专题03 二次函数的图象和性质（期中重难点复习）2026-2027学年九年级上学期数学期中考试重难点专题训练（人教版）

专题03 二次函数的图象和性质（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 y=ax²的图象和性质】 1 【题型2 y=ax²+k的图象和性质】 5 【题型3 y=a（x-h）²的图象和性质】 7 【题型4 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 9 【题型5 二次函数图象的平移】 14 【题型6 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 16 【题型7 y=ax²+bx+c的图象与性质】 26 【题型8 二次函数图象与各项系数符号】 35 【题型9 根据二次函数的图象判断式子符号】 40 【题型10 根据二次函数的对称性求函数值】 46 【题型11 y=ax²+bx+c的最值】 49 【题型12 待定系数法求二次函数解析式】 60 【题型13 二次函数综合问题】 69 【题型1 】 1．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．当时，随增大而增大 C．对称轴是轴 D．有最大值0 【答案】B 【详解】解：∵ 二次函数解析式为， ∴二次项系数 ，顶点坐标为，对称轴为轴， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，当时，有最大值， ∵ 开口向下，对称轴为轴， ∴ 当时，随的增大而减小，故选项A，C，D正确，B错误． 2．抛物线，，的共同性质是（     ） A．开口向上 B．顶点都是 C．都有最高点 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】型二次函数的顶点均为，其余性质与的符号相关． 【详解】解：由于三个抛物线的解析式均为的形式，则顶点均为； 抛物线，二次项系数大于，开口向上，有最低点，当时，随的增大而增大； 抛物线，二次项系数小于，开口向下，有最高点，当时，随的增大而减小； 抛物线，二次项系数大于，开口向上，有最低点，当时，随的增大而增大； 综上所述，三个抛物线共同性质的是顶点均为，即B选项符合题意． 3．对于二次函数和，有以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是轴；③当时，都是随着的增大而增大；④它们的开口大小都是一样的．其中，正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】两个函数均为的形式，可根据的符号、绝对值及该形式二次函数的对称轴、增减性规律判断各说法正误． 【详解】解：对于， ∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线（即轴），当时，随的增大而增大； 对于， ∵， ∴图象开口向下，对称轴为直线（即轴），当时，随的增大而减小； ①图象开口向下，故①错误； ②两个函数的对称轴均为轴，故②正确； ③当时，的随增大而减小，故③错误； ④两个函数的，开口大小一样，故④正确． 综上，正确的说法共2个． 4．如图，分别是函数①，②，③的图象，比较，，的大小，________（用“”连接）． 【答案】 【分析】当时函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：如图， 因为直线与三条抛物线的交点从上到下依次为，，， 所以． 5．若二次函数的图象开口向上，则m的值是________． 【答案】 【分析】根据二次函数定义可得的次数为，再根据开口向上可得二次项系数大于，列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数，且图象开口向上， ∴，， 解得或，， ∴． 6．抛物线上有一点， x轴上两点． (1)请用无刻度的直尺在图①作出点； (2)如图②，翻折抛物线 得．请用无刻度直尺作正方形 且使E、F在上． 【答案】(1)解：如图：点D即为所求． (2)解：如图：作正方形即为所求． 【分析】（1）如图：连接交y轴于G，连接并延长与抛物线的交点为，由点关于轴对称和抛物线关于轴对称可得关于轴对轴，利用轴对称的性质即可得到； （2）如图：连接交y轴于G，连接并延长与抛物线的交点即为点D，可得，连接并延长分别交抛物线于F、E，利用轴对称性质可得，，然后顺次连接即可得正方形 且使E、F在上． 【详解】（1）略； （2）略． 【题型2 】 7．已知函数图象经过点，，，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ 开口向上时，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ∴ . 8．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线有最低点，得出，再解不等式即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点，则二次函数图象开口向上， ∴， 解得：． 9．已知二次函数的表达式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断二次函数的对称轴，利用对称轴判断随的增大而增大时，的取值范围，利用自变量取值范围即可求出的取值范围． 【详解】解：二次函数的二次项系数为， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 开口向下的二次函数，在对称轴左侧，函数值随着自变量的增大而增大， 当时，随的增大而增大． 要求在直线的左侧，函数值随的增大而增大， ． 10．已知k是常数，抛物线的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点． (1)求k的值． (2)若点P在抛物线上，且点P到y轴的距离是2，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是y轴，求出，，再结合抛物线与x轴有两个交点得出，从而即可得解； （2）由（1）得抛物线解析式为，由题意可得点P的横坐标是2或，再分别代入解析式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴， 解得，， 又∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， ∵点P在抛物线上，且到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标是2或， 当时，；当时， ∴点P的坐标为或 【题型3 】 11．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出抛物线的顶点坐标，将其按要求平移后可得出新抛物线的顶点坐标，进而即可得出抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， 将顶点向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得新顶点为， ∴平移后抛物线解析式为． 12．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线向左平移1个单位长度，需要把原式中的替换成即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得． 13．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_________ 【答案】 【分析】可将三个点的横坐标代入解析式求出对应函数值再比较大小，也可利用二次函数的性质比较大小． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∴， ∴． 14．函数的图象先向________平移________个单位长度，再向________平移_________个单位长度可以得到的图象． 【答案】 右 2 下 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减自变量，上加下减常数项”规律，判断平移方向和距离． 【详解】解：二次函数图象平移遵循规律：左加右减自变量，上加下减常数项． 原函数为． 对比原函数与，自变量由变为，符合“右减”的规律，因此将原图象向右平移个单位长度，可得到的图象． 再对比与目标函数，函数整体减去，符合“下减”的规律，因此再将图象向下平移个单位长度，即可得到目标图象． 15．已知抛物线的对称轴为直线，形状和开口大小与抛物线相同，但开口方向相反． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当为何值时，随的增大而增大？ 【答案】(1) (2) 当时，随的增大而增大. 【分析】（1）由抛物线的对称轴、开口大小和方向确定顶点式中参数和的值； （2）根据抛物线开口方向与对称轴，结合二次函数增减性求解的取值范围． 【详解】（1）解：∵ 抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵该抛物线形状和开口大小与抛物线相同，开口方向相反， ∴， 将，，代入，得该抛物线的函数表达式为． （2）解：∵，抛物线开口向下， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 【题型4 】 16．抛物线（m是常数）的顶点坐标是，则m的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵该抛物线顶点坐标为， ∴， 解得． 17．抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（   ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 【答案】C 【分析】抛物线平移时顶点同步平移，可通过对比平移前后的顶点坐标确定平移方式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向左平移2个单位，再向上平移1个单位． 18．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数图象的平移规律“左加右减,上加下减”,进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得， 再向上平移3个单位长度，得. 19．已知点，，都是抛物线 （为常数）上的点，则的大小关系，用“<”连接为______． 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向下时，点到对称轴的水平距离越远，函数值越小的规律，计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小， 分别计算三个点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵距离大小关系为， ∴对应的函数值大小关系为． 20．若抛物线的顶点在x轴上，则_________． 【答案】 【分析】抛物线为顶点式，可直接得到顶点坐标，顶点在轴上说明顶点的纵坐标为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：抛物线是顶点式，其顶点坐标为， ∵顶点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴， 解得． 21．已知二次函数的图象的顶点坐标为． (1)写出m，k的值． (2)判断点是否在这个函数的图象上． (3)将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数．求a，b，c的值． 【答案】(1) ， (2) 点在这个函数的图象上 (3) ，， 【分析】（1）直接根据顶点式的性质，作答即可； （2）把代入函数解析式，求出函数值，进行判断即可； （3）根据平移规则求出平移后的解析式，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点坐标为， 又∵图象顶点坐标为， ∴，； （2）解：由（1）得函数解析式为， 当时，， 故点在该函数图象上； （3）解：由（1）得原函数解析式为， 向左平移1个单位，得， 向下平移2个单位，得， ∵， ∴，，. 22．如图，点在轴正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形是菱形，， (1)求的坐标和菱形的面积． (2)将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度．写出平移后的解析式，若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】(1)点的坐标为，菱形的面积为 (2)平移后的解析式为，的取值范围是或 【分析】（1）连接，与交于点，由菱形的性质可得对角线平分，且，求出，设，则，从而可得点的坐标为，将点的坐标代入抛物线解析式计算即可得出结果，求出，，再由菱形的面积公式计算即可得出结果； （2）根据二次函数图象的平移法则，左加右减，上加下减；得出平移后的解析式为，从而可得平移后的抛物线开口向上，对称轴为直线，根据题意并结合二次函数的性质计算即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，连接，与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴对角线平分，且， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∴，， ∴菱形的面积为； （2）解：∵原抛物线的解析式为， ∴将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的解析式为， ∴平移后的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，是抛物线上的两点，且， ∴， 解得或， ∴的取值范围是或． 【题型5 】 23．将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则所得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度，得，再向上平移3个单位长度，得． 24．将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（     ） A．先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C 【分析】二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，得，再向上平移1个单位长度，得． 25．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为______． 【答案】 【分析】根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为． 26．把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 【答案】 【分析】结合二次函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律和平移前后抛物线二次项系数不变的性质完成推导． 【详解】解：抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线解析式为． 27．已知二次函数． (1)直接写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当在什么范围内，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左平移3个单位，再向下平移7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 【答案】(1) 抛物线开口向上，顶点坐标为 (2) 当时，随的增大而减小 (3) 新抛物线不经过点 理由：平移后新抛物线解析式为 即为， 将代入得 ， 新抛物线不经过点． 【分析】（1）由二次函数顶点式直接判断开口方向与顶点坐标； （2）结合抛物线开口方向与对称轴，确定随增大而减小的的范围； （3）先推导平移后的抛物线解析式，再代入点的坐标验证． 【详解】（1）解：二次函数解析式为，二次项系数为，， 抛物线开口向上，顶点坐标为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）略 28．把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到二次函数的图象． (1)直接写出，，的值； (2)写出二次函数的具体解析式和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)通过计算说明二次函数的图象向下平移多少个单位会经过点． 【答案】(1)，， (2)，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (3)向下平移个单位． 【分析】由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，的值； 根据二次函数的性质即可得到答案； 设平移后二次函数为，把代入得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，，； （2）解：二次函数，即的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：设平移后二次函数为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的图象向下平移个单位会经过点． 【题型6 】 29．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表， x …… 0 3 5 …… y …… 0 …… 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．当时，的值随的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：将代入，得． 将，代入解析式，得． 解得． ∴二次函数解析式为． ∵， ∴图象开口向下，A错误． 图象的对称轴是直线，D正确． ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，B错误． ∵抛物线顶点坐标为，开口向下，与轴交于和， ∴当时，，图象经过第一、三、四象限，C错误． 30．如下是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（     ） 解： ……① ……② ∴抛物线的顶点坐标为……③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 【答案】B 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 题目步骤①中，减去的未乘括号外的系数3，过程从①开始出错． 31．定义：．若函数，则该函数的最小值为________． 【答案】 【分析】先求解两个函数表达式相等时的自变量取值作为分界点，逐段确定对应的函数表达式，结合一次函数、二次函数的增减性求出各段的最小值，比较后得到整个函数的最小值． 【详解】解：令， 移项整理得， 因式分解得， 解得，． 分区间讨论函数取值： 当时， ∵， ∴， ∴此时， ∵一次函数中，的系数为，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，代入得； 当或时， ∵， ∴， ∴此时， 将二次函数配方得，开口向上，对称轴为直线， 当时，函数在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴时，； 当时，函数在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴时，， 综上，该函数的最小值为． 32．对于抛物线， （1）用的代数式表示其顶点坐标________； （2）若该抛物线与的三条边恰好有两个交点，其中、、，则的取值范围是________． 【答案】 或 【分析】先通过配方法将抛物线化为顶点式得到顶点坐标；再明确三边对应的线段范围，利用抛物线恒过的特点，分情况联立抛物线与各边所在直线，结合交点的位置、判别式的符号确定满足“恰好两个交点”的的范围． 【详解】解：（1）对抛物线解析式配方得 ∴ 抛物线的顶点坐标为 （2），， 是线段：， 是线段：， 设直线解析式为，代入、， 得 ，解得 ， 是线段：， 把代入，得， 抛物线恒过点， ∵抛物线与三边恰好有个交点， ∴除外，只能再有个交点， 情况一：第二个交点在线段上，与无交点， 如图： 联立 得 ，， 解得 ，。 要使在线段上，则 ，即 。 再联立 整理得：。 抛物线与线段无交点，只需这个一元二次方程没有实数根， ， ， ，解得 ， 此种情况：， 情况二：第二个交点在线段上，与除外无其他交点， 即不落在线段内部， ∴ 或 ， 即 或 。 ① 若：抛物线对称轴直线，在轴或轴左侧， 如图： 当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧随增大而减小，从往下走； 而线段上所有点纵坐标都大于等于，因此不会相交，舍去； ② 若： 此时 ，点在点右侧，不在线段上，抛物线和只有交点， 联立抛物线与直线，整理得到方程： 判别式 当 时，， ， 所以抛物线和直线有两个不相等实数根，设两根为，且， 由韦达定理： ， 又， ， ， ， ， 即一根大于，一根小于， 结合得 ， 也就是只有在线段上，抛物线与线段恰好交于一点，符合题意； 综上，的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数图像性质、配方法、一次函数、一元二次方程判别式与根与系数的关系，渗透分类讨论思想，解题关键：抓住抛物线恒过定点，将题意转化为除外仅有一个有效交点． 33．如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）由题意抛物线与轴交于两点，利用待定系数法求出的值，得出函数解析式，再利用配方法化为顶点式求得对称轴与顶点坐标即可； （2）当为等腰三角形时分两种情况进行讨论：①；②，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∴所求抛物线的解析式为：； ∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：存在． 理由：∵该抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∵，， ∴，， 若为等腰三角形， 当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为或． 34．约定：如果抛物线的顶点在直线上，那么我们把这样的抛物线叫做“完美抛物线”，根据约定，解答下列问题： (1)抛物线_________“完美抛物线”（填“是”或“不是”）； (2)如图，已知“完美抛物线”的顶点为A，将该抛物线沿直线向上平移，点A平移到点B，设点B的横坐标为． ①求点A的坐标； ②若，求平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1)不是 (2)①② 【分析】(1)先化将解析式成顶点式,再根据约定将顶点坐标代入即可得解; (2)①根据约定将顶点坐标代入即可得解,②先根据题意得出，再根据两点间距离公式求出值进行取舍,得出点B的坐标,最后由平移的规律即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线, ∴顶点坐标为, 将 代入得 , 顶点不在直线上, 抛物线不是“完美抛物线”； （2）解：①由抛物线解析式可知，其顶点的坐标为, ∵完美抛物线”的顶点为A， 顶点在直线上,将 代入,得 , 点的坐标为； ② 抛物线沿直线 向上平移，点 平移到 点 ， 点 在直线 上, ∴点 的坐标为 , ，，且 ， 根据两点间距离公式得：, 两边平方得, , , , 解得 或 ， ∴ 或 , ， , 点 的坐标为 , 平移不改变抛物线的形状和开口方向， 平移后的抛物线二次项系数仍为 , 平移后的抛物线解析式为, ∴展开得． 【题型7 】 35．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值2 B．最大值 C．最小值3 D．最大值 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 36．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象开口方向、对称轴、与 轴的交点确定 ，， 的符号与关系，再用图象的对称性和最值判断各结论． 【详解】由图象开口向下知；对称轴，得； 图象过，得，即． ∴，①正确； ∵图象过，对称轴， ∴抛物线与轴的另一交点为， ∴，②错误； ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，开口向下，距离越大函数值越小， ∴，③错误； ∵顶点纵坐标为，开口向下时它是最大值， ∴当时，成立，④正确； ，⑤正确． ∴正确的有个． 37．若点和在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先求二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较两点到对称轴的距离判断与的大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为. ∵ ， ∴ 抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为. ∵ ， ∴ ． 38．如果二次函数的图像经过点，，那么________（填，或）． 【答案】 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴把代入解析式，得， 把代入解析式，得， ∵， ∴． 39．抛物线经过，两点． （1）则抛物线的解析式为________________________________； （2）如图，设抛物线的顶点为，直线与轴交于点，与直线交于点．现将抛物线平移，保持顶点在直线上．若平移后抛物线与射线（含端点）只有一个公共点，则它的顶点横坐标的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出顶点，得到直线的表达式为，根据题意得到平移后抛物线表达式为，当抛物线经过点时，求出，然后结合图象求出；当抛物线与射线相切时，联立求解即可． 【详解】解：（1）将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）∵ ∴顶点 设直线的表达式为 将点代入得， 解得 ∴直线的表达式为 ∵抛物线平移后顶点在直线上 ∴设平移后顶点的坐标为 ∴平移后抛物线表达式为 ∵直线与轴交于点 ∴当时， ∴ 当抛物线经过点时， 解得 当时，如图， 当时，如图， ∵平移后抛物线与射线（含端点）只有一个公共点 ∴； 当抛物线与射线相切时，如图， 联立得， 整理得， ∴ 解得 综上所述，的取值范围是或． 40．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（c为常数） (1)若该函数经过点，求该函数表达式； (2)在（1）的条件下，求出该图象上的“三倍点”坐标； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出c的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入已知点坐标求解参数，得到函数表达式； （2）根据“三倍点”定义联立方程，求解得到对应坐标； （3）将存在“三倍点”转化为方程在给定区间有解，结合二次函数图象求的取值范围. 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴该函数表达式为； （2）解：设“三倍点”的坐标为，代入，得， 解得， ∴， ∴该图象上的“三倍点”坐标为； （3）解：∵二次函数图象上存在“三倍点”， ∴， ∴， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线，图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∴当时，，当时，； ∵， ∴. 41．已知一个二次函数图象经过点和点，其最小值为． (1)直接写出这个函数图象的顶点坐标． (2)求该二次函数的解析式并判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)二次函数解析式为，点不在该函数图象上 【分析】（1）由纵坐标相同的两点确定二次函数对称轴，结合函数最小值得到顶点坐标； （2）设二次函数顶点式，代入已知点求出系数，再代入点C的横坐标验证纵坐标是否符合． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和点，两点纵坐标相等， ∴对称轴为直线， ∵函数最小值为， ∴顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； （2）解：设该二次函数的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴二次函数解析式为， 把代入解析式，得， ∵， ∴点不在该函数图象上． 42．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 A，B 两点，与 轴交于点 C，对称轴为 ，点 P 在该抛物线上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点 在抛物线上，且 ，用含 m 的代数式表示 ． (3)过点 作直线 ，交 轴于点 ，当 的面积等于 时，求 的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据待定系数法，进行解答，即可； （2）根据点在抛物线上，则，，用，得到代数式，进行化简，即可； （3）根据抛物线的性质，求出点的坐标，设直线的解析式为：，求出函数解析式，根据点在轴上，求出点的坐标，根据，求出；联立直线和抛物线，得到一元二次方程，把代入，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为：， ∴， 把点代入抛物线，可得， ∵抛物线与 轴交于点 ， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：∵点 ，点 在抛物线上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵抛物线的对称轴为，抛物线 与 轴交于 ， ∴， 解得：，即点； 设直线的解析式为：，代入 ，点 ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵ ， ∴直线的解析式为； ∵点在轴上， ∴ 解得：，即点 ∵点，点 ∴， ∵ 的面积等于 ， ∴， 整理得：， 解得：，； 联立直线和抛物线的解析式， ， 整理可得：， 当时，，解得：； 当时，，解得：或； ∴ 的值为：或或． 【题型8 】 43．已知关于的二次函数经过原点和一、二、四象限，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数过原点得，再结合图象经过的象限判断、的符号． 【详解】解：∵ 二次函数经过原点， ∴ 将代入解析式，得， 故选项A、C不符合要求； ∵ 函数图象经过一、二、四象限， ∴ 抛物线的顶点一定在第四象限，且， ∴，， 结合， 解得，， 故选项B不符合要求， 选项D符合要求． 44．如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的是（） A． B． C．对任意实数t，总成立 D．若点，在抛物线上，，则 【答案】B 【分析】根据图象获取顶点坐标及与轴交点范围，利用二次函数性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则． 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为． 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为． 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为， ∴对任意实数，， ，当时取等号，故C错误； 对称轴为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． 抛物线开口向下，， 点离对称轴更远，即， 解得，故D错误． 45．如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可； 【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴； ∴，，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴ 解得：；②正确， ∵， ∴， 由图像可知：， ∴， 即：；③错误； ∵对于的任意值都有， ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴，即：， ∵二次函数图像经过点， ∴， ∴该二次函数的表达式可化为：， 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小， ∴线段变短；⑤错误， 综上，正确的有①②． 46．如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的有______（填序号），①，②，③对任意实数t，总成立，④若点，在抛物线上，则． 【答案】②③ 【分析】根据抛物线的对称轴即可判断①；当时，，即抛物线与轴交于点，由图像可知，，据此即可判断②；利用函数的最大值即可判断③；利用抛物线上点到对称轴的距离和函数值的大小即可判断④． 【详解】解：由二次函数的图像可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴， ∴，， 即，故①错误； 当时，，即抛物线与轴交于点， 由图像可知，， ∴ 解得，故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴当时，有最大值为， ∴对任意实数t，总成立， 即对任意实数t，总成立，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 当时，，此时，故④错误． 47．如图，点是抛物线的顶点．下列结论（1）；（2）；（3）：（4）对任意实数总成立；（5）若点在抛物线上，则，正确的是__________． 【答案】（1）（3） 【分析】（1）通过函数图象，利用特殊值法求解； （2）利用对称轴得出系数之间的关系； （3）利用系数之间的关系以及顶点坐标确定，然后利用抛物线与轴的交点坐标列出不等式求解； （4）利用抛物线的顶点坐标求解； （5）利用函数的增减性进行判断． 【详解】解：（1）当时，函数值为负数， ∴， 该选项正确； （2）由抛物线的对称轴为直线得， ， ∴， ∴， 该选项错误； （3）∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，抛物线与轴交于和之间， ∴， 解得， 该选项正确； （4）∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，函数值最大，为， ∴对任意实数总成立， 该选项错误； （5）若点在抛物线上，无法确定的大小， 综上，正确的选项为（1）（3）． 【题型9 】 48．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（     ） A． B． C．若，则时的函数值小于时的函数值 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向及对称轴为直线即可判断A；把代入即可判断B；利用二次函数图象开口向下，离对称轴越远函数值越小，然后比较与对称轴的距离即可判断C；先确定的关系，作差配方即可判断D． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵图象对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴A项错误； ∵图象经过点， ∴， ∴B项错误； 由图可知二次函数图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越远函数值越小， ，，且， 离对称轴的距离小于离对称轴的距离， 时的函数值大于时的函数值， C项错误； ，， ，解得， ， 又∵， ∴， ∴， ∴D项正确． 49．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口向下，与轴交于正半轴可得，根据对称轴可得，则可得①错误；将点代入函数的解析式即可得②正确；根据二次函数的对称性可得③错误；根据二次函数的最值可得④正确；根据二次函数的对称性可得抛物线经过点，据此可得⑤正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴，则说法①错误； 由函数图象可知，当时，， 将代入得：，即，则说法②正确； ∵，是抛物线上的两点，且， ∴点，关于抛物线的对称轴对称， ∴，则说法③错误； 当时，， 由二次函数的图象可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴，则说法④正确； ∵抛物线经过点，且其对称轴为直线， ∴抛物线经过点， ∴，则说法⑤正确； 综上，正确的结论是②④⑤． 50．已知抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点在x轴下方，且与y轴交于正半轴．下列结论：①；②；③若点和都在抛物线上，则；④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由抛物线对称轴公式得，结合开口方向、顶点位置、函数增减性逐一判断各结论． 【详解】解：由题意得，对称轴为直线，，顶点在轴下方， ∵， ∴，即，故①正确； 当时，为顶点纵坐标， ∵顶点在轴下方， ∴，故②正确； ∵点关于对称轴的对称点为， 又∵抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大，， ∴，故③错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故④正确． 综上，正确结论是①②④，共3个． 51．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有_______．（填编号） 【答案】①③④ 【分析】根据二次函数图象的开口向上，与轴交于负半轴可得，再根据对称轴可得，，则结论①③正确；根据当时，可得结论②错误；根据函数图象可得当时，，结合可得结论④正确． 【详解】解：∵二次函数图象的开口向上，与轴交于负半轴， ∴， ∵这个二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，，则结论③正确； ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，，则结论②错误； 由函数图象可知，当时，， 将代入得：，即，则结论④正确； 综上，正确的结论有①③④． 52．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置确定 的符号及关系；利用对称轴公式判断的值；利用对称性判断时的函数值符号；利用时函数取得最大值判断不等式关系 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则 ∵对称轴为直线 ∴，即 ∴，且，故结论③正确 ∵抛物线与轴交于正半轴 ∴ ∴，故结论①正确 抛物线的对称轴为直线 ∴与关于直线对称 由图象可知，当时， ∴当时，，故结论②正确 ∵时， ∴ ∴，故结论④错误 ∵当时，函数取得最大值 ∴对于任意实数，都有 ∴ ∴，故结论⑤正确 综上所述，正确的结论有①②③⑤． 【题型10 】 53．已知点是抛物线上的两点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：由得抛物线对称轴为直线． ∵，即点、到对称轴的距离相等， ∴点、关于抛物线对称轴对称， ∴． 54．设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵，，， ∴． 55．已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，抛物线与轴交于、两点（在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】根据顶点在线段上，抛物线与轴的交点坐标为，可以判断出的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②的错误；先确定时，点的横坐标取得最大值，根据二次函数的对称性求出点的坐标，即可判断③正确；令，利用根与系数关系与顶点的纵坐标求出的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求得的值，判断出④错误． 【详解】解：∵点的坐标分别为和， ∴线段与轴的交点坐标为， 又∵抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ∴，（顶点在轴上时取“”）故①正确； ∵抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， ∴只有当时，一定有y随x的增大而增大，故②错误； 若点的横坐标最小值为，此时抛物线的对称轴为直线， 由抛物线的对称性可得此时点的横坐标为， ∵抛物线的形状不变，当抛物线的对称轴直线为，此时的横坐标为， ∴的横坐标的最大值为，故③正确； 令，则，设点的坐标分别为，， ∴，， ∴， ∵顶点的纵坐标为，顶点的纵坐标公式为， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得，故④错误； 综上，正确的是①③． 56．已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是________，的值为________； (2)求二次函数的表达式； (3)当时，二次函数的最小值是，则的值为________． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）观察表格中纵坐标相同的点，根据二次函数的对称性分析即可． （2）根据顶点坐标以及表格中的坐标进行求解即可． （3）根据对称轴以及的取值范围来讨论函数的最小值即可． 【详解】（1）解：当和时，， 对称轴为这两点横坐标的中点，即， 在对称轴处取得最值，此时， ∴顶点坐标为， ∵二次函数图象关于对称轴对称， 点与点关于对称轴对称， ∴． （2）解：由（1）知，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的表达式为， 将点代入，得： ， ， ∴， 即． （3）解：当，最小值是0， 时：，可得：， 即，解得：， ∵抛物线开口向下，对称轴，在上最小值为0， ∴端点落在或； ①取值范围内右端点，得，此时的取值范围为，在对称轴左侧，函数递增， 最小值在，，舍去； ②取值范围内左端点，此时的取值范围为， 时，取值范围内函数递增，最小值0，符合； ③取值范围内右端点，得，此时的取值范围为， 时，，取值范围内函数递减，最小值0，符合； ④取值范围内左端点，此时的取值范围，时，，函数递减， ，，最小值不是0，舍去， ∴或． 【题型11 】 57．已知二次函数，当时，函数有最大值为4，则k的值为(     ) A． B． C．1或 D．或 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以求得k的值． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数的对称轴是直线， 若，抛物线开口向下，抛物线上离对称轴越近的点，其对应的函数值越大， ∴当时，函数有最大值，为， ∵当时，函数有最大值为4， ∴，解得． 若，抛物线开口向上，抛物线上离对称轴越远的点，其对应的函数值越大， ∵，，， ∴若，则当时，函数有最大值，为， ∵当时，函数有最大值为4， ∴，解得． 综上所述，k的值为或． 58．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点，已知，两点在抛物线上，且，，两点的横坐标分别为，以下说法正确的是（     ） A．若点的坐标为，则点的坐标为 B．若点的坐标为，为线段下方抛物线上一个动点，作，交于点，则的最大值是 C．若，则 D．若，当时，函数总在处取得最大值，则 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出直线解析式为，然后联立，解出方程组从而可判断；直线与轴交于点，与轴交于点，过作轴，交于点，则，所以，可证，然后通过勾股定理得，设，则，所以，然后求出的最大值即可求出的最大值，从而判断；设直线解析式为，联立，则有，然后通过一元二次方程根与系数的关系可判断；由，函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线，根据题意可得，则有，从而判断． 【详解】解：、∵直线的图象经过点， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴，故此选项错误； 、∵点的坐标为， ∴由上得直线解析式为， 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，过作轴，交于点， ∴， 由直线解析式为得，令，则；令，则，解得； ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，的长有最大值，最大值为， ∴的最大值是，故此选项错误； 、∵， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线解析式为， 联立， ∴， ∵，两点的横坐标分别为， ∴，故此选项错误； 、由上得， ∵函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线， ∴函数总在处取得最大值，则， ∴，故此选项正确． 59．已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是_____________． 【答案】1或 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据的正负分类讨论，确定最小值的位置，代入计算得到的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∵在区间内，分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，即时， 代入得， 整理得， 解得； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， 在中，离对称轴更远， ∴时取得最小值， 代入得， 整理得， 解得； 综上，的值为或． 60．已知两点、均在抛物线上，点是抛物线的顶点，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由顶点纵坐标最大可判断抛物线开口向下，根据开口向下的二次函数性质：点离对称轴越远，函数值越小，结合得到两点到对称轴的距离关系，解不等式得到的范围． 【详解】解：∵，是抛物线的顶点， ∴抛物线开口向下，顶点纵坐标是函数的最大值；开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ∵， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 即， 两边同时平方，得， 展开整理，得， 解得． 61．在二次函数中． (1)若它的图像过点，则的值为多少？ (2)当时，的最小值为，求的值； (3)若，，均在此二次函数的图像上，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】（1）将点代入中，即可求出的值； （2）先求出抛物线的对称轴为，且开口向上，得到抛物线的增减性，结合当时，的最小值为，即可求得的值； （3）根据已知条件可求得对称轴为直线，于是，由得到，由两点的坐标可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，根据已知条件，可知点可能在对称轴左边，也可能在对称轴右边，分两种情况分别求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得 ， 解得． （2）解：抛物线的关系式为：， 对称轴为直线， 若，当时，函数有最小值， 此时， 或（舍去）， 当时，都在对称轴的左侧，随的增大而减小， 当时，函数有最小值， 此时， 解得：（不符合题意，舍去）， 的值为． （3）解：， 均在此二次函数的图像上， 则对称轴可表示为直线， 对称轴为直线， ， ， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ， ，即， 点在抛物线上， 当在对称轴左侧时， ，都在对称轴的左侧，随的增大而减小， ， ， 解得， 此时满足的条件为． 当在对称轴右侧时， 在对称轴的左侧，且， 点到对称轴直线的距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得， 此时满足的条件是， 综上所述，的取值范围是或． 62．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积． (3)设点横坐标为，当______时，有最大值，的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）由（1）可知对称轴为直线，则可确定点，点的坐标，利用分割法可求四边形的面积； （3）用表示，利用函数性质求最大值． 【详解】（1）解：抛物线经过点，点， 解得 抛物线的函数解析式为； （2）解：， ， 轴， ， ，， 点，点， ，， ； （3）解：把代入函数解析式得， 解得，， 是抛物线上第一象限内的点， ， 根据函数解析式知，， ，， ， ， 当时，有最大值． 63．已知抛物线经过，且关于直线对称，点是上的动点． (1)求的解析式； (2)若点也在上，求s的最小值； (3)点在抛物线上，若经过的直线与和恰好交于B、D两点（B，D点与不重合．如图所示），求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点在上，得，由点在上可求出，整理得，根据二次函数的性质可得结论； （3）根据待定系数法求出过点的直线解析式，分别联立方程组求出和，从而可求出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线 ∴ 解得， ∴抛物线， ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在上， ∴； 又∵点也在上， ∴ ∴ ∴是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴的最小值； （3）解：设过点的直线解析式为， ∴， ∴过点的直线解析式为， 又， ∴联立直线与（点是上的动点）得， 整理得， 解得：，， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ∴， 联立直线与（点在抛物线上）得：， 整理得， 解得：， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ∴； ∴． 【题型12 】 64．如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O、A、C，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于点，利用菱形的性质及直角三角形的性质即可求出点及点的坐标，再将点及点的坐标代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：作轴于点， 四边形为边长是2的菱形， ， 点A的坐标为， ， ， ， ， 又点在第二象限， 点C的坐标为， 把与代入，得， 解得， 的值为． 65．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，下面有四个结论：①；②；③若点与都在该抛物线上，则；④过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点（、不重合），若线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是．其中，正确的是_______ 【答案】①②③④ 【分析】先根据已知条件求出抛物线系数关系，，再逐一验证每个结论即可． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， ①将，代入得：， ∵， ∴，即，①正确； ②将，代入得，②正确； ③将点代入抛物线得， 将点代入抛物线得， ∵， ∴，即，③正确； ④过点作轴垂线，得，，则 ，其中， 当时，，，该二次函数开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小； 当时，，，该二次函数开口向上，对称轴为， ∴时，随增大而增大； 综上，满足长度随增大而减小，且的范围是，④正确； 因此正确结论的序号是①②③④． 66．探究不同情境，回答下面问题． (1)已知二次函数的图像经过点和点，且经过点，求二次函数的解析式． (2)已知二次函数的图像的顶点坐标为，且经过点，求二次函数的解析式． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)二次函数的解析式为 【分析】（1）设二次函数解析式为，将点代入求得a的值，再将解析式化成一般式即可； （2）设二次函数解析式为，将点代入求得c的值，再将解析式化成一般式即可； 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 将点代入解析式，得 ，解得：， ∴ 二次函数解析式为，整理得． （2）解：设二次函数解析式为， 将点代入解析式，得 ，解得， ∴ 二次函数解析式为，整理得． 67．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q是对称轴上的一个动点，当最小时，求点Q的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）对于抛物线，令，求出点C的坐标．连接，则的最小值为的长．求出直线的解析式，其与抛物线对称轴的交点即为点Q的坐标，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于抛物线，令，则， ∴． 连接， ∵A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， 即的最小值为的长． 直线与抛物线的对称轴的交点即为Q． 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， 所以直线的解析式为， 令，得， ∴， 的最小值为． 68．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)存在，点坐标为． (3)存在，点的横坐标为或或或． 【分析】（1）因为已知抛物线上点A的坐标和顶点式，所以将A点坐标代入，求解得到a的值即可确定解析式． （2）首先求出B、C、D三点坐标，因为，设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F，证明，求出，直线的解析式为．联立直线与抛物线解析式求出，即得． （3）因为与同底且面积相等，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，所以过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离．设点D关于的对称点为点H，求出过点D平行于的直线的解析式为，过点H平行于的直线的解析式为．分别与抛物线的解析式联立，即可求出点P的横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点式为过点， ∴， 解得． ∴抛物线解析式为． （2）解：存在． 对． 令，得方程， 解得或， ∴； 令，得， ∴； ∵抛物线对称轴为直线，轴， ∴点横坐标为1、纵坐标与相同， 即． 设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为． 则， 解得， ∴直线的解析式为． 联立直线与抛物线解析式：， 消去整理得， 解得（对应点，舍去），或， 代入直线解析式得， ∴． （3）解：存在． ∵与同底且面积相等， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离． 设直线的解析式为， 由（2）知，、， ∴， 解得， ∴直线为． 设过点D平行于的直线的解析式为， ∵该直线过点， ∴， 解得， ∴过点D平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． 设点D关于的对称点为点H， 则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在y轴上， ∴， ∴， 设过点H平行于的直线的解析式为， 则， ∴过点H平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． ∴满足条件的点的横坐标为或或或． 【题型13 】 69．已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到直线的距离始终相等，若点M的坐标为，P是抛物线上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】求解，过P向作垂线，则，结合可得答案. 【详解】解：， ∵，点M的坐标为， ∴， 过P向作垂线，则， ， 当点共线时，， ∴的最小值为． 70．如图，在平面直角坐标系中，抛物线和相交于，两点，点为抛物线上，之间的动点，点为抛物线上，之间的动点（点，不与，重合），则四边形面积的最大值为（     ） A．18 B．16 C．12 D．10 【答案】B 【分析】过点作轴交于点，过点作轴交于点，利用割补法表示出的面积，再由求解即可． 【详解】解：过点作轴交于点，过点作轴交于点， 设直线，代入点，可得， 解得 ∴直线 设，则 ∴ ∵ ∴， ∴当时，取得最大值为， 设，则， ∴， 同理可求当时，取得最大值为， ∵， ∴当且仅当时，取得最大值为． 71．如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交抛物线于点，． 则以下结论中正确的个数是（    ） ①无论取何值，总是负数；②；③四边形为正方形； ④当时，随着的增大，的值先增大后减小． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用交点坐标求出的值确定解析式，再根据二次函数性质及坐标计算逐一判断四个结论． 【详解】解：把代入得， ， 解得， ． ①， ， ，故正确； ②令，得， 解得， ， ， 令，得， 解得， ， ， ，故②正确； ③令，得， ， ， 与互相垂直平分且， 四边形为正方形，故③正确； ④， ， 随的增大而减小，故④不正确． 综上所述，正确的结论有3个． 72．抛物线和与平行于x轴的直线l分别交于A，C和B，D四点，如图所示，且，． 则抛物线的对称轴是________________． 【答案】直线 【分析】根据抛物线解析式确定的对称轴，利用抛物线的轴对称性质可知A，C关于对称轴对称，B，D关于对称轴对称；结合线段，的长度，利用中点坐标公式计算两对称轴之间的距离，从而求出的对称轴． 【详解】解：由抛物线可知，其对称轴为直线． 设抛物线的对称轴为直线． ∵点A，C在抛物线上，且直线l平行于x轴， ∴点A，C关于直线对称， ∴线段的中点横坐标为，即． ∵点B，D在抛物线上，且直线l平行于x轴， ∴点B，D关于直线对称， ∴线段的中点横坐标为m，即． ∴． ∵A，B，C，D从左到右排列，且， ∴，． ∴． ∴． ∴抛物线的对称轴是直线． 73．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等腰直角三角形，其中，则的面积为______． 【答案】/4104676 【分析】先构造垂直于y轴的辅助线，利用等腰直角三角形性质设点坐标，代入抛物线解析式求出前几个点坐标，归纳底边长度的通项公式，最后用三角形面积公式求出面积． 【详解】解：作轴于C，轴于D，如图， 设， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 把代入得，解得：（舍去），， ∴， 设， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 把代入得，解得（舍去），， ∴， ∴线段的长为4， 同理可得，， ∴的面积． ∴当时，的面积． 故答案为：． 74．已知抛物线：（，是常数）经过点． (1)若抛物线的对称轴为直线，求，的值． (2)若抛物线还经过另一点，且， ①求的取值范围； ②抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．的最小值为，线段长为，记，求关于的函数解析式，并求的最小值． 【答案】(1)，； (2)①； ②（），的最小值为． 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式与点A在抛物线上的条件，联立方程求解b和c； （2）①由A、B纵坐标相同得两点关于对称轴对称，结合对称轴公式建立b与m的关系，根据m的范围推导b的范围； ②利用轴对称性质将转化为，结合最短路径结论得的最小值为的长度，结合长度得到W的解析式，再通过二次函数配方求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得． ∵抛物线经过点， ∴代入解析式得， 即． 将代入， 得． （2）解：①∵抛物线经过和， ∴两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线． 又∵抛物线对称轴为直线， ∴， 即． ∵， ∴， 即． ②∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，得， 即． 将代入抛物线解析式得， 即． 结合①中，得， ∴． ∵点P在抛物线的对称轴上，点A是点B关于对称轴的对称点， ∴， 即． ∵对称轴为直线，且， ∴，且， 即点B、C均在对称轴右侧，两点在同侧． ∴， 即最小值． 由勾股定理得， ∴． ∵、纵坐标相同， ∴线段的长度． ∴，其中． 将配方得． ∵二次函数开口向上，对称轴为直线，且在内， ∴当时，取得最小值，最小值为． 75．如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先由顶点式得到顶点坐标，结合求出点坐标，代入解析式求； （2）将坐标代入抛物线解析式求出的值，确定出坐标，过作垂直于轴，，求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴，即 ∵，且在轴负半轴， ∴ 把代入 得：， 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：过点作轴于点，如图 将代入抛物线解析式，得 ， 即， 则． 76．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是线段上一动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，当的面积最大时，是第一象限内抛物线上一点，连接，，若四边形的面积为的最大面积的倍，求点的坐标； (3)在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是平移后抛物线上一点，射线交直线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点，代入抛物线解析式中，即可求出抛物线解析式； （2）设点，先根据题意分别求出直线、、的解析式，将直线、解析式联立求出点的坐标，根据，从而求出的表达式，即可求出的最大值，连接，设，由建立方程求解即可求出点的坐标； （3）当点在第一象限时，过点作轴，与轴交于点，先根据题意求出平移后，由得出从而求出直线解析式为，与联立即可求出第一个点的横坐标，作等腰，此时点也符合题意，设，利用求出，进而求出的解析式，与联立即可求出第二个点的横坐标． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线解析式中得： ，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图所示，设点，，则， ∵抛物线解析式为， 令，得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将点代入解析式得：，解得：， ∴直线的解析式为， 将直线解析式与直线解析式联立得： ，解得：， ∴点，即， ∴ ， ∴当时，取最大值为，此时直线的解析式为， ∴， 连接，设，，即，， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． （3）解：如图所示，当点在第一象限时，过点作轴，与轴交于点， ∵， ∴沿射线的方向平移，即当向左平移个单位长度时，就要向下平移个单位长度， ∴，解得：， ∴沿射线的方向平移个单位长度，即向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵原抛物线解析式为， ∴平移后， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∴，即点， 设直线解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 又∵平移后， 令，解得：或（舍去）， ∴此时点的横坐标为， 将直线解析式与直线的解析式联立得： ，解得：， ∴点， ∴， 如图所示，在上取一点作等腰，此时，， ∴此时点也符合题意， 设， ∴，解得：或， 当时，对应的是点的坐标， ∴， 设直线解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 令，解得：或（舍去）， ∴此时点的横坐标为， 综上：点的横坐标为或． 77．如图（1），抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标． (3)如图（2），将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①点P的坐标为 ②当t时，线段PQ的最大值为 【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线即可求得，由抛物线与轴交于点坐标，可得，即可求得答案； （2）连接，由平移可知四边形是平行四边形，得出，运用待定系数法可得直线的解析式，再联立方程组即可求得答案； （3）①联立直线与抛物线的解析式可求得坐标，根据对称点的连线与对称轴垂直可得：；设，根据四边形是菱形，有，再利用勾股定理表示出两点之间的距离，据此列出关于的一元二次方程，解方程即可求解．②设直线分别交轴、轴于点、，过点作轴交于，交轴于点，设，则，可得，再证得是等腰直角三角形，表示出的关系式，运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点， ∴1， 解得：， 又∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）如图1，连接， ∵平移线段，且点C的对应点落在抛物线上，点D的对应点落在直线上， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为，将代入得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴． （3）①联立得， 解得：，， ∴， 如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q， 设， ∵点P是上方的抛物线上的一动点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 化简得， 解得：m或m（小于，舍去）， ∴点P的坐标为； ②如图3，设直线分别交x轴、y轴于点L、F，过点P作轴交于J，交y轴于点H， 设，则， ∴， ∵直线的解析式为， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵P、Q关于直线对称， ∴，即，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，线段的最大值为． 78．二次函数的图象记为，点为图象的顶点． (1)用配方法求出图象的顶点坐标； (2)如图1，将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为，直接写出点的坐标； (3)如图2，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；过点作轴的平行线， ①当直线经过点时，求的值； ②将图象在直线下方的部分沿直线折叠到直线上方，点关于直线的对称点为点，这部分图象与图象剩余的部分及图象组成新函数的图象记为，过点作轴的平行线，图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）将配方成，即可求解顶点坐标； （2）根据函数图象的平移方式确定点的平移方式，即可求解； （3）①由题意得，，，那么，再由直线经过点建立方程求解即可； ②先求出，再分类讨论，画图分析即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为； （2）解：由题意得，，即； （3）解：①由题意得，，，即 ∴当时， ∴ 由题意得， ∵直线经过点， ∴ 解得或 ∵ ∴； ②∵直线，，点关于直线的对称点为点， ∴点，即， ∴ 当时，最高点为点，最低点为点，如图， ∴， ∴ 解得或，均不在范围内，故舍去； 当时，最高点为点，最低点为点，如图， ∴， ∴ 解得，均不在范围内，故舍去； 当时，最高点为点，最低点为点，如图， ∴， ∴ 解得或 此时不在范围内，故舍去； 当时，最高点是点，最低点是点，如图： ∴， ∴ 解得或 此时不在范围内，故舍去， 综上：当时，的值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数的图象和性质（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 y=ax²的图象和性质】 1 【题型2 y=ax²+k的图象和性质】 3 【题型3 y=a（x-h）²的图象和性质】 3 【题型4 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 4 【题型5 二次函数图象的平移】 5 【题型6 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 6 【题型7 y=ax²+bx+c的图象与性质】 8 【题型8 二次函数图象与各项系数符号】 10 【题型9 根据二次函数的图象判断式子符号】 11 【题型10 根据二次函数的对称性求函数值】 12 【题型11 y=ax²+bx+c的最值】 13 【题型12 待定系数法求二次函数解析式】 15 【题型13 二次函数综合问题】 17 【题型1 】 1．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．当时，随增大而增大 C．对称轴是轴 D．有最大值0 2．抛物线，，的共同性质是（     ） A．开口向上 B．顶点都是 C．都有最高点 D．当时，随的增大而增大 3．对于二次函数和，有以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是轴；③当时，都是随着的增大而增大；④它们的开口大小都是一样的．其中，正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，分别是函数①，②，③的图象，比较，，的大小，________（用“”连接）． 5．若二次函数的图象开口向上，则m的值是________． 6．抛物线上有一点， x轴上两点． (1)请用无刻度的直尺在图①作出点； (2)如图②，翻折抛物线 得．请用无刻度直尺作正方形 且使E、F在上． 【题型2 】 7．已知函数图象经过点，，，则有（     ） A． B． C． D． 8．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的表达式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是______． 10．已知k是常数，抛物线的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点． (1)求k的值． (2)若点P在抛物线上，且点P到y轴的距离是2，求点P的坐标． 【题型3 】 11．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 13．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_________ 14．函数的图象先向________平移________个单位长度，再向________平移_________个单位长度可以得到的图象． 15．已知抛物线的对称轴为直线，形状和开口大小与抛物线相同，但开口方向相反． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当为何值时，随的增大而增大？ 【题型4 】 16．抛物线（m是常数）的顶点坐标是，则m的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 17．抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（   ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B．向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 18．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 19．已知点，，都是抛物线 （为常数）上的点，则的大小关系，用“<”连接为______． 20．若抛物线的顶点在x轴上，则_________． 21．已知二次函数的图象的顶点坐标为． (1)写出m，k的值． (2)判断点是否在这个函数的图象上． (3)将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数．求a，b，c的值． 22．如图，点在轴正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形是菱形，， (1)求的坐标和菱形的面积． (2)将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度．写出平移后的解析式，若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ． 【题型5 】 23．将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则所得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 24．将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（     ） A．先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 25．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为______． 26．把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 27．已知二次函数． (1)直接写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当在什么范围内，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左平移3个单位，再向下平移7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 28．把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到二次函数的图象． (1)直接写出，，的值； (2)写出二次函数的具体解析式和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)通过计算说明二次函数的图象向下平移多少个单位会经过点． 【题型6 】 29．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表， x …… 0 3 5 …… y …… 0 …… 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．当时，的值随的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 30．如下是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（     ） 解： ……① ……② ∴抛物线的顶点坐标为……③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 31．定义：．若函数，则该函数的最小值为________． 32．对于抛物线， （1）用的代数式表示其顶点坐标________； （2）若该抛物线与的三条边恰好有两个交点，其中、、，则的取值范围是________． 33．如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 34．约定：如果抛物线的顶点在直线上，那么我们把这样的抛物线叫做“完美抛物线”，根据约定，解答下列问题： (1)抛物线_________“完美抛物线”（填“是”或“不是”）； (2)如图，已知“完美抛物线”的顶点为A，将该抛物线沿直线向上平移，点A平移到点B，设点B的横坐标为． ①求点A的坐标； ②若，求平移后的抛物线的解析式． 【题型7 】 35．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值2 B．最大值 C．最小值3 D．最大值 36．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 37．若点和在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D．无法确定 38．如果二次函数的图像经过点，，那么________（填，或）． 39．抛物线经过，两点． （1）则抛物线的解析式为________________________________； （2）如图，设抛物线的顶点为，直线与轴交于点，与直线交于点．现将抛物线平移，保持顶点在直线上．若平移后抛物线与射线（含端点）只有一个公共点，则它的顶点横坐标的取值范围是______． 40．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（c为常数） (1)若该函数经过点，求该函数表达式； (2)在（1）的条件下，求出该图象上的“三倍点”坐标； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出c的取值范围． 41．已知一个二次函数图象经过点和点，其最小值为． (1)直接写出这个函数图象的顶点坐标． (2)求该二次函数的解析式并判断点是否在该函数图象上． 42．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 A，B 两点，与 轴交于点 C，对称轴为 ，点 P 在该抛物线上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点 在抛物线上，且 ，用含 m 的代数式表示 ． (3)过点 作直线 ，交 轴于点 ，当 的面积等于 时，求 的值． 【题型8 】 43．已知关于的二次函数经过原点和一、二、四象限，那么（     ） A． B． C． D． 44．如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的是（） A． B． C．对任意实数t，总成立 D．若点，在抛物线上，，则 45．如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①② C．①④ D．②④ 46．如图，点P是抛物线的顶点．下列结论正确的有______（填序号），①，②，③对任意实数t，总成立，④若点，在抛物线上，则． 47．如图，点是抛物线的顶点．下列结论（1）；（2）；（3）：（4）对任意实数总成立；（5）若点在抛物线上，则，正确的是__________． 【题型9 】 48．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，下列选项正确的是（     ） A． B． C．若，则时的函数值小于时的函数值 D． 49．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 50．已知抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点在x轴下方，且与y轴交于正半轴．下列结论：①；②；③若点和都在抛物线上，则；④当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 51．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有_______．（填编号） 52．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 【题型10 】 53．已知点是抛物线上的两点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 54．设，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 55．已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，抛物线与轴交于、两点（在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是______．（填序号） 56．已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是________，的值为________； (2)求二次函数的表达式； (3)当时，二次函数的最小值是，则的值为________． 【题型11 】 57．已知二次函数，当时，函数有最大值为4，则k的值为(     ) A． B． C．1或 D．或 58．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点，已知，两点在抛物线上，且，，两点的横坐标分别为，以下说法正确的是（     ） A．若点的坐标为，则点的坐标为 B．若点的坐标为，为线段下方抛物线上一个动点，作，交于点，则的最大值是 C．若，则 D．若，当时，函数总在处取得最大值，则 59．已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是_____________． 60．已知两点、均在抛物线上，点是抛物线的顶点，若，则的取值范围是________． 61．在二次函数中． (1)若它的图像过点，则的值为多少？ (2)当时，的最小值为，求的值； (3)若，，均在此二次函数的图像上，且．求的取值范围． 62．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积． (3)设点横坐标为，当______时，有最大值，的最大值为______． 63．已知抛物线经过，且关于直线对称，点是上的动点． (1)求的解析式； (2)若点也在上，求s的最小值； (3)点在抛物线上，若经过的直线与和恰好交于B、D两点（B，D点与不重合．如图所示），求的值． 【题型12 】 64．如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O、A、C，，则的值为（     ） A． B． C． D． 65．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，下面有四个结论：①；②；③若点与都在该抛物线上，则；④过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点（、不重合），若线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是．其中，正确的是_______ 66．探究不同情境，回答下面问题． (1)已知二次函数的图像经过点和点，且经过点，求二次函数的解析式． (2)已知二次函数的图像的顶点坐标为，且经过点，求二次函数的解析式． 67．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)点Q是对称轴上的一个动点，当最小时，求点Q的坐标及的最小值． 68．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【题型13 】 69．已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到直线的距离始终相等，若点M的坐标为，P是抛物线上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 70．如图，在平面直角坐标系中，抛物线和相交于，两点，点为抛物线上，之间的动点，点为抛物线上，之间的动点（点，不与，重合），则四边形面积的最大值为（     ） A．18 B．16 C．12 D．10 71．如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点，．过点作轴的平行线，分别交抛物线于点，． 则以下结论中正确的个数是（    ） ①无论取何值，总是负数；②；③四边形为正方形； ④当时，随着的增大，的值先增大后减小． A．1 B．2 C．3 D．4 72．抛物线和与平行于x轴的直线l分别交于A，C和B，D四点，如图所示，且，． 则抛物线的对称轴是________________． 73．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等腰直角三角形，其中，则的面积为______． 74．已知抛物线：（，是常数）经过点． (1)若抛物线的对称轴为直线，求，的值． (2)若抛物线还经过另一点，且， ①求的取值范围； ②抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．的最小值为，线段长为，记，求关于的函数解析式，并求的最小值． 75．如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值． 76．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是线段上一动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，当的面积最大时，是第一象限内抛物线上一点，连接，，若四边形的面积为的最大面积的倍，求点的坐标； (3)在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是平移后抛物线上一点，射线交直线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 77．如图（1），抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标． (3)如图（2），将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 78．二次函数的图象记为，点为图象的顶点． (1)用配方法求出图象的顶点坐标； (2)如图1，将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为，直接写出点的坐标； (3)如图2，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；过点作轴的平行线， ①当直线经过点时，求的值； ②将图象在直线下方的部分沿直线折叠到直线上方，点关于直线的对称点为点，这部分图象与图象剩余的部分及图象组成新函数的图象记为，过点作轴的平行线，图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，，当时，直接写出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $