a-a为m-引所以a-引号 因为B好引所以+(经小 因为m(子+)所以经+小小--号 所以coa+月=coa-孕+（子+月-1=sima-孕+（径+例 A 51365 13分 16(木小满分15分)已知函数)-+nmx-casx (1)求y=f(x)的单调递增区间； (2)求函数y=f(x)在x∈ 元元 6'4 时的值域： (3)对任意的x∈ 后引不等式f()-时)-1s0恒成立，求加的取位跑月 高三数学第10页（共14页） 【样解11)何-5血oms-5ox-2x-5ws2x=m2x-哥引 2 2 由-252x-s经+2ez,+ 2 5+km,k∈Z [_元+k12 所以f()的单调递增区间为12 π +mk∈Z .4分 2当xe[t、2x0因为y=血r0 上单调递增， 故=m2:-到0所以r因在x[后引r份位圾为0，引 8分 a由2)如e=sm2x-}[ f(x)-mf(x)-1≤0台mf(x)≥f(x)-1, ①当f(x)=0时，不等式恒成立： ②当f()>0时，得m≥f(闪恒成立， 令1=阳，则0=1-片 所以m≥-3 综上得的取信范为[ 15分 17.(本小题满分15分)甲、乙两位同学进行定点投篮比赛，规则如下：每人投三次，在 A处投一次三分球，投中得3分，投不中不得分，在B处连续投两次两分球，每投中一次得2 分，投不中不得分.甲、乙两同学投中三分球的概率均为投中两分球的概率均为}，且每 次投篮互不影响，最终得分较多者赢得比赛.。 (1)设甲同学的得分为X,求X的分布列和数学期望； (2)在己知甲同学的得分不低于4分的条件下，求乙同学最终赢得比赛的概率. 高三数学第11页（共14页） 【详解】1D孩思意，X的可能取值为0,2,3,45,7PX=0-1-》X1-到位 x-2--4号i引2-号 x名x=0-号*号 则X的分布列如下： X 0 2 3 5 7 P 1 1 1 12 3 36 3 9 故E(X=0× +2× 1_41 12 3+3×+4×+5×g+7×,127 9分 36 3 (2)设乙同学的剂分为x同理1)知P心-)-=)PY=)-号 1115 因为P(X24)=。+。+ 3999 所以乙同学最终赢得比赛的概率为： PY=5)PX=4),PY=7)[PX=4)+PX=5刃-1+4=7 P(X≥4) P(X≥4) Γ154545 15分 18.(本小题满分17分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AC=2CC=4V3,BC=4, AC⊥BC,D为棱AC的中点. D (I)求点B,到平面BCD的距离； (2)若点E在AB上，且AEII平面BCD. @味 的值： ②求AE与平面BCCB,所成角 的正 弦值， 【详解】(1)在直三棱柱ABC-ABC,中，CA,CB,CC两两垂直， 高三数学第12页（共14页） 以C为空间直角坐标原点，以CA,CB,CC方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直 角坐标系.B(0,4,0),D23,0,23,则CB=(0,4,0),CD=(2√3,0,25)， 设平面BCD的法向量为m=(x,y,z), A m.CB=4y=0 y=0 则 m:CD=23x+2V52=0'则有 ,所以m=(1,0,-1), x=-Z B 又CB=(0,4,2V3), A CRm_25-6, B m √2 所以，点B到平面BCD的距离为V6;6分 (2)①A45,0,0,B(0,4,0),则AB=（45,4,0,设AE=元AB, 则4E=AA+AE=4A+1AB=(0,0,-23)+2(-4V3,4,0)=(-4V32,42,-2N3), 因为AE11平面BCD,所以，AE⊥m,即AEm=0, 得(45,42，-25)L0,-)=0,所以-45队+25=0，将元= 所以E1 AB 2 12分 ②平面BCCB,的一个法向量n=(1,0,0),又AE=(-2√3,2，-23)， 得cos(元4E=i.4E -25-23√21 4EV12+4+122√7 7 所以，AE与平面BCCB所成角的正弦值为 17分 7 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=e+msinx. (1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若函数∫(x)在(0，π)上单调递增，求正实数m的取值范围： (3)求证：当m=1时，f(x)在(-π，+o)上存在唯一极小值点x,且-1<f(x)<0. 高三数学第13页（共14页） 【详解】(1)当m=1时，f(x)=e+sinx,f(0)=1,故切点为(0,1)，且设切线斜率为k, f'(x)=e*+cosx,k=∫'(0)=2，故切线方程为y=2x+1,4分 (2)易知f'(x)=e+mcosx,由已知得函数f(x)在(0，元)上单调递增， 故f(20在(0，上恒成立，而当0<x≤5时，由m>0,得f()>0, 则当<<x时，f)20台m≤-心8，求导得g= e'sin(x+") 4 cosx cos2x 令810，任）◆g0经 故8在任好）单调莲减，在子网单调造枪， 由g(x)≥g ）c,得me,又m0 所以m的取值范围是m∈ 10分 (3)当m=1时，f(x)=e+sinx,定义域为(-π，+o),故f'(x)=e+cosx, 当x∈(0，+o)时，f'(x)>0,f(x)在(0，+∞)单调递增，此时f(x)无极值点， 当x∈(-π，0)时，f"(x)=e-sinx,显然f"(x)>0恒成立， 则r在(x0)单调递增.易知/（引>0，（买）0.即/（引r)<0, 故存在气圣到}作为f零点，故e=-os, 令f'(x)<0,x∈(-π，x),令f'(x)>0,x∈(，0) 故f(x)在(-元，x)单调递减，在(x,0)单调递增， 即f()极小值是f(,)=e+sinx=sinx-cosx,=V2sin,-孕， 结合×（径引可得5m化孕(L0, 即-1<f(x)<0得证… 17分 高三数学第14页（共14页）