2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中测试卷

2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中测试卷 测试范围：第1章勾股定理~第3章位置与坐标 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 如图，分别以点4，B为圆心，以大于)B的长a为半径作弧，两弧相交于点C ,则四边形ADBC是菱形的理由是() D A,AC=BC=BD=CD B.AC=BC=BD=AD C.AB⊥CD D.CD是AB的垂直平分线 2.已知a是方程x2-2x-3=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 3.下列a,b,c,d四条线段不成比例的是() A.a=3,b=6,c=2,d=4 B.a=1,b=2c=v6d=5 C.a=4,b=6,c=5.d=10 D.a=2.b=5.c=5d=25 4.已知关于x的一元二次方程ac2-4x-1=0有实数根，则k的取值范围是() A.k<4 B.k24 C.k≤4且k≠0 D.k2-4且k≠0 5.如图，如果∠BAD=∠CAE,那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相 似的是() 试卷第1页（共3页） A.∠B=∠D B.∠C=∠AED AB DE ABAC C.ADBC D.AD AE 6如图，直线，直线B分别胶，于点4，F,B,直线CD分别胶 点C,E,D,B与CD相交于点O.若直线 之间的距离相等，B0=0C,则下列 比例式中，不成立的是() B AC 1 0C1 0C1 EF 1 A.DB3 B.DC4 C.DO-OC-3 D.AC+DB-4 7。已知，5是方程-+-3=0的两个实数根，且矿+写-5， ,则的值为() A.2 B.-2 c.1 D.-1 8.如图，四边形ABCD各边的中点分别是E,F,G,H,两条对角线AC与BD互相垂 直，如果使四边形EFGH为正方形，则下列条件符合的是() G D E A.AB=AD B.AB∥CD C.AC=BD D.AD=BC 9.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC=10,BD=24.点P是边BC上 的动点，过点P作PM⊥BO于点M,PN⊥CO,垂足为点N,连接MN,则MN的最小 试卷第2页（共3页） 值为() 60 4 12 A.13 B.5 C.5 D.13 10.定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点 都在格点上的三角形称为格点三角形.如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点三角 形，那么该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是() A.3 B.4 c.5 D.6 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 0A2 1,如图，AMBC与△ABC是位似图形，位似中心为点0，OA亏a1BC的面积为g,则 △B'C'面积为 0 A 12.化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到 班上后第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会 了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，设1人每次能手把手教会x名同 学，那么所列方程为 13,将一元二次方程22+12x=5配方后得到2x+c=b,则b-c=一 试卷第3页（共3页） 14.如图，在矩形ABCD中，BC=9,AB=5,点E在射线DC上，连接BE,点F为BE 中点，连接DF,当∠BFD=3∠FDE时，DE= D 15.如图，在菱形ABCD中，AB=8,∠ABC=45°，点E,F分别在AB,AD边上，点 P是对角线BD上的动点，PE+PF的最小值是 B 16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点MN分别在AB、BC边上，将△MNB沿MN 翻折得到aD:DN与4AC相交于点区，若BM=21M,4C=4BC=8,CE-.则 CN的值是 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17.(8分)解方程： 41)-6x-4=0 25x-3+2(x-3)=0 3)+3x-2=0 ④x-}=(3x-3} 18.(8分)如图，直线alb‖c,分别交直线m于点A,B,C,交直线n于点D,E,F. 试卷第4页（共3页） m n A D a E b F (1)若AB=3,BC=5,DE=4,求EF的长： AB2 (②)若BC=3,DE=6,求DF的长. 19.(8分)如图在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，顶点坐标分别为： A(-2,4)B(-6,-2)C(-46) 1 (I)以原点O为位似中心，画出。ABC的位似图形△AB,C,使它与AABC的位似比为2， (2)点D、点E的坐标分别是 0,-4)(6,-4) 请用尺规作图作出线段DE的黄金分割点P .(其中DP>EP) 20.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,AC与BD交于点O, ∠1=∠2 (I)求证：四边形ABCD是菱形. (2)若AB=10,BD=16,求AC的长和四边形ABCD的面积. 试卷第5页（共3页） 21.(10分)在矩形ABCD中，AB=6,BC=8.把矩形沿着对角线BD折叠，点C落在 点E处，BE与AD相交于点F. (I)证明：BF=DF; (2)求BF的长和△BFD的面积. 22.(I0分)如图，点E、点D分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，连接ED,若 ∠E=∠C,则△ADE与△ABC相似吗？ 刀 (1)请解答上述习题， 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接BD、CE,求 ∠CBD与∠CED的数量关系. ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由(1)中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出△ABD与△ACE相似，从而 得到∠ADB=∠AEC,再通过角度之间的关系，可将问题解决. 请按照小明的思路完成对△ABD与△ACE相似的证明，具体做法如下： 证明：由(1)得：△ABC∽△ 试卷第6页（共3页） 证明过程缺失 ∴.△ABD~aACE :.∠ADB=∠AEC(相似三角形的对应角相等)· 请补全上述证明过程. ②根据(1)和(2)①中的结论，直接写出∠CBD与∠CED的数量关系为. (3)【拓展提升】如图，在△ABD和△ACE中，∠DAB=∠EAC,EA=CA,DA=BA,延 AE 4 长EC交BD于点F,连接DE、AF·当∠AED=90°且AD5时，∠AFD= BF EC B 23.(10分)【综合与实践】 数形结合是一种重要的数学学习方法，在学习一元二次方程的过程中有很多几何图形问题 根据其等量关系均可列得一元二次方程加以求解，爱做数学探究的小文发现有这样一个具 有一元二次方程关系的几何模型：如图1，在四边形ACDE中，a,b,c是Rt△ABC和 Rt△BED 边长，小文运用勾股定理推可得 B=2c,这时小文就把关于x的形如 ax2+2cx+b=0 的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”·请解决下列问题： E 图1 图2 【模型感知】 试卷第7页（共3页） (1)请你写出一个“弦系一元二次方程”： 【初步探究】 ②求证：关于x的“弦系一元二次方程”ar+V2ax+b=0 必有实数根； 图L,若*=-是“弦系-元二次方程m+v2e+6=0 ACDE 一个根，且四边形 的周长是62 求ABC 面积. 【模型拓展】 (4)如图2，△ABC的三边分别为a,b,c,∠BCA=60°，且2b>a,求证：关于x的一元二 次方程V5ar2+22cr+h-a=0 必有实数根. 24.(10分)如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE=AB,MN分 别为AE、BC的中点，连接DE交AB于O,交MN于H点， D M H B B 图1 图2 (1)求证：AO=B0: (2)求证：∠HEB=∠HNB: (3)过A作AP⊥ED于P点，连接BP,猜想线段PE、PA、PB之间的数量关系并证明， 试卷第8页（共3页） 2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中测试卷 测试范围:第1章勾股定理位置与坐标 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．如图，分别以点，为圆心，以大于的长a为半径作弧，两弧相交于点，，则四边形是菱形的理由是（     ） A． B． C． D．是的垂直平分线 【答案】B 【分析】利用尺规作图和四边相等的四边形是菱形即可判断． 【详解】解：以点，为圆心，以大于的长a为半径作弧，两弧相交于点，， ， 四边形是菱形． 2．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用方程的根的意义得到的值，再整体代入求代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴． 3．下列a，b，c，d四条线段不成比例的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】把a，b，c，d四条线段按从小到大排序后，再根据线段成比例的定义分别对A、B、C、D各选项的线段进行判断即可得答案． 【详解】解：A．把，，，按从小到大排序为： ，， ，， ∵，， ∴， ∴，， ，成比例，故A错误． B．把，，，按从小到大排序为： ，， ， ， ∵，， ∴， ∴，， ， 成比例，故B错误． C．把，，，按从小到大排序为： ， ，，， ∵，， ∴， ∴， ，，不成比例，故C正确． D．把，，，按从小到大排序为：，， ，， ∵，， ∴， ∴，， ，，成比例，故D错误． 4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0与根的判别式非负两个条件． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即，解得， 综上：的取值范围是且． 5．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形相似的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，结合，根据两组对应角相等，可以确定，不符合题意． 选项，添加，对应边成比例，但是不是夹角相等，不能确定，符合题意． 选项，添加，对应边成比例，且，两边夹角也相等，确定，不符合题意． 6．如图，直线，直线分别交于点，，，直线分别交于点，，，与相交于点．若直线之间的距离相等，，则下列比例式中，不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，结合已知条件直线之间的距离相等，逐一分析每个选项是否成立． 【详解】解：，且之间的距离相等， ． ， ，故选项正确； ，， ， ，故选项正确； ， 选项错误； ， ， , ， ，故选项正确． 7．已知，是方程的两个实数根，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将变形为含两根和与两根积的形式，结合根与系数的关系列方程求解，再检验判别式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． ∵ ，且， ∴ ， 整理得， 解得， ∵恒成立， ∴原方程总有两个实数根， ∴符合条件． 8．如图，四边形各边的中点分别是，，，，两条对角线与互相垂直，如果使四边形为正方形，则下列条件符合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点Q，交于点P，结合三角形中位线证出四边形是平行四边形，证明，结合添加条件可得结论． 【详解】解：设交于点Q，交于点P， ∵分别是的中点，     ∴，且，，且，，，     ∴，且，         ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 添加， ∴， ∴四边形是正方形. 9．如图，菱形的对角线、交于点，，．点是边上的动点，过点作于点，，垂足为点，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D．13 【答案】A 【分析】根据菱形性质得及长，利用勾股定理求，证四边形为矩形得，由垂线段最短知时最小，利用面积法计算即可. 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ，，， ， 在中，， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，最短，即最小， ， ， 的最小值为. 10．定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先根据网格求出三边长度，分别以、、作为公共角，逐个寻找三个顶点都在格点上、满足两边对应成比例且夹角相等的三角形，统计得到一共4个符合条件的格点三角形． 【详解】解：由题意得，，， 如图，，，，，，， 故， 以为公共角与相似的格点三角形有， 以为公共角与相似的格点三角形有，， 以为公共角与相似的格点三角形有， 故与相似且有一个公共角的格点三角形有4个． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________． 【答案】 【分析】利用位似图形的性质，可得与相似，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， ． 12．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，设人每次能手把手教会名同学，那么所列方程为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 那么第一节课后共有名同学学会了这个实验， 第二节课这名同学每人又教会了名同学， 则可列方程为． 13．将一元二次方程配方后得到，则______． 【答案】20 【分析】把配方后与比较得出的值，从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵方程配方后得到， ， ． 14．如图，在矩形中，，，点在射线上，连接，点为中点，连接，当时，__________． 【答案】或 【分析】分两种情况，即点在线段上或点在线段的延长线上，连接，根据角度关系得到相关线段的关系，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，当点在线段上时，连接， 在矩形中，，， 设，则， ， ， 点为中点，， ， ， 在中，， ， ， ， , ； 如图，当点在线段的延长线上时，连接， 设，则， ， 点为中点，， ， ， ， 在中，， ， ， ， , ； 综上，当时，或． 15．如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，点是对角线上的动点，的最小值是________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，作于点，交于点， 则，当且仅当三点共线时取等， 而当时有最小值， 作于点，则四边形是矩形， 利用勾股定理可求出的长，即可得到答案． 【详解】解：作点关于的对称点，作于点，交于点， 则，当且仅当三点共线时取等， 而当时有最小值， 作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴（负值已舍去）， ∴， 即的最小值为． 16．如图，在中，，点M、N分别在边上，将沿翻折得到，与相交于点E，若，，则的值是________．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质，正方形的性质，相似三角形的判断与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，并正确作出辅助线． 过点M作于点F，作于点G，交于点H，作于点L，根据勾股定理求出，解直角三角形求出，，证明四边形为矩形，得出，，设，证明，得出，根据，得出，求出，根据勾股定理得出，求出即可． 【详解】过点M作于点F，作于点G，交于点H，作于点L，如图所示：    则， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， 根据折叠可知：，，， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， 即． 故答案为：． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）将方程整理可得，再求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 18．（8分）如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 19．（8分）如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，． (1)以原点为位似中心，画出的位似图形，使它与的位似比为， (2)点、点的坐标分别是、，请用尺规作图作出线段的黄金分割点 ．(其中) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据位似比，得到，，依次连接，，，即可； （2）连接，作，垂足为点，取，以点为圆心，为半径，画弧，交于点；以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为的黄金分割点． 【详解】（1）略 （2）略 20．（8分）如图，在四边形中，，，与交于点，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长和四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2)，四边形的面积为 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明得到，则四边形是菱形． （2）根据菱形的性质得到，，，，再根据四边形的面积为计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 21．（10分）在矩形中，，．把矩形沿着对角线折叠，点C落在点E处，与相交于点F． (1)证明：； (2)求的长和的面积． 【答案】(1)证明：∵ 四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠可知， ∴， ∴． (2)BF的长为，的面积为 【分析】（1）由矩形的性质可得，由平行线的性质可得．结合折叠的性质得出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，．设，则，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵ 四边形是矩形， ∴，． 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴． ∴的面积． 22．（10分）如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（10分）【综合与实践】 数形结合是一种重要的数学学习方法，在学习一元二次方程的过程中有很多几何图形问题根据其等量关系均可列得一元二次方程加以求解，爱做数学探究的小文发现有这样一个具有一元二次方程关系的几何模型：如图1，在四边形中，，，是和边长，小文运用勾股定理推可得，这时小文就把关于x的形如的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题： 【模型感知】 (1)请你写出一个“弦系一元二次方程”：________； 【初步探究】 (2)求证：关于x的“弦系一元二次方程”必有实数根； (3)如图1，若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积． 【模型拓展】 (4)如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根． 【答案】(1) (2)证明：由题意可知：， ∴ ， ∴关于的“弦系一元二次方程”必有实数根； (3)1 (4)证明：过B作于D，如图， ，， ，， ， ， ， ， ， ∵， ， ∴关于x的一元二次方程必有实数根． 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，再根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积； （4）过B作于D，由，，可得，，D在线段上，利用勾股定理可得，由，再证明即可． 【详解】（1）解：， “弦系一元二次方程”略； （2）略 （3）解：把代入中得， ， ∵四边形的周长， ， ， 解得， ， ， ， ∴， ， ∴， ； （4）略 24．（10分）如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过A作于P点，连接，猜想线段之间的数量关系并证明． 【答案】(1)证明：∵正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)证明：取的中点Q，连接， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵正方形，， ∴， 根据（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)解：，理由如下， 过点B作于点B，交于点G， ∴． ∵，， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据勾股定理，得 ∵， ∴． 【分析】（1）证明，证明即可； （2）取的中点Q，连接，证明即可； （3）过点B作于点B，交于点G，证明，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $