江苏省启东中学2026-2027学年高三上学期数学周练6

启东中学高三数学周练6 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={-1,01,2},B={xx-1≤1-x,则A∩B=() A.{-1,0} B.{01} C.{-l,0,} D.{0,1,2} 2.若z(2-i1)=5,则z=() A.1 B.5 C.10 D.5 3.已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为1，则圆锥的体积为() A号 B晋 D. 元 4.已知向量a与b均为非零向量，则“a∥6”是“a+)/a-的() A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若a,b,c均为正数，且3”=4中=6，则2+的值是() a b A.1 B.2 C.6 D.12 6.已知cos 2 则aa+引-() D.72 10 B.-7V2 10 c 10 7.已知函数f(x)=e*-a(x-)有两个零点，则实数a的取值范围是() A.(1,+o) B.(e,+o) C.(2e,+o) D.(e2,+∞ 8.已知(x-2+y-V2=1,（:+32)++32=100,则(x+x)}+(+)}的最小值为() A.1 B.9 C.16 D.25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设x,B,Y表示三个不同的平面，m表示直线，则下列选项中，使得α∥B的是() A.mlla,mllB B.m⊥a,m⊥B C.Ylla,YllB D.y⊥a,y⊥B 试卷第1页（共4页） 10.已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R,f(x)≥g(x)(当且仅当x=0时，等号成立)，则下列结论可 能正确的是() A.x∈R，f(x)≥f(0),且g(x)≤g(0) B.xeR,f(x)≥f(O),且g(x)≥g(0) C.x∈R,f(x)≤f(0),且3x2∈R,g(x2)>g(0) D.x∈R,f(x)<f(0),且3x2∈R,g(x2)>g(0) 11.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在△ABC中，BC=1,BC 边上的高等于taA,以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W, 其“直径”为d,则() A.AB2+AC2=3 B.△ABC面积的最大值为5 C.当∠MBC=时，d=5+1 2 2 D.d的最大值为6+l 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 12.己知点A在直线x-y+1=0上，AB=(2,0),则原点O与B的最短距离为 13.已知函数f(=(x-小sn(怎x+0,写出满是曲线y=f(y关于点Lo)对称的p的一个值 14.己知函数f(x)=x+-2,g(x)=e+(aeR),若曲线y=fx)上存在点P,使得点P关于y轴的对 称点在曲线y=g(x)上，则a的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 己知函数f(x)=alnr+x-2a(aeR). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若曲线y=f(x)经过点A(1,-),且在A处的切线为1.证明：除切点A外，曲线y=f(x)在直线I的下方. 试卷第2页（共4页） 16.(15分) 已知定义在(Q,刘上的函数f()=2s加os克+aos5(aeR),f}=l. (1)求a的值及f(x)的值域： a在1c中，角4BC所对的边分别为ac,已知C-哥引-5，c=,sm8-s=百求1c 的面积 17.（15分) 如图，为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直； 保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少 位于点0正北方向60m处，点C位于点0正东方向170m处0C 北 B 60m 070m 东 (1)求新桥BC的长； (2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 试卷第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AB=BC=2AD=2,AD/IBC,∠DAB=90°.以AC 为直径的球面分别交PB,PC于M,N两点(M,N异于所在棱端点). D (1)证明：AM⊥平面PBC: (2)求异面直线MN与CD的夹角： (3)求三棱锥C-MND的体积 19.(17分) 已知函数f(x)=log。x(a>1)与g(x)=x2(t>0)的图象相交于点P,O为坐标原点， (1)求函数y=f(x)图象在M(a,1)处的切线方程： (2)若直线OP与y=f(x)图象相切于点P,求d的值： (3)若直线OP与y=f(x)图象交于另一点9，且Og≥2OP,求d的取值范围. 试卷第4页（共4页）启东中学高三数学周练6 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={-1,01,2},B={xx-1≤1-x,则AnB=() A.{-1,0} B.{0,1 c.{-1,0,} D.{01,2} 【答案】C 【分析】先求出集合B,再根据交集的定义求解即可. 【详解】由x-1≤1-x,得x≤1，即A∩B={1,0,1} 2.若z(2-i)=5,则z=() A.1 B.5 C.√o D.5 【答案】B 552+)=10+5i=2+i, 【详解】由题可得z=2一(2-2+①4+1 故z=V22+12=5 3.已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为1，则圆锥的体积为() B. 3π C. 9π D. 9π 4 8 4 【答案】A 【分析】分析可知，外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，利用正弦定理求出圆锥的底面半径 为”，进而求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可求得结果 【详解】设圆锥的底面半径为”，由于圆锥轴截面为等边三角形，则外接球半径即为轴截面等边三角形的外 接圆半径， 2 R 试卷第1页（共16页） 由正弦定理可得2= in60,则r=3 2r 2 易知该圆锥的高为h=5r=多，故该圆锥的体积为V-h-写×子×28 1333 3 故选：A 4.已知向量a与b均为非零向量，则“a∥元”是“a+)/a-b的() A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若a∥i,则存在实数使得i=na,所以a+b=a+a=1+2a, a-i=a-a=1-2a,因为a是非零向量，所以1+2a/1-2a, 即a+b)/G-五，充分性满足： 若+i)/-,当a-b=0时，a=b,当a-6≠0，存在实数4，使得a+ba-) 整理得，1-ua+1+ub=0, 因为向量a与b均为非零向量，所以1-，1+4均不为0， 则a=+1, 所以a∥i,必要性满足。 故“a〃i”是“G+b)1G-”的充要条件 故选：C 5.若a,b,c均为正数，且3=4=6，则2e+的值是() a 6 A.1 B.2 C.6 D.12 【答案】B 【解析】令3°=4=6=t,得到a=log3t,b=log4t,c=log6t,然后利用对数运算求解. 【详解】令30=40=6=t, a=log3 t,b=logat,c=logt, -log,3 =l10g,4, b 试卷第2页（共16页） =logt.(log,9+log,4), =l0gt.log,36, 1gtlg36=2, 1g6 lgt 故选：B 6.已知cos A._ 2 B.- 7W2 4 C. D.7V2 10 10 10 【答案】A 【分析】先利用同角三角函数基本关系求出simα+ 然后找出已知角a+元与要求角a+?之间的关系， 12 12 从而直接利用两角和的余弦公式即可求解. 【译解】因为“为极角所以a0,受，所以a+吕∈合孕， 所以awra+引-am[e+}}ora+}msma+} 3x2_4x2-2 525210 故选：A 7.已知函数f(x)=e*-a(x-)有两个零点，则实数a的取值范围是() A.(1,+o) B.(e,+o) C.(2e,+o) D.(e2,+∞ 【答案】D 【分析】求导得到f'(x),利用导数得到f(x)的最小值，从而要使f(x)有两个零点，则f(x)的最小值小 于0，利到a的范围，再利用零点存在性定理证明所求的a的范围符合题意 【详解】由函数f(x)=e-a(x-l),可得f'(x)=e*-a, 当a≤0时，'(x)=e-a>0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增， 所以f(x)至多一个零点，不符合题意， 试卷第3页（共16页） 当a>0时，f'(x)=0,可得x=na, 当x<lna时，f'(x)<0,所以f(x)在(-o,lna)上单调递减， 当x>lna时，f'(x)>0,所以f(x)在(lna,+oo)上单调递增， 所以x=na时，f(x)取得极小值，也是最小值， 又函数f(x)=e-a(x-l)有两个零点，所以f(na<0, 即a(2-na<0,解得a>e2, 当a>e2时，na>2, 当x=1<lna时，f)=e>0, 当x=2na>lna时，f(2lna=a2-2alna+a=a(a-2na+l), 设p(a)=a-2na+1,则p(a)=1-2-g-2>0, 所以p(a单调递增，则p(a)>p(e)=e2+1-4>0, 所以f(2na=a(a-2na+l)>0,所以f(x)在(1，lna上有且只有一个零点， 在(na,2na上有且只有一个零点， 所以满足函数f(x)=e-a(x-l)有两个零点的实数a的取值范围是(e,+∞) 故选：D 8.已知(x-2+-2=1,（:+32+,+32=100,则(x+x}+(+}的最小值为() A.1 B.9 C.16 D.25 【答案】D 【分析】将(：-2}+y-2=1,(飞+32+5+32}=100看成两点间距离的平方，将问题转化成 两圆上点的距离求解。 【详解】将(5+32+0，+32=（x-32+(为-32)=100， 设A(x,),B(-x,-y2) (x-2+-2=1,[(-x)-32]+[(-)-32]=100, 得点A(x)在以V2,V2)为圆心，1为半径的圆上， 试卷第4页（共16页） 点B(-x,-)在以3N2,32)为圆心，10为半径的圆上， 两圆心距d=32-V2)+(32-2)=4<10-1,两圆内含， 所以4=Vx+x}+0+},1AB1=10-1-32-2+32-2=5, 则[(：+}+(0y+]=(ABP)=25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设α，B,Y表示三个不同的平面，m表示直线，则下列选项中，使得xB的是() A.mlla,mllB B.m⊥，m⊥B C.Ylla,yllB D.y⊥a,y⊥B 【答案】BC 【分析】根据线面平行、面面平行的知识对选项进行分析，从而确定正确答案。 【详解】对于A,若ml/a,mllp,则a,B可能相交，A选项错误 对于B,若m⊥a,m⊥B,则a∥B,B选项正确 对于C,若yl∥a,yl∥B,则al∥B,C选项正确 对于D,若y⊥a,y⊥B,则a,B可能相交，D选项错误. 故选：BC 10.已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R,f(x)≥g(x)(当且仅当x=0时，等号成立)，则下列结论可 能正确的是() A.x∈R,f(x)2f(0),且g(x)sg(O) B.xeR,f(x)≥f(o),且g(x)≥g(0) C.x∈R,f(x)≤f(0),且3x2∈R,g(x2)>g(0) D.3x∈R,f(x)<f(0),且3x2∈R,g(x2)>g(0) 【答案】ABD 【分析】构造函数f(x)=1+x2,g(x)=1-x2,可判断A;取f(x)=e,g(x)=x+1,可判断B:当x=方 时，可得f(x2)<g(x),可判断C:取f(x)=e(x∈R),g(x)=x+l(x∈R),可判断D. 【详解】对于A,取f(x)=1+x2,g(x)=1-x2, 试卷第5页（共16页） 满足函数f(x)与g(x)的定义域均为R,f(x)≥g(x)(当且仅当x=0时，等号成立)， 可得x∈R,f(x)≥f(0),且g(x)≤g(0),故A可能正确： 对于B,取f(x)=e,g(x)=x+1,函数f(x),g(x)均为偶函数， 当x≥0时，f(x)=e,g(x)=x+1, 令h(x)=e-x-1(x≥0)，则h(x)=e*-1, 当x≥0时，h(x)≥0，函数h(x)=e-x-1在0，+∞)上单调递增， 所以h(x)≥h(0),所以e'-x-1≥0，所以e≥x+1, 即满足函数f(x)与g(x)的定义域均为R,f(x)≥g(x)(当且仅当x=0时，等号成立)， 又f(x)=e在[0，+o)上单调递增，g(x)=x+1在[0，+o∞上单调递增， 可得xeR,f(x)≥f(0),且g(x)≥g(0),故B可能正确： 对于C,若x∈R,f(x)sf(0),且3x∈R,g(x)>g(0), 当x=x2时，f(x2)≤f(0),可得f(x2)<g(x2), 此时不满足f(x2)≥g(x)成立，故C不可能正确： 对于D,取f(x)=e(x∈R),g(x)=x+1(xeR), 令p(x)=e-x-1,则p'(x)=e-1, 当x<0时，p'(x)<0,函数p(x)=e-x-1在(-o,0)上单调递减， 当x>0时，p'(x)>0,函数p(x)=e-x-1在(0，+o)上单调递增， 所以p(x)≥p(0),所以e-x-1≥0，所以e≥x+1,当且仅当x=0时等号成立， 故满足函数f(x)与g(x)的定义域均为R,f(x)≥g(x)(当且仅当x=0时，等号成立)， 取3x=-1,使得f()=。<1=f0),且3，=1,8(s)=2>1=g(0),故D正确 故选：ABD. 11.定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径.在△ABC中，BC=1,BC 边上的高等于tanA,以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W, 其“直径”为d,则() 试卷第6页（共16页） A.AB2+AC2=3 B.△MBC面积的最大值为 4 c.当∠Ac-时，d=51 D.d的最大值为V6+! 2 2 【答案】ABD 【分析】由三角形等面积法及余弦定理可判断A,再由基本不等式得出cosA范围即可得出面积最大值判断 B,再由题目条件得出三角形为等腰直角三角形，即可求出d最大值判断C,由C中结论及基本不等式判断 D 【详解】设角A,B,C所对的边长为a,b,c. 由三角形的面积公式可得Sc=)besinA=)tanA, 2 2 所以c0sA=,,由余弦定理，可得b2+c2-a2=2,所以b2+c2=3,故A正确： bc 由S。=besin A=ap24,又b+c2=3≥2bc=c0S'所以cosA≥2 2 cosA 3 所以tanA= 1-cos2 A 1-1 9 cos2 4 cos2 山s5,防必以SAc≤，且仅当6=C=)时取等，B正 2 2 设AB,AC边上的中点分别为E,F,在AB上取一点M,在AC上取一点N, M 由两点间线段最短可得MN≤ME+BF+N=a+b+d小，当且仅当M,NE.F 四点共线时取等，所以d-a+b+d小，又∠ABC= 所以tanA=1 解得A-年所以c=a=1,6=反，所以d= +1,故C错误； tan A 2 +,F+C_6+1,当且仅当b=c=6时取等，放D正确 由前可知，d=2a+b+c)s2ty2=2 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 12.已知点A在直线x-y+1=0上，AB=(2,0),则原点O与B的最短距离为一， 试卷第7页（共16页） 【容案】号 【分析】不妨设点A(,1+1),可求出向量OB的坐标，利用二次函数的基本性质可求得OB的最小值，即为 所求 【详解】不妨设点A(,1+1),则OB=OA+AB=(,t+1)+(2,0)=(1+2,1+1), 因此， 当且仅当t=- 时，等号成立， 因此，原点O与B的最短距离为 2 故答案为： 2 2 13.已知函数f)=6-)n(名x+p 写出满足“曲线y-f(x)关于点(1,0)对称的P的一个值 【答案】背（答案不唯，形如a+号keZ皆可） 3 π 【分析】由题意可得f(x+1)+f-x)=0,可得2x+工+p=刀 二x+p+2km或 66 66 ππ 6x+6+0+ 66x+p=元+2k(k∈Z),计算即可得解 【详解】若曲线y=f(x)关于点(1,0)对称， 则x++f0-=名x+名+pm[后名+p-0, 则n后+名+小-如g吾+p设立 气61 气661 即x++0=-x+p+2m或x++p+ 6 661 6 6 +66x+p=元+2a(keZ), 当x++0=-x+p+2km时，x=6k,不符： 6 66 当g+名p+名名+9=-+2a低eZ列时，9=号+ae: 6 ”661 3 故p=子+a(keZ),则p可为胥等只若满起p=晋+a(keZ)即可。 3 14.己知函数fx=x+1-2,g=e+Ca∈R),若曲线y=f)上存在点P,使得点P关于y轴的对 称点在曲线y=g(x)上，则a的最大值为 试卷第8页（共16页） 【答案】 e 【分析】根据给定条件，建立方程并构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】函数f)=x+1-2,g()=e+(aeR)的定义域均为（←o,0U0,+四）， 设P(x,y),则点P关于y轴的对称点为(-x,y),x≠0 1 y=x+ -2 y=f(x) 依题意，方程组 有解，即方程组 y=g(-x) x有解， a y=ex+4 -x 因此方程x+-2=c+g台a=c--1+2x,x≠0有解， r 令函数h(x)=xe-x2-1+2x,求导得h(x)=(1-x)e-2x+2=(1-x)(e+2), 当x<1时，h(x)>0;当x>1时，h(x)<0,函数h(x)在(-oo,1)上递增，在(1，+o)上递减， 则(m=h0=,由a=h)有解得a 1 所以a的最大值为 e 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=alnx+x-2a(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性： (2)若曲线y=f(x)经过点A1,-),且在A处的切线为1.证明：除切点A外，曲线y=f(x)在直线I的下方. 【答案】(1)①当a≥0时，f'(x)>0,则f(x)在(0，+o)上单调递增； ②当a<0时，f(x)在(-a,+o)上单调递增，在(0，-a)上单调递减. (2)证明：因为曲线y=f(x)经过点A(1,-1) 所以1-2a=-1,解得a=1. 所以f()=血x+x-2f()=+1. 因为f'(=2,所以1的方程为y=2x-3 要证除切点A(1,-1)外，曲线y=∫(x)在直线I的下方， 即证：lnx+x-2<2x-3(x>0,x≠1)， 试卷第9页（共16页） 只需证：lnx-x+1<0(x>0,x≠1)： 设8()=nr-x+1(x>0,x≠)，则g(冈)=1-x, 令g(x)>0,得0<x<1;令g(x)<0,得x>1, 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+0)上单调递减， 所以g(x)<g(1)=0 所以当x>0,x≠1时，nx+x-2<2x-3, 所以原命题得证 【分析】第1问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第2问将要证明曲线y=f(x) 在直线的下方，转化为函数不等式问题即可， 【详解】(1)(1)因为f(x)的定义域为(0，+o), f(x)的导函数f(x)=a+1=x+a ①当a≥0时，'(x)>0,则f(x)在(0，+∞)上单调递增 ②当a<0时，令f'(x)>0,得x>-a: 令f'(x)<0,得x<-a: 所以，f(x)在(-a,+o)上单调递增，在(0，-a)上单调递减. （2)略 16.(15分) 已知定义在(0，d上的函数/()=2 sino7+acos5(aeR),f)-1. 2 2 (1)求a的值及f(x)的值域： ②在aMC中，角4B,C所对的边分别为a6c,已知fC-}-5,e=,n-sm4= ,求AABC 14 的面积。 【答案】(1)a=25,（V5,2] 233 2 试卷第10页（共16页） 【分析】(1)利用代入法求出a的值，再利用正弦函数和余弦函数的二倍角公式、辅助角公式化简函数的解 析式，最后结合正弦型函数的最值性质进行求解即可； (2)法一：利用正弦定理和余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可： 法二：利用角度之间的关系，利用正弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】D因为f月-2sn牙os骨+acas5=1+分5=1，所以a=25, 4 4 4 所以f(x)=2sin os2t25cas75=sinx+5cosx=2anx+写}） 因为0<x<π， 所以f(x)的值域为(v5,2]. 2)由fc-到}2sinc=5得nc=g5 因为函数f(x)定义域为(0，π)， 因为0<C-了<x,所以骨<C<红， 3 3 又因为C是三角形的内角，所以？<C<π， 3 所以C=2π 3 ab=2=2N7，得sinA=a 2√万，sinB= b 法：由正弦定理sinAsinB√3 则sinB-sin4=b-0=V27 2方14，所以b-a=3, 即b2+a2-2ab=3,由余弦定理得b2+a2+ab=21,所以ab=6, 所以△ABC的面积为，absin号 .2π3V5 2 32 法二：因为C=2,所以A+B= 3 3, 则0-4g-m时4+引河 试卷第11页（共16页) 因为0<4< 情以4：引 则sinA=simA+33) ππ 3W2i1万3√2i 14x214×2-14’S10B=V27 7 由正弦定理得 ab √21 =28,所以ab=6, sinAsinB 2 所以△ABC的面积为absin2红_35 2 3 2 17.(15分) 如图，为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直； 保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少 于80m经测量，点A位于点0正北方向60m处，点C位于点0正东方向170m处(OC为河岸)，an∠BC0=4 3 北 B 60m 170m (1)求新桥BC的长； (2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 【答案】(1)150m(2)1OM=10m 【分析】试题分析：本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以O为原点，以向东，向北为坐标轴建 立直角坐标系.(1)C点坐标为(I70,0),A(0,60),因此要求BC的长，就要求得B点坐标，已知 am∠BCO说明直线BC斜率为，这样直线BC方程可立即写出，又AB⊥BC,，故AB斜率也能餐 出，这样AB方程已知，两条直线的交点B的坐标随之而得；(2)实质就是圆半径最大，即线段OA上哪个 点到直线BC的距离最大，为此设OM=1,由M(O,),圆半径r是圆心M到直线BC的距离，而求它的最 大值，要考虑条件古桥两端O和A到该圆上任一点的距离均不少于80m,列出不等式组，可求得t的范 围，进而求得最大值.当然本题如果用解三角形的知识也可以解决. 试题解析： 试卷第12页（共16页) 北 B A 170md 东 (1)如图，以OC,0A为x,y轴建立直角坐标系，则CI70,0),A0,60),由题意kc=-3,直线BC方 4 4 y=--(x-170) 3 3 影有0又大组酸的 ，解得 y=x+60 4 t=80 y=120'即B80,120，所以BC=V80-170P+1202=150(m: (2)设OM=1,即M(0,)(0≤1≤60)，由(1)直线BC的一般方程为4x+3y-680=0,圆M的半径 为r=31-680 u。由题意题求气020于0≤1≤60，因tr=3-680-680-3=136- 5 5 136-31-1≥80， 5 .10≤t≤35，所以当t=10时，r取得最大值130m,此时圆面积最大. 3 136-2t-(60-)≥80， 【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置 关系 18.（17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AB=BC=2AD=2,AD/BC,∠DAB=90°.以AC 为直径的球面分别交PB,PC于M,N两点(M,N异于所在棱端点). M A (I)证明：AM⊥平面PBC: (2)求异面直线MN与CD的夹角： (3)求三棱锥C-MND的体积. 试卷第13页（共16页) 【答案】(I)证明：由PA⊥底面ABCD,BCC底面ABCD,得PA⊥BC;又AD//BC,∠DAB=90°， 故BC⊥AB,PAOAB=A,因此BC⊥平面PAB AMC平面PAB,故BC⊥AM M在以AC为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得∠AMC=90°，即AM⊥MC. 又BC∩MC=C,BC,MCc平面PBC,因此AM⊥平面PBC,得证. @ e号 【分析】(1)利用线面垂直的性质定理即可证明： (2)建立空间直角坐标系，先求M,N坐标，运用向量数量积求解夹角： (3)转换三棱锥的顶点，计算出底面积和高即可求解体积 【详解】(1)略 (2) M N 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立坐标系， 由题意得各点坐标A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,1,0),P(0,0,2) 由(1)可知AM⊥CM,AM⊥PB,AW⊥NC,所以AM-CM=0,AWWC=0 因为PA=AB,AM⊥PB,所以M为PB的中点，得M(1,O,I) PN=mPC=m(2,2,-2)=(2m,2m,-2m), 则N(2m,2m,2-2m),AN=（2m,2m,2-2m),NC=（2-2m,2-2m,2m-2）, 所以c=2m2-2m)+2m2-2m)-2-2m=0,解得m-,即N仔号号） 3’33 每w-（号》①=(-2-1o) m.D-（3-2+-+30=0, 试卷第14页（共16页） 故MN⊥CD,因此异面直线MN与CD的夹角为90° (3)由(2)可知PB=(2,0,-2),BC=(0,2,0), PB=2x-2z=0 Z=x 设平面PBC的法向量为n=（x,y,z),则 化简得 nBC=2y=0 y=0 令x=1,得z=1,因此平面PBC的一个法向量为n=(1,0,1): 2 DC=(2,1,0),点D(0,l,0)到平面PBC的距离d= =V2! V2+02+12 2 (121 cos∠NMMc=MCMN 3 1 又MC=L,2,-),MN= 33’3 MWV6x63’ 3 sin∠WMc=V-(0W32_2v2 3 放S.ne=)MCHMN sin.∠NwC=xN6x6x22_22 2 333 1 三棱锥体积，-n=,-wc=3S.e·d 122.2-4 33 9 19.(17分) 已知函数f(x)=log。x(a>1)与g(x)=x2(t>0)的图象相交于点P,O为坐标原点. (1)求函数y=f(x)图象在M(a,I)处的切线方程； (2)若直线OP与y=f(x)图象相切于点P,求d的值： (3)若直线OP与y=f(x)图象交于另一点2，且OQ≥2OP,求d的取值范围. 1 【答案】(1)y= 11 a.InaIna (2)e (3)1,16] 【分析】(1)根据条件，利用导数的几何意义，即可求解： (2)设P(x,y),根据条件可得x=,再利用点P是两函数图象的交点，即可求解； 3)设飞，根据条件可得522，进而可得血m22,构造函数hm三m22 利用导数与函数单调性间的关系，求出h(m)的单调区间，进而可得lnx∈(0，n2],利用d=e血，求出 试卷第15页（共16页） xnx的取值范围，即可求解 【详解】(1)易知f(x)=。,所以f@)=1 xIna a.lna 所以切线方程为y-1=1（x-),即y= 1 -+1. a.Ina a.lna Ina (2)设P(,y),由腿知-L-1og5=n5 x InaxxIna 所以nx=l,解得x=e, 又点P在函数f(x)=log。x(a>1)与g(x)=x2(t>0)的图象上， 则y=x2=logx,t=xy,x=a”,则d=(a）=(x)f=e. (3)设Q(x2,y2),因为直线OP与y=f(x)图象交于另一点9，且Og≥2OP,则x2≥2x, 令m=(m≥2列，由4=立，1og,1=1g,五，即h五=h5， x x2 x x2 na书na,得 h￥_-hx x x2 所以_nm）_hm+n,整理得到n _hm(m≥2)， mx m-1 1-1-hm 令侧-0(m2).则)=' (m-12 令p=l--nm(m≥2列.则p例)-n<0对任忘的m≥2恒成立， m 故函数p(m)在[2，+∞)上为减函数， 对任意的m≥2，p创5p2)=1-号h2=h2<0, 1-1-hm 所以h(m)=m 份-<0在区同2+m)上恒成立， 所以h(m)在[2，+oo)上单调递减，则h(m)=lnx∈(0，ln2],所以x∈(1,2]， 由(2)知d=(x)片=eh, 令p(x)=x2.lnx,则p(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1)>0在区间(1,2]上恒成立， 所以p(x)=x2.nx在x∈(1,2]上单调递增，则p(x)∈(0，nl6], 所以d∈(1,16]， 试卷第16页（共16页）