专题01 降次——解一元二次方程 重难点专题训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题01 降次——解一元二次方程（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 解一元二次方程——直接开平方法】 1 【题型2 解一元二次方程——配方法】 2 【题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 3 【题型4 根据一元二次方程根的情况求参数】 4 【题型5 公式法解一元二次方程】 5 【题型6 因式分解法解一元二次方程】 6 【题型7 换元法解一元二次方程】 7 【题型8 解分式方程（化为一元二次）】 8 【题型1 】 1．若关于的一元二次方程有一个根为零，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如果是一元二次方程的一个根，那么该方程另一个根是（     ） A． B． C． D． 3．关于x的方程． （1）当________时，此方程是一元二次方程； （2）当________时，此方程是一元一次方程． 4．已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则此三角形周长为__________． 5．解方程 (1)； (2)． 6．解方程 (1) (2)； 7．计算 (1) (2) 【题型2 】 8．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 9．一元二次方程配方可变形为（     ） A． B． C． D． 10．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则________． 11．用适当的方法解方程． (1)； (2) 12．解方程： (1)； (2)． 13．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3 】 14．若一元二次方程能用公式法求解，则m，n之间的关系是（     ） A． B． C． D． 15．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 16．一元二次方程的根的情况是（     ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 17．一元二次方程根的判别式为_______，当时，方程有_______个_______的实数根；当时，方程有_______个_______的实数根；当时，方程_______实数根． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况； (2)如果方程的一根为1，求方程的另一根及k的值； 19．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该一元二次方程的一个根，求的值； (2)判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； (3)若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根，当为何值时，是菱形？ 20．当k为何值时，关于x的一元二次方程， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 【题型4 】 21．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 22．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 23．已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 24．关于的方程有实数根，则的取值范围为______． 25．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_________． 26．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 27．已知：平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 28．已知关于x的一元二次方程， (1)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围， (2)若该方程的一个根是，求它的另一个根及m的值． 【题型5 公式法解一元二次方程】 29．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 30．已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 31．若是一元二次方程的根，则的值为_________． 32．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是___________． 33．解方程： (1)； (2)． 34．按要求解题： (1)计算：； (2)解方程：． 35．计算及解方程： (1)计算：； (2)解方程：； 【题型6 】 36．对于任意实数a、b定义一种新运算：，例如，若，则x的值为（     ） A．或3 B．或4 C．1或 D．1或 37．使等式成立的不同实数的个数有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 38．一元二次方程的两根分别为，，则该一元二次方程可以因式分解为（     ） A． B． C． D． 39．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是________． 40．填空：（1）方程的解是________________； （2）方程的解是________________． 41．定义：方程与方程互为“换位方程”．已知关于的一元二次方程①，若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，则这个公共根是________，_____． 42．解方程： (1)（用配方法解） (2) 43．用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) 44．解方程． (1) (2) 45．我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． 当时，求该幸运方程的“幸运数”； 若该幸运方程的“幸运数”是，求的值； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”． 【题型7 】 46．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 47．若（）的两个实数根为1和，那么关于x的一元二次方程的解为（     ） A．或 B． C．或 D． 48．若关于x的方程，则_________． 49．如果，那么的值是________． 50．已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程．（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． (2)已知关于的一元二次方程的两根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【题型8 】 51．如图，矩形中，，，为边的中点，点为边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，若点恰好在线段上，则的长是（     ） A． B． C． D． 52．解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般形式是________． 53．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，……，按照这个规定，如果．求此时x的值． 54．解方程： (1)； (2) 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 降次——解一元二次方程（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 解一元二次方程——直接开平方法】 1 【题型2 解一元二次方程——配方法】 5 【题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 9 【题型4 根据一元二次方程根的情况求参数】 12 【题型5 公式法解一元二次方程】 16 【题型6 因式分解法解一元二次方程】 20 【题型7 换元法解一元二次方程】 27 【题型8 解分式方程（化为一元二次）】 30 【题型1 】 1．若关于的一元二次方程有一个根为零，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程求的值，再根据一元二次方程的定义进一步确定a的值． 【详解】解：将代入，得： ， 解得， ∵ 该方程为一元二次方程， ∴ ，即， ∴ ． 2．如果是一元二次方程的一个根，那么该方程另一个根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，解得， ∵是一元二次方程的一个根， ∴该方程的另一个根是． 3．关于x的方程． （1）当________时，此方程是一元二次方程； （2）当________时，此方程是一元一次方程． 【答案】 或或或或 【分析】（1）依据一元二次方程的定义，根据二次项的系数不为、次数为，确定的取值； （2）依据一元一次方程的定义，明确方程中未知数的次数要求与对应项的系数限制，分情况讨论求解参数的取值． 【详解】（1）解：是一元二次方程， ， 当时，可得：， 又， ， ； （2）解：是一元一次方程， 当时，可得：， 可得方程为， ， 解得：， 当时，方程是一元一次方程； 当时，可得：， 可得方程为， 当时，方程是一元一次方程； 当时，可得：， 解得：， 此时方程为， 当时，方程是一元一次方程； 综上所述，当取，，，，时，原方程为一元一次方程． 4．已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则此三角形周长为__________． 【答案】10 【分析】首先解方程，得到三角形的两边长，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系解答即可． 【详解】解：∵， 或， 解得或， 当4为等腰三角形的腰时，另一腰长为4，此时，底边长为2， 且，此时，三角形存在， 故三角形的周长为：； 当2为等腰三角形的腰时，另一腰长为2，此时，底边长为4， 且，此时，三角形不存在，此种情况舍去； 故三角形的周长为10． 5．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：直接开方得， ∴或， 解得，； （2）解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 6．解方程 (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ． 7．计算 (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ， ，， ，． （2）解：， ， ， ． 【题型2 】 8．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 移项，得， 配方，得， 即. 9．一元二次方程配方可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 10．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则________． 【答案】8 【分析】将原方程移项、配方化为的形式，得到和的值，计算即可． 【详解】解： ， ， ， 整理得， 对比，可得 ，， 因此． 11．用适当的方法解方程． (1)； (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ， 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ，． 13．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，； （3）解： ，； （4）解： ，． 【题型3 】 14．若一元二次方程能用公式法求解，则m，n之间的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项， ∵ 方程能用公式法求解， ∴ 根的判别式， 代入系数得， 整理得． 15．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：∵对于一元二次方程，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 16．一元二次方程的根的情况是（     ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】用根的判别式进行判断，，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：在方程中，，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 17．一元二次方程根的判别式为_______，当时，方程有_______个_______的实数根；当时，方程有_______个_______的实数根；当时，方程_______实数根． 【答案】 两 不相等 两 相等 没有 【分析】根据一元二次方程根的判别式定义和根的判别式，直接填充对应内容即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其根的判别式定义为． 根与判别式的关系为： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况； (2)如果方程的一根为1，求方程的另一根及k的值； 【答案】(1)方程有两个实数根 (2)另一根为， 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式（，方程有两个实数根；方程没有实数根）即可知道方程根的情况． （2）将方程的其中一个根代入方程即可求出的值，将值代入方程，利用直接开平方法解出即可求出方程的另一个根． 【详解】（1）解：， ， 方程有两个实数根． （2）解：将代入方程得：， ， 将代入方程得：， ， ，， 方程的另一根为． 19．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该一元二次方程的一个根，求的值； (2)判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； (3)若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根，当为何值时，是菱形？ 【答案】(1) (2)无论取何值，该一元二次方程总有两个实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程有两个不相等的实数根． 理由如下：∵在方程中，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴无论取何值，该方程总有两个实数根. 当即时，方程有两个相等的实数根； 当即时，方程有两个不相等的实数根． (3) 【分析】（1）根据一元二次方程的根的定义，代入求解即可； （2）首先计算该一元二次方程的根的判别式，结合，即可获得结论； （3）根据菱形邻边相等的性质，得方程有两个相等实数根，令判别式为0，进一步求解m的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，是一元二次方程的一个根， ∴，解得； （2）略 （3）解：若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根， 则当时，是菱形，即该方程有两个相等的实数根， 由（2）得， ∴，解得， 当时，方程的根为，符合边长为正数的要求． 答：当时，是菱形． 20．当k为何值时，关于x的一元二次方程， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 【答案】(1)，且 (2) (3) 【分析】（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据判别式的意义得到，然后解方程即可； （3）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且， 解得：； （3）解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴且， 解得：． 【题型4 】 21．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】需按二次项系数是否为0分类讨论，结合方程有实数根的条件求解． 【详解】解：当时，原方程为，有实数根； 当时，原方程为一元二次方程， 方程有实数根， ，即，解得， 即且， 综上，的取值范围是． 22．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】由一元二次方程有实数根可得根的判别式非负，据此列不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 解得． 23．已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式非负两个条件． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 方程有实数根， ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 24．关于的方程有实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】分方程为一元一次方程、一元二次方程两种情况讨论，结合对应方程有实数根的条件推导的取值范围． 【详解】解：当时，原方程化为，是一元一次方程，存在实数根，符合要求； 当时，原方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴ ， 解得，此时符合条件的范围为且， 综上可得，的取值范围为． 25．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知判别式，以及二次项系数，进而得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 整理得：，解得：， ∴的取值范围为且． 26．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个实数根的条件，得到根的判别式大于等于0，列出不等式求解的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 根的判别式， 解得． 27．已知：平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】(1)当时，四边形是菱形，此时菱形的边长为 (2)平行四边形的周长为 【分析】（1）当四边形是菱形时，，故，可求出m的值，然后把m的值代入方程，然后解方程即可求出菱形的边长． （2）把2代入方程求出的值，再利用公式法解出的值，最后由平行四边形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解：当四边形是菱形时，， 故， 整理得：， 解得：， 当时，方程变成：， 解得：， 即当时，四边形是菱形，此时菱形的边长为． （2）解：若的长为2， 则方程的一个根为2， 把2代入方程得：， 解得：， 则方程为：， 解得，， 故， ∴平行四边形的周长为：． 28．已知关于x的一元二次方程， (1)若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围， (2)若该方程的一个根是，求它的另一个根及m的值． 【答案】(1) (2)该方程的另一个根为，的值为 【分析】（1）根据有两个不相等的实数根，得，据此即可列关于m的不等式，解出即可得m的取值范围； （2）把该方程的一个根代入方程，即可解出m，进而可得原方程，再解方程即可得原方程的另一个根． 【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根， ∴，解得：， ∴m的取值范围为. （2）解：∵该方程的一个根是， ∴，解得：， ∴题目方程为：，解得：，， ∴该方程的另一个根为，的值为． 【题型5 公式法解一元二次方程】 29．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过“降次法”得出，解一元二次方程，结合得出，代入降次后的式子，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得， ∵， ∴， ∴． 30．已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等积式求与的关系，再验证各选项比值. 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 整理得， 解得； ∵线段长度为正数， ∴，即， ∴； ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 31．若是一元二次方程的根，则的值为_________． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的求根公式得到，，，然后代入求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，，， ∴． 32．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是___________． 【答案】1 【分析】利用公式法解方程得到或，根据“邻根方程”的定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵关于的方程是“邻根方程”， ∴关于的方程有两个实数根， 解方程得或， 由“邻根方程”的定义可得， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴t的最大值为． 33．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，，， ， ， ，． 34．按要求解题： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1)； (2)， 【详解】（1）解：原式 （2）， ，，， ， ， 35．计算及解方程： (1)计算：； (2)解方程：； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）分别化简各部分，再合并计算结果； （2）利用一元二次方程求根公式计算方程的根． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， 即，． 【题型6 】 36．对于任意实数a、b定义一种新运算：，例如，若，则x的值为（     ） A．或3 B．或4 C．1或 D．1或 【答案】B 【分析】依据新运算定义，将等式转化为一元二次方程求解． 【详解】解：根据新运算定义，， 移项得， 因式分解得， 解得或． 37．使等式成立的不同实数的个数有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】将看作整体换元，降次求解即可． 【详解】解：设，原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴，不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 共2个不同实数解． 38．一元二次方程的两根分别为，，则该一元二次方程可以因式分解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的根与因式分解形式的对应关系求解． 【详解】解：∵　一元二次方程的两根分别为，， ∴ 该方程因式分解为． 39．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是________． 【答案】 【分析】先求出方程的两个根，根据倍根方程定义得到两种情况，求出和的关系，代入所求分式计算即可． 【详解】解：解方程，得，， ∵方程是倍根方程， ∴分两种情况讨论： 第一种情况：，即，可得， 代入得：； 第二种情况：，即，可得， 代入得： 综上，的值为． 40．填空：（1）方程的解是________________； （2）方程的解是________________． 【答案】 ， 【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴； （2）， ， 或， ∴，． 41．定义：方程与方程互为“换位方程”．已知关于的一元二次方程①，若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，则这个公共根是________，_____． 【答案】 【分析】设公共根为，代入两个方程作差整理，分情况讨论排除不符合条件的结果，得到符合要求的公共根和的值. 【详解】解：由题意，的换位方程为，由定义得，即； 设公共根为， ∴，， 两式相减整理得： ， 分情况讨论： 若，即，此时两个方程完全相同，所有根都是公共根，不符合“有且仅有一个公共根”的条件，舍去； 若，解得或： 当时，代入原方程得，解得，不符合的要求，舍去； 当时，代入原方程得，整理得，解得； 验证得：当时，原方程根为，换位方程根为，只有一个公共根，符合条件. 因此公共根为，. 42．解方程： (1)（用配方法解） (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， 即或， 解得，. 43．用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 44．解方程． (1) (2) 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）移项整理方程后通过因式分解求解； （2）将方程左边转化为完全平方式后开平方求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴ 或， 解得，； （2）解：， ， ∴， 解得， 即． 45．我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． 当时，求该幸运方程的“幸运数”； 若该幸运方程的“幸运数”是，求的值； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”． 【答案】(1)；或； (2)，． 【分析】把代入一元二次方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； 根据“幸运数”的定义可得方程解方程可求得的值； 通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，然后按照“幸运数”定义求解即可． 【详解】（1）解：当时，代入一元二次方程得到方程， ∴“幸运数”为； ∵的“幸运数”是， ∴，整理得， ， 解得，， ∴的值为或； （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵关于的一元二次方程是“幸运方程”， ∴是完全平方数，即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，一元二次方程化为， ∴， ∴方程的“幸运数”为． 【题型7 】 46．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用方程解的定义，将看作整体，与原方程中的取值对应求解． 【详解】解：∵方程的解为，， ∴，， 令，解得， 令，解得， 即方程的解为，． 47．若（）的两个实数根为1和，那么关于x的一元二次方程的解为（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的定义，通过整体代换求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵的两个实数根为和， ∴或， 解得或． 48．若关于x的方程，则_________． 【答案】 【分析】设，原方程可化为，利用因式分解法解方程，再结合解答即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， 又∵当时，；当时，，舍去， ∴， 即． 49．如果，那么的值是________． 【答案】 【分析】观察到等式中重复出现，用换元法将原方程转化为一元二次方程求解，再根据平方的非负性舍去不符合题意的解． 【详解】解：设， ∵ ，， ∴ ， ∵， ∴， 展开得， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ ， ∴ 舍去， ∴ ． 50．已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程．（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． (2)已知关于的一元二次方程的两根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照题例“换根法”解答即可； （）仿照题例“换根法”解答即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入方程，得， 化简，得， ∴所求方程为； （2）解：设所求方程的根为，则， ∵已知方程的根不为零， ∴，，， ∴， 把代入方程，得， 化简，得， ∴所求方程为． 【题型8 】 51．如图，矩形中，，，为边的中点，点为边上一点，将线段绕点顺时针旋转得到，若点恰好在线段上，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，过点作于点，假设，证明，得出相等的线段，表示出相关线段，证明，得出，列出分式方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 假设，则， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得（负值已舍）， 经检验，当时，是原分式方程的解，符合题意， ∴． 52．解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般形式是________． 【答案】 【分析】先确定分式方程的最简公分母，给方程两边同乘最简公分母去分母，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：原方程为， 方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项得． 53．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，……，按照这个规定，如果．求此时x的值． 【答案】的值为或 【分析】得出，则分两种情况：①，②，分别建立方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可知，． ①当时，， ∵， ∴， 解得，符合题设，且经检验，都是所列分式方程的解； ②当时，， ∵， ∴， 解得（不符合题设，舍去），，符合题设，且经检验，是所列分式方程的解； 综上，的值为或． 54．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， 常数项移到等号右侧： 两边同除以4， 得， 等号左右两边同时加1， 得， 即 开平方， 得， ∴，． （2）解：， 因式分解，得， 方程两边同乘最简公分母，去分母， 得， 展开整理，得， 解得 验根：把代入最简公分母， 得， ∴是增根，舍去； 把代入最简公分母， 得， ∴是原方程的解， ∴原方程的解是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $