重难点专题 圆心角、弧、弦、圆周角定理（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题 圆心角、弧、弦、圆周角定理 重难点一 同圆等圆中弧、弦、圆心角互推问题 核心定理：一相等，三相等. 解题思路：题目证弦相等、弧相等、圆心角相等，直接互相转化，是圆内线段、弧相等证明的唯一基础依据. 适用场景：简单证明题、填空等量代换. 1.如图，点A，B，C均在上，若，则（　　） A． B． C． D． 2.如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，则（    ） A． B． C． D． 3.如图，是锐角的外接圆，直径平分交于E，于F，于G，连接．要求四边形的面积，只需知道某个三角形的面积，则这个三角形是（    ） A． B． C． D． 4.如图，点A，B，C，D在上，，点是的中点，则的度数是 . 5.已知⊙O的半径为2，弦长分别为和，则的度数为 . 6.如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 7.如图，是等边三角形，将绕点逆时针旋转角后得到，，求． 下面给出了解决这个问题的两种方法． 方法一是等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转角后得到， ． ． 在等腰中， 用含的式子表示， 在等腰中， 用含的式子表示， ． 方法二是等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转角后得到， ， ． ，，三个点在以点 为圆心，以 为半径的圆上在图中画出圆， 所对的弧为．所对的弧为， .(依据是： )， ． 8.如图，是的直径，点A和点E是上位于的两侧的点，，，垂足为D，、的延长线交于点G，的延长线交于点F． (1)判断的形状并说明理由； (2)若，，求的直径的长． 重难点二 圆周角定理基础计算 万能公式：同弧所对圆周角=\frac12对应圆心角. 解题技巧：找公共弧、转移角度，复杂角度全部转化到同一段弧上求解. 1.如图，已知四边形内接于，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2.如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 3.如图，，是的弦，，是的半径，点P为上任意一点（点P不与点B重合），连接，若，则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 4.如图，中，，，，则的半径等于 5.已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是 . 6.我们已经学习过圆周角及圆周角定理，我们知道：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图1，A，B，C，D是⊙O上的点，连接，，，，则．    (1)如图2，当点在内部时，探究与的大小关系，并说明理由． (2)如图3，当点在外部时，______．（填“>”、“=”或“<”） 7.如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．    (1)求的长． (2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值． (3)如图，过点作于，连接，求的最小值． 8.如图（），是的直径，点、在上，，，． (1)求证：平分； (2)求的长； (3)如图（），是半圆的中点，连接，求的长． 9.【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图，点为坐标原点，的半径为，点．动点在上，连接，作等边（，，为顺时针顺序），求的最大值； 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接，以为边在的左侧作等边，连接． （）请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （）线段的最大值为 ． 【灵活运用】 （）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，求线段长的最大值及此时点的坐标． 【迁移拓展】 （）如图③，，点是以为直径的半圆上不同于的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值． 重难点三 ：直径专属直角模型 固定辅助线：见直径，连圆弧上任意一点，构造90°直角三角形. 解题应用：只要题干出现直径，优先构造直角，结合直角三角形性质、互余角度解题. 1.学习了“直径所对的圆周角是直角”，小华想应用这个结论来检验半圆形工件是否合格，下图是小华用自制是“直角尺”检验时的四个图，其中检验操作正确且半圆形工件符合标准的是（    ） A．B．C． D． 2.如图将一个直角三角形的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为，连接交于点E，则是（    ） A． B． C． D． 3.如图，点，，分别在的三边上，，，，，下列结论正确的是（    ） A．可求，不可求 B．不可求，可求 C．，均可求 D．，均不可求 4.如图，在正方形中，，动点从点A出发向终点运动，同时动点从点出发向终点运动，点E，F的运动速度相同，当它们到达各自的终点时停止运动．运动过程中线段，相交于点，线段长的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 5.如图，是的直径，是的弦，若，则的度数为 . 6.如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，于点，的角平分线交于点，弦，那么的面积是 . 7.如图为上的四点，点为延长线上的一点，且，点为弧的中点． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 8.如图，的直径长为10，弦为长6．    (1)求的长． (2)若的平分线交于点B，求，的长． 9.如图，的直径，弦，的平分线交于点D．    (1)求，的长； (2)直接写出的长． 10.如图，是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且，与交于点E．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 重难点四 ：圆内接四边形压轴角度题 两大核心结论（直接秒杀题型）： ① 圆内接四边形对角互补（和为180°） ② 圆内接四边形外角=内对角（最常用角度转化结论） 解题方法：遇圆内接四边形，优先用互补、外角代换，快速消去未知角. 1.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2.如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3.如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 4.如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是 .    5.如图，中，，在的同侧作正，正和正，则四边形面积最大值是 . 6.如图，四边形内接于，，B是的中点，，，求    (1)的长； (2)的长． 7.【特例感知】      （1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为　　　　，点D到直线的距离为　　　　； 【类比迁移】 （2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长． 8.圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． (1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则________； (2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长； (3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值． 9.【实验操作】 已知线段，用量角器作，兴趣小组通过操作、观察、讨论后发现：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），小明同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）． (1)请你帮助解决小明同学提出的问题： ①该弧所在圆的半径长为_____；②面积的最大值为______； (2)小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为，请证明； (3)如图2，在平面直角坐标系第一象限内有一点，过点作轴，轴，垂足分别为、，若点在线段上滑动（点可以与点、重合），使得的位置有两个，则的取值范围是______． 10.如图1，在中，，，点分别是的中点．    (1)求的长； (2)将绕点顺时针旋转（），连接，，如图2所示． ①当的延长线经过点时，探究线段之间的等量关系，并说明理由； ②设射线与射线相交于点，求线段的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 圆心角、弧、弦、圆周角定理 重难点一 同圆等圆中弧、弦、圆心角互推问题 核心定理：一相等，三相等. 解题思路：题目证弦相等、弧相等、圆心角相等，直接互相转化，是圆内线段、弧相等证明的唯一基础依据. 适用场景：简单证明题、填空等量代换. 1.如图，点A，B，C均在上，若，则（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，由圆周角定理得到，即可求出，由等腰三角形的性质得到熟练掌握圆周角定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：A． 2.如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，则（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是直角三角形中两锐角互余，圆周角定理的应用；本题先求解结合垂直的含义可得，再利用圆周角定理可得，结合角的和差运算可得结论；熟记圆周角定理是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 故选B． 3.如图，是锐角的外接圆，直径平分交于E，于F，于G，连接．要求四边形的面积，只需知道某个三角形的面积，则这个三角形是（    ） A． B． C． D． 【分析】连接，根据圆周角定理得，推出，根据同底等高的三角形的性质得到，从而得到，由轴对称的性质得到四边形的面积，由此可得答案． 【详解】解：已知的面积． 如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，    ∴， ∴与是同底等高的三角形， ∴， ∴， ∴， ∵直径平分， ∴四边形关于对称，关于对称， ∴四边形的面积，， ∴四边形的面积， 故选：D． 4.如图，点A，B，C，D在上，，点是的中点，则的度数是 . 【分析】本题主要考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理．根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，再根据圆周角定理解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点B是的中点， ∴， 由圆周角定理得，，故C正确． 5.已知⊙O的半径为2，弦长分别为和，则的度数为 . 【分析】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的一侧和两弦在圆心的两侧，再根据垂径定理，含30度角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过点O作于E，于D， 分类讨论：当两弦在圆心的同一侧，如图，    ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当两弦在圆心的两侧，如图，    ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 的度数为或． 6.如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【分析】本题主要考等腰三角形，勾股定理的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法求高等知识是解题的关键． （1）如图所示，连接，可得是等腰三角形，根据直角三角形可求出的度数，根据等腰三角形的性质可求出的度数，由此即可求解； （2）如图所示，过点作与点，根据等面积法可求出的值，根据勾股定理，等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，    ∵点在圆上， ∴，即是等腰三角形， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：如图所示，过点作与点，    ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵，是等腰三角形， ∴， 在中，， ∴，即． 7.如图，是等边三角形，将绕点逆时针旋转角后得到，，求． 下面给出了解决这个问题的两种方法． 方法一是等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转角后得到， ． ． 在等腰中， 用含的式子表示， 在等腰中， 用含的式子表示， ． 方法二是等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转角后得到， ， ． ，，三个点在以点 为圆心，以 为半径的圆上在图中画出圆， 所对的弧为．所对的弧为， .(依据是： )， ． 【分析】方法一：根据旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质可得，-完成填空；方法二：根据旋转的性质，得出，，三个点在以点为圆心，以为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：方法一是等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转角后得到，连接CD， ． ． 在等腰中，； 在等腰中，-； ； 方法二是等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转角后得到， ， ． ，，三个点在以点为圆心，以为半径的圆上 所对的弧为．所对的弧为， 依据是：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半， ； 故答案为：；；；；；；同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，． 8.如图，是的直径，点A和点E是上位于的两侧的点，，，垂足为D，、的延长线交于点G，的延长线交于点F． (1)判断的形状并说明理由； (2)若，，求的直径的长． 【分析】（1）圆周角定理，得到，同角的余角相等，得到，等弧所对的圆周角相等，得到，进而得到，即可得出结论； （2）等角的余角相等，得到，进而得到，进而求出的长，勾股定理，求出的长，连接，设半径，利用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形． 为直径， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）中，， 又 ， ， ， ， ， ， ， 在Rt中，． 连接，设半径，则， 在Rt中，， ． 的直径． 重难点二 圆周角定理基础计算 万能公式：同弧所对圆周角=\frac12对应圆心角. 解题技巧：找公共弧、转移角度，复杂角度全部转化到同一段弧上求解. 1.如图，已知四边形内接于，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【分析】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理解题． 【详解】解：四边形是圆内接四边形，， ， 故选：D． 2.如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【分析】连接，根据三角形内心的定义可得平分，根据角平分线的定义可得的度数，再根据圆周角定理得出，最后根据等边对等角和三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：连接，    ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3.如图，，是的弦，，是的半径，点P为上任意一点（点P不与点B重合），连接，若，则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 【分析】本题考查圆周角定理与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得的范围是解题的关键． 利用圆周角定理求得的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得的范围，继而得出答案． 【详解】解：如图，连接，    ， ， ， ， 点为上任意一点（点不与点重合）， ， ， ， ∴的度数可能是． 故选：D． 4.如图，中，，，，则的半径等于 【分析】本题考查了圆的相关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，通过证明是等边三角形即可求解，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径为． 5.已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是 . 【分析】连接，延长，使，连接交于点M，连接，过点C作，交于点E，交于点D，连接，，此时是点D在左边的边界点，求出的长；过点C作于点D，连接，此时点M在上，点D为右边的边界点，求出的长即可得出答案． 【详解】解：连接，延长，使，连接交于点M，连接，过点C作，交于点E，交于点D，连接，，如图所示： ∵C为弧的中点，， ∴， ∵， ∴点F在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即当点D运动到此位置时，点M恰好在扇形的边界上，当点D继续向右运动时，点M在扇形内部； 过点C作于点D，连接，此时点M在上，当点D继续向右运动时，点M在扇形外部， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即， 解得：， ∴长的取值范围是． 6.我们已经学习过圆周角及圆周角定理，我们知道：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图1，A，B，C，D是⊙O上的点，连接，，，，则．    (1)如图2，当点在内部时，探究与的大小关系，并说明理由． (2)如图3，当点在外部时，______．（填“>”、“=”或“<”） 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． （1）延长交于，连接，如图，根据三角形外角性质得，根据圆周角定理得，于是． （2）连接，如图，根据三角形外角性质得，根据圆周角定理得，于是． 【详解】（1）．理由如下： 延长交于E，连接，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴ （2）连接，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 7.如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．    (1)求的长． (2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值． (3)如图，过点作于，连接，求的最小值． 【分析】（1）连接，根据，，确定圆的半径为5，结合，根据垂径定理，得到，得． （2）连接，根据垂径定理，得到，利用三角形外角性质，圆周角定理，证明即可． （3）根据题意，点H的运动轨迹是以为直径的上的，当D、H、N三点共线时，取得最小值，计算即可． 【详解】（1）如图，连接， ∵，， ∴， ∴圆的半径为5，    ∵， ∴， ∴． （2）的长度不发生变化；．理由如下： 如图，连接，    ∵直径，，，弦，， ∴， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故的长度不发生变化；． （3）如图，连接， ∵，    ∴点H的运动轨迹是以为直径的上的， 当D、H、N三点共线时，取得最小值， 连接，交于点M， 故当H与M重合时，取得最小值， ∵，，， ∴， ∴， 过点N作于点F， 则， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 故最小值为． 8.如图（），是的直径，点、在上，，，． (1)求证：平分； (2)求的长； (3)如图（），是半圆的中点，连接，求的长． 【分析】（）利用平行线的性质得，又，则； （）作于，于，则，利用勾股定理计算出，再利用面积法得到，再利用勾股定理计算出，然后证明，得到，从而有； （）作于，连接、 ，证明为等腰直角三角形得到，利用为等腰直角三角形得到，然后利用勾股定理计算出，最后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）证明: ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）作于，于，如图， 则， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）作于，连接、 ，如图， ∵ 是半圆的中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 9.【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图，点为坐标原点，的半径为，点．动点在上，连接，作等边（，，为顺时针顺序），求的最大值； 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接，以为边在的左侧作等边，连接． （）请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （）线段的最大值为 ． 【灵活运用】 （）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，求线段长的最大值及此时点的坐标． 【迁移拓展】 （）如图③，，点是以为直径的半圆上不同于的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值． 【分析】()结论：．只要证明即可； ()利用三角形的三边关系即可解决问题； ()连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，，根据当在线段的延长线时，线段取得最大值，即可得到最大值为；过 作轴于，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论； ()如图中，以为边作等边三角形，由，推出 ，推出欲求的最大值，只要求出的最大值即可，由定值，，推出点在以为直径的上运动，由图象可知，当点在 上方，时，的值最大． 【详解】解：（）如图中，结论：， 理由：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （）在中，， ∴当共线， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：； （）如图，连接， ∵将绕着点顺时针旋转得到，连接，则是等腰直角三角形， ∴，， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴线段长的最大值线段长的最大值， ∴当在线段的延长线时，线段取得最大值（如图中）， 最大值， ∵， ∴最大值为； 如图，过作轴于， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （）如图中，以为边作等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴欲求的最大值，只要求出的最大值即可， ∵定值，， ∴点在以为直径的半圆上运动， 由图象可知，当点在上方，时，的值最大，最大值， ∴AC的最大值为； 当点在线段的右侧时， 以为边作等边， ∵， ∴，且，， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值即可， ∵定值，， ∴点在以为直径的上运动， 由图象可知，当点在的上方，时，的值最小， 的最小值， ∴的最小值为； 综上所述，的最大值为，AC的最小值为． 重难点三 ：直径专属直角模型 固定辅助线：见直径，连圆弧上任意一点，构造90°直角三角形. 解题应用：只要题干出现直径，优先构造直角，结合直角三角形性质、互余角度解题. 1.学习了“直径所对的圆周角是直角”，小华想应用这个结论来检验半圆形工件是否合格，下图是小华用自制是“直角尺”检验时的四个图，其中检验操作正确且半圆形工件符合标准的是（    ） A．B．C． D． 【分析】本题主要考查了弦与圆周角之间的关系，熟知90度的圆周角所对的弦是直径，是解题的关键． 【详解】解：∵90度的圆周角所对的弦是直径， ∴四个图形中，只有B选项中的图形符合题意， 故选B． 2.如图将一个直角三角形的斜边和量角器的直径所在的边重合放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为，连接交于点E，则是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是确定点C在以为直径的圆上． 【详解】根据题意可知点C在以为直径的圆上，设圆心为点O，连接，则， ∴， ∴， 故选D． 3.如图，点，，分别在的三边上，，，，，下列结论正确的是（    ） A．可求，不可求 B．不可求，可求 C．，均可求 D．，均不可求 【分析】连接，根据如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆，得出四点共圆，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，进而得出点固定，即可求；当绕点旋转时，保持不变，根据如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆，得出四点共圆，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，进而得出点可以在上任何地方，即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴点固定，即可求； 当绕点旋转时，保持不变，则四点共圆， ∴依旧不变，即点可以在上任何地方， ∴不可求， 综上可得：可求，不可求． 故选：A． 4.如图，在正方形中，，动点从点A出发向终点运动，同时动点从点出发向终点运动，点E，F的运动速度相同，当它们到达各自的终点时停止运动．运动过程中线段，相交于点，线段长的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【分析】动点F，E的速度相同，即说明，结合正方形的性质，可证，进而可证点P在运动中保持，可知点P的路径是一段以为直径的弧．利用勾股定理可求出，从而可求出，即线段的最小值为． 【详解】解：∵动点F，E的速度相同， ∴． ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点P的路径是一段以为直径的弧，如图． 设的中点为G，连接交弧于点P，此时的长度最小，且． 在中，． ∵， ∴，即线段的最小值为． 故选D． 5.如图，是的直径，是的弦，若，则的度数为 . 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形两锐角互余，根据直径所对的圆周角为，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ， ， ． 6.如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，于点，的角平分线交于点，弦，那么的面积是 . 【分析】连接，过点作，垂足为，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得，进而可得，再利用等腰三角形的性质以及等量代换可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用等式的性质可得，进而可得，最后在Rt中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在Rt中，利用等腰直角三角形的性质求出的长，从而在Rt中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：连接，过点作，垂足为， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在Rt中，， ，， 在Rt中，， ， ， ， 的面积 . 7.如图为上的四点，点为延长线上的一点，且，点为弧的中点． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质可以得到然后根据等腰三角形的性质得到，然后根据角的和差解题即可； （2）利用勾股定理先求出长，然后再求出的长即可． 【详解】（1） ， ， ， 又四边形为圆内接四边形， ， 为弧的中点， ， ， ， 又， ； （2）由（1）知， 为等腰直角三角形， ， 在Rt中， 由勾股定理得， 又， 在Rt中， 由勾股定理得． 8.如图，的直径长为10，弦为长6．    (1)求的长． (2)若的平分线交于点B，求，的长． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得到，再利用勾股定理，即可求出的长； （2）根据直径所对的圆周角是直角，得到,再根据同弧所对的圆周角相等，推出，从而得到，最后利用勾股定理，即可求出、的长． 【详解】（1）解：是直径， ， ，， 在中，； （2）解：是直径， ， 平分， ， ，， ，， ， ， 在中，， ． 9.如图，的直径，弦，的平分线交于点D．    (1)求，的长； (2)直接写出的长． 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）连接．根据直径所对的圆周角为90度可得．利用勾股定理解可得，根据平分，可得，再用勾股定理解即可求解； （2）过点A作于点H，可得为等腰直角三角形，推出，再用勾股定理解，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接．    ∵是的直径， ∴． 在中，根据勾股定理，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 在中，根据勾股定理，， ∴， ∴． （2）解：如图，过点A作于点H，    ∵平分，． ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中， ， ∴． 10.如图，是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且，与交于点E．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【分析】（1）圆周角定理，得到，的度数为，平行得到，进而得到，垂径定理，得到，进而得到的度数为，即可求出的度数； （2）勾股定理，求出的长，即可求出的长． 本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆周角定理和垂径定理，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是半圆O的直径，， ∴，的度数为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴． 重难点四 ：圆内接四边形压轴角度题 两大核心结论（直接秒杀题型）： ① 圆内接四边形对角互补（和为180°） ② 圆内接四边形外角=内对角（最常用角度转化结论） 解题方法：遇圆内接四边形，优先用互补、外角代换，快速消去未知角. 1.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形对角互补得到的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到的度数，熟练掌握圆周角度定理和圆内接四边形的性质是解题的关键. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 故选：D 2.如图，是的直径，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，圆的内接四边形，连接，，得出，，进而可得出答案． 【详解】解：连接，，    ∵同弧所对的圆周角相等， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3.如图，在中，为直径，为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点（不与点重合），连结．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【分析】本题考查圆周角定理、折叠的性质、圆内接四边形的性质，根据题意，做出合适的辅助线，然后根据圆内接四边形对角互补和折叠的性质，可以求得的度数． 【详解】作点关于直线的对称轴点，连接，，如图，    为直径， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 故选：A． 4.如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是 .    【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理等知识点，根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据圆周角定理得出，根据求出，根据圆周角定理得出即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ． 5.如图，中，，在的同侧作正，正和正，则四边形面积最大值是 . 【分析】过作于，过作，交于，根据等边三角形的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三线合一的性质，得出，进而得出，即点、、在一条直线上，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，再根据平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据平行四边形和三角形的面积，得出，再以为直径作圆，当最大时，的面积最大，此时为半径，再根据三角形的面积公式，结合二次根式的乘法，计算即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过作于，过作，交于， ，， ， 是正三角形，， ， ，即点、、在一条直线上， 在正、正和正， ，，，， ， ， ， ， 同理可得，   四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 以为直径作圆，当最大时，的面积最大，此时为半径， ， 四边形面积的最大值是2． 6.如图，四边形内接于，，B是的中点，，，求    (1)的长； (2)的长． 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，等腰直角三角形的性质，勾股定理， （1）连，由，得到为直径，利用勾股定理求出，由B是的中点，推出是等腰三角形，从而求出的长； （2）过点作于点，证明是等腰直角三角形，根据直径可知∠ABC=90°，再结合B是弧AC的中点，得到为等腰直角三角形，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理进一步计算，从而得解． 正确的添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵， ∴为直径， ∵，， ∴在中，， ∵B是的中点， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点，    由（1）知，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， 在中，， ∴． 7.【特例感知】      （1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为　　　　，点D到直线的距离为　　　　； 【类比迁移】 （2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长． 【分析】（1）利用角平分线的定义得出，再利用圆的内接四边形的性质即可求得，利用直径所对的圆周角是90°，继而求出，，再证明，利用相等的圆周角所对的弦相等得出，过点D作于点E，利用含的直角三角形的性质即可得解； （2）连接，作交的延长线于点N，证明得到，再证明得到，从而得到； （3）作于点G，交的延长线于点H，证明得到，设，再证明四边形是正方形，从而得到，从而得到，，，再利用建立方程，求出x，从而得解． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E，则，， 则有， ∴，即点D到直线的距离为，    故答案为：；； （2），理由如下： 如图②，连接，作交的延长线于点N，    ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， （3）如图③，作于点G，交的延长线于点H，      ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴， ∴线段的长为． 8.圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． (1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则________； (2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长； (3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值． 【分析】（1）利用圆周角定理可得，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案； （2）首先利用勾股定理求出和、的长，再分类讨论，第一种情况是，第二种情况是，结合三角函数以及勾股定理进行列式作答即可； （3）连接、交于点H，过点O作于G，利用三角函数表示出的长，进而得出，再根据三角形中位线定理可得的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径，，， ∴， ①当时，连接，如图： ∵，为的直径， ∴， ∴，垂直平分． ∴ ∴； ②当时，连接，过点作，交于点．如图： 此时为等腰直角三角形，． 在中，∵，， ∴ ∴ 在中，∵，， ∴， ∴． 综上可知，或； （3）如图，连接，． ∵，， ∴垂直平分 ∵为中点， ∴为的中位线，有，． 设， 则，，， 在中， 在中， 于是有： 整理得，， ∴ 当时，． 9.【实验操作】 已知线段，用量角器作，兴趣小组通过操作、观察、讨论后发现：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），小明同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）． (1)请你帮助解决小明同学提出的问题： ①该弧所在圆的半径长为_____；②面积的最大值为______； (2)小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为，请证明； (3)如图2，在平面直角坐标系第一象限内有一点，过点作轴，轴，垂足分别为、，若点在线段上滑动（点可以与点、重合），使得的位置有两个，则的取值范围是______． 【分析】（1）①由圆周角定理可得，可证是等边三角形，进而可求解； ②由题意可得当点A到的距离最大时，的面积最大，进而可求解； （2）由同弧所对的圆周角相等可得，由三角形的外角的性质可得结论； （3）以为边作等腰直角三角形，以点O为圆心，为半径作圆D，可得当点P在上方的圆D上时，，分别求出点B在圆D和线段与圆D相切时，m的值，进而可求解． 【详解】（1）解：①如图1，设O为圆心，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，即半径为， 故答案为：； ②∵以为底边，， ∴当点A到的距离最大时，的面积最大， 如图1，过点O作的垂线，垂足为E，延长，交圆于D， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大面积为， 故答案为：； （2）解：如图，延长，交圆于点，连接， ， ， ， ， ，即； （3）解：如图2，以为斜边作等腰直角三角形，以点D为圆心，为半径作圆D，连接． ∴，， ∴当点P在上方的圆D上时，． ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形． 当点A或点B在圆D上时， ∵， ∴O，D，B共线， ∴， ∴， ∴，即； 当与圆D相切时， 作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10.如图1，在中，，，点分别是的中点．    (1)求的长； (2)将绕点顺时针旋转（），连接，，如图2所示． ①当的延长线经过点时，探究线段之间的等量关系，并说明理由； ②设射线与射线相交于点，求线段的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得是的中位线，由此即可求解； （2）①根据旋转的性质可证，再根据等腰直角三角形的性质即可求解；②根据旋转的性质，点的旋转规律可得在以点为圆心，以为半径的圆上，点在以为直径的上运动，根据旋转的性质，切线的性质分类讨论，再结合正方形，勾股定理的综合即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的长为． （2）解：①，理由如下， 如图所示，当的延长线经过点，    由（1）可知，，，， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． ②如图所示，以点为圆心，以为半径画圆得，绕点顺时针旋转（），则在上旋转，当是的切线时，线段有最值， 如图所示，由上述证明可知，是等腰直角三角形，，    ∵与切于点， ∴，即， ∵，且， 在中， ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴以为直径画弧，射线与射线相交于点，则点在上运动，当时，射线与射线相交于点或点，则点在上运动， 第一种情况，于点，且与切于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴在中，， ∴； 第二种情况，如图所示，    同理，四边形是正方形，，， 在中，， ∴； 综上所述，线段的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $