江苏省如皋中学2026-2027学年高三上学期第一次阶段考试数学试题

高三年级第一次阶段考试 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（ ） A．极差为5 B．中位数是7 C．平均数是5 D．众数是8 3．在中，已知，，，则（ ） A． B．或 C． D．或 4．已知随机变量服从正态分布且，则（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 5．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙相邻，且甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（ ）． A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 6．已知向量，均为单位向量，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知在平行六面体中，，，，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若存在，满足，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A． B．的共轭复数为 C． D． 10．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则为直角三角形 B．的中线有最小值 C．若的平分线长为，则 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 11．已知点，，，均在半径为1的球的表面上，且平面，则下列结论正确的有（ ） A．三棱锥为正三棱锥 B．若，则平面平面 C．面积的最大值为 D．三棱锥体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数为________． 13．如图，在同一个平面内．向量，，的模分别为1，，，与的夹角为，且，与的夹角为．若（，），则________． 14．设函数，则：①函数的极值点有________个；②若对任意，，总存在唯一，使得，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）某学校从4名男生和3名女生中任选3人作为志愿者． （1）求所选的3人中至少有2名男生的概率； （2）设随机变量表示所选3人中女生的人数，求的分布列及数学期望． 16．（本小题满分15分）已知函数，函数的最小正周期为． （1）求的值及此时的对称轴； （2）若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围． 17．（本小题满分15分）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）求证：当时，； （3）若恒成立，求的取值范围． 18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）设点是的重心（为的三条中线的交点）． （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）设平面，求． 19．（本小题满分17分）对给定的实数，，，其中，．对于定义域为的函数，区间，若满足以下两个条件： （ⅰ）对任意的，都有； （ⅱ）对任意的，．则称为在区间上的一个“压缩函数”．区间上所有“-压缩函数”构成的集合记作． （1）判断下列函数，是否属于集合？（直接写出结论） ①，②； （2）若满足对任意的，，求的取值范围； （3）若函数是区间上的“压缩函数”，且在上的图像是一段连续曲线；求证：存在唯一的，使得． 学科网（北京）股份有限公司 $