江苏省如皋中学2026-2027学年高三上学期数学滚动练习4（9.5）

如皋中学高三数学滚动练习4 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知a>0,b>0,则() A.a2+b2>2ab 1+11 B. a bab 11 C.a+bab D. ≤Vab a b 【答案】C 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法判断即可， 【详解】对于A,因为a>0,b>0,所以a2+b2≥2√b2=2b,当且仅当a=b时等号成立. 所以，当a=b时，a2+b2=2b,A错误 对于B,如a=b= 片日方44=8高6，北时哈分动 不成立，B错误 对于C,因为a>0,b>0,所以a+b≥2Wab,当且仅当a=b时等号成立. 又2ab>√ab,所以a+b>√b,C正确. 对于D,如a=b宁日计方2-2=4，a西-分此时合若西不成立，D猎谈 a b 2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，√3)，则三的虚部为() A.3 B.5; 2 2 2 D.-3 【答案】A 【详解】由于在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,3)，所以z=1+√，三=1-√i, 数-16_+5到1+26+(2+25寸 Z1-3i 1+3 22 所以的虚部为5 2 3.已知一组数据为：1,1,2,4,5,3,3,2,3,2，则这组数据() A.中位数为2 B.众数为2 C.70百分位数为3 D.平均数为3 【答案】C 【分析】根据数据的样本的数字特征值的概念分别判断各选项. 试卷第1页（共18页） 【详解】将数据从小到大排列为：1,1,2,2,2,3,3,3,4,5，共10个数， 中位数为2+3_5 22,A选项错误， 出现最多的是2和3，均出现3次，故众数为2和3，B选项错误， 10×70%=7,故70分位数为33=3，C选项正确， 2 平均数为1+1+2+2+2+3+3+3+4+5_13 10 ,D选项错误， 故选：C 4.已知函数f(x)在区间[1,4]上的图象是连续不断的，设p:f(1)f(4)<0,9:f(x)在区间(1,4)中至少 有一个零点，则P是q的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义分析判断即可作答. 【详解】由“函数f(x)在区间[1,4上的图象是连续不断的，且∫(1)f(4)<0”, 根据零点存在定理，可得在区间(1,4)上至少存在一个零点，所以卫能推出9， 反之，当f(x)在区间(1,4)中至少有一个零点时，比如f(x)=(x-3), 在(1,4)上有一个零点，但是f(1)f(4)>0,所以9不能推出P, 故P是q的充分不必要条件。 故选：A 5.已知图数-叫，若a=用)b=[ c=f(3),则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 【答案】D 【分析】先利用对数的运算法则，把a,b,c分别转化为n4,ln2,n3,再利用函数f(x)=lnx的单调性比较大 小 【详解】因为a三 -h4,b=f)2,c==n3 且f(x)=lnx在(1，+o)单调递增， 所以n2<ln3<n4,即b<c<a. 试卷第2页（共18页） 故选：D 6。某化工厂生产一种溶液，初时含杂质1，每过滤一次可使杂质含量减少}，要使产品达到市场要求，杂 质含量不能超过 20 则至少应过滤的次数为（已知：lg2≈0.3010,1g3≈0.4771）（) A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】D 【详解】设至少需要过滤n次， 所以mlg2≤-le20,即n lg20 1+0.3010 10.42. 1g4-1g32×0.3010-0.4771 又neN,所以n≥11，至少应过滤11次 7.已知函数f(x)是定义在(-o,0)U(0,+o)上的奇函数，f'(x)是f(x)的导函数.当x>0时，有 ()-3f9)>0恒成立，且f)=2,则不等式f田<2x的解集是（) A.(-o,-1)U(0,1) B.（-1,0)U(1,+∞) C.(-1,0)U(0,1) D.(-∞，-1)U(1,+o) 【答案】A 【分析】构造函数g()= x3 ,由题设条件得到函数的单调性，将原不等式转化为8(x)与g)、8(-1)的 大小关系，分段讨论解集 【带解1改8)=但.=0，求利g网=r-四3-国-3@ x4 已知x>0时，xf"(x)-3f(x)>0,且x>0,因此x>0时g(x)>0, 即g(x)在(0，+o)上单调递增. 又f)是奇函数，因此8()=八0= (←x)3 3 =g(x), 故g(x)是偶函数，且g(x)在(-o,0)上单调递减. 由f0=2得g0=f四=2，故g-)=g0=2. 13 对原不等式 )<2x分两种情况讨论： x2 当x>0时，不等式两边同乘x2>0,得f(x)<2x, 两边同除以x>0,得<2g<g), x3 试卷第3页（共18页） 因为g(x)在(0，+o)上单调递增，故0<x<1: 当x<0时，不等式两边同乘x2>0,得f(x)<2x, 两边同除以x2<0,得四）2一gx>g), x3 因为8(x)在(-o,0)递减，故x<-1. 综上，不等式的解集为(-∞，-1)U(0,1) 8.已知alna=be',b>0,则夕的最大值为() a A.e B.2e 1 c 1 D. 【答案】B 【分析】根据题意转化为lnae血a=be,令f(x)=xe,求得f'(x)>0,得到f(x)单调递增，得到 fa)=f0).即a=心，得到会be,令（创=e,求得g"()-e“Q-20,结合函数9的单 调性和最大值，即可求解， 【详解】由aha=be,可得Ina.ema=be,a>l, 令f(x)=e,可得'(x)=(x+1)e>0,所以f(x)单调递增， 因为f(na=f(b),可得b=hna,即a=e, 则=6e”,令g四=，可得g(四=e“Q29 当0<x<时，8()>0，g(y单调递增： 当x心时，g<0,()单调道成 所以当x=号时，可得g(m=g 1、 1 2e 所以之的最大值为28 b 1 故选：B, 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.下列说法正确的有() 则Pxs2-贵 B.若X~N(4,o2),且P(X≤-3)+P(X≤5)=1，则u=2 试卷第4页（共18页） C已知率件A,B互斥，P(4-子P()写则P(4UB) D.已知事件4，日相互独立，P(A子P(②)-？则P(西)-名 【答案】AC 【详解】对于A若~84引 则P(X≤2)=1-P(X>2)=1-P(X=3)-P(X=4) 1-图1是行即A压 对于B,若X~N(4,o2),且P(X≤-3)+P(X≤5)=1， 则P(X≤-3)=1-P(X≤5)=P(X>5): 因此可得-3+5=2，解得u=1,即B错误： 对于C,由率件A,B互斥且P()-子P(a) 3 则P4列=P+)=子即CE商： 对于D,由事件A,B相互独立可知A,B也相互独立， 根据P(④P(到可得P(团=1P4P(国)=1P()-号 则叫画-P(国到P国-子号分：因此D错误 10.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C1D中，P是线段B,C上的动点，则() A.直线AD与BP是异面直线 B.三棱锥D-APD的体积为定值 C.直线AP与平面B,CC所成角的正弦值的最大值为 2 D.平面ADP与平面ABCD所成的锐二面角为 4 【答案】BD 【分析】对于A,根据异面直线的定义判断即可；对于B,根据等体积法判断即可；对于C,根据线面角的 几何求法求解即可；对于D,根据二面角的定义判断即可 【详解】对于A,正方体ABCD-AB,CD中，AD//BC 又P是线段B,C上的动点，当P为B,C与BC1的交点时，AD//BP,此时不是异面直线，A错误， 试卷第5页（共18页） D B B 对于B,正方体ABCD-AB,CD中，平面AADD1I平面BB,CC, 又B,Cc平面BBCC,所以B,C/平面AADD, 因为P是线段B,C上的动点，所以P到平面AADD的距离为定值h(等于正方体棱长2)， 又8e为定值，所以A=儿4e专3eh为定值，B正确 对于C,正方体ABCD-AB,C1D中，AB⊥平面BB,CC, 连接BP,则∠APB即为直线AP与平面BB,CC所成的角. 又BPC平面BB,CC,所以AB⊥BP, 在Ra4BP中，sm∠APB积品所以当AP最小时，mAPB最大 又AP=√AB2+BP2=√BP2+4,即BP取最小值， 正方形BB,CC中，B,C⊥BC1,所以当P为B,C与BC1的交点时，BP最小，此时BP=√2 所以si∠APBx=,2-2-V6 2店，c错误 对于D,正方体ABCD-AB,CD中，P是线段B,C上的动点，则平面ADP与平面ADCB为同一平面 则平面ADCB,与平面ABCD所成的锐二面角即为平面ADP与平面ABCD所成的锐二面角， 易知平面4DC8与平面4BCcD所成的锐二面角为子。 所以平面4DP与平面A8CD所成的锐二面角为子D正确 11.设函数f(x)=x-3x2-ax+4,则下列结论正确的是() A.(x)至少有一个零点 B.(x)的零点都可以利用二分法求解 试卷第6页（共18页） C.若a>-3,则f(x)有两个零点 D.若是f(x)的极值点，且存在(3≠x)使得f()=f(6),则x+2=3 【答案】AD 【详解】因为f(-1)=-1-3+a+4=a,f(2)=8-12-2a+4=-2a, 当a=0时，由f(-1)=f(2)=0可得f(x)至少有两个零点， 当a≠0时，由f(-1)f(2)=-2a<0可得f(s)至少有一个零点， ∴f(x)至少有一个零点，故A正确， 由函数f(x)=x3-3x2-ax+4,得f(x)=3x2-6x-a,令3x2-6x-a=0, 当△=36+12a>0,即a>-3时，f'(x)有两个变号零点，分别记作m,n(m<n),则f(x)在(-o,m)和(n,+∞) 上单调递增，在(，n)上单调递减， 若f(m)=0或f()=0,若f(x)的某个零点恰好是极值点，则函数在该零点附近不变号，不满足二分法的 使用条件，故B错误， 若f(m)f(n)<0,则函数f(x)有三个零点，故C错误， 若是f(x)的极值点，则f'()=3-6x-a=0,故3x-6x=a, 由f(:)=∫(6，得f()-f()=(-3x2-a+4)行-32-+4x-x-3-xa右-） =(:-6)(+56+片-3x-3%-3+6x)=(-)(伍+2x-3)=0, ,为≠，x1十2x=3,故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 l2.设函数f(x)=2,函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称，函数h(x)的图象由g(x)的图 象向右平移1个单位得到，则h(x)解析式为 【答案】-1og2(x-1) 【详解】与f(x)=2的图象关于直线y=x对称的图象所对应的函数为8()=1o9!x=-log,x, 再将其图象右移1个单位得到h(x)=-log2(x-1)的图象， 试卷第7页（共18页） 13.已知函数)=g6)-e-m,若5=L,ele0.使得了)>g化)成立，则实数a的取值 范围是 【答案】(e,+o) 【分析】先求出∫(：)的最小值将原命题转化为8(x2)有解的问题，随后运用参变分离法构造新函数并求其 极小值，即可得出参数a的取值范围 【详解】由题意得f)= 1.x-mx 1-mx, 则当x∈L,e时，f)=1-血x之0，即f)在l,日上单调递增， 则-0--0：由geL些e0使得1)>g6)成立. 则8()<0在(0,1]上有解，即a>C在(0,1】上有解， 令h0)=c,xe(0,1,因为e>0,x-1≤0，x>0,则h)=e(x-D≤0， 故h(x)在(0,1]上单调递减，则a>h)=e,即实数a的取值范围是(e,+o). n(-x,x<0 14. 设函数f(x)= 2-4,x≥0' 若函数8(x)=f(f(x)-a有7个零点，则a的取值范围为 【答案】(0,3). 【分析】令t=∫(x),则原方程的解变为方程组 t=f(x),① =2的解，作出函数y=),采用数形结合法即 求. 【详解】函数g(x)的零点即为方程g(x)=0的解，令t=f(x), 「t=f(x),① 则原方程的解变为方程组 f(t)=a② 的解， 作出函数y=f(x)的图象， P 110:61og7x 试卷第8页（共18页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或演算过程. 15.已知函数f(x)=-x3+3x+1,x∈[-2,2]： (1)求f(x)的值域： (2)讨论函数g(x)=f(x)-a的零点个数. 【答案】(1)[-1,3] (2) 当a>3,或a<-1时，函数g(x)没有零点， 当a=3,或a=-1时，函数g(x)有2个零点， 当-1<a<3时，函数g(x)有3个零点 【分析】(1)利用导数的性质进行求解即可： (2)根据(1)的结论，画出函数的图象、函数零点的定义，利用数形结合思想进行求解即可 【详解】(1)由f(x)=-x2+3x+1→f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1), 令f'(x)=0→x=-1,或1， 当x∈[-2，-1)时，∫'(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(-1,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(L,2]时，f(x)<0,f()单调递减， 所以函数f(x)在x∈[-2,2]时，极小值为f(-1)=-1,极大值为f(1)=3, 而f(2)=-1,f(-2)=3, 所以函数∫(x)在x∈[-2,2]时，最大值为3，最小值为-1， 所以函数f(x)在x∈[-2,2]时，值域为-1,3] (2)函数g(x)=f(x)-a=0→a=f(x), 函数g(x)=f(x)-a的零点个数转化为直线y=a与函数f(x)图象交点个数问题， 结合(1)的结论，在同一直角坐标系内，画出直线y=a与函数f(x)图象， 当a>3,或a<-1时，直线y=a与函数f()图象没有交点，因此函数g(x)没有零点， 试卷第9页（共18页） 当a=3,或a=-1时，直线y=a与函数f(x)图象有2个交点，因此函数g(x)有2个零点， 当-1<a<3时，直线y=a与函数∫(xy)图象有3个交点，因此函数g(x)有3个零点， 综上所述：当a>3,或a<-1时，函数g(x)没有零点， 当a=3,或a=-1时，函数g(x)有2个零点， 当-1<a<3时，函数g(x)有3个零点. y=fx) 16.已知函数f(x)=alnx+x+a(aeR). (1)设号是函数f(x)的极值点，求a的值： ®微g国r)口。，甘枪展及g的的*调性 【答案】(1)万 ②当a>0时.g在区间Q日上单测送读。在区间合+上单词递瑞，当：<0且a=-1时，&因在 区间(0，-a)上单调递减，在区间(-a,+∞)上单调递增 【分析】(1)对f)求导后代入x=使导数值为0即可求解： 2 (2)由条件整理出g(x)后求导，再讨论根的位置关系即可得到g(x)的单调性， 【详解】(1)由题意得f"(x)=2+1- 因为；是函数f(9的极值点，所以 1 =2a+1-4a=0, 解得a=2’ 1 当a号时f-2.2- 2x2 2x2 试卷第10页（共18页） 当0<x<时，f(k0,函数)在02 上单调递减， 当x时，f(>0.函数f在行+ 上单调递增， 2为函数f(r)的极小值点，满足条件，故a= 1 2 2)因为/)咖*(a+( 则g)-ara-=+口0 Ix-1 (+ayx-L x2+a- a a ≠0且a≠-l, a x x2 当a>0时，+a>0,令g四>0得x>令g()<0得0<t< a 函数)在区间（合+口上单词递增，在区间(0日 上单调递减， 1 当a<0且a≠-1时，x-二>0，令g'(x)>0得x>-a,令g'(x)<0得0<x<-a, a 函数g(x)在区间(-a,+o)上单调递增，g(x)在区间(0，-a)上单调递减， 综上，当a>0时，g()在区间0，上单调递减，在区间久，+四 上单调递增， 、a a 当a<0且a≠-1时，g(x)在区间(0，-a)上单调递减，在区间(-a,+o)上单调递增 17.已知有三个红球和足够多的白球，它们除了颜色之外其余完全相同，现将这三个红球和其中的一个白 球放入一个不透明的盒子里，并设置取球游戏的规则如下：每次从盒子里取一个球，若取到红球，则该红 球不放回盒子里，但将盒子外的一个白球放入盒子里：若取到白球，则该白球不放回盒子里，且不放入盒 子外的任何球.如此重复取球，直到盒子里仅有一种颜色的球时，游戏结束. (1)求恰好经过三次取球后，游戏结束的概率； (2)当游戏结束时，记盒子里的红球个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望. 【答案】(1)2 (2)分布列为： 0 2 3 43 17 P 96 96 8 试卷第11页（共18页） 期望为113 96 【分析】(1)根据相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的和的概率公式求解： (2)根据题意求出随机变量的概率，列出分布列，求期望即可， 【详解】(1)恰好经过三次取球后，游戏结束，可分为两个互斥事件， 第一次取出红球，盒子里面变为2红球2白球，第二次取出红球，盒子里面变为1红球3白球，第三次取 出红球后，盒子里面变为4白球，游戏结束，其概率为P=3×2×3 44432 第一次取出红球，盒子里面变为2红球2白球，第二次取出白球，盒子里面变为2红球1白球，第三次取 3211 出白球后，盒子里面变为2红球，游戏结束，其概率为乃=二×二×二= 44381 317 所以恰好经过三次取球后，游戏结束的概率P=乃+乃= 32832 (2)由题意，X的取值为0,1,2,3， P(x-3)=子P(x-2)-子*子38 3、211 x=0子子对品品品 x=0+)-袋 所以分布列为： X 0 2 3 43 17 96 96 8 4 17 E(X)=0× 43 +1× +2x12 +3 ×24_17+24+72_113 96 96 96 96 96 96 18.如图，在三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=AA1=3,AB⊥AC,∠AAB=∠AAC,D是棱B,C1的中 点 D B (1)证明：BC⊥平面AAD; 试卷第12页（共18页) (2)若AB=3W2,求直线AB与平面AAD所成线面角的大小： B若三枝锥B-4BD的体积为N5,求平面4BD与平面CBBC,的夹角日. 8 【答案】(1)证明：取BC中点O,连接AO,AO,AC,DO, C D A B 、 B 因为D是棱BC1的中点，易得四边形AAOD为平行四边形， 则平面AAD即为平面AAOD, 因为AB=AC,O为BC的中点， 所以AO⊥BC, 因为∠AAB=∠AAC,AB=AC,AA=A4,所以△AAB≌△AAC, 所以AB=AC,又O为BC的中点， 所以AO⊥BC, 因为AO∩AO=O,AO,AOc平面AAOD, 所以BC⊥平面AAOD,即BC⊥平面AAD, 、兀 (2) 6 、兀 3)3 【分析】(1)取BC中点O,由AB=AC得AO⊥BC;由∠AAB=∠AAC结合AB=AC和公共边A4证 △AAB≌△AAC,得AB=AC,从而AO⊥BC;又由棱柱中点关系证四边形AAOD为平行四边形，说明 AO、AO均在平面AAD内，且二者相交于O,故BC⊥平面AAD; (2)由(1)知BC⊥平面AAD,故O为B在该平面上的投影，线面角即∠BAO:利用AB LAC且AB=AC=3 算得BO,结合给定AB作为斜边，在直角三角形中用正弦函数求得线面角： 试卷第13页（共18页） (3)先利用体积条件等体积换顶点，反推出点A到侧面BCC,B的距离：方法一：建系求两平面法向量， 代入夹角公式取绝对值；方法二：过垂足作辅助线构造二面角平面角，用勾股定理和相似三角形算边长， 再用余弦函数求得二面角， 【详解】(1)略 (2)由(1)知BC⊥平面AAOD,则点B在平面AAD内的投影为O,则∠BAO即为所求线面角， 因为在AMBC中，ABLAC,AB=AC=3,所以BO=BC=35 2 32 所以Sin∠B40=B0- 2 1, AB 32 2 所以直线48与平面44D所成线面角为君 (3)由(1)知BC⊥平面AAOD,因为BCc平面ABC,且BCc平面BCC,B, 故平面AAOD⊥平面ABC,平面AAOD⊥平面BCCB, 过点O作OM⊥A,D于点M,则OM⊥平面ABC,过点A作AH⊥OD于点H,则AH⊥平面BCCB, 因为D01C,4B=AC=44=3,Bc=5,则S号80=星5， 所以44o黑吉码4H=五，所以4红 方法一（空间向量法）：设∠MOD=a,则∠DAH=&, 3 在Rt△4HD中cosa=4H-2-V5 AD 32 2 2 所以DM=D0.sina=32 OM=OD.cosa= 2 2 2 又4D=3 ,所以点M与点4重合， 2 以O为原点，分别以OA,OB,OA分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系， 试卷第14页（共18页） 2,22 设平面ABD的法向量为4=(x,,), 4A=-3V2,3V 则有 2当+ 29-0 0-99-0 25 令为=1，则x1=0,1=1,所以h=(0,1,1). 设平面CBB,C的法向量为h=(2,2,3), CB=32v2=0, 则有 32. ,32」 z网=5+3+2=0 令5=1，则y2=0,22=1,所以22=(1,0,1)， ·2 则有cos8 二 H西 2 所以平面4B0与7面C8AG的求角8为号 方法二（几何法）：过点H作HE⊥BD,连接AE, 因为AH⊥平面BCCB,所以AH⊥DB,则DB⊥平面AE, 所以AE⊥BD,则∠AEH即为所求二面角， 在△AD明中，4H-AD-3,则Dm=多 2 试卷第15页（共18页） 在RtaD0B中，OD-3,OB=35,则DB-3 2 由Rt△DEHRt/△DOB可得E=D1 OB DB' 所以B=3、 ，则4-4P+孤-5. 所以AH-阳号即平省4D与T面C8S的大角O 3 19.己知函数f(x)=xnx-ax+x. (1)当a=0时，求f(x)的单调递减区间； (2)对x≥1，f(x)≤2(x-1)恒成立，求实数a的取值范围： 1 (3)若曲线y=∫(x)上存在两个不同的点A、B,使得A、B关于直线y=x对称，求证：0<a< e 【答案1o) (2)[1,+） o 【分析】(1)解不等式∫'(x)<0,求解函数的单调递减区间； (2)利用分离参数法，转化为a≥g(x)m求解： (3)设(x)=x-ax,就a≤0、a>0分类讨论后可得u(x)在u(x)在(0，+o)上存在变号零点，从而可证 1 0<a< e 【详解】(1)a=0时，f(x)=xnx+x,f(x)的定义域是(0，+o), 则f(s)=nx+x+1=nx+2,令f()=l血x+2<0得0<r<。, 1 01 ·f(9的单调减区间是0，。 (2)x≥1时，f(x)≤2(x-1)恒成立， ÷xnx-am心2+x52(x-)恒成立.a≥x血x-+2恒成立， x 令g)=血+2，则a≥g(ne 8'(x)=-xlnx+2x-4 x3 令h(x)=-xnx+2x-4则h'(x)=1-lnx, 试卷第16页（共18页） i(x)>0得1<x<e,(x)<0得x>e, ,h(x)在(1，e)单调递增，在(e,+o)单调递减， .h(x)ns=e-4<0∴可知g'(x)<0恒成立， ∴g(x)在[1，+w)单调递减.∴.g(c)=g()=1, ∴.实数a的取值范围是1，+o): (3)f(x)的定义域是(0，+o),存在m>0,n>0,m≠n,使得f(m)=n,f(n)=m, g(x)=f(x)-x=x(Inx-ax), 若a≤0，设()-hx-m,则u()a>0, 故u(x)在(0，+o)上为增函数， 而x→0*时，u(x)-→-o,x→+o时，(x)→+o, 故(x)在(0，+o)上存在唯一的零点， 且当0<x<x,时，u(x)<0;当x>x时，(x)>0, 故0<x<x时，g(x)<0即f(x)<x,x=时，g(x)=0即f(x)=x, 当x>x时，g(x)>0即f(x)>x, 不妨设m>n,若m>x,则f(m)>m即n>l,与假设矛盾： 若m=x。,则f(m)=m=n,与n>0矛盾； 若m<,则f(m)<m即n<m,因此n<m<,故∫(n)<n即m<n, 矛盾： 故a>0 g(m)=f(m)-m=n-m,g(n)=f(n)-n=m-n, 因为m≠n,故g(mg(n)<0, 故存在c∈(min{m,,max{,),使得g(c)=0,且g(x)在x=c的两侧附近异号， 故g(x)在(0，+∞)上存在变号零点， 试卷第17页（共18页） 而x>0,故u(9在(0，+0)上存在变号零点，而W(y)=】a=1- 当0<x<1时，1(x)>0,当x>1时，(y)<0, 故()在0，日上为增函数，在仁+切 上为减函数， a 板um=日=h合l,散n分1小0印0<a< a e 试卷第18页（共18页）如皋中学高三数学滚动练习4 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知a>0,b>0,则() A.a+b>2ab B.11 a bab 11 C.a+bab D. +sb 2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(13)，则三的虚部为() A.3 B.5 2 2 c.-3 D.-5 2 2 3.已知一组数据为：1,1,2,4,5,3,3,2,3,2，则这组数据() A.中位数为2 B.众数为2 C.70百分位数为3D.平均数为3 4.已知函数f(x)在区间[1,4]上的图象是连续不断的，设卫：f(1)f(4)<0,9:f(x)在区间(1,4)中至少 有一个零点，则P是9的()条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 5.已知数f=叫a=[》b=[) c=f(3),则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<e<a 6。某化工厂生产一种溶液，初时含杂质1，每过滤一次可使杂质含量减少子，要使产品达到市场要求，杂 质含量不能超过20，则至少应过滤的次数为（已知：2=03010,1g3=0471)() A.8 B.9 C.10 D.11 7.已知函数f(x)是定义在（-o,0)U(0,+∞)上的奇函数，f'(x)是f(x)的导函数.当x>0时，有 寸"(x)-3f(m)>0恒成立，且f四=2，则不等式四<2x的解集是() A.（-o,-1)U(0,1) B.（-1,0)(1,+∞) C.（-1,0)U(0,1) D.(-∞，-1)U(1,+o) 8.已知alna=be,b>0,则b的最大值为() a 试卷第1页（共4页） A.e2 c 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.下列说法正确的有（) 人若X®叫4》则X≤到=贵 B.若X~N(4,o2),且P(X≤-3)+P(X≤5)=1，则u=2 C已知亭件A,8互斥，P(④子P()3则P(4UB) D.已知事件A,8相互独立，PA)-子P()有则P()名 10.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C1D中，P是线段B,C上的动点，则() A.直线AD与BP是异面直线 B.三棱锥D-APD的体积为定值 C.直线AP与平面B,CC所成角的正弦值的最大值为Y2 D.平面4DP与平面4BCD所成的锐二面角为 11.设函数f(x)=x-3x2-ax+4,则下列结论正确的是() A.f(x)至少有一个零点 B.f(x)的零点都可以利用二分法求解 C.若a>-3,则f(x)有两个零点 D.若是∫(x)的极值点，且存在（出≠x)使得∫(）=∫()，则x+2x=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设函数f(x)=2,函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称，函数(x)的图象由g(x)的图 象向右平移1个单位得到，则h(x)解析式为 13.已知两数f)-8)=e-a瓜，若eLe小3e0]使得/（化）>g化)成立，则实数a的取值 范围是 n(-x),x<0 14.设商数=2-4到x≥0 若函数8(x)=f(f(x)-a有7个零点，则a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答过程写出文字说明、证明过程或演算过程 试卷第2页（共4页） 15.己知函数f(x)=-x3+3x+1,x∈[-2,2] (1)求f(x)的值域： (2)讨论函数g(x)=f(x)-a的零点个数. I6.已知函数f(=ahx+x+(aeR) (1)设号是函数f(x)的极值点，求a的值： a设o)=(+了》+a-日加x,讨论画数（四的单调性 17.己知有三个红球和足够多的白球，它们除了颜色之外其余完全相同，现将这三个红球和其中的一个白 球放入一个不透明的盒子里，并设置取球游戏的规则如下：每次从盒子里取一个球，若取到红球，则该红 球不放回盒子里，但将盒子外的一个白球放入盒子里；若取到白球，则该白球不放回盒子里，且不放入盒 子外的任何球.如此重复取球，直到盒子里仅有一种颜色的球时，游戏结束. (1)求恰好经过三次取球后，游戏结束的概率： (2)当游戏结束时，记盒子里的红球个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望. 试卷第3页（共4页） 18.如图，在三棱柱ABC-ABC1中，AB=AC=AA1=3,AB LAC,∠AAB=∠AAC,D是棱B,C1的中 点 C D A B (I)证明：BC⊥平面AAD: (2)若AB=3W2,求直线AB与平面AAD所成线面角的大小： ③)诺三枝锥R-4BD的体积为W5,求平面4BD与平面CB.C的夹角0. 8 19.己知函数f(x)=xnx-ax+x. (1)当a=0时，求f(x)的单调递减区间： (2)对x≥1，f(x)≤2(x-1)恒成立，求实数a的取值范围： (3)若曲线y=f(w上存在两个不同的点A、B,使得A、B关于直线y=x对称，求证：0<a< e 试卷第4页（共4页）