江苏省启东中学2026-2027学年高三上学期数学周考四

启东中学2027届高三数学周考四 2026.8 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1不等武40的解集是() A.（-0,-2)U(0,+∞) B.(2,+oo) C.（-2,0) D.（-2,0)U(2,+∞) 2.“a>b”的一个必要不充分条件是（) A.周1 B.In(a-b)>0 C.2>2 D.a3>b3 A.6 3 B.、6 c.3 3 3 D.-3 3 4.已知平行六面体ABCD-AB,CD的体积为8，△ABC的面积为22，则A到平面ABC的距离为() A.2 B.2 C.② 2 D.√2 4 5.已知f(x)是奇函数，且fI)=1,函数g(x)=f(x)+x2+ax是偶函数，则a=() A.-1 B.0 C.1 D.2 6.函数f(x)=e_enr 的最小值为() B.1 C.e D.e2 7.下列关于函数y=tanx+3 的说法错误的是() A.最小正周期是π B.函数的定义域为 xx≠kπ+，keZ 6 C.图象关于点 成中心对称 D.在区间 5ππ 6’6 上单调递增 8.若函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x∈(o,0)时，∫'(x)<2x,则不等式 试卷第1页（共4页） f(3x-1)-f(2)>(3x-3)(3x+1)的解集为() 4(←o)B.（号别 C.(1,+o) .(m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.给出下列四个命题，其中正确的命题是() A.函数f(x)=sinx是最小正周期为π的周期函数 B.函数y=cos2x+sinx的最小值为-1 C.若mlln,n/1a,则m/1ac D.已知2asa-1=25na,则eo行24-日 10.已知正四棱台ABCD-ABCD(上下底面都是正方形的四棱台).下底面ABCD边长为2，上底面边长 为1，侧棱长为√2，则正确的是() A.它的表面积为5+3√万 B.侧棱与下底面所成的角为60° C.它的外接球的表面积为8v2元 3π D.它的体积比棱长为√2的正方体的体积大 1,在A4BC中，a、b、C是角A、B、C的对应边，满足osA+osB=2,cos1 tcosBsinC=】 sinB sinA F4'a+b+c=2+V6, 则() A.sinc=bt-d B.A=B 2b2 2a2 C.sind+sinB= D.△ABC的面积为1 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 +l0g,3+2e43= x,x>0,若8()=f(-m恰有3个零点、名、专，则5x西的取值范围是 4x+6,x≤0 13. 已知函数f(x)= 试卷第2页（共4页） 4,在△ABC中，角4，B,C的对边分别为ab,C.ABC的面积为S.已知sinB=V3sinC.若S=号，求d2 的最小值=一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f(x)=logx(a>0,且a≠1)，若函数f(x)在区间[3，a2]上的最大值与最小值之差 为1. (1)解不等式f(2x-2)<f(x): ②当xL,]时，求函数8=f母/x)的最值，并求出取得最值时对应的x的值。 16.(15分)已知函数f(x)=axnx(a∈R且a≠0). (1)若直线y=x-1是曲线y=f(x)的一条切线，求a的值和切点的坐标： (2)若f(x)>1有解，求a的取值范围 17.(15分)在△4BC中，角4,8，C所对的边分别为ab,c,且a=2次mC+君 D (1)求B: ②记知D为边1上的-点，且∠4CD-受求 的取值范围. AD 试卷第3页（共4页） 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，点M在PD上，点N为BC的中点，且CMI∥ 平面PAN. (1)求证：PB∥平面MAC; (2)若平面PAB⊥平面ABCD,且PA⊥PB,AB=2,记平面PAB与平面PCD的夹角为O. ①求cos0的最大值： ②当cos0取到最大值时，求四棱锥P-ABCD的外接球体积. 19.(17分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=a. (1)若a=b=c,求a: (2)若∠ABP=C,△ABC的周长为4， ①求证：b2=ac: ②求AABC面积的最大值. 试卷第4页（共4页）启东中学2027届高三数学周考四 2026.8 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1不号式之4>0的解袋是() A.（-o,-2)U(0,+∞) B.(2,+oo) C.(-2,0) D.（-2,0)U(2,+∞) 【答案】D 【分析】利用分类讨论结合一元二次不等式的解法可求不等式的解. x>0 x<0 【详解】原不等式等价于 2-4>0或2-4<0 故x>2或-2<x<0,故原不等式的解集为(-2,0)U(2,+o): 故选：D 2.“a>b的一个必要不充分条件是() 4周 B.In(a-b)>0 C.29>2h D.ab 【答案】A 【详解】对于选项A, ≤1得a-b≥0， 即a≥b,所以[ ≤1是a>b的必要不充分条件，故A 正确： 对于选项B,取a=2,b=1.5,则ln(a-b)=ln(2-1.5)=ln0.5<0,所以ln(a-b)>0不是a>b的必要条件， 故B错误； 对于选项C,2°>2等价于a>b,所以2°>2是a>b的充要条件，故C错误： 对于选项D,a>b3等价于a>b,所以a3>b是a>b的充要条件，故D错误 .已+引-0a<a,则mg-小) A. 6 B.=V6 c.3 D._ 5 3 3 3 【答案】A 【分析】利用三角函数同角基本关系式及诱导公式求解 试卷第1页（共18页） 【详解】因为0<a<π，所以”<a+亚<π 6 66 62 所ma+君-oa+君- 所以n管小ng小m食9 故选：A. 4.已知平行六面体ABCD-AB,CD,的体积为8，△ABC的面积为2√2，则A到平面ABC的距离为() A. B.Z D.√2 4 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用三棱锥的体积公式列式求解 【详解】由平行六面体ABCD-AB,CD,的体积为8，得'4-c= 4 6 3 设A到平面4BC的距离为h,由V:4c=V,c,得S4ch=了 4 而△ABC的面积为2√2，解得h=√2， 所以A到平面ABC的距离为√2 5.己知f(x)是奇函数，且f)=1,函数g(x)=f(x)+x2+ar是偶函数，则a=() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】A 【分析】根据g(x),f(x)的奇偶性，由g()=g(-l)建立关于a的方程求解并验证即可. 【详解】根据题意，函数g(x)=f(x)+x2+a心是偶函数，则g)=g(-1), 即f)+1+a=f(-l)+1-a, 又由f(0)=1,f(-1)=-f)=-1, 则有2+a=-a,解可得a=-l. 验证：a=-1时，g(x)=f(x)+x2-x,g(-x)=f(-x)+(-x)+x=-f(x)+x2+x, 要满足g(x)=g(-x),即f(x)+x2-x=-f(x)+x2+x, 试卷第2页（共18页） 整理得f(x)=x,满足f(x)是奇函数， 所以a=-1. 6.函数f(x)=e_ehr 的最小值为() x A. B.1 C.e D.e2 e 【答案】C 【分析】利用导数判断函数的单调性后可得函数的最小值 【详解】(x)=e- xx-elnx x2e*-e+elnx, x2 设s()=xe-e+elnx,则s'(x)=(x2+2x)e*+e>0, 12 故s(x)为(0，+∞)上的增函数，而s()=0,x2>0, 故当0<x<1时，(x)<0即f'(x)<0,当x>1时，s(x)>0即f'(x)>0, 故f(x)在(0,1)上为减函数，在(（1，+∞)上为增函数，故f(x)=f()=e, 故选：C 7.下列关于函数y=anx+ 的说法错误的是() 3 A.最小正周期是π B.函数的定义域为 红+名keZ C.图象关于点 成中心对称 5ππ D.在区间 66 上单调递增 【答案】C 【分析】根据正切函数的周期公式、定义域、对称中心、单调性可判断出答案. 【详解】由正切唇数的最小正周男公式可得商数y=m(+）的最小正周期为T=号=，故人正确： 1 由x+ 仁≠kπ+ 6,kez, ,k∈Z,得x≠kr+ π 所以照的定义拔为+e乙， 故B正确： 试卷第3页（共18页） 自x+号受，kc,得，-经子kez 32 令红牙行得k-音eZ,故函数y=m(x+写)的图象不关于点（0成中心对称，故c不正确： 233 3 当-5<x<时， 6 x+ 2 ，因为y=tanx在（←行牙上单调递增， 32 2’2 所以商敏y=+写)在间君上单调道、放D正确 故选：C 8.若函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x∈(-oo,0)时，f'(x)<2x,则不等式 f(3x-1)-f(2)>(3x-3)(3x+1)的解集为() A.（o)B.（别 C.(1,+o） 【答案】A 【分析】先构造函数g(x)=f(x)-x2,判断函数g(x)的奇偶性和单调性；再将不等式等价变形；最后利用 函数g(x)的性质求解即可. 【详解】令g(x)=f(x)-x2 f(x)为定义在R上的偶函数 “f(-x)=f(x) g(-x)=f(-x)-(-x)}2=f(x)-x2 ∴g(-x)=g(x) 则函数g(x)为定义在R上的偶函数 g(x)=f'(x)-2x,当x∈(-o,0)时，'(x)<2x ∴函数g(x)在(-o,0)上单调递减，在(0，+∞）上单调递增 (3x-3)3x+1)=[(3x-1)-2][(3x-1)+2]=(3x-12-22 “.不等式f(3x-)-f(2)>(3x-3)3x+1)可变为f(3x-1)-(3x-1)}>f(2)-22, 即g(3x-1)>g(2) 试卷第4页（共18页） 故3x-小>2，解得x>1或x<月 所以不等式解集为： （m,u1,+m) 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.给出下列四个命题，其中正确的命题是() A.函数f(x)=sinx是最小正周期为π的周期函数 B.函数y=cos2x+sinx的最小值为-1 C.若m/1n,n/1a,则m/1 D.P知2casa-125sna,则eor后20- 【答案】BD 【分析】由f代四=Sim不是周期函数判断A:利用同角的平方关系和换元法可得y=《-+-1≤1≤)， 4 结合二次函数的性质计算即可判断B:根据线面之间的基本关系即可判断C;利用三角恒等变换化简计算求 出co2a孕即可判断D. 【详解】对于A:函数f(x)的定义域为R,其图象关于y轴对称，并且只有一条对称轴，它不是周期函数， A错误； B:y=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-sin2x+sinx+1, 设1=血，则-1s1s1,且y=-+11=-《+ 则该二次函数在(1，上单调递增，在()上单调递减， 且当t=-1时，y=-1,当t=1时，y=1, 所以该函数在[-l,]上的最小值为-1，即函数y=cos2x+sinx的最小值为-1，故B正确： 对于C:若m/1n,n/1a,则m/1a或mca,故C错误； 对于D:由2cosa-1=2V3sinu,得-1=23sina-2cosa=4sin(a-, 6 即sna-爱=所以ca网2e-2引=1l-2xa急=1-2(-名， 即co号-2a)=oma争名，故D正确 试卷第5页（共18页） 10.已知正四棱台ABCD-AB,CD(上下底面都是正方形的四棱台).下底面ABCD边长为2，上底面边长 为1，侧棱长为2，则正确的是() A.它的表面积为5+3√7 B.侧棱与下底面所成的角为60° C.它的外接球的表面积为8,2π D.它的体积比棱长为√2的正方体的体积大 【答案】ABD 【分析】根据正四棱台的面积公式和体积公式、正方体体积公式计算即可判断AD,侧棱与下底面的所成角 放到直角三角形中计算判断B,先找到正四棱台的外接球的半径，再结合球的表面积公式计算判断C 【详解】 A B B 对于A,由题意得，上底面ABCD的面积S,=1×1=1,下底面ABCD的面积S2=2×2=4, 侧面ABBA为等腰梯形，过A、B分别作AB的垂线，垂足为E、F, 如图所示，所以EF=4=1则E=BF=方所以BF=R-Bn_5 2 所以梯形1B84的面积为S=×0+2列x-3刘7， 24 所以正四棱台ABCD-AB,CD的表面积S=S+S,+4×S,=5+3V7,故A正确： A B 对于B,连接AC1,B,D,且交于点O,连接AC,BD交于点O2,连接OO2, 则OO垂直底面ABCD,过A作AG⊥AO2于G,则AG⊥底面ABCD,则四边形AGO,O为矩形， 试卷第6页（共18页） 由思意得4G=V4g+BG=2,所以40= 2,同理AC=22,A0,=√2， 2 又40=G0,所以4G= ,在Rta4GA中， cos∠AAG= AG21, 4A√22 所以∠AAG=60°，即侧棱与下底面所成的角为60°，故B正确： 对于C,4G=√4-4G=6连接C0,在RC00,中， 2 CO2=VOO+C0=V2,所以点O到A、B、C、D、A、B、C、D,的距离相等，均为V2, 所以点O2即为正四棱台ABCD-ABCD外接球的球心，且外接球半径R=√2. 所以外接球的表面积S=4πx(W2)=8π，故C错误； 对于D,正四棱台的体积为 -6+8网00-0+4小5-725 6 7W6 棱长为2的正方体的体积%，=(2)=22，所以上_6_73,47>1 V22W212-V144 所以？>'，所以正四棱台ABCD-ABCD的体积比棱长为√2的正方体的体积大，故D正确. 故选：ABD 1L.在△1BC中，a、h,C是角4、B、C的对应边，满足c+coB-2,os1 cosBsinC= sinB sinA :a+b+c=2+V6, 则() A.sinC=bte-d 2b2 B.A=B 2a2 C.sind+sinB6 D.△ABC的面积为1 2 【答案】AC 1 分析】先根据sAos2证明C,利用勾股定理可判断A选项；由已知条件得出cos@ sin B sin A 41 结合4+B=受诱导公式、二倍角的正弦公式可求出4、B的值，可判断B选项：由 (sin4+sinB)2=(sinA+cosA)2=1+sin2A可判断C选项：由正弦定理求出c=2,a+b=√6，结合(a+b=6 以及勾股定理求出ab的值，再结合三角形的面积公式可判断D选项. 【详都】充证明C-子由题点，-2何s血os+sn6msB=2sn小snB, sinB sinA 2sin Acos A+2sin Bcos B=4sin Asin B,Esin 24+sin 2B=4sin Asin B, 试卷第7页（共18页） sin (4+B)+(4-B)+sin(4+B)-(4-B)=4sin Asin B, 所以2sin(A+B)cos(A-B)=4 sin Asin B,可得sinCcos(A-B)=2 sin Asin B, sin Ccos(A-B)=cos(A-B)-cos(A+B)=cos(A-B)-cos(-C)=cos(A-B)+cosC, 若C+受则snCl,上式可转化成cos(4-B)=-,cosC 1-sinC' 令1=mc01<,则o(4-=4-二-臣1同奥手话，从面c-5 1--- 对于A远项，由千C-受根据勾股定理得。2-d+以，此时snC=1, 0+p9+,””-(c9+2)+,939++n 一十 2b2 2a2 2b2 2a2 因左边=右边，故A正确： 对于B选项，因为ocoin=子所以eas4casB-4 1 2所以A+B=”, 因为C= 故m8=m小4 1 1 所以cos4sin1=2in2A=4,可得sn2A=2 A= A= 5π 因为0<A<,所以0<24<元，所以2A=或5红 6’故 2或 12 2 6 B= 5 12 Bsπ 12 所以A≠B,B错； 时于C选项，sinA+sinB=sinA+sim2-A=sinA+cosA, 因为A为锐角，所以sinA>0,cosA>0, (sin 4+cos4)=1+2sin Acos 4=1+sin 24=3 放simA+osA=6,C对， 2 对于D选项，由A选项可知，C为直角，则a=csinA,b=csin B, a+b+c-csin 4+esin B+c=c(sin A+sin B+1)=6+2c=2+ 2 所以c=2,a+b=√6， 所以6=(a+b)}2=a2+b2+2ab=4+2ab,可得ab=1, 故aC的面积为S一的分，D结 1 试卷第8页（共18页） 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 13 12 +l0g3+2og43= 【答案】 【分析】根据指数幂运算性质和对数的性质可求代数式的值， 【详解】原式=（←2）+1ogp3+43-t+45-5, 22 故答案为：√ 4x+6,x≤0 13.已知函数f(x)= ,x>0,若()-f()m恰有3个零点、名，则x名的取值范国是 【答案】 0 【分析】函数y=f(x)的图象与直线y=m交点的横坐标，即为g(x)的零点，因此作出函数y=f(x)的图象， 直线y=m,由它们有三个交点可得出x的范围，xx的关系，从而求得结论 【详解】g(x)的零点，即为函数y=f(x)的图象与直线y=m交点的横坐标，作出y=f(x)的大致图象及直 线y=m,如图，它们有三个交点， 由于/0=6，八=0，因此0<ms6:5x≤0.0<5<1<5， 而lnx2=lnx,即-lnx2=lnx,所以xx3=l, 所以=e(, 故答案为： 6 y=f(x) y=m 3Ox21 4,在aABC中，角A,B,C的对边分别为a6,CABC的面积为S.已知sinB=V3snC.若S=,求a 试卷第9页（共18页） 的最小值= 【答案】23 【分析】利用余弦定理和三角形面积公式并结合换元法得到1sinA=2-√3cosA,再利用辅助角公式并结合 正弦函数的有界性列出不等式，求解参数范围，最后求出最小值即可； 【详解】由三角形面积公式得S=csnA=子且b=反，解得s如A=小。 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A=4c2-2N3c2cosA=4-2V3 cos 4c2 --28ow小a52-e4 sin A 令2-3cos4=元，则sinA=2-5cosA,d2=25, sinA 即vR+3sim(4+p)=2,其中anp=5 可得√22+3≥2，解得元≥1， 则ad≥25，当且仅当1=1，即A=严时，等号成立， 6 所以a2的最小值为23. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f(x)=logx(a>0,且a≠1)，若函数f(x)在区间3，a2上的最大值与最小值之差 为1. (1)解不等式f(2x-2)<f(x): ②当xeL,时，米函数g(=f ·f(3x)的最值，并求出取得最值时对应的x的值. 【答案】(1)1,2) ②当x=5时，画激g()有最小值-号当x=9时，商数g国有最大植0 【分析】(1)先根据已知区间上的最大值与最小值之差确定对数的底数及单调性，再利用对数函数的单调 性解不等式： (2)将所求函数化为关于新变量的二次函数，在闭区间上求最值， 【详解】（1)由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以a2>3,a>0,a≠1， 所以a>√5，所以f(x)在(0，+o)上单调递增， 试卷第10页（共18页） 2x-2<x 所以 2x-2>0,解之得1<x<2,所以解集为(1,2) x>0 (2)因为f(x)在(0，+o)上单调递增， 所以f(x)x=f(a2)=2,f(x)mn=f(3)=loga3, 即2-log。3=1,所以a=3. 所以f(-loe,所以g(-/fB)-loe写oe,(]=(og,x-og,9og3+lg, 令logx=t,因为x∈[1,9]，所以t∈[0,2]， 所以a06-20+小=4-2--- 该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得： 比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大， 所以ae=A4[)=子M0m=a2)=0 1 即1og,x=2→x=5,1g,x=2→x=9, 所以当=时，函数g(倒有最小值-}，当x=9时，函数g(有最大值0， 16.(15分)已知函数f(x)=arnx(a∈R且a≠0)， (1)若直线y=x-1是曲线y=f(x)的一条切线，求a的值和切点的坐标： (2)若f(x)>1有解，求a的取值范围. 【答案】（①）a=1,切点坐标为(1,0) (2)(-o,-e)U(0,+∞) 【分析】(1)根据切线性质列出方程组，化简消去α，再构造新函数求解即可： (2)通过分析xx对不等式进行转化：或者直接构造含参函数，分类讨论函数单调性. 【详解】(1)f'(x)=a(nx+l), 设切点为(x,%),切线y=x-1的斜率为1， 试卷第11页（共18页） 所以f'(x)=a(nx+l)=1①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以，=，nx。=x。-I②， 由①②得，lnx+1=x, 设m)=血x-x+1,m()=-1, 由x>0,当0<x<1时，m(x)>0,m(x)单调递增， x>1时，m(x)<0,m(x)单调递减， 又m()=0,所以x=1是m(x)=nx-x+1的唯一零点， 所以x。=1,代入①得a=1,切点坐标为(1,0)】 (2)法1：令xnx=,/=lnx+1,令>0，得x>1 令r<0,得0<r。所以1(0单河莲减、在日松单时运道 肉为松时1→，所以 0[时，a有解，aa<-e ②t=0时，0>1，舍去： 01e0四时.a心有解，a>目，a>0 综上：a∈(-o,-e)U(0,+o), 法2：因为f(x)>1有解，所以alnx-1>0有解 记g=aax8-- x2 ①a>0时，g'(x)>0恒成立，所以g(x)在(0，+o)单调递增， 当x→+0，g(x)→+0， 所以g(x)>0恒有解，所以a>0: ②a=0时，8)=8()小>0无解.舍去： ③a<0时，g(x)nm>0 试卷第12页（共18页） a g(x) 0 g(x) 极大值 所以g=8a=ah日+a>0,a}1<0,2-1, 所以a<-e 综上：a∈(-oo,-e)U(0,+o): 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2bsin D B (1)求B: (2已知D为边AB上的一点，且∠4CD=求B0 的取值范围。 2 AD 【答案】君 【分析】(1)根据正弦定理边角化，结合正弦和角公式可得sinA=sinB(v3sinC+cosC),根据 sinA=sin(B+C)=sin+cosRsinC,化简可得anB=5 即可求解， (2)在△BCD中由正弦定理 BD CD sin∠BCD sinB 得BD=2Dsn（行 在△ACD中，由锐角三角函数得 AD=CD 进而可得 BD =2sinAsin 利用二倍角公式化简得cos 2A-）1 即可根据余弦函数 sinA AD 32 的性质求解 【详解1D白题意知a=2in(C+君)-A3sinC+cosC, 又由正弦定理得a。 b 所以sinM=sinB(v3sinC+cosC. sinA sinB 又A+B+C=π，所以A=π-B-C,所以sinA=sin(B+C=sinBcosC+cosBsinC, 试卷第13页（共18页） 所以cosBsinC=V3 sinBsinC, 因为C∈(0，，所以sinC>0,所以tanB= 3 D 又因为B∈(0，)，所以B= 6 (2)因为B-名ACD-子所以∠BCD=∠4CB-∠ACD=x-4-B-弩4， 6 2 在△BCD中，由正弦定理得 BD CD sin∠BCD sinB 所以BD=2 CDsin 又在△ACD中，AD=CD sinA 所以 -2n得4小=m4-传小m仔4-}m子4-引分 BD AD 因为∠cD>0,所以40写）2a-司》所以ea24-引别 所以 0约取值国是( 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，点M在PD上，点N为BC的中点，且CMI∥ 平面PAN. D B (I)求证：PB∥平面MAC: (2)若平面PAB⊥平面ABCD,且PA⊥PB,AB=2,记平面PAB与平面PCD的夹角为O. ①求cos0的最大值： ②当cOs0取到最大值时，求四棱锥P-ABCD的外接球体积. 【答案】(1) 取线段AD的中点F,连接CF、MF,连接BD交AC于点E,连接EM,如下图所示： 试卷第14页（共18页） D 因为四边形ABCD为正方形，所以ADIIBC,AD=BC, 因为N、F分别为BC、AD的中点，所以AFIICN,AF=CN, 故四边形AFCN为平行四边形，所以CF∥AN, 因为CFt平面PAN,ANc平面PAN,所以CF∥平面PAN, 因为CMI∥平面PAN,CF∩CM=C,CF、CMc平面CMF, 所以平面CMF∥平面PAN, 因为平面PADO平面CMF=FM,平面PADO平面PAN=PA,所以FMIIPA, 因为F为AD的中点，故M为PD的中点， 因为四边形ABCD为正方形，AC∩BD=E,故E为BD的中点， 因为M为PD的中点，所以EMIIPB, 因为PBE平面MAC,EMc平面MAC,故PB∥平面MAC. ®0：gsv 3 【分析】(I)取线段AD的中点F,连接CF、MF,连接BD交AC于点E,连接EM,推导出平面CMF∥ 平面PAN,利用面面平行的性质得出FMPA,可得出M为PD的中点，利用中位线的性质得出EMPB, 再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； (2)①推导出AD⊥平面PAB,以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴，平面PAB内过点 A且垂直于AB的直线为z轴建立空间直角坐标系，设点P(a,0,c),其中0<a<2,c>0,由AP.BP=0得 出(a-1)2+c2=1,可得出c2≤1，然后利用空间向量法可求得cos0的最大值； ②由题意得出P(1,0,I),设外接球球心为O(m,n,t),根据OA=OB=|OC=OD=OP结合空间中两点间的 距离公式可得出关于m、n、t的方程组，解出这三个未知数的值，即可求出外接球的半径，结合球体体积 公式可得结果 【详解】(1)略 (2)①因为四边形ABCD为正方形，所以AD⊥AB, 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,ADC平面ABCD, 试卷第15页（共18页） 所以AD⊥平面PAB,以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴， 平面PAB内过点A且垂直于AB的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0),设点P(a,0,c),其中0<a<2,c>0, 则AP=(a,0,c,BP=(a-2,0,c), 因为PA⊥PB,则APBP=a(a-2)+c2=0,可得(a-1)2+c2=1,所以c2≤1， 易知平面APB的一个法向量为m=(0,l,0), 设平面PCD的一个法向量为i=(x,y,z),DC=(（L,0,0),DP=(a,-2,c), nDC=x=0 则 取y=c,可得i=(0,c,2), n.DP=ax-2y+cz=0 所以cos0=cosm=m:月 1 15 m同e+4 41+45, 当且仅当c=1时，等号成立，故cos0的最大值为5 5 ②当cos0取到最大值时，c=1,a=1,则点P(1,0,1), 设四棱锥P-ABCD的外接球球心为O(m,n,t), m2+n2+2=(m-2)2+n2+2 m2+n2+t2=(m-2)2+(n-2}2+2 由OA=OB=|OC=OD=OP可得 m2+n2+2=m2+(n-2)+i2 m2+n2+2=(m-1)+n2+(t-1)2 解得m=n=1,t=0,即O(1,1,0), 故四棱锥P-ABCD的外接球半径为R=OA=VP+1P+02=√2， 因此四棱锥P-ABCD外接球的体积为r=4红R=红×2V2=8 -π 3 3 3 试卷第16页（共18页） 19.(17分)己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=a. (1)若a=b=c,求a&; (2)若∠ABP=a,△ABC的周长为4， ①求证：b2=ac; ②求△ABC面积的最大值. 【答案】0a-君 (2) ①证明：因为∠PAB=∠PBC=∠PCA=a,∠ABP=a,所以∠B=2a. AP AB sina sin(元-2a,在△MPc中， AP AC 在△ABP中， sina sin(π-A) AB AC 所以一 sin(n-2a)sin(-1AC sin B sin A 从而csin A=bsin B,故b2=ac. ②4v5 9 【分析】(I)方法一：先根据边相等判断△ABC是等边三角形，再结合角相等推出△APB兰ABPC兰ACPA, 进而得出PA=PB=PC,算出a的值方法二：在aABP和△MPC中用正弦定理，得到sina=sin-a,结合 范围求出au (2)①油角相等得出∠B=2a,在aABP和△APC中用正弦定理，推出B=4C ,再得到b2=ac.②先 sin B sin A 根据α+b+c=4和均值不等式求出b的上限，再由三角形三边关系求出b的下限.用余弦定理表示cosB,进 而得出Sc关于b的表达式，通过求导判断函数单调性，求出S4c最大值. 【详解】(1)方法一：因为a=b=c,所以△ABC为等边三角形， 因为∠PAB=∠PBC=∠PCA=a,所以∠PBA=∠PAC=∠PCB=T-a, 3 所以∠APB=∠BPC=∠CPA=2 所以△APB≌△BPC≌△CPA,所以PA=PB=PC,所以a= 6 AP AB 方法二：在△ABP中，由正弦定理得， π 2， sin -a (3 sin3 AP AC 在△APC中，由正弦定理得，sina 2元， sin 3 试卷第17页（共18页) 所以sma=sm后-a小又0<a<弩所以a-背a,放u- 6 (2)①略 ②因为a+b+c=4,所以a+c=4-b≥2√ac=2b, 解得6≤行当且仅当a=c时，取等号， 又-b<c-a<b,则(c-a)2<b2,即(c+a)2-4ac<b2,即(4-b)2-4b2<b2, 整理行公+25-40：解得b5-1.放b(5-引 在△ABC中，由余弦定理，得 cOsB-dito-b_(a+c)-2ac-b_(4+bY-262-b2_8-46-b 2ac 2ac 2b2 6-8-40-=2+0-8b5-引 令f(b)=-b+8b-8,则f'(b)=-3b2+8>0,所以fb)单调递增， 所以/的最大值为f(得)故Sm最大值为) 试卷第18页（共18页）