精品解析：上海市嘉定区世外学校2026-2027学年第一学期八年级上学期数学第一次学情自测试卷

2026学年第一学期课堂作业（一） 八年级数学 （本卷满分150分，完成时间100分钟） 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. 其中、、是常数 C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 8 B. 11 C. 13 D. 16 5. 甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作，各需多少天？如果设甲队单独工作需要天，那么根据题意列出方程（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程，下列说法中正确的有（ ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题4分，共44分） 7. 的算术平方根是______． 8. 如果代数式有意义，那么的取值范围是________． 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 10. 已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 11. 若关于x的方程的一个根是2，则另一个根是__________． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 13. 不等式的解集是______． 14. 在解一元二次方程时，小明看错了系数，解得方程的根为和；小红看错了系数，解得方程的根为和，则_________． 15. 在实数范围内因式分解：________． 16. 解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 17. 已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是___________． 三、解答题（18题每题5分，19每题5分，20、21题每题8分，22每题10分，23题14分，24题12分） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）（配方法）； （4）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 21. 甲商品的售价为每件40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 22. 【综合与探究】 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值； （3）已知等腰的一边长为，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 23. 阅读材料，解答问题： 【材料1】为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，．根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： ①若实数，满足，则的值为 ； ②用换元法解方程：． （2）间接应用：已知实数，满足：，，求的值； （3）拓展应用：已知实数，满足：，，求的值． 24. 被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： （1）设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； （2）尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期课堂作业（一） 八年级数学 （本卷满分150分，完成时间100分钟） 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义；根据被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简； B、，被开方数为整式，且无平方因式或因数，故为最简； C、，被开方数含平方因数4，不是最简； D、，被开方数含平方因式，不是最简． 故选B． 2. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. 其中、、是常数 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐项判断即可． 【详解】解：A．，是整式方程，只含一个未知数x，且最高次数为2，故是一元二次方程； B．，a、b、c为常数，但a可能为0，当时不是二次方程，故不一定是一元二次方程； C．，含有项，不是整式方程，故不是一元二次方程； D．，化简为，是一元一次方程，故不是一元二次方程， 故选：A． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 4. 将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 8 B. 11 C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 5. 甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作，各需多少天？如果设甲队单独工作需要天，那么根据题意列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 由题意得乙队需天，根据工作总量为1，甲效率为，乙效率为，则合作效率之和为，合作6天完成，列方程即可． 【详解】解：由题意得，甲效率为， ∵甲比乙少用5天， ∴乙队单独工作需天， ∴乙效率为， ∴两队合作效率为， 由题意可得，． 故选：C． 6. 关于的方程，下列说法中正确的有（ ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，根据判别式可判断①②；当时，方程变为，解方程即可判断③；把代入原方程，求出方程左边的值，看方程左右两边是否相等即可判断④． 【详解】解：①若，则该方程没有实数根，原说法正确； ②当时，则，若，则方程无实数根，原说法错误； ③当时，方程变为，即，解得或，原说法正确； ④当时，把代入原方程，方程左边，此时方程左右两边相等，故是原方程的解，原说法正确． 故选：C． 二、填空题（每题4分，共44分） 7. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 8. 如果代数式有意义，那么的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列不等式计算即可得解． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：1 10. 已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程；    解得，即； 由得． ． 11. 若关于x的方程的一个根是2，则另一个根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据韦达定理，已知一个根，可直接求另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为，已知一个根为． 对于方程，有，． 根据根与系数的关系，两根之和为， 即， 解得． 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得： 且 ， 故答案为： 且 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键． 13. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化． 先求解不等式，再分母有理化即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵ ∴． 故答案为：． 14. 在解一元二次方程时，小明看错了系数，解得方程的根为和；小红看错了系数，解得方程的根为和，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】小明看错系数说明常数项正确，可由他所得两根的乘积求；小红看错系数说明一次项系数正确，可由她所得两根的和求，再计算的值． 【详解】解：∵小明看错了系数，解得方程的根为和， ∴的值正确，根据根与系数的关系，两根之积等于，即； ∵小红看错了系数，解得方程的根为和， ∴的值正确，根据根与系数的关系，两根之和等于，即， ∴； ∴． 15. 在实数范围内因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，配方法的应用，首先提出，然后利用配方法和平方差公式写成因式分解的形式． 【详解】解： ． 故答案为：． 16. 解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程，把原方程转化为含的分式方程，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设，则，， 原方程可化为， 两边同时乘以得， 整理得， 得到关于的整式方程是． 17. 已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是___________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，若是方程的两个根，那么，， 当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根，由此逐项判断即可． 【详解】解：由已知得 ， ①由得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根；故①正确； ②若， 则，故②正确； ③若方程两根为和， 则，， ， ， ；故③正确； ④若，则， ， ， 方程一定无解．故④正确， 综上可知，正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题（18题每题5分，19每题5分，20、21题每题8分，22每题10分，23题14分，24题12分） 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式、平方差公式展开对应项，再合并同类二次根式，即可得出答案； （2）依次化简二次根式、计算零指数幂、对分式进行分母有理化，再合并同类二次根式，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）（配方法）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）先去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 去分母得， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； ∴． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， 且， 化简得， ∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根； （2） ，方程的另一个根为 【解析】 【分析】（1）首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，因为方程是一元二次方程，所以先确定k的取值限制，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （2）如果已知方程的一个根，那么把该根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解得到的值；再将代回原方程，可通过因式分解计算另一个根． 【小问1详解】 见答案 【小问2详解】 将已知根 代入原方程：， 化简得：， 解得 ， 将 代入原方程整理得： ， 解得，， ∴方程的另一个根为． 21. 甲商品的售价为每件40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【答案】（1） （2）该商品在原售价的基础上，再降低25元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用：平均变化率问题和销售问题，正确分析题目中的数量关系是解题的关键． (1)设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件元，可列方程求解． (2)根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月销售额为26250元列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设这种商品平均降价率是x， 依题意得： 解得：，（舍去） 答：这个降价率为。 【小问2详解】 设降价y元，则多销售件， 根据题意得， 解得：， 因为尽可能扩大销售量，所以（舍去） 答：该商品在原售价的基础上，再降低25元．- 22. 【综合与探究】 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值； （3）已知等腰的一边长为，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用一元二次方程根的判别式即可求解； （）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （）由题意得时，故只能取或，即是方程的一个根，然后代入方程求出的值，再通过三角形三边关系进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， 由（1）得， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得时， ∴只能取或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，得，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，周长为17； 当时，得，方程的另一个根为，此时不能构成三角形， 故三角形的周长为． 23. 阅读材料，解答问题： 【材料1】为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，．根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： ①若实数，满足，则的值为 ； ②用换元法解方程：． （2）间接应用：已知实数，满足：，，求的值； （3）拓展应用：已知实数，满足：，，求的值． 【答案】（1）①；②原方程的解为， （2）的值为或 （3）的值为 【解析】 【分析】（1）①令，则，解关于的一元二次方程即可得出结果；②令，则，求出，整理可得，解此方程即可得出结果； （2）由题意可得，是方程的两个实数根，再分两种情况，并结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得出结果； （3）设，则方程可化为，求得，即，设，则方程可化为，求得，再整体代入所求式子计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：①令，则， ∴， 解得，， ∵， ∴； ②令， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵实数，满足，， ∴，是方程的两个实数根， 当时，由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ∴， 当时，， 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：设，则方程可化为， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 设，则方程可化为， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 24. 被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： （1）设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； （2）尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 【答案】（1） （2） 解：∵ ，底面积等于， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，方案1包装盒的表面积为：， ∵两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形， ∴得图 当， 时，满足条件， ∴， 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积 方案2包装盒的表面积为：， 则对方案2“表面积最小”的评价准确． 【解析】 【分析】（1）根据图形可知剪去的长方形的长为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积； （2）根据底面积相同，可解方程得底边长宽分别为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积，即可验证方案． 【小问1详解】 解：由题意可得， ，， ∴ 则剪去的长方形的长为： 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $