专题07 图形的旋转 期中重难点专题训练 2026-2027学年人教版九年级上册数学

专题07 图形的旋转（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 生活中的旋转现象】 1 【题型2 找旋转中心、旋转角、对应点】 3 【题型3 根据旋转的性质求解】 9 【题型4 根据旋转的性质说明线段或角相等】 21 【题型5 画旋转后的图形】 27 【题型6 求旋转后的坐标】 33 【题型7 坐标与旋转规律问题】 45 【题型8 旋转综合题】 51 【题型1 生活中的旋转现象】 1．下列现象：①神舟二十二号发射升空；②风力发电机叶片的转动；③直升机螺旋桨的转动；④歼-20战斗机在跑道滑行．其中属于旋转的是（     ）． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据旋转的定义逐个判断即可． 【详解】解：①神舟二十二号发射升空、④歼-20战斗机在跑道滑行均不属于旋转．②风力发电机叶片的转动、③直升机螺旋桨的转动均为绕中心轴的旋转运动，属于旋转． 2．下列现象属于旋转的是（     ） A．滑动手机解锁 B．篮球在空中运动 C．流星划过夜空 D．钟表的指针转动 【答案】D 【分析】抓住旋转绕定点转动的核心特征，逐一判断各选项． 【详解】解：A、C选项均为平移运动，B选项无固定转动中心，均不属于旋转；D选项钟表的指针绕中心定点转动，属于旋转． 3．有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】旋转定义：在平面内，把一个图形绕某一定点转动一个角度的图形变换叫做旋转，根据旋转定义逐一判断各现象，即可找出不属于旋转的选项. 【详解】解：①温度计中液柱的上升或下降是沿直线的平移运动，不属于旋转； ②打气筒活塞的运动是沿直线的平移运动，不属于旋转； ③钟摆的摆动是绕悬挂定点转动，属于旋转； ④风车轮叶片绕中心转动移动到新位置，属于旋转.， 故不属于旋转的是①②. 4．在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以______（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着______（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转______度． 【答案】 脚跟 逆时针 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；逆时针；． 5．有下列运动现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带上瓶装饮料的移动；③汽车方向盘的转动；④钟摆的摆动；⑤荡秋千运动；⑥足球飞入球网中．其中属于旋转的是__________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】根据旋转定义区分旋转和平移，逐个判断各运动的类型即可，旋转是图形绕定点转动，平移是图形沿直线移动． 【详解】解：①高层公寓电梯的上升，沿直线移动，属于平移，不是旋转； ②传送带上瓶装饮料的移动，沿直线移动，属于平移，不是旋转； ③汽车方向盘的转动，绕方向盘中心定点转动，属于旋转； ④钟摆的摆动，绕悬挂点定点转动，属于旋转； ⑤荡秋千运动，绕悬挂点定点转动，属于旋转； ⑥足球飞入球网中，无绕定点的转动，不是旋转； 因此属于旋转的是③④⑤． 【题型2 】 6．如图，按顺时针旋转到的位置，以下说法正确的是（     ） A．点A是旋转中心，是旋转角 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，是旋转角 【答案】C 【分析】由按顺时针旋转到的位置，可得点是旋转中心，点和点是对应点，点和点是对应点，继而求得答案． 【详解】解：∵如图，按顺时针旋转到， ∴点是旋转中心，点和点是对应点，点和点是对应点， ∴和是旋转角，不是旋转角， 故A，B，D错误，C正确． 7．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即或．因为已知和的度数，所以先计算的度数，即两个角的差．依据旋转角的定义，该差值即为所求旋转角． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是． ∵， ∴． 即旋转角为． 8．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】D 【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知，绕着点顺时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角为． 9．如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵绕点旋转得到， ∴点为、的中点， 设的坐标为， 则，解得， 则点的坐标为． 10．如图，把绕点顺时针旋转得到，则旋转中心是点______，旋转角是____________________（写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查旋转的定义和性质，绕着点旋转，点就是旋转中心，旋转前的图形和旋转后的图形中，对应点与旋转中心所连线段所成的角都相等，所以答案不唯一． 【详解】解：因为绕点顺时针旋转得到，所以点就是旋转中心； 又因为旋转前的图形和旋转后的图形中，对应点与旋转中心所连线段所成的角是旋转角，且对应边是，对应边是， 所以或都是旋转角． 11．如图，与都是等腰直角三角形，和都是直角，点E在上，如果旋转后能与重合，那么旋转中心是点_______，旋转了_______；点C的对应点是点_______，线段的对应线段是线段________，的对应角为___________． 【答案】 【分析】本题关键在于找到旋转中心，进而能判断出逆时针旋转了的度数大小后与重合． 【详解】解：①点未发生位移和旋转，以点为旋转中心旋转后与重合． ②以点为旋转中心逆时针旋转了的度数后与重合， 为等腰直角三角形，且为直角， ，即旋转了． ③经旋转后，点与点重合，故点的对应点是点． ④经旋转后，线段与线段重合，故线段的对应线段是线段． ⑤经旋转后，与重合，故的对应角为． 12．如图，和都是等腰直角三角形，和都是直角，点在上，如果经顺时针旋转后能与重合，那么旋转的度数是______度． 【答案】 45 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出 ，根据旋转的性质确定对边 与 ，从而确定旋转角为 ，结合点 在 上即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴ ， ∵经顺时针旋转后能与 重合 ， ∴ 斜边的对应边是， 旋转角为 ， ∵ 点 C 在 上 ， ∴． 13．如图，已知为正方形内一点，将绕点逆时针旋转后得到． (1)画出旋转后的 (2)若旋转方向为顺时针，请写出旋转中心和最小旋转角 (3)连接，若，求的度数和的长． 【答案】(1) (2)旋转中心为点，最小旋转角为 (3)， 【分析】（1）根据旋转的性质及要求作图即可； （2）由旋转的性质可求解； （3）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为正方形， ． 经过旋转后到达的位置， 旋转中心为点，最小旋转角为． （3）解：如图， 经旋转后得到， ， ， ， ． ， ． 由勾股定理得． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边三角形经过平移、轴对称或旋转都可以得到另一个三角形． （1）沿轴向右平移得到，则平移距离是_______个单位长度； （2）与成轴对称图形，则对称轴是_______； （3）绕原点顺时针方向旋转得到，则旋转角度可以是_______． 【答案】 轴（或直线） 【分析】本题结合平面直角坐标系，考查平移、轴对称、旋转三种几何变换的基本性质，结合等边三角形的角度特征进行求解． 【详解】（1）已知点坐标为，沿轴向右平移得到， 点对应点是点，两点在轴上的距离为， 平移距离为个单位长度． （2）与成轴对称图形，点的对应点是点， 点坐标为，两点关于轴对称，其余对应点也都关于轴对称， 对称轴是轴． （3）是等边三角形， ，， 绕原点顺时针旋转后边与边重合， 旋转角度为． 【题型3 】 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作轴于点，则点的对应点的坐标是（     ） A． B．) C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转性质得出及，通过同角的余角相等证明，利用全等三角形对应边相等求出和的长，进而确定点坐标． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∵轴，， ∴， ， ∵线段绕点顺时针旋转得到 ， ∴， ， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∴点的坐标． 16．如图，将含的直角三角板绕点 A 顺时针旋转到处（点 C，A，D 在一条直线上），则这次旋转的旋转角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的特点找出旋转角即可． 【详解】解：旋转后 C 的对应点为 D， 且 C、A、D 三点共线、A 在中间， 故旋转角． 17．如图，在正方形中，若，则①；②；③平分，平分；④．正确结论有(        )个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用旋转变换构造全等三角形，结合正方形性质和勾股定理逐一判断四个结论，将绕点逆时针旋转得到，证明，进而判断①②，对于③，由得，将绕点逆时针旋转得到，连接，证明得到，进而根据勾股定理，即可判断④． 【详解】解：对于①，如图， 将绕点逆时针旋转得到，则，，，， ， ,即三点共线， 在和中， ，故①正确 对于②，，故②正确 对于③，由得，即平分同理可证平分，故③正确 对于④，如图， 将绕点逆时针旋转得到，则，， 在和中， 在中， ，故④正确 综上所述，正确的结论有4个． 18．如图，点D，E在的边上，且，下列说法错误的是（     ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将△ABE沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的几何变换（平移、翻折、旋转），结合，判断各个选项的变换是否能让两个三角形完全重合． 【详解】解：∵， ∴，，，是等腰三角形，的垂直平分线是等腰的对称轴． A、平移只改变位置，不改变图形朝向．和左右方向对称，不是平移关系，不能通过平移重合，该说法错误，符合题意； B、是等腰三角形，垂直平分线为对称轴，沿这条垂直平分线翻折，能够和重合，该说法正确，不符合题意； C、由，得，即，结合，，，沿垂直平分线翻折可以重合，该说法正确，不符合题意； D、绕中点逆时针旋转，得到的图形无法和重合，该说法正确，不符合题意； 19．如图，在 中，，，将绕点逆时针旋转得到 ，点，的对应点分别为 ，，若点恰好落在中点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，由旋转的性质得出，得出是等边三角形，旋转角，由勾股定理求出，再证明是等边三角形，即可求出． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， 由旋转得， ∴是等边三角形，旋转角， 在 中，． 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴． 20．一副三角板按图所示放置（点在同一直线上），，．若固定，将绕着公共点顺时针旋转（），当边与的某一边平行时，相应的旋转角的值为_______． 【答案】或或 【分析】利用平行线的性质，分三种情况进行解答即可． 【详解】解：以所在直线为基准，初始时，就是旋转角，． ①顺时针旋转后，如图， ， ， ， ． ②顺时针旋转后，如图， ， ， ， ， ． ③顺时针旋转后，此时三点在同一直线上， ， ， ， 综上所述：的值为或或 ． 21．矩形绕点A旋转得到矩形（B与E，C与F对应），的延长线交于点H，若点G恰好为的中点，，，则_____． 【答案】 【分析】过点F作交延长线于T，过点C作于Q，连接，设，则，由旋转的性质可得，先证明，再证明，得到，通过证明，推出，再证明，得到，则，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点F作交延长线于T，过点C作于Q，连接， ∵四边形是矩形， ∴ 设，则， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵点G恰好为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．如图，为等边三角形内一点，连接． (1)作出绕点顺时针旋转所得的三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按旋转作图的要求将绕点顺时针旋转得，连接即可； （2）连接，证明是等边三角形，进而证明是直角三角形，即可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． 由绕点顺时针旋转所得， ． ． ， 是等边三角形． ，． ， ， 是直角三角形，且． ． 23．如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到（点、的对应点分别是点、），点恰好落在的延长线上，在右侧取一点，连接、，使得，．求证：． 【答案】证明：由旋转可得，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】由旋转可得，，推出，结合可得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 24．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G． (1)如图1，当点E恰好落在边上时，则的长为___________（请直接写出答案）； (2)如图2，所在直线与分别交于点H、M，且．求线段的长度； (3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的面积的最大值为27． 【分析】（1）根据矩形的性质、旋转的性质以及平面直角坐标系可得，再在中利用勾股定理求解即可； （2）先证明可得，再证明可得，可得点E与点重合，点C，点E，点F三点共线，在中，勾股定理，可求的长，然后利用三角形中位线定理求解即可； （3）根据三角形的底边的长度固定，当边上的高最大时即可求解，如图，当轴于点M时，则，此时面积最大，连接，利用，求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形，点， ，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点E恰好落在边上， ， 在中，， ∴． （2）解：如图2，过点M作于N，过点C作于，连接， ∵，， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴， ， ， 又， ∴， ∴， 又， ∴点E与点重合， ， ， ∴点C，点E，点F三点共线， ∵， ， ， 设 在中，， ，解得：， ， ， ，， ． （3）解：∵点P为边的中点， ∴， ，， ， ∴当边上的高最大时，面积最大， 如图，当轴于点M时，则，此时面积最大，连接， ∵， ∴， ∴， ∴的面积的最大值为27． 【题型4 】 25．如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ， ， . 26．如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等，对应线段相等，确定与的数量关系． 【详解】解：绕点顺时针旋转得到， ， ， ． 27．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则度数为__________． 【答案】14 【详解】解：由旋转可知，又， ． 28．如图，在正方形中，点在上，点在上，且，交于点，交于点，则线段、、之间的数量关系为___________． 【答案】 【分析】把逆时针旋转得，连接，根据正方形的性质及旋转的性质得出，，，，，进而得出，利用可证明，得出，利用勾股定理即可得出． 【详解】解：如图，把逆时针旋转得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵把逆时针旋转得， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 29．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角及三角形内角和，掌握旋转的性质是关键；根据旋转的性质得，，根据等边对等角可得，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：如图，设交于点， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 30．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 31．如图1，已知为等边三角形，取的边，中点，，连接，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转角，其中． (1)如图2，当时， ①与交于点，求的度数； ②连接，，求证：． (2)在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接，会交于一点，记交点为点，交于点，交于点，连接，求证：平分． 【答案】(1)①； ②证明：和分别为等边三角形， ，， 由旋转知：， ， ． (2)证明：如图，过点分别作于点，于点， 和分别为等边三角形， ，， 由旋转知：， ， ，， ， ， 平分． 【分析】（1）①由旋转可得，再根据等边三角形性质求出，即可求出结论；②证明，即可得出结论； （2）先证明，得出，，过点分别作于点，于点，得出，即可证明结论； 【详解】（1）①解：如图， 由旋转可得，， 是等边三角形， ， ． ②略 （2）略 【题型5 画旋转后的图形】 32．如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． (1)画出将绕点逆时针旋转后的△； (2)在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）结合网格的直角特性，分别将点和点绕点逆时针旋转，得到点和，再顺次连接即可得到． （2）分别以为对角线、以为对角线、以及以为对角线，作平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图，当以为对角线的，此时点； 当以为对角线的，此时点； 当以为对角线的，此时点； 33．如图，在的网格图中，的顶点分别在格点上． (1)如图1，请仅用无刻度直尺作绕点顺时针旋转后的所得图形； (2)如图2，若点也在格点上，请仅用无刻度直尺在的右侧找一点，使得．（需保留作图痕迹） 【答案】(1)如图，即为所求： (2)如图，点即为所求： 【分析】（1）利用网格构造等腰直角与等腰直角，顺次连接点、、即可； （2）取点右侧一个单位处的格点，即为所求点． 【详解】（1）解：由网格可知，，， ∵， ∴， 同理，，， ∴即为绕点顺时针旋转后的所得图形； （2）解：如图， 由网格可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 34．如图，在平面直角坐标系内，点，，，将绕点顺时针旋转，得到． (1)在图中画出； (2)直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)如图所示： (2)， 【分析】（1）根据旋转的性质进行作图即可； （2）由图可直接写出坐标． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知，点的坐标为，点的坐标为． 35．如图，的顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，． (1)点，之间的距离是_________； (2)请在图中画出． 【答案】(1) (2)如图，即为所求． 【详解】（1）解：∵，，将点绕点逆时针旋转得到， ∴． ∵， ∴点，之间的距离是； （2）略 36．如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标； (2)将绕坐标原点O逆时针旋转，画出旋转后的，直接写出点B的对应点的坐标； (3)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 【答案】(1)点A关于y轴对称的点的坐标为 (2)如图，即为所求，． (3)点D的坐标为或或 【分析】（1）根据点关于轴对称的点的特征进行解答即可； （2）分别作出点、、绕坐标原点逆时针旋转后的点，然后顺次连接，并写出点的对应点的坐标，即可解答； （3）分别以、、为对角线，逐个求出第四个顶点的坐标即可． 【详解】（1）解：点关于轴对称的点的坐标为； （2）略 （3）解：如图所示， ①当以为对角线时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 即可看成是经过平移后得到的，且点B对应点为D，点C对应点为A， ∵先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到， ∴先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到； ②当以为对角线时，同理可得点坐标为； ③当以为对角线时，同理可得点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 【题型6 求旋转后的坐标】 37．如图，在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后得到点绕点O逆时针旋转后得到点，以此类推，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得到每旋转4次一个循环，即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：将点绕点O逆时针旋转得到点， ∴点，依此类推，可得，，与重合，即， ∴每旋转4次一个循环， ∵， ∴第2026次旋转结束时，点的坐标与相同， ∴点的坐标是． 38．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用求得，进而可得，则可得，进而可求得，，则可得点的坐标为 ，再根据旋转的性质得到规律，进而可求解． 【详解】解：连接，过点作，如图：   ，， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为 ， 由旋转可知第一次旋转后点的坐标为， 第二次旋转后点的坐标为， 第三次旋转后点的坐标为， 每次旋转，， 每旋转4次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同， 第2026次旋转结束时，点的坐标为. 39．如图，为反比例函数上的点，若线段绕点顺时针旋转到，O点对应H点，当P、H在同一个反比例函数图像上时，则是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用旋转性质构造全等三角形求出点的坐标，代入反比例函数解析式建立关于a，b的等式，转化为关于的一元二次方程求解． 【详解】解：过点作轴于，过点作于，如图 在上， ， 线段OP绕点顺时针旋转到 在和中 ， ． 点横坐标为，纵坐标为． 在上， ， ， 等式两边同除以得：． 设，则， 解得， 在第一象限， ， ． 40．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把点向上平移2个单位得到，结合勾股定理以及旋转性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵，过点作轴于点， 则， ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为. 41．如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是___________ 【答案】 【分析】先求出的长，再根据含度角的直角三角形性质及勾股定理求出的长，由旋转的性质得出的长及的度数，过点作轴的垂线，构造直角三角形求解即可． 【详解】解：令，则， ， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得，即， 解得， ， 由旋转的性质得：，， 点在轴正半轴上， 点在第一象限， 过点作轴于点， 在中，，， ， ， 由勾股定理得， ， 点的坐标是． 42．如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】连接交于点E，先根据题意可得点，进而得出，再由旋转的性质可得，进而得出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，连接交于点E， ∵菱形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为， ∴点， ∴． 由旋转的性质可得， ∴， ∴点D的对应点的坐标为． 43．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由旋转的性质求出点的坐标，用待定系数法分别求出直线、的函数解析式，联立求出点的坐标，利用坐标平移的规律：左减右加，上加下减，求出的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知：， 设直线的函数解析式为， 把代入得，解得， 直线的函数解析式为 设直线的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， 联立，解得， ， 将点向左平移2个单位长度得到点， ． 44．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)如图即为所求； (2) 【分析】（1）根据旋转的方式，分别画出点、、的对应点、、，再顺次连接即可得到； （2）结合图形写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：由坐标系可得，点的坐标为． 45．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过点，． (1)与的数量关系是； (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合．求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)若点在反比例函数的图象上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)存在，或． 【分析】利用反比例函数上的点横纵坐标乘积等于，建立，的关系式； 旋转模型，构造“一线三垂直”全等三角形，列方程组求出点坐标与； 平行四边形存在性，分为边、为对角线两种情况，利用坐标中点公式求解，最后验证在反比例图象上． 【详解】（1）反比例函数经过、，则 ， ， ， 即． （2）由得、，设． 如图所示，过作轴于，过作轴于． 由旋转知，，则 对应边相等，得 ，即 ，即 把代入： ∴，，． 把代入： （3）平行四边形满足对角线中点相同，分两类讨论： ①AB作为平行四边形的边： ，即 ②AB作为平行四边形的对角线： ，即 【点睛】本题综合考查反比例函数、旋转全等、平行四边形坐标存在性．旋转90°的问题，优先想到“一线三垂直全等模型”；平行四边形坐标问题口诀：对边向量相等，对角线中点重合；存在性问题一定要分类讨论，不要遗漏情况． 46．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，坐标是________； (2)平移，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，的坐标是________； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标是________． 【答案】(1)见解析，的坐标为 (2)见解析，的坐标为 (3)旋转中心的坐标为 【分析】（1）根据旋转的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得，根据点在坐标系内的位置写出点的坐标即可． （2）由点的对应点的坐标可得平移方式：向右平移5个单位，再向下平移2个单位，画出，根据点在坐标系内的位置写出点的坐标即可． （3）分别连接，，，交于点．分别求出，函数解析式，联立方程组，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作，的坐标为 （2）解：如图所示，即为所作，的坐标为； （3）解：连接，，，交于点，则点为旋转中心． 由（1）得， 由（2）得， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为； 同理得直线的解析式为， 联立方程组得， 解得， ∴点的坐标为． 【题型7 坐标与旋转规律问题】 47．如图，边长为的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针每次旋转，则旋转次后顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定，再求，然后根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接    ∵边长为2的正方形的中心与坐标原点重合， ∴, ∴， ∵轴，将正方形绕原点顺时针旋转，每次旋转， ∴． 48．雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作轴于H，连接，根据旋转性质得到每6次一个循环，旋转第次得到的点的坐标与的坐标相同．根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求得的坐标，根据对称性质可得与关于原点对称，进而求得的坐标即可． 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 49．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，点A与原点重合，，，将绕点B旋转得，边在x轴上，将绕点旋转得，边在x轴上，将绕点旋转得，边在x轴上…，依次按这样的规律旋转，则点的坐标______，点的坐标______． 【答案】 【分析】由勾股定理可得，过点作轴的垂线，垂足为，由等面积法计算得出，则，结合旋转的方式得出规律点的坐标可表示为，令，则，结合所得规律计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，过点作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴， 由所给旋转方式可得，点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即，…， 由此可见，点的坐标可表示为， 当，即时，， ∴点的坐标． 50．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据正方形性质求出长度及点坐标，根据每次旋转可知每旋转次回到原位，计算的余数，确定与重合，结合图形对称性求出坐标． 【详解】解：连接，如图所示， 四边形是正方形，点坐标为， ，， 点坐标为， ， 每次顺时针旋转，旋转一周需次， 点的对应点坐标每次为一个循环周期 依次推导前几次旋转后点对应点的坐标： 第次旋转，点在轴正半轴，坐标为， 第次旋转，点在第四象限角平分线上，坐标为 ， 第次旋转，点在轴负半轴，坐标为 ， 第次旋转，点在第三象限角平分线上，坐标为 ， 第次旋转，点在轴负半轴，坐标为， 第次旋转，点在第二象限角平分线上，坐标为 ， 第次旋转，点在轴正半轴，坐标为， 第次旋转，点回到第一象限角平分线上，坐标为 ， ， 点的坐标与点的坐标相同 ， 点的坐标为． 51．如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在轴正半轴上，是等腰三角形，，点到轴的距离为4．将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，…如此循环下去，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】由旋转的性质可知与重合，与重合，过点作轴，根据勾股定理求得三角形的直角边，确定点的坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，……如此循环下去，在第一象限，在第二象限，在第三象限，在第四象限，依此类推， ∵，与第2次旋转得到的相同， ∴与重合，与重合， 如图所示， 过点作轴， 由旋转的性质可知，，， 在中，， ∴， ∴的坐标为， ∴的坐标为． 【题型8 】 52．如图，在中，，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质、三角形的三边关系、二次根式的性质．作出合适的辅助线是解题的关键．由于的长度是变化的，所以把绕顺时针旋转，进而使的长度和，建立联系，再利用构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接， ，，， ． ， 的最大值为． 53．如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形斜边中线的性质构造全等三角形，证明旋转过程中重叠部分面积为定值，和旋转角度无关． 【详解】解：如图，连接， ，，点是的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 54．如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点．设交于点，连接．有如下结论：①；②的长度是；③；④．上述结论中，正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】可证四边形是正方形，可求，，取的中点，连接，可证是等边三角形，从而可求，①即可求解；可求，②即可求解；由，，可求③即可求解；可证，可得，由，④即可求证． 【详解】解：四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 由折叠得：， 四边形是正方形， ， ， 是的中点， ， 在中 ， 如图，取的中点，连接，   ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故①正确； 在中 ， 由旋转得：， ， 故②正确；   四边形是正方形， ， ，， ， ， 故③正确； 由旋转得：， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ， ， ， ， 故④正确； ①②③④均正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定及性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 55．如图，在中，，，将绕点 C顺时针旋转得到． 点 E是边的中点，点F为线段上的动点，在绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是，则线段长度的最小值为（     ） A．4.8 B．3 C．2.4 D．1.8 【答案】D 【分析】过A作于F，过C作于E，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式求出；此时过C作于F，以C为圆心为半径画圆交于，有最小值，解答即可． 【详解】解：过A作于F，过C作于E，如图1： ∵， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∴，， ∴， 如图2，过C作于F，以C为圆心为半径画圆交于，有最小值， 此时在中，， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 【点睛】此题考查了几何变换问题，等腰三角形的性质，旋转的性质，面积法求三角形的高，解直角三角形；（1）题关键用面积法求出三角形的高，（2）题关键是能画出旋转的轨迹． 56．如图，已知是等边三角形，边长为3，以为顶点，作等边，边长为6，连接、，若等边绕点在平面内旋转，则的最小值为________． 【答案】 【分析】取的中点，连接并延长至点，使得，用判定证明，进而用判定证明，所以可得，所以当三点共线时，最短，最短为，求出的长即可求出最终答案． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， 取的中点，连接并延长至点，使得， ， ， ，， ，即， 又，， ， ， ， ∴当且仅当三点共线时，最短，最短为， ∵点F为的中点， ， ， 因此的最小值为． 57．如图，正方形与正方形边长分别为1和，一开始边落在边上，将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为（）．在旋转过程中，连接，，，，四边形面积的最大值是_________． 【答案】 【分析】连接，，相交于点H，与交于点K，根据正方形的性质可得，，，从而利用等式的性质可得，进而可证，然后利用全等三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，最后根据四边形面积的面积的面积=，当取最大值时，四边形面积最大，进行计算即可解答． 【详解】解：连接，，相交于点H，与交于点K， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积的面积的面积 ， ∴当取最大值时，四边形面积最大， ∴当时，最大， ∴四边形面积的最大值. 58．如图，中，，，O为中点，将绕着点O逆时针旋转至，（1）当时，__________；（2）当恰为轴对称图形时，的值为_____________． 【答案】 40° 50°或65°或80° 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得到，然后结合旋转的性质得到，然后根据外角的性质得到，进而求解即可； （2）如图1，连接，根据直角三角形的判定和性质得到，当时，得到，推出垂直平分，求得，于是得到，当时，如图2，连接并延长交于H，根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，当时，如图3，连接并延长交于G，连接，推出垂直平分，得到，根据三角形的内角和得到． 【详解】（1）连接， ∵中，O为中点 ∴ ∵将绕着点O逆时针旋转至 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵恰为轴对称图形， ∴是等腰三角形， 如图1，连接， ∵O为斜边中点，， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴； 当时，如图2，连接并延长交于H， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3， 连接并延长交于G，连接， ∵，O为斜边中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 综上所述：当恰为轴对称图形时，θ的值为50°或65°或80°， 故答案为：50°或65°或80°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键． 59．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转变化，解直角三角形，求点的运动轨迹，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据旋转角度画出图形，在变化的过程中，Q点从点运动到与垂直时，与的交点处，进行计算即可得到答案． 【详解】解：当从到的变化过程中，如图所示， ， ， 当时，点从点开始向方向运动， 当时，的移动到最大距离， 此时， 在中，， ， ， 当时，点开始离开点向点方向运动， 当时，点停止运动， 在中，， ， 点返回运动的路径长为， 点Q移动的路径长为， 故答案为：． 60．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 【答案】(1) (2)①证明：如图2， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点B，C，E三点共线， ∴， ∴， ∴． ②5 【分析】（1）证明为等边三角形，得到，点B，C，E共线，再由即可求解． （2）①由旋转得，，，再进一步由全等三角形的性质得出为等腰直角三角形，根据角度的转换得出，即可证明结论． ②利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即点B，C，E三点共线， ∴． （2）①略． ②解：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 61．如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 【答案】(1)40 (2)时；当时 (3)t为或 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由平角的定义及计算得到，在四边形中根据内角和定理即可求解； （2）由折叠的性质得：，，结合图形分类讨论：当在的左侧时（）；当在的右侧时（）；结合角度的数量关系列式求解即可； （3）根据题意得到射线到的时间为秒，射线到的时间为秒，，，结合运动情况分类讨论：与相遇前；在与相遇后；由平角的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵与关于直线对称，点落在边上，，与关于直线对称，点落在边上， ∴， ∴， ∵，则， ∴， 在四边形中，， 故答案为：40； （2）解：由折叠的性质得：，， ，， ①当在的左侧时（）， ， ， ， ； ②当在的右侧时（）， ， ， ， ． 综上，x，y满足当时；当时． （3）解：当时，， ∵射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，到位置停止， ∴射线到的时间为秒，射线到的时间为秒， 由题意可知，，， ①与相遇前，则， ∴， 解得； ②与相遇后，则， ∴， 解得，不合题意舍去； ∴在与相遇后，当时，射线已停止旋转， ∴此时， ， 解得， 综上，当t为或时，． 62．在矩形中，点是直线上一个动点，连接． (1)如图1，若平分，，，连接，求的面积； (2)如图2，点是的中点，将直线绕点逆时针旋转后，恰好经过点，交于点，连接，若．求证：． (3)如图3，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，．若，，当取最小值时，请直接写出此时的长度． 【答案】(1)6 (2)证明：如图：过A作交于M点， ∴， ∵P是中点， ∴， 在与中 ， ∴； ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用矩形的性质、等腰三角形的判定与性质可得，即；再利用三角形的面积公式求解即可； （2）如图：过A作交于M点，证明可得，，再根据旋转的性质、三角形外角的性质、等角对等边以及等量代换可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可证明结论； （3）如图：取的中点F，连接，即，过Q作垂直于直线于G，即，证明可得，如图：以D为坐标原点建立直角坐标系，则Q在直线l：上，易得当共线时，有最小值；再求得直线的解析式为，易得；如图：过作垂直于直线于，则，如图：根据题意旋转逆向作图，得到，求得，最后根据两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． （2）略 （3）解：∵矩形，，， ∴， 如图：取的中点F，连接，即， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 如图：过Q作垂直于直线于G，即， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图：以D为坐标原点建立直角坐标系，则Q在直线l：上， ，作C关于直线l的对称点，连接交直线l于，连接， ∴ ∴当共线时，有最小值， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：，即， 如图：过作垂直于直线于，则，如图：根据题意旋转逆向作图，得到， 同理可证：∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当取最小值时，的长度为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 图形的旋转（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 生活中的旋转现象】 1 【题型2 找旋转中心、旋转角、对应点】 2 【题型3 根据旋转的性质求解】 4 【题型4 根据旋转的性质说明线段或角相等】 7 【题型5 画旋转后的图形】 9 【题型6 求旋转后的坐标】 11 【题型7 坐标与旋转规律问题】 14 【题型8 旋转综合题】 16 【题型1 生活中的旋转现象】 1．下列现象：①神舟二十二号发射升空；②风力发电机叶片的转动；③直升机螺旋桨的转动；④歼-20战斗机在跑道滑行．其中属于旋转的是（     ）． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．下列现象属于旋转的是（     ） A．滑动手机解锁 B．篮球在空中运动 C．流星划过夜空 D．钟表的指针转动 3．有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 4．在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，左脚正确的动作应是以______（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着______（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转______度． 5．有下列运动现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带上瓶装饮料的移动；③汽车方向盘的转动；④钟摆的摆动；⑤荡秋千运动；⑥足球飞入球网中．其中属于旋转的是__________（填序号）． 【题型2 】 6．如图，按顺时针旋转到的位置，以下说法正确的是（     ） A．点A是旋转中心，是旋转角 B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点 C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，是旋转角 7．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 8．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 9．如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．如图，把绕点顺时针旋转得到，则旋转中心是点______，旋转角是____________________（写出一个即可）． 11．如图，与都是等腰直角三角形，和都是直角，点E在上，如果旋转后能与重合，那么旋转中心是点_______，旋转了_______；点C的对应点是点_______，线段的对应线段是线段________，的对应角为___________． 12．如图，和都是等腰直角三角形，和都是直角，点在上，如果经顺时针旋转后能与重合，那么旋转的度数是______度． 13．如图，已知为正方形内一点，将绕点逆时针旋转后得到． (1)画出旋转后的 (2)若旋转方向为顺时针，请写出旋转中心和最小旋转角 (3)连接，若，求的度数和的长． 14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边三角形经过平移、轴对称或旋转都可以得到另一个三角形． （1）沿轴向右平移得到，则平移距离是_______个单位长度； （2）与成轴对称图形，则对称轴是_______； （3）绕原点顺时针方向旋转得到，则旋转角度可以是_______． 【题型3 】 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作轴于点，则点的对应点的坐标是（     ） A． B．) C． D． 16．如图，将含的直角三角板绕点 A 顺时针旋转到处（点 C，A，D 在一条直线上），则这次旋转的旋转角的度数为（     ） A． B． C． D． 17．如图，在正方形中，若，则①；②；③平分，平分；④．正确结论有(        )个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，点D，E在的边上，且，下列说法错误的是（     ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将△ABE沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 19．如图，在 中，，，将绕点逆时针旋转得到 ，点，的对应点分别为 ，，若点恰好落在中点，则线段的长为______． 20．一副三角板按图所示放置（点在同一直线上），，．若固定，将绕着公共点顺时针旋转（），当边与的某一边平行时，相应的旋转角的值为_______． 21．矩形绕点A旋转得到矩形（B与E，C与F对应），的延长线交于点H，若点G恰好为的中点，，，则_____． 22．如图，为等边三角形内一点，连接． (1)作出绕点顺时针旋转所得的三角形； (2)若，求的度数． 23．如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到（点、的对应点分别是点、），点恰好落在的延长线上，在右侧取一点，连接、，使得，．求证：． 24．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F，G． (1)如图1，当点E恰好落在边上时，则的长为___________（请直接写出答案）； (2)如图2，所在直线与分别交于点H、M，且．求线段的长度； (3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【题型4 】 25．如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．7 26．如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（    ） A． B． C． D． 27．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到．若，则度数为__________． 28．如图，在正方形中，点在上，点在上，且，交于点，交于点，则线段、、之间的数量关系为___________． 29．如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为_______． 30．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 31．如图1，已知为等边三角形，取的边，中点，，连接，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转角，其中． (1)如图2，当时， ①与交于点，求的度数； ②连接，，求证：． (2)在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接，会交于一点，记交点为点，交于点，交于点，连接，求证：平分． 【题型5 画旋转后的图形】 32．如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． (1)画出将绕点逆时针旋转后的△； (2)在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 33．如图，在的网格图中，的顶点分别在格点上． (1)如图1，请仅用无刻度直尺作绕点顺时针旋转后的所得图形； (2)如图2，若点也在格点上，请仅用无刻度直尺在的右侧找一点，使得．（需保留作图痕迹） 34．如图，在平面直角坐标系内，点，，，将绕点顺时针旋转，得到． (1)在图中画出； (2)直接写出点和点的坐标． 35．如图，的顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，． (1)点，之间的距离是_________； (2)请在图中画出． 36．如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标； (2)将绕坐标原点O逆时针旋转，画出旋转后的，直接写出点B的对应点的坐标； (3)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 【题型6 求旋转后的坐标】 37．如图，在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后得到点绕点O逆时针旋转后得到点，以此类推，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 38．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（     ） A． B． C． D． 39．如图，为反比例函数上的点，若线段绕点顺时针旋转到，O点对应H点，当P、H在同一个反比例函数图像上时，则是（） A． B． C． D． 40．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 41．如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是___________ 42．如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为___________． 43．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 44．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)写出点的坐标． 45．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过点，． (1)与的数量关系是； (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合．求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)若点在反比例函数的图象上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 46．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以坐标原点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，坐标是________； (2)平移，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，的坐标是________； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标是________． 【题型7 坐标与旋转规律问题】 47．如图，边长为的正方形的中心与坐标原点重合，轴，将正方形绕原点顺时针每次旋转，则旋转次后顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 48．雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 49．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，点A与原点重合，，，将绕点B旋转得，边在x轴上，将绕点旋转得，边在x轴上，将绕点旋转得，边在x轴上…，依次按这样的规律旋转，则点的坐标______，点的坐标______． 50．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_______． 51．如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在轴正半轴上，是等腰三角形，，点到轴的距离为4．将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，…如此循环下去，则点的坐标为_________． 【题型8 】 52．如图，在中，，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 53．如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 54．如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点．设交于点，连接．有如下结论：①；②的长度是；③；④．上述结论中，正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 55．如图，在中，，，将绕点 C顺时针旋转得到． 点 E是边的中点，点F为线段上的动点，在绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是，则线段长度的最小值为（     ） A．4.8 B．3 C．2.4 D．1.8 56．如图，已知是等边三角形，边长为3，以为顶点，作等边，边长为6，连接、，若等边绕点在平面内旋转，则的最小值为________． 57．如图，正方形与正方形边长分别为1和，一开始边落在边上，将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为（）．在旋转过程中，连接，，，，四边形面积的最大值是_________． 58．如图，中，，，O为中点，将绕着点O逆时针旋转至，（1）当时，__________；（2）当恰为轴对称图形时，的值为_____________． 59．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为______． 60．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 61．如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 62．在矩形中，点是直线上一个动点，连接． (1)如图1，若平分，，，连接，求的面积； (2)如图2，点是的中点，将直线绕点逆时针旋转后，恰好经过点，交于点，连接，若．求证：． (3)如图3，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，．若，，当取最小值时，请直接写出此时的长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $