第29章 圆 强化训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第29章 圆 一、单选题 1．如图，在中，，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，正五边形内接于，则的度数是（　　） A．36° B．26° C．30° D．45° 4．已知OA平分∠BOC，P是OA上的任意一点．若以点P为圆心的圆与OC相离，则⊙P与OB的位置关系是(　　) A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相切 5．如图，在矩形ABCD中，，，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点F，则图中阴影部分面积为（　　）．（结果保留）． A． B． C． D． 6．如图，是的直径，点在上，若，则的度数为(　　) A． B． C． D． 7．如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，正六边形ABCDEF内接于00，若0 O的周长等于6π，则正六边形的边长为（　　） A． B．3 C．2 D． 9．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 10．尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容.小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为 的 六等分，依次得到 六个分点；②分别以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ；③连结 .则 的长是（　　） A． B． C． D． 11．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E.设∠A＝α，∠C＝β（　　） A．若α+β＝70°，则 20° B．若α+β＝70°，则 40° C．若α﹣β＝70°，则 20° D．若α﹣β＝70°，则 40° 12．如图，正方形与正方形的边长都为，正方形绕顶点旋转一周，在此旋转过程中，线段的长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 13．如图，在中，弦BC，ED所对的圆心角分别是，与互补，已知.当时，弦BC与DE之间的距离等于（　　）. A．7 B．1或7 C． D．或 14．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（ ）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　） A． B． C． D．πr2 二、填空题 15．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为　 　m2． 16．如图所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB＝ ，OC＝1，则半径OB的长为　 　. 17．若正六边形外接圆的半径为4，则它的边长为　 　. 18．如图所示，已知四边形是的一个内接四边形，且，则　 　． 19．如图，点A，B，C在上，点D在内，则　 　．（填“>”，“=”或“<”） 20．如图，是半圆的直径，，是半圆弧的三等分点，于点，连接，若直径长为4，则阴影部分的面积为　 　． 21．已知一个扇形的半径为，弧长是，则它的面积为　 　． 22．⊙O的半径为13，弦AB//CD，AB=24，CD=10，则AB和CD的距离是　 　． 23．如图，的直径，是上（不与点重合）的任一点，点为上的两点．若，则称为直径的“回旋角”． （1）若的长为，“回旋角” 的度数　 　． （2）若直径的“回旋角”为，且的周长为，的长　 　． 24．如图，中，，，点在上，以A为切点，为切线的经过点A，点在上，且，则的长是　 　． 25．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．当最大时，线段的长是　 　． 26．如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．以下结论：①；②，③，④⑤在旋转过程中，当线段最短时，的面积为1；其中正确结论有 　 　．（填序号） 27．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD上的一动点，连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E.以CE为直径作⊙O，当点P从点A移动到点D时，对应点O也随之运动，则点O运动的路程长度为　 　. 三、解答题 28．如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P．若∠P=30°，∠ABC=100°，求∠C的度数． 29．如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 30．根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”．如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度，拱高（弧的中点到弦的距离），求盾构机刀盘的半径． 31．如图，在Rt中，，以BC为直径的交AC边于点，过点作的切线，交BD的延长线于点. （1）求证：； （2）若，求的半径. 32．如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，求OA的长． 33．如图，四边形内接于，，是的直径，连接． （1）求的度数； （2）若直径为4，求的长． 34．已知：如图，在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A（3，0）、B（0，4）．设△BOA的内切圆的直径为d，求d+AB的值． 35．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长； （Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长． 36．如图，已知点是以为直径的半上的动点（点不与重合），点是中点，连结，交分别于点． （1）如图1，若，的度数为，求的长． （2）如图2，若，求的值． （3）如图3，连结，当成为直角三角形时，求与的面积比． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 若以点P为圆心的圆与OC相离， ∴P到OC的距离大于圆的半径， ∵OA平分∠BOC，P是OA上任意一点， ∴P到OB的距离大于圆的半径， ∴与OB相离. 故答案为：B. 【分析】根据以点P为圆心的圆与OC相离，则圆心P到OC的距离大于圆的半径，根据角平分线上的点到交两边的距离相等，则点P到OB的距离大于半径，那么与OB相离. 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】B 【解析】【解答】解：连接OD，OC， ∵正六边形ABCDEF， ∴∠DOC=360°÷6=60°，OC=OD， ∴△COD是等边三角形， ∴OC=CD； 设圆的半径为r， ∵圆O的周长等于6π， ∴2πr=6π， 解之：r=3， ∴CD=3. 故答案为：B 【分析】连接OD，OC，利用正六边形的性质，可求出∠DOC的度数，同时可证得OC=OD，可得到△COD是等边三角形，利用等边三角形的性质可知OC=CD，再利用圆的面积公式求出正六边形的半径，据此可得到正六边形的边长. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OB， ∵∠C=30°， ∴∠OAB=60°， ∵OA=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=2， ∴圆O的半径为2， 故答案为：B． 【分析】连接OA，OB，根据圆周角的性质可得∠OAB=2∠C=60°，所以△OAB是等边三角形，即可得到OA=AB=2。 10．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接 ， 是 的六等分点， 是 的直径， ， 由圆周角定理得： ， 在 中， ， 分别以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ， ， 又 点 是 的中点， （等腰三角形的三线合一）， 在 中， ， 故答案为：C. 【分析】如图，连接根据六等分点得出 是 的直径，，可得∠ACD=90°，利用股股定理求出AC=r，从而得出 ，根据等腰三角形三线合一的性得出，在 中，利用勾股定理即可求出结论. 11．【答案】B 【解析】【解答】解：连接BE，设 的度数为θ， 则∠EBD＝ ， ∵AE为直径， ∴∠ABE＝90°， ∵∠A＝α， ∴∠AEB＝90﹣α， ∵∠C＝β，∠AEB＝∠C+∠EBC＝β+ ， ∴90°﹣α＝β+ ， 解得：θ＝180°﹣2（α+β）， 即 的度数为180°﹣2（α+β）， A、当α+β＝70°时， 的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项错误； B、当α+β＝70°时， 的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项正确； C、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β， 的度数是180°﹣2（70°+β+β）＝40°﹣4β，故本选项错误； D、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β， 的度数是40°﹣4β，故本选项错误； 故答案为：B. 【分析】连接BE，设 的度数为θ，则∠EBD＝ ，由圆周角定理可得∠ABE＝90°，然后表示出∠AEB，由外角的性质表示出∠AEB，据此可得到θ，进而判断各选项的正误. 12．【答案】A 【解析】【解答】解：正方形与正方形的边长都为， ， 点是以为圆心，为半径的圆上一点， 当，，三点共线且在线段上时， 如下图所示， 最短为， 当，，三点共线且在线段上时， 如下图所示， 最长为， ． 故答案为：A． 【分析】根据正方形性质可得，则点是以为圆心，为半径的圆上一点，分情况讨论：当，，三点共线且在线段上时，当，，三点共线且在线段上时，根据边之间的关系即可求出答案. 13．【答案】B 【解析】【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G，交BC于点F， 当BC和DE在圆心的两侧时， ∵BC∥DE， ∴AF⊥BC， ∴CF=BC=4，DG=DE=3，∠CAF+∠C=90°， ∵∠BAC与∠EAD互补， ∴∠BAC+∠EAD=180°， ∵AC=AB，AD=AE， ∴∠CAF=∠BAC，∠GAD=∠DAE， ∴∠CAF+∠GAD=90°， ∴∠GAD=∠C， 在△ACF和△AGD中 ∴△ACF≌△AGD（AAS）， ∴AF=DG=3，AG=CF=4， ∴FG=AF+AG=3+4=7； 当BC和DE在圆心的同侧时， FG=AG-AF=4-3=1， ∴弦BC与DE之间的距离等于1或7. 故答案为：B 【分析】过点A作AG⊥DE于点G，交BC于点F，分情况讨论：当BC和DE在圆心的两侧时，可证得AF⊥BC，利用垂径定理可求出CF，DG的长，利用三角形的内角和定理可证得∠CAF+∠C=90°，利用补角的定义及性质可证得∠GAD=∠C，利用AAS证明△ACF≌△AGD，利用全等三角形的性质可得到AF，AG的长，根据FG=AG-AF，代入计算求出FG的长；当BC和DE在圆心的同侧时，根据FG=AG-AF，代入计算求出FG的长，综上所述可得到弦BC与DE之间的距离. 14．【答案】C 【解析】【解答】如图，当圆形纸片运动到与A的两边相切的位置时， 过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线，垂足分别为D，E， 连接AO1，则RtADO1中，O1AD=30，O1D=r，AD=r， ∴SADO1=O1DAD=r2，由此S四边形ADO1E=2SADO1=r2， ∵由题意，DO1E=120，得S扇形O1DE=r2， ∴圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是3（r2-r2）=（）r2 . 故答案为：C. 【分析】本题考查了面积的计算，等边三角形的性质和切线的性质. 注意所求面积等于四边形ADO1E面积减去扇形O1DE面积的三倍. 15．【答案】 16．【答案】2 【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB= ，∴BC= AB= ． 在Rt△OBC中，∵OC=1，∴OB= = =2．故答案为：2． 【分析】根据垂径定理得出BC= AB= ，然后利用勾股定理即可算出OB的长。 17．【答案】4 【解析】【解答】解：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形， 故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4. 故答案为：4. 【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解. 18．【答案】55° 【解析】【解答】解：， ． 四边形是圆内接四边形，是四边形的一个外角， ． 故答案为：55°． 【分析】利用圆周角求出，再利用圆内接四边形的性质可得。 19．【答案】< 20．【答案】 21．【答案】 22．【答案】17cm或7cm 【解析】【解答】如图作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，OA=OC=13， 则AE= AB=12（cm），CF= CD=5（cm）， ∵AB∥CD， ∴E、O、F三点共线， 在Rt△COF中，OF= =12（cm）， 在Rt△AOE中，OE= =5（cm）， 当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF=12+5=17（cm）； 当圆心O在弦A′B′与CD的外部时，AB与CD的距离=OE-OF=12-5=7（cm）． ∴AB与CD的距离是17cm或7cm． 【分析】先作出图象，再根据勾股定理分别求出弦AB、CD的弦心距OE、OF，最后根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况分类讨论即可求解． 23．【答案】；3或23 24．【答案】 25．【答案】 26．【答案】①③④ 27．【答案】 【解析】【解答】解：连接AC，取AC的中点K，连接OK.设AP＝x，AE＝y， ∵PE⊥CP ∴∠APE+∠CPD＝90°，且∠AEP+∠APE＝90° ∴∠AEP＝∠CPD，且∠EAP＝∠CDP＝90° ∵△APE∽△DCP ∴ ， 即x（3﹣x）＝2y， ∴y＝ x（3﹣x）＝﹣ x2+ x＝﹣GXdjs4436236（x﹣ ）2+ ， ∴当x＝ 时，y的最大值为 ， ∴AE的最大值＝ ， ∵AK＝KC，EO＝OC， ∴OK＝ AE＝ ， ∴OK的最大值为 ， 由题意点O的运动路径的长为2OK＝ ， 故答案为： . 【分析】连接AC，取AC的中点K，连接OK.设AP＝x，AE＝y，求出AE的最大值，求出OK的最大值，由题意点O的运动路径的长为2OK，由此即可解决问题. 28．【答案】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠D+∠ABC=180°， ∵∠ABC=100°，∴∠D=180°-100°=80°， ∵∠P=30°， ∴∠C=180°-30°-80°=70°. 【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质可求出∠D的度数，然后在三角形PCD中，用三角形内角和定理可求解. 29．【答案】120度 30．【答案】盾构机刀盘的半径为 31．【答案】（1）证明：∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC=90°． ∵CE为⊙O的切线， ∴CE⊥BC， ∴∠BCE=90°． ∵∠DCE+∠BCD=90°，∠DBC+∠BCD=90°， ∴∠DCE=∠DBC （2） 的半径为. 【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得到进而结合题意根据切线的性质得到即可求解； （2）根据题意结合等腰三角形的性质得到，进而根据锐角三角函数的定义即可得到，再结合题意即可求解。 32．【答案】解：连结OC， ∵C为切点， ∴OC⊥AB，即OC是△OAB的高， ∵∠A=∠B， ∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形， ∴AC=CB= AB= ×16=8， 在Rt△OCA，OA= = =10． 【解析】【分析】由题意可知，点C为圆的切点，连接OC即可得到OC⊥AB，因为∠A=∠B，所以可得三角形ABO为等腰三角形； 在直角三角形OCA中，根据勾股定理可得OA的长度。 33．【答案】（1） （2） 34．【答案】解：设△BOA的内切圆与OA、OB、AB分别切于点D、E、F，且半径为x． ∵∠AOB=90°，OA=3，0B=4， ∴AB=5． ∴OD=OE=x，BE=BF=4﹣x，AD=AF=3﹣x． ∴（4﹣x）+（3﹣x）=5． 解得x=1． ∴d+AB=2+5=7． 【解析】【分析】根据勾股定理求得斜边AB的长，再根据直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，进一步计算其内切圆的直径，从而求得结果． 35．【答案】解：如图①，∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝∠BDC＝90°． ∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6， ∴由勾股定理得到：AC＝ ∵AD平分∠CAB， ∴ ， ∴CD＝BD． 在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2， ∴易求BD＝CD＝5 ； （Ⅱ）如图②，连接OB，OD． ∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°， ∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°， ∴∠DOB＝2∠DAB＝60°． 又∵OB＝OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴BD＝OB＝OD． ∵⊙O的直径为10，则OB＝5， ∴BD＝5． 【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可得∠CAB＝∠BDC＝90°，利用勾股定理求出AC的长，再利用圆心角、弧、弦的关系可得DC=BD，在等腰直角△BDC中利用勾股定理求出BD、CD即可； （2）连接OB，OD，证明△OBD是等边三角形，从而得出BD＝OB＝OD=5． 36．【答案】（1）1 （2） （3）1或2 学科网（北京）股份有限公司 $