专题05 垂径定理及圆心角、圆周角（专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以垂径定理、圆周角定理及圆内接四边形性质为核心，通过分类题型系统突破，构建“概念-应用-综合”的知识逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂径定理的应用|4题型（含实际应用）|高频考点，涉及线段长、平行弦、同心圆及实际问题|以垂径定理为基础，通过勾股定理构建半径、弦心距、半弦长关系，延伸至实际场景模型| |圆周角定理及其推论|3题型（含直径与直角互化）|重点题型，聚焦角度计算与直径性质应用|由圆周角与圆心角关系推导直径对直角及逆定理，形成角与弦的转化逻辑| |圆内接四边形性质|1题型|结合圆周角性质，考查角度互补|承接圆周角定理，体现圆中角的整体性与关联性|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题05垂径定理及圆心角， 常考题型精准突破 。考点一垂径定理的应用 ◆题型01利用垂径定理求线段长问题 1.【答案】C 【详解】解：OC⊥AB,AB=8, ∴∠0DA=900,AD=)AB=4. 1 2 0C=0A=5, :在Rt△ODA中，OD=VOAP-AD2=V52-4=3, CD=0C-0D=5-3=2. 2.【答案】D 【详解】解：连接OA」 C 是 的直径， B 0 .·CD⊙O CD⊥AB AB=8, .AE=4. OE=3,CD⊥AB 0A=VAE2+0E2=V42+32=5. 3.【答案】lcm 【详解】 1129 上好每一堂课 圆周角 ● 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B C G D 解：连结AB、OA,过点O作OG⊥CD于G、交AB于E、交⊙O于F, AC⊥CD、BD⊥CD, .AC∥BD, AC=BD ∴.四边形ABDC是矩形， ∴AB∥CD,AB=CD=16, OG⊥CD .OG⊥AB,EG∥AC,EG=AC=5, AE=EB=1AB=1x16-8. 1 2 在直角三角形OAE中，由勾股定理得：OE=VOA2-AE2=V102-82=6, ∴OG=OE+EG=6+5=11」 .OF=0A=10 .FG=0G-OF=11-10=1(cm). 4.【答案】2 【详解】解：由作图步骤①可知，点O、D在⊙C上， ..CO=CD=5. 由作图步骤②可知，CE垂直平分线段OD, ∴CE⊥OD, OE=5OD=5×8=4. 2 2 在RtAOCE中，由勾股定理得：CE=VOC2-OE2=V52-42=3, 点F在⊙C上， ..CF=OC=5, .EF=CF-CE=5-3=2. 5.【答案】4V3 2129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：连接OC, :AB是⊙O的直径，且AB=8,CD⊥AB, ..OA=OB=OC=4.CE =2CD, :D为OB中点， B O D E .Do= 0B=2 根据勾股定理，得CD=√OC2-OD2=2√3， ∴.CE=2CD=4V5 ◆题型02利用垂径定理求平行弦问题 6.【答案】D 【详解】解；如图所示，当平行弦AB,CD在圆心O的同侧时， C D E B 过点O作OE⊥AB,垂足为E,延长OE交CD于点F,连接OA,OC, 则AB=号4B=12cm,CF-CD=5cm, 在Rt△AOE中，OE=VOA-AE2=5cm」 在Rt△COF中，OF=VOC2-CF2=12cm. 故EF=OF-OE=7cm. 如图所示，当平行弦AB,CD在圆心O的异侧时， D B 3129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点O作OE⊥AB,垂足为E,延长EO交CD于点F,连接OA,OC, 则AB=号4B=12cm,CF=)CD=5cm. 2 在Rt△AOE中，OE=VOA2-AE2=5cm. 在Rt△COF中，OF=VOC2-CF2=12cm. 故EF=OE+OF=17cm 综上，AB,CD之间的距离为7cm或17cm, 故选：D 7.【答案】 2或14 【详解】解：·⊙0的直径为20cm, ∴.⊙0的半径为l0cm, ①当圆心O在弦AB和CD的同侧时， D 连接OA,OC,过点O作OE⊥AB于点E,延长OE交CD于点F, ABIICD, ∴OF⊥CD 由垂径定理得，4E=4B=8am,Cr-CD=6m, 2 在RtAOAE中，由勾股定理得：OE=VOA-AE2=-V102-82=6cm: 在Rta0CF中，由勾股定理得：OF=VOC2-CF2=V102-6=8cm: ..EF =OF-OE=8-6=2cm: ②当圆心O在弦AB和CD的异侧时， 4129 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 同理可得OE=6cm,OF=8cm, ∴.EF=OE+OF=6+8=14cm 综上：AB与CD之间的距离为2cm或l4cm ◆题型03利用垂径定理求同心圆问题 8.【答案】C 【详解】解：：大圆的弦AB与小圆相切， ∴.OP⊥AB. 1 AP=BP=2AB=2×4=2,∠0PA=90 2 OP=2, ..OP=AP=2. ∴△OAP是等腰直角三角形， .∠AOP=45°， 45π×221 扇形0Ep的面积=360-2 故选：C 9.【答案】12 【详解】解：如图所示，过点O作OH⊥CD于点H,连接OD,OB, H B DH =CH=CD=4.AB=2BH, 在RtAODH中，由勾股定理得OH=VOD2-DH=V52-4=3, 在Rt△OBH中，由勾股定理得BH=VOB2-OH=35)-32=6, 5129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AB=2BH=12, 故答案为：12. 10.【答案】23 【分析】 【详解】解：如图，作OE⊥AB于点E,连接OA、OC, :OE⊥AB,AB=16」 BE=AB=8.CE=DE=CDOR 2 .0A=10 .'.OE=VO42-AE2=6, …0C=7, .CE=VOC2-0E2=√13， ∴.CD=2CE=2√13 故答案为：2√13 11.【答案】(1) 证明：连接OD、OE M D 是小圆的两条切线，切点分别为 AB、AC D、E .∴.AD=AE,AB⊥OD,AC⊥OE .AB=2AD,AC=2AE .AB=AC (2) N与小圆相切. 6129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由：连接OM,过点O作OH⊥MN,垂足为H, ∴.MN=2MH MN AB, .AD=MH 在Rt△ADO和Rt△MHO中， [AD=MH OA=OM ∴.Rt△ADO≌RtAMHO, ∴.OD=OH ∴.MN与小圆相切. 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 ◆题型04利用垂径定理求实际应用问题 12.【答案】B 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为m,则OA=OC=m,OD=OC-CD=(r-8)m, 由题意得CD⊥AB 1 4D=2AB=12m 在R△A0D中，由勾股定理得A02=AD2+0D2,即：r2=122+(-8)2, 解得r=13 ∴.拱桥的半径为13m. 13.(第二十九章圆1圆的有关概念和性质)《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不 知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，CD为⊙O的 直径，弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸，AB=1尺，则直径CD长为寸.(1尺=10寸) 7/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 【答案】26 【详解】解：连接OA,如图， ,且 寸 .AB⊥CD AB=10 AE=BE=5寸， 设圆O的半径OA的长为x寸， .OE=(x-1)寸， 在Rt△AOE中，OA2-OE2=AE2 x2-(x-1)2=52 解得x=13, .2x=26, .CD=26寸. 14.【答案】10 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为O,半径为R过点O作MN 接OD，OB, M D 纸条上下边沿平行，且 MN⊥CD .MN⊥AB, 由垂径定理可知，M为CD中点，N为AB中点， DM=CD=X8=4 cm BN=48=7x6=3 2 2 2 cm 由题意及图形可知，圆心O在弦AB,CD之间，且MN为纸条宽度， ∴MN=7cm,即OM+ON=7cm, 8129 上好每一堂课 ⊥CD于点M,交AB于点N,连 可学科网·上好课 www.zxxk.com 设OM=xcm,则ON=(7-x)cm, 在Rt&OMD中，OD2=OM2+DM2,即R2=x2+42, 在Rt△ONB中，OB2=ON2+BW2,即R2=(7-x)+32, .x2+42=(7-x)+32, 解得x=3, R=V32+42=5cm, .水杯杯口的直径为2R=10cm」 15,【答案1d治 【详解】解：连接OA, D ACB :C为AB中点，D为月亮门最高点， CD⊥AB' AC-BC-d 2 ∴.∠AC0=90°， 设圆的半径长为r,则OA=OD=r, .CD=2AB=2d, ∴.OC=CD-OD=2d-r, 在Rt△AOC中，AC2+OC2=OA2, 整理得4-4h+re,?-4轴=0， :d为月亮门底部的宽度， .d≠0， 1d=4 .4 9129 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16 …d= 17 16.【答案】4 【详解】解：过点O作OC⊥AB于点C,延长OC交OO于点D, D AB=16 BC=24B=8, OB=10 .0D=10,0C=V102-82=6, .CD=10-6=4, 即排水管内水的最大深度为4. ●考点二圆周角定理及其推论●一 ◆题型05利用圆周角定理求角 17.【答案】D 【详解】解：连接OC, C B 四边形 是菱形， D AOBC ∴.OA=AC=BC=OB ..OA=OB=OC, ∴OA=AC=OC,OB=BC=OC, ∴△AOC和△BOC均为等边三角形， .∠AOC=∠BOC=60°， ∴.∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°. 10/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com :∠ADB与∠AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角， :∠ADB=1∠A0B=600 18.【答案】B 【详解】解：：AD是⊙0的直径，∠AOB=∠DOC=40°， ∴.∠B0C=180°-40°-40°=100°， ∠BPC= 2<B0C=50 19.【答案】D 【详解】解：：BC是OO的直径，A是半圆弧CAB的中点， ,∠AOB=90°，OA=OB, .∠OAB=∠EAB=45°， ∠AOD=B, ,'∠OEB=∠AED=a,∠OEB=∠EAB+∠ABD, 1 a=45°+2B,即2a-B=90. 20.【答案】67.5 【详解】解：，BC=BC,∠BAC=3∠OCB, ∴.∠BOC=2∠BAC=6∠OCB ..OB=OC, .∠OBC=∠OCB. ,∠OBC+∠OCB+∠BOC=180° ∴.∠OCB+∠OCB+6∠OBC=8LOBC=180°， 解得∠0BC=22.5°， ∠BAC=3×22.5=67.5° 21.【答案】100°/100度 【详解】解：，CB=CD,∠CAD=35°， .∠CDB=∠CAD=35°， ∠CAD=35°，∠ACD=60°， .∠ADC=180°-60°-35°=85°， 11/29 上好每一堂课 丽学科网·上好课 www.zxxk.com ∴.∠ADB=∠ADC-∠CDB=50° .∠AOB=2×50°=100° ◆题型06半圆（直径）所对的圆周角是直角 22.【答案】C 【详解】解：，AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°： ·∠CAB=50°，∠C=60°，∠CAB+∠CBA+∠C=180°， ∴.∠CBA=70° ,四边形ABED是OO的内接四边形， .∠ADE+∠ABE=180°， .∠ADE=110°， ∴.∠EDB=∠ADE-∠ADB=20° 23.【答案】B 【详解】解：连接BD, D B :AB是⊙0的直径， ∠ADB=90°， ∠BAC=26°， ∴.∠BAC=∠BDC=26° ∴.∠ADC=∠ADB-∠BDC=90°-26°=64° 24.【答案】70° 【分析】 【详解】解：：∠AOB=2∠BOC=80°， :∠B0C=号×80°=40， 故∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+40°=120°： .0A=OC,∠A0C=120°， 12/29 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 201c=∠0c4-080-∠40c)-5180-120）=30， 故∠BMC=∠B0C+∠AC0=40°+30°=70°. 故答案为：70°」 25.【答案】(1) 证明：四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC=120°， .∠B=60°， :BC是直径， .∠BAC=90°， .∠ACB=30°， ,AD∥BC,∠ADC=120°， .∠BCD=60° ∴.∠ACD=∠DCB-∠ACB=30°， .∠DCA=∠ACB, .AC是∠BCD的平分线： (2)10 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：连接OA,如图， :∠B=60°，OB=OA, ∴.△OAB为等边三角形， .∠AOB=60°=∠BCD,OA=OB=AB=2. .OA∥CD AD∥BC, ∴，四边形OADC为平行四边形， ..OA=OC, ∴.四边形OADC为菱形， 13/29 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，AD=DC=OC=2, ∴.四边形ABCD的周长AD+AB+BC+CD=2+2+4+2=10 26.【答案】(1)见解析 (2)56° 【分析】 【详解】(1)证明：AB是⊙0的直径， .∠ACB=90°， .∠BCD=90°， ∠D+∠CBD=90°， :BD⊥AB .∠ABD=90°， .:.∠ABC+∠CBD=90° .∠ABC=∠D AC=AC .∠E=∠ABC. ∠E=∠D, AC=CE, .∠CAE=∠E, .∠CAE=LD; (2)由条件可知∠CBA=90°-28°=62°， ∠CAE=∠E=∠ABC=62°， ∴.∠ACE=180°-∠CAE-∠E=180°-62°-62°=56° ◆题型0790°的圆周角所对的弦是直径 27.【答案】C 【详解】解：PA2+PC2=AC2, .∠APC=90°， 取4C中点O,并以O为圆心，24C长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，PB 最短， .A0=P0=C0, 14129 函学科网·上好课 c0-34C-x25=5,BC=3 ∴.B0=VBC2+C02=2V3, ..BP=BO-PO=3. ∴点P是BO的中点， 在RCO，中CP-80-5 28.【答案】1 【详解】解：如图，设BC的中点为O, CF⊥BE ∴.∠BFC=90° “.F在以BC为直径的⊙O上运动 ∴.当OF⊥BC时，F到BC的距离最大， ∴.BF=FC .∠FBC=45° :四边形ABCD是矩形 ∴.∠A=∠ABC=90°，AD=BC=4 .∠ABE=90°-∠FBC=90°-45°=45 .△ABE是等腰直角三角形， .AE=AB=3 ∴.DE=AD-AE=4-3=1 www.zxxk.com 此时△BFC面积最大， 15/29 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29. 【答案】4元-3 【详解】解：如图，连接BC,标记字母F,H B D 由网格特点可得AF=BH=4,CF=DH=2,∠AFC=∠BHD=90°， .△AFC≌aBHD(SAS), ∴.∠FAC=∠HBD .∠BEC=∠FAC+∠ABE=∠HBD+∠ABE=∠ABH=90°， .∠BEA=90°， ∴.AB,BC分别为AEB,BEC所在圆的直径. 由网格特点可得AB=3,FC=2,BF=1,∠F=90°， ..BC=VBF2+CF2=22+12=5 2 3)2 5 2π 、2 2 S影=S半EB+S半周Ec-SABc= 23x2=7 π-3 4 31 30.【答案】 【详解】解：连接FG,取FG的中点O,连接OE,如图所示： D 、O B E R :EG⊥EF, ∴.∠GEF=90°， .FG是⊙O的直径， EG=EF =2m, 16/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :OE LGF,FG=VEG+EF2=22m, :ZEOF=90,OE=OF=FG-2m, 圆弧门 的面积 270m×(21 GF 360 2+x5xw5=+1 一●考点三圆内接四边形性质● ◆题型08已知圆内接四边形求角度 31.【答案】A 【详解】解：如图作出AC所对的圆周角∠AEC, E B ,∠A0C=116°， ·`.4EC=∠AOC=2×116”=58。 :∠AEC+∠ABC=180°，∠CBD+∠ABC=180° .∠CBD=∠AEC=58° 故选：A 32.【答案】C 【详解】解：，⊙O是四边形ABCD的外接圆，∠BCD=122°， .∠A=180°-∠BCD=180°-122°=58°， :CE∥AD .∠BAD=∠BEC=58° .BE=BC, ∴.∠ABC=180°-2∠BEC=180°-2×58°=64°， ∴.∠ADC=180°-∠ABC=180°-64°=116° 故选：C 33.【答案】D 17129 函学科网·上好课 WW 【详解】解：连接DE, E B ,四边形BCDE内接于OO,且∠BCD=125°， .∠BED=180°-∠BCD=55°， ,AD是⊙O的直径， .∠AED=90°， .∠AEB=90°-∠BED=90°-55°=35° 故选：D 34.【答案】(1)115° (2)60° 【分析】 【详解】(1)解：：BE是⊙O的直径， .∠BDE=90°， 又'.∠DBE=25°， ∴，∠E=90°-∠DBE=65° :四边形BCDE是⊙O的内接四边形， .∠C+∠E=180°， ∴.∠C=180°-∠E=115°， .∠C的度数为115°. (2)解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠BCD+∠BAD=180°， 又∠BCD=2∠BAD ∴3∠BAD=180°，即∠BAD=60°， ·BE是⊙O的直径， ∴.∠BAE=90°， .∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD=30° ∴.∠DOE=2∠DAE=60°， v.zxxk.com 18/29 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠D0E的度数为60° 35. 【答案】(1)30° (②)25 【分析】 【详解】(1)解：：四边形ABDC是圆的内接四边形，∠BAC=120° ∴∠BDC=60°， ,BD为⊙O的直径， .∠BCD=90°. .∠CBD=90°-60°=30°： (2)解：，点C是弧AD的中点， ∴.AC=CD ..AC=CD 又∠CBD=30° ∴.∠ABC=∠CBD=30° ∠BAC=120° .∠ACB=180°-∠BAC-ABC=30° .∠ACB=∠ABC .AC=BD ∴.CD=BD .BD为⊙O的直径， ∴.∠BAD=90° .AB=AB .∠ADB=∠ACB=30° ∴.BD=2AB, .AD=BD2-AB2 =3AB. 又：AD=6 ∴.AB=2V3 .CD=AB=23 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，弦与弧的关系，勾股定理，含30度角的直 角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键。 19129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 1.【答案】155 【详解】解：连接OC,OD,DE,如图所示： .∠C0D=50°， ∠CED=)∠C0D=25 :四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴.∠B+∠AED=180°，即∠B+∠AEC+∠CED=180°， ∠B+∠AEC=155°： 故答案为155。 2.【答案】50°/50度 【详解】如图，连接OC,在线段AC所对的优弧取一点P,连接AP,CP. B .OA∥CB∠ACB=20 ∴∠OAC=∠ACB=20°， OA和OC⊙0的半径， ∴.OA=OC ∴.∠OAC=∠OCA=20°， 在A0AC中，由三角形内角和公式，.∠A0C=180°-∠0AC-∠0CA=180°-20°-20°=140°， 根圆周角定建，∠P40C-140=70, 根据圆内接四边形的性质，四边形ABCP内接于⊙O,∠P=70°， .∠B=180°-∠P=180°-70°=110°， 20129 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 在△MBC中，由三角形内角和公式， ∠CAB=180°-∠B-∠ACB=180°-110°-20°=50°. 故答案为：50°. 3.【答案】C 【详解】解：CD是线段AB的垂直平分线 .直线CD经过圆心，设圆心为O,连接OB D 中， BD=1AB=8cm RtAOBD 2 根据勾股定理得： OD2+BD2=OB2,即： (OB-4)+82=OB2, 解得：OB=10: 故圆形工件的半径为l0cm, 4.【答案】B 【详解】解：连接BC, C E B D ,∠BED=65°， .∠CEA=∠BED=65°， .∠ACD=60°， .∠CAB=180°-60°-65°=55°. :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠ABC=90°-∠CAB=90°-55°=35°， 21/29 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADC=∠ABC=35 【点睛】当图中出现直径时，构造直径所对的圆周角是常用的辅助线思路. 5.【答案】(5，) 【详解】解：如图，连接CD y D C ∠B=30°， .∠DC0=∠B=30°， .∠D0C=90° .CD为OA的直径， ⊙A的半径为2， CD=4OD-CD-2.OC=CD-DO=2. D(0,2),C(25,0 :A为CD的中点， .A5, 6.【答案】10W3元 【详解】解：设圆形铁圈的圆心为O,半径为R, 直径AB=60cm, ∴.R=30cm. 滑杆长度与铁圈半径相等， .滑杆作为圆的弦，弦长为30cm, 连接OA,OP,设滑杆初始位置为AC,其中C为右端点， 22129 品学科网·上好课 www.zxxk.com B .·OA=OC=AC=30cm .△OAC是等边三角形， .∠A0C=60°， :P为AC中点， .OP⊥AC,OP平分∠AOC, ·∠A0P=1∠A0C=30, 在Rt△0PA中，OP=VOA-Ap2=V302-152=15√3(cm), 即点P移动的路径是以0为圆心、155cm为半径的圆弧， 当滑杆右端移动到点B时，设此时滑杆左端为D,中点为P', 同理可得△ODB是等边三角形，∠DOB=60°，OP'平分∠DOB .∠BOP'=30° 滑杆沿逆时针方向移动，且A,O,B在同一直线上，点P, ∴点P转过的圆心角∠POP'=180°，∠AOP-∠BOP'=180°-30° :点p移动的路径长为 20-155-10N5元(cm)。 180 7.【答案】65 【分析】 【详解】解：，AB为⊙O的直径， ∴.ACB的度数为180°， CE⊥AB, ∴.∠CEB=90°， .∠ABC=90°-∠BCE=90°-65°=25° .AC的度数为2∠ABC=50°， ∴.CB的度数为180°-50°=130°， 23/29 上好每一堂课 P在直径AB的同侧， 30°=120°， 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2D=2×130°=65°， 故答案为：65 8.【答案】V6 【详解】解：设AD,CE的中点分别为M,N,连接OM,ON, CNE B D 不妨设OA=OC=4a,则AD=2a,AM=a, 由垂径定理可得OM⊥AD,ON⊥CE, OM=OA2-AM2=15a, 在菱形OABC中，∠OAM=∠OCN, 在△OAM和△OCN中， [∠OMA=∠ONC ∠OAM=∠OCN OA=OC :.AOAM≌△OCN(AAS), .AM=CN=a,OM=ON=15a,EN=CN=a, 过E作EH⊥OA,则四边形ONEH为长方形， ..OH=EN=a,EH=ON=15a,AH=OA-OH=3a, :.AE=AH2+EH=(3a)+(5a)=2V6a, ,4E_26a=N6 AD 2a 9.(下册第三章追梦基础训练卷（一）)《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷 《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道 长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，AB是OO的直径，弦CD⊥AB于点E,EB=1寸， CD=10寸，求直径AB的长. 24129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 九章算术 D 【答案】26寸 【详解】解：连接OC,设OB=OC=r寸 是直径， ,AB⊥CDAB :EC=ED=5CD=5寸. 2 在RtaCE0中，则有r2=(r-1)2+52, 解得r=13, .AB=2r=26寸. 10.【答案】() 证明：如图，过点O作OH上AD于点H, :0 CH :OH⊥AD. .AH=DH,BH=CH, .AH-BH DH-CH, 即AB=CD; (2)V6+2 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接OA、OB, 25/29 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com -0 D OH⊥AD, .∠OHA=∠OHB=90° :∠OAD=30°，∠OBC=45°， .OA=2OH,∠BOH=∠OBH=45°， .BH=OH 设BH=OH=x,则OA=2x,AH=AB+BH=2+x, 在Rt△AHO中，AH2+OH=OA2, .(2+x2+x2=(2x), 解得x=V5+1, :BH=OH=3+1, :OB=2BH=V2(V3+1)=6+V2. 即小圆半径r的值为V6+√2】 11.【答案】(1) 证明：如图，连接AD, 为⊙0的直径， D C.·AB ∴AD⊥BC,而AB=AC, ..BD=CD .OA=OB .OD∥AC: (2)21° 【分析】 【详解】(1)略 26129 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：AB为⊙O的直径， ·.∠AEB=90°，而∠ABE=48°， ∠BAC=90°-48°=42°， .AB=AC, ∠18c=5080-429）=69. ∠CBE=69°-48°=21°. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理的应用，三角形内角和定理等知 识，熟悉以上重点图形的基本性质是解本题的关键. 12.【答案】(1) 解：∠ADB=∠ADE,理由如下： ,四边形ABCD内接于⊙O, ∠ABC+∠ADC=180°， ∠ABC=∠ADE, .AB=AC, .∠ABC=∠ACB ∠ADB=∠ACB. ∴，∠ADB=∠ADE: (2)3V2 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接BO并延长，交⊙0于点E,连接CE, BE是直径， .∠BCE'=90°， ∠BAC=45°. ∴.∠BE'C=∠BAC=45° 27/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com .∠CBE'=180°-90°-45°=45°， .∠BE'C=∠CBE', .CE'=BC=3. 在Rt△BCE中，由勾股定理得BE'=V32+32=3√2， ⊙0的直径为3V2. 13.【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠ABC=∠ADE,∠ADB=∠ACB, :DA平分∠BDF .∠ADB=∠ADE, .∠ABC=∠ACB, .AB=AC (2R=169 24 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：如图，过点A作AG⊥BC于点G,交BD于点O, ·AB=13,BC=10 :BG=)BC=5, 2 .AG=AB2-BG2 =12, :直线AG是BC得垂直平分线， ∴圆心O在AG上， G ..OA=OB=R,OG=12-R. .R2=(12-R)2+52, 28/29 上好每一堂课 的学科网·上好课 www.zxxk.com 解得R-169 24 29/29 上好每一堂课 专题05 垂径定理及圆心角、圆周角 常考题型·精准突破 考点一 垂径定理的应用 题型01 利用垂径定理求线段长问题（高频） 题型02 利用垂径定理求平行弦问题 题型03 利用垂径定理求同心圆问题 题型04 利用垂径定理求实际应用问题（重） 考点二 圆周角定理及其推论 题型05 利用圆周角定理求角 题型06 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型07 90°的圆周角所对的弦是直径（重） 考点三 圆内接四边形性质 题型08 已知圆内接四边形求角度（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 垂径定理的应用 ◆题型01 利用垂径定理求线段长问题 1．如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 2．如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______． 4．如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 5．如图，是的直径，且，为上一点，过作，交于点，交于点．若为中点，则的长为____________． ◆题型02 利用垂径定理求平行弦问题 6．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 7．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． ◆题型03 利用垂径定理求同心圆问题 8．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 10．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 11．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、． (1)求证：； (2)若是大圆的第三条弦，且，则与小圆相切吗？请说明理由． ◆题型04 利用垂径定理求实际应用问题 12．如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 14．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 15．如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图2是月亮门的示意图，其中，点C为的中点，D为月亮门的最高点，则月亮门底部的宽度d与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系为_____． 16．如图为一条排水管的截面，若半径，水面宽，则排水管内水的最大深度为________； 考点二 圆周角定理及其推论 ◆题型05 利用圆周角定理求角 17．如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 18．如图，是的直径，若，则圆周角的度数是（    ） A． B． C． D． 19．如图，已知是的直径，A是半圆弧的中点，点D在劣弧上（不与点A，点C重合），与交于点E．设，，则α与β之间的数量关系（   ） A． B． C． D． 20．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为________． 21．如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，，，则________． ◆题型06 半圆（直径）所对的圆周角是直角 22．如图，是的直径，点是外的一点，连接分别交于两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．如图，、、三点在上，与交于点，．则_______． 25．已知点A、B、C、D在上，是直径，，，的半径为2． (1)求证：是的平分线； (2)求圆内接四边形的周长． 26．如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作交的延长线于点D，点E在上，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． ◆题型07 90°的圆周角所对的弦是直径 27．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 28．如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 29．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上，连接和交于点E，分别过点A，E，B和点B，E，C作弧如图所示，则图中阴影部分的面积为________． 30．如图，在正方形的墙上有一个圆弧形的门洞，小明测得圆弧门落在地面上的弦为，而他从点E处作的垂线交圆弧门于点G，．由此算得圆弧门的面积为________．（结果保留） 考点三 圆内接四边形性质 ◆题型08 已知圆内接四边形求角度 31．如图，点，，在上，点在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（    ） A．58° B．116° C．64° D．60° 32．如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 34．已知四边形是的内接四边形，是的直径， (1)如图①，连接和，若，求的度数； (2)如图②，连接和，若，求的度数． 35．如图，内接于，为的直径，． (1)求的度数． (2)若点是弧的中点，，求的长． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，A、B、C、D是上的点，若的度数为，则________． 2．如图，是的内接三角形，若，，则_____． 3．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，弦交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为2，则圆心的坐标是______ 6．如图，圆形铁圈的直径，一根两端带有铁环的硬质滑杆套在该铁圈上（铁环大小忽略不计），滑杆的长度与铁圈的半径相等．先将滑杆的左端套在处，再将整根滑杆沿着铁圈按逆时针方向移动，使得滑杆的右端移动到点处，在此过程中滑杆的中点移动的路径长为________． 7．如图，为的直径，C、D为直径两侧上两点，连接，，过C点作于点E，若，则的度数为______． 8．如图，已知菱形的顶点在⊙上，且边，分别与⊙相交于，两点，连接．若点为的中点，则的值为_____． 10．如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 11．如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连接，，与交于点． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 12．如图，四边形内接于，连接交于点M，延长至点E． (1)若，猜想和的数量关系，并说明理由； (2)若．求的直径． 13．如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分． (1)求证：； (2)若，求半径． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5垂径定理及圆心角、圆周角 内容概览 目常考题型精准突破 考点一垂径定理的应用 题型01利用垂径定理求线段长问题（高频） 题型02利用垂径定理求平行弦问题 题型03利用垂径定理求同心圆问题 题型04利用垂径定理求实际应用问题（重） 考点二圆周角定理及其推论 题型5利用圆周角定理求角 题型06半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型0790°的圆周角所对的弦是直径（重） 考点三圆内接四边形性质 题型08已知圆内接四边形求角度（重) 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 一。考点一垂径定理的应用。 ◆题型01利用垂径定理求线段长问题 1.如图，在⊙0中，半径OC与弦AB垂直于点D,且AB=8,OC=5,则CD的长是() A.3 B.2.5 C.2 D.1 【答案】C 【详解】解：OC⊥AB,AB=8, 1/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ∠ODA=90， AD=AB=4. 2 0C=0A=5, 在Rt△ODA中，OD=VOA-AD2=V52-42=3, .CD=0C-0D=5-3=2 2.如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E.若AB=8,OE=3,则OO的半径长为() B D A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【详解】解：连接OA C 是 的直径， E B D .CD⊙O CD⊥AB .AE=- AB=8, .AE=4. OE=3,CD⊥AB, .OA=VAE2+0E2=V42+32=5. 3.日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形.已知 AC=BD=5cm,AC⊥CD,垂足为C,BD⊥CD,垂足为D,CD=16cm,⊙O的半径r=10cm,则 圆盘离桌面CD最近的距离是 2/40 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 【答案】lcm 【详解】 E F G D 解：连结AB、OA,过点O作OG⊥CD于G、交AB于E、交OO于F, :AC⊥CD、BD⊥CD .AC∥BD AC=BD, ·四边形ABDC是矩形， AB∥CD,AB=CD=16, OG⊥CD, ∴OG⊥AB,EG∥AC,EG=AC=5, AB=B=4B=X16=8 在直角三角形OAE中，由勾股定理得：OE=VOA-AE2=V102-82=6, ∴.0G=0E+EG=6+5=11, .OF=OA=10. ∴.FG=OG-OF=11-10=1(cm)） 4.如图，在∠AOB中，按下列步骤作图：①在OA边上取一点C,以C为圆心，OC长为半径画⊙C, 交OB于点D；②分别以0，D为圆心，大于2OD长为半径画弧，两弧交于点G,连接CG交OD于点 3140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E,交⊙C于点F,若OC=5,OD=8,则EF的长为 -B FD G 【答案】2 【详解】解：由作图步骤①可知，点O、D在⊙C上， ∴C0=CD=5, 由作图步骤②可知，CE垂直平分线段OD, 1 OE=二OD=二×8=4 ∴.CE⊥OD 2 2 在RtAOCE中，由勾股定理得：CE=VOC2-OE2=V52-42=3, 点F在OC上， ∴CF=OC=5 ∴.EF=CF-CE=5-3=2 5.如图，AB是⊙O的直径，且AB=8,C为⊙0上一点，过C作CD⊥AB,交AB于点D,交⊙0于点E 若D为OB中点，则CE的长为 【答案】45 【详解】解：连接OC, :AB是⊙O的直径，且AB=8,CD⊥AB, ..OA=OB=OC=4.CE=2CD. D为OB中点， 4/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D0=10B=2 E 根据勾股定理，得CD=VOC2-OD2=2V3, ∴.CE=2CD=4V5 ◆题型02利用垂径定理求平行弦问题 6.已知⊙0的半径为13cm,弦AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB,CD之间的距离为() A.17cm B.7cm C.12cm D.17cm或7cm 【答案】D 【详解】解；如图所示，当平行弦AB,CD在圆心O的同侧时， C F1 A B 过点O作OE⊥AB,垂足为E,延长OE交CD于点F,连接OA,OC, 则E=号8=1cm,cF-0CD=5m 在Rt△AOE中，OE=VOP-AE2=5cm. 在Rt△COF中，OF=VOC2-CF2=12cm. 故EF=OF-OE=7cm, 如图所示，当平行弦AB,CD在圆心O的异侧时， D B 过点O作OE⊥AB,垂足为E,延长EO交CD于点F,连接OA,OC, 则Ac=号4B=12cm,CF-cD=5cm, 5/40 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△AOE中，OE=√OA2-AE2=5cm. 在Rt△COF中，OF=VOC2-CF2=12cm. 故EF=OE+OF=17cm 综上，AB,CD之间的距离为7cm或17cm, 故选：D 7.已知⊙O的直径为20cm,AB,CD是⊙O的两条弦，AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则AB与 CD之间的距离为 cm 【答案】 2或14 【详解】解：⊙O的直径为20cm, .⊙O的半径为10cm, ①当圆心O在弦AB和CD的同侧时， D 连接OA,OC,过点O作OE⊥AB于点E,延长OE交CD于点F, AB//CD. .OF⊥CD」 由垂径定理得，AE=)AB=8cm,CF=)CD=6cm, 在RtOAE中，由勾股定理得：OE=VO-AE2=V102-82=6cm: 在RtAOCF中，由勾股定理得：OF=VOC2-CF2=V102-6=8cm; ..EF=OF-OE=8-6=2cm; ②当圆心O在弦AB和CD的异侧时， 6/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 小 同理可得OE=6cm,OF=8cm, ∴.EF=OE+OF=6+8=14cm 综上：AB与CD之间的距离为2cm或l4cm ◆题型03利用垂径定理求同心圆问题 8.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，点P为切点，且AB=4,OP=2, 连结OA交小圆于点E,则扇形OEP的面积为() P B A.4π C.2 D. 【答案】C 【详解】解：大圆的弦AB与小圆相切， .OP⊥AB, 1 ∴AP=BP= 4=2,∠0PA=90° 2 0P=2, ∴OP=AP=2, ∴△OAP是等腰直角三角形， ∴.∠A0P=45°， 扇形0p的面积=02- 45π×221 故选：C 9.如图，半径为3W5和5的两个圆都以O为圆心，大圆的弦AB交小圆于CD两点，若CD=8,则AB= 7140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 【答案】12 【详解】解：如图所示，过点O作OH⊥CD于点H,连接OD,OB, 0 B .DH-CH-CD-4.48-28H, 在Rt&ODH中，由勾股定理得OH=VOD2-DH2=V52-42=3, 在R△OBH中，由勾股定理得BH=VOB2-OF=35-32=6, .AB=2BH=12, 故答案为：12， 10.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，大圆的半径为10，小圆半径为7. 若AB=16,则弦CD的长是 0 【答案】2W13 【分析】 【详解】解：如图，作OE⊥AB于点E,连接OA、OC, DB :OE⊥AB,AB=16 8/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.AE=BE--4B=8 CE=DE=-CD:70E4-909 .OA=10. ∴.OE=VOA-AE2=6, .0C=7, ∴.CE=V0C2-OE2=V13, .CD=2CE=213 故答案为：23 11.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E. M 6 D E C (I)求证：AB=AC: (2)若MN是大圆的第三条弦，且MN=AB,则MN与小圆相切吗？请说明理由. 【答案】() 证明：连接OD、OE M D 是小圆的两条切线，切点分别为 AB、AC D、E .AD=AE,AB⊥OD,AC⊥OE .AB=2AD,AC=2AE .AB=AC (2) N与小圆相切. 理由：连接OM,过点O作OH⊥MN,垂足为H, .∴.MN=2MH 9140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MN AB, ∴.AD=MH 在RtAADO和Rt△MHO中， AD=MH OA=OM .RtA ADOS≌RtAMHO, ∴.OD=OH. ∴.MN与小圆相切. 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 ◆题型04利用垂径定理求实际应用问题 12.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=24m,拱高CD=8m.则拱桥的半径为（) A.12m B.13m C.14m D.11m 【答案】B 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为m,则OA=OC=m,OD=OC-CD=(,-8)m, 由题意得CD⊥AB AD=24B=12m 在RtaA0D中，由勾股定理得A02=AD2+0D2,即：r2=122+(-8)}, 解得r=13, ∴.拱桥的半径为13m. 13.(第二十九章圆1圆的有关概念和性质)《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不 知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，CD为⊙O的 10/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直径，弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸，AB=1尺，则直径CD长为一寸.(1尺=10寸) 【答案】26 【详解】解：连接OA,如图， ，且 寸， .:AB⊥CD AB=10 .AE=BE=5寸， 设圆O的半径OA的长为x寸， OE=(x-1)寸， 在Rt△AOE中，OAP-OE2=AE2 x2-(x-1)2=52 解得x=13, .2x=26, .CD=26寸. 14.一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如 下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点，利用刻度 尺量得该纸条宽为7cm,AB=6cm,CD=8cm,则该水杯杯口的直径为. cm. 【答案】10 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为O,半径为R过点O作MN⊥CD于点M,交AB于点N,连 接OD,OB, 11/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D 纸条上下边沿平行，且 B MN⊥CD .MN⊥AB 由垂径定理可知，M为CD中点，N为AB中点， DM=-CD=-x8=4 cm:BN=4B=x6=3 2 21 2 cm' 由题意及图形可知，圆心O在弦AB,CD之间，且MN为纸条宽度， ∴.MN=7cm,即OM+ON=7cm, 设OM=xcm,则ON=(7-x)cm, 在RtAOMD中，OD2=OM2+DM2,即R2=x2+42, 在Rt△ONB中，OB2=ON2+BN2,即R2=(7-x)+32, .x2+42=(7-x+32, 解得x=3, .R=V32+42=5cm, ∴.水杯杯口的直径为2R=10cm 15.如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随着四季更迭，半遮半掩之间， 便将丝丝景致幻化成诗情画意.图2是月亮门的示意图，其中CD=2AB,点C为AB的中点，D为月亮门 的最高点，则月亮门底部的宽度与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系为一. D A B 图1 图2 16 【答案】d 1>1 【详解】解：连接OA, 12/40 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A C B ,C为AB中点，D为月亮门最高点， 六CD⊥AB' ∴.∠AC0=90°， 设圆的半径长为r,则OA=OD=r, CD=2AB=2d, ..OC CD-OD=2d-r, 在Rt△AOC中，AC2+OC2=OA2, +a-=r 整理得产+4d2-4h+2=r,4-4=0, 4 ,为月亮门底部的宽度， d≠0， d=4 .4 16 7. ..d= 16.如图为一条排水管的截面，若半径OB=10,水面宽AB=16,则排水管内水的最大深度为 【答案】4 【详解】解：过点O作OC⊥AB于点C,延长OC交⊙O于点D, 13/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 09 O AB=16 1 .BC=-AB=8 2 .OB=10 .0D=10,0C=V102-82=6, CD=10-6=4, 即排水管内水的最大深度为4. 一●考点二圆周角定理及其推论● ◆题型05利用圆周角定理求角 17.如图，点A、B、C、D为⊙0上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数是() B A.30° B.45° C.50° D.60° 【答案】D 【详解】解：连接OC, B 四边形 是菱形， D AOBC ∴.OA=AC=BC=OB. ..0A=OB=OC, ..OA=AC=OC.OB=BC=OC. 14/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∴△AOC和△BOC均为等边三角形， ∴.∠AOC=∠BOC=60°， .∠A0B=∠AOC+∠BOC=120° :∠ADB与∠AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角， :∠ADB=∠A0B=60°. 2 18.如图，AD是⊙O的直径，若∠AOB=∠DOC=40°，则圆周角∠BPC的度数是() D B A.40° B.50 C.60° D.70° 【答案】B 【详解】解：，AD是⊙O的直径，∠AOB=∠DOC=40°， .∠B0C=180°-40°-40°-100°， ∠BPc=B0c=50. 19.如图，已知BC是⊙O的直径，A是半圆弧CAB的中点，点D在劣弧AC上（不与点A,点C重合）， BD与OA交于点E.设LAED=a,∠AOD=B,则a与B之间的数量关系() B A.3a+B=180°B.2a+B=180 C.3a-B=90° D.2a-B=90° 【答案】D 【详解】解：：BC是⊙O的直径，A是半圆弧CAB的中点， ∴∠AOB=90°，OA=OB, .∠OAB=∠EAB=45°， ∠AOD=P, 15/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABD=5B :∠OEB=∠AED=a,∠OEB=∠EAB+∠ABD, a=45+2B,即2a-B=90 20.如图，点A,B,C在⊙0上，若∠BAC=3∠OCB,则∠BAC的度数为 【答案】67.5 【详解】解：：BC=BC,∠BAC=3∠OCB, ∴.∠BOC=2∠BAC=6∠OCB ..OB=OC, ∠OBC=∠OCB. :∠OBC+∠OCB+∠BOC=180° .∠OCB+∠OCB+6∠OBC=8∠OBC=180°， 解得∠0BC=22.5°， .∠BAC=3×22.5=67.5° 21.如图，己知点A、B、C、D在圆O上，CB=CD,∠CAD=35°，∠ACD=60°，则∠A0B=_ D 【答案】100°/100度 【详解】解：：CB=CD,LCAD=35°， ·.LCDB=∠CAD=35°， :∠CAD=35°，∠ACD=60°， .∠4DC=180°-60°-35°=85°， ∴.∠ADB=∠ADC-∠CDB=50°， 16/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOB=2×50°=100° ◆题型06半圆（直径）所对的圆周角是直角 22.如图，AB是OO的直径，点C是⊙0外的一点，连接CA,CB分别交⊙O于D,E两点，连接DE,DB 若∠CAB=50°，∠C=60°，则∠EDB的度数为() D A.30° B.25° C.20° D.15° 【答案】C 【详解】解：，AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°： :∠CAB=50°，∠C=60°，∠CAB+LCBA+∠C=180°， .∠CBA=70°， ,四边形ABED是OO的内接四边形， .∠ADE+∠ABE=180°， .∠ADE=110°， :.∠EDB=∠ADE-∠ADB=20° 23.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,连接AC,AD.若∠BAC=26°，则∠D的度数是 () D E 0 ⊙ A.66 B.64° C.62° D.60° 【答案】B 【详解】解：连接BD, 17/40 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， ∠BAC=26°， .∠BAC=∠BDC=26°， .∠ADC=∠ADB-∠BDC=90°-26°=64° 24.如图，A、B、C三点在⊙0上，OB与AC交于点M,∠AOB=2∠BOC=80°.则∠BMC= M B 【答案】70 【分析】 【详解】解：：∠AOB=2∠BOC=80°， :∠B0C=)×80°=-40. 2 故∠A0C=∠A0B+∠B0C=80°+40°=120°： OA=OC,∠AOC=120°， :∠01C=∠0CA=080°-∠A0C)=5180-120)=30, 故∠BMC=∠BOC+∠AC0=40°+30°=70°， 故答案为：70°」 25.已知点A、B、C、D在⊙0上，BC是直径，AD∥BC,∠ADC=120°，⊙0的半径为2. D 18/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AC是∠BCD的平分线： (2)求圆内接四边形ABCD的周长 【答案】(I) 证明：四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC=120°， .LB=60°， :BC是直径， ∴.∠BAC=90°， ∴.∠ACB=30°， ,AD∥BC,∠ADC=120°， .∠BCD=60° .∠ACD=∠DCB-∠ACB=30°， .∠DCA=∠ACB, ·AC是∠BCD的平分线： (2)10 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：连接OA,如图， :∠B=60°，OB=OA, ∴.△OAB为等边三角形， .∠AOB=60°=∠BCD,，OA=OB=AB=2, ∴OA∥CD. :AD∥BC, ∴四边形OADC为平行四边形， .OA=OC, :四边形OADC为菱形， ∴.AD=DC=OC=2, ∴四边形ABCD的周长AD+AB+BC+CD=2+2+4+2=10 19140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是O0的直径，过点B作BD⊥AB交AC的延长线于点D,点 E在OO上，连接AE,CE,AC=CE, D (I)求证：∠CAE=∠D (2)若∠CAB=28°，求∠ACE的度数. 【答案】(1)见解析 (2)56° 【分析】 【详解】(1)证明：AB是⊙0的直径， .∠ACB=90°， .∠BCD=90°， .∠D+∠CBD=90°， :BD⊥AB .∠ABD=90°， .∠ABC+∠CBD=90°， .∠ABC=∠D AC=AC .∠E=∠ABC, .∠E=∠D, .AC=CE, .∠CAE=∠E, .∠CAE=LD: (2)由条件可知∠CBA=90°-28°=62°， .∠CAE=∠E=∠ABC=62°， ∴.∠ACE=180°-∠CAE-∠E=180°-62°-62°=56° ◆题型0790°的圆周角所对的弦是直径 27.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2V5,BC=3.点P为△ABC内一点，且满足 20/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PA+PC2=AC2.当PB的长度最小时，则CP的长是() A.1 n. C.5 D. 35 【答案】C 【详解】解：PA+PC2=AC2, .∠APC=90°， 取4C中点O,并以O为圆心，24C长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，PB 最短， ..A0=PO=CO C0= )4C223=3,BG=3 :.B0=VBC2+C02=2W3, ..BP=BO-PO=3. 点P是BO的中点， 在R△BCO中，CP-号B0=V5 28.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E是边AD上的动点，连接BE,过点C作CF⊥BE 于点F.当△BFC面积最大时，DE的长为 E 21/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】1 【详解】解：如图，设BC的中点为O, E A D B ,CF⊥BE ∴.∠BFC=90° ∴，F在以BC为直径的⊙O上运动 ∴当OF⊥BC时，F到BC的距离最大，此时△BFC面积最大， ∴.BF=FC ∴.∠FBC=45° :四边形ABCD是矩形， .∠A=∠ABC=90°，AD=BC=4 ∴.∠ABE=90°-∠FBC=90°-45°=45°， ∴.△ABE是等腰直角三角形， .'AE=AB=3 .DE=AD-AE=4-3=1 29.在如图所示的4×4网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,D均在小正方形的顶点上，连 接AC和BD交于点E,分别过点A,E,B和点B,E,C作弧如图所示，则图中阴影部分的面积为 【答案】4不-3 【详解】解：如图，连接BC,标记字母F,H 22/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 由网格特点可得AF=BH=4,CF=DH=2,∠AFC=∠BHD=90°， .△AFC≌aBHD(SAS), ∴.∠FAC=∠HBD ∴.∠BEC=∠FAC+∠ABE=∠HBD+∠ABE=∠ABH=90°， .∠BEA=90°， ∴.AB,BC分别为AEB,BEC所在圆的直径. 由网格特点可得AB=3,FC=2,BF=1,∠F=90°， .BC=BF2+CF2=22+=5, π 1 S阴影=S半圆ABB+S半圆BEc一SABC 2 2 3x2=7 2 -3 4 30.如图，在正方形ABCD的墙上有一个圆弧形的门洞，小明测得圆弧门落在地面BC上的弦EF为2m, 而他从点E处作BC的垂线交圆弧门于点G,EG=EF=2m,由此算得圆弧门EGF的面积为 m2 (结果保留π) B E F C 3) 【答案】 【详解】解：连接FG,取FG的中点O,连接OE,如图所示： 23/40 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G 、O B E :EG⊥EF, ·.∠GEF=90°， :FG是OO的直径， .EG=EF =2m. .OE⊥GF,FG=√EG2+EF2=2N2m, E0F=90°，0E=0F=FG=V2m 圆弧门 的面积为 0xx2)x1 EGF 360 ●考点三圆内接四边形性质● ◆题型08已知圆内接四边形求角度 31.如图，点A,B,C在⊙0上，点B在劣弧AC上，连接OA,OC,CB,作射线AB,己知 ∠AOC=116°，则∠CBD的度数是() B D A.58 B.116 C.64° D.60° 【答案】A 【详解】解：如图作出AC所对的圆周角∠AEC, 24/40 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B D .∠A0C=116°， ∠AEC= ∠A0C 2x116=580 :∠AEC+∠ABC=180°，∠CBD+∠ABC=180° :.∠CBD=∠AEC=58° 故选：A。 32.如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，CE‖AD交AB于点E,BE=BC,∠BCD=122°，则∠ADC的 度数为() E 0 B D A.106° B.112° C.116 D.126° 【答案】C 【详解】解：，⊙O是四边形ABCD的外接圆，∠BCD=122°， :.∠A=180°-∠BCD=180°-122°=58°， :CE∥AD ∴.∠BAD=∠BEC=58°， ..BE BC. ∴.∠ABC=180°-2∠BEC=180°-2×58°=64°， .∠ADC=180°-∠ABC=180°-64°=116°， 故选：C 33.如图，已知AD是OO的直径，B,C,E是OO上的三个点，连接BC,CD,BE,AE, ∠BCD=125°，则∠AEB的度数为（) 25/40 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.55° B.50° C.45° D.35° 【答案】D 【详解】解：连接DE, B ,四边形BCDE内接于⊙O,且∠BCD=125°， ∴.∠BED=180°-∠BCD=55°， :AD是⊙O的直径， .∠AED=90° .∠AEB=90°-∠BED=90°-55°=35°， 故选：D 34.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径， B 图① 图② (I)如图①，连接DE和DB,若∠DBE=25°，求∠C的度数： (2)如图②，连接AE和OD,若∠BCD=2∠BAD,求∠DOE的度数. 【答案】(1)115° (2)60° 【分析】 【详解】(1)解：：BE是⊙O的直径， .∠BDE=90°， 26/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又.∠DBE=25°， ∠E=90°-∠DBE=65°， :四边形BCDE是⊙O的内接四边形， ∠C+∠E=180°， .∠C=180°-∠E=115°， ∴.∠C的度数为115° (2)解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠BCD+∠BAD=180°， 又∠BCD=2∠BAD. ∴.3∠BAD=180°，即∠BAD=60°， :BE是⊙O的直径， ∠BAE=90°， .∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°， .∠DOE=2∠DAE=60°， .∠DOE的度数为60° 35.如图，△ABC内接于⊙0，BD为⊙0的直径，∠BAC=120°. D A (I)求∠CBD的度数. (2)若点C是弧AD的中点，AD=6,求DC的长 【答案】(1)30° (2)23 【分析】 【详解】(1)解：，四边形ABDC是圆的内接四边形，∠BAC=120°. .∠BDC=60°， BD为⊙O的直径， .∠BCD=90°. :.∠CBD=90°-60°=30°： 27/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：，点C是弧AD的中点， ∴.AC=CD .AC=CD 又，∠CBD=30°， .∠ABC=∠CBD=30° ∠BAC=120°， ∴.∠ACB=180°-∠BAC-ABC=30° ∴.∠ACB=∠ABC ∴.AC=BD ∴.CD=BD :BD为⊙O的直径， .∠BAD=90° .AB=AB .∠ADB=∠ACB=30° .BD =2AB, .AD=√BD2-AB2=V5AB, 又，AD=6 .AB=23 .CD=AB=23 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，弦与弧的关系，勾股定理，含30度角的直 角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键 综合攻坚·知能拔高 1.如图，A、B、C、D是⊙O上的点，若CD的度数为50°，则∠B+∠E= 【答案】155 【详解】解：连接OC,OD,DE,如图所示： 28/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C0D=50° .∠CED=5∠COD=25 :四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴.∠B+∠AED=180°，即∠B+∠AEC+∠CED=180°， .∠B+∠AEC=155°： 故答案为155. 2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB,∠ACB=20°，则∠CAB=一 B 【答案】50150度 【详解】如图，连接OC,在线段AC所对的优弧取一点P,连接AP,CP, .OA∥CB∠ACB=20 .∠OAC=∠ACB=20°， :OA和OC⊙0的半径， ∴OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA=20°， 在△0AC中，由三角形内角和公式，：∠A0C=180°-∠0AC-∠0CA=180°-20°-20°=140°， 根据圆周角定理，∠P=)∠40C=)x140=70, 2 2 29140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据圆内接四边形的性质，，四边形ABCP内接于⊙O,∠P=70°， ∠B=180°-∠P=180°-70°=110°， 在△4BC中，由三角形内角和公式， ∠CAB=180°-∠B-∠ACB=180°-110°-20°=50° 故答案为：50°. 3.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工 件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点C,测出 AB=l6cm,CD=4cm,则圆形工件的半径为() A.14cm B.12cm C.10cm D.8cm 【答案】C 【详解】解：，CD是线段AB的垂直平分线， ∴直线CD经过圆心，设圆心为O,连接OB, D 中， BD=1AB=8cm RtAOBD 根据勾股定理得： 0D2+BD2=0B2,即： (0B-4)2+82=0B2, 解得：OB=10: 故圆形工件的半径为l0cm, 4.如图，AB是⊙0的直径，弦CD交AB于点E,若∠ACD=60°，∠BED=65°，则∠ADC的度数是() 30/40 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 6 B D A.30° B.35 C.40° D.45° 【答案】B 【详解】解：连接BC, D .∠BED=65°， .∠CEA=∠BED=65°， ,∠ACD=60°， ∠CAB=180°-60°-65°=55°， :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠ABC=90°-∠CAB=90°-55°=35°， ·.∠ADC=∠ABC=35° 【点睛】当图中出现直径时，构造直径所对的圆周角是常用的辅助线思路. 5.如图，⊙A过原点O,分别与x轴、y轴交于点C和点D,点B在⊙A上，已知∠B=30,⊙A的半径为 2,则圆心A的坐标是 B ·A C 【答案】(5，) 31/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，连接CD, 。A 0 :∠B=30° .∠DC0=∠B=30°， .∠D0C=90°， .CD为⊙A的直径， :⊙A的半径为2， 六CD=4: 0D=,CD=2,0C=VCD2-D02=25, D(0,2),C2W3,0, :A为CD的中点， A5, 6.如图，圆形铁圈的直径AB=60©m，一根两端带有铁环的硬质滑杆套在该铁圈上（铁环大小忽略不 计)，滑杆的长度与铁圈的半径相等.先将滑杆的左端套在A处，再将整根滑杆沿着铁圈按逆时针方向移 动，使得滑杆的右端移动到点B处，在此过程中滑杆的中点P移动的路径长为 cm 【答案】10W3元 【详解】解：设圆形铁圈的圆心为O,半径为R, :直径AB=60cm, .R=30cm. 滑杆长度与铁圈半径相等， ∴滑杆作为圆的弦，弦长为30cm, 32/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接OA,OP,设滑杆初始位置为AC,其中C为右端点， LLLL∠LLL∠ .OA=OC=AC=30 cm .△OAC是等边三角形， .∠A0C=60°， P为AC中点， ∴.OP⊥AC,OP平分∠AOC, ∠A0p-40c=30 在Rt△0PA中，OP=VOA2-AP2=V302-152=15√3(cm). 即点P移动的路径是以O为圆心、15V3cm为半径的圆弧， 当滑杆右端移动到点B时，设此时滑杆左端为D,中点为P', 同理可得△ODB是等边三角形，∠DOB=60°，OP'平分∠DOB, .∠B0P=30°， ~滑杆沿逆时针方向移动，且A,O,B在同一直线上，点P,P在直径AB的同侧， ∴.点P转过的圆心角∠POP'=180°-∠AOP-∠B0P=180°-30°-30°=120°， :点p移动的路径长为 0-元-l55=10√3π(cm). 180 7.如图，AB为⊙O的直径，C、D为直径两侧OO上两点，连接CD,BD,过C点作CE⊥AB于点E, 若∠BCE=65°，则∠D的度数为—°。 B 【答案】65 【分析】 33/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：AB为⊙O的直径， .ACB的度数为180°， CE⊥AB, .∠CEB=90°， ,∠ABC=90°-∠BCE=90°-65°=25°， ∴.AC的度数为2∠ABC=50°， .CB的度数为180°-50°=130°， ZD=7×130°=65 故答案为：65 8.如图，已知菱形OABC的顶点A在⊙O上，且边AB,BC分别与⊙O相交于D,E两点，连接AE. AE 若点D为4B的中点，则AD的值为一· C E B 【答案】V6 【详解】解：设AD,CE的中点分别为M,N,连接OM,ON, CNE B 不妨设OA=OC=4a,则AD=2a,AM=a, 由垂径定理可得OM⊥AD,ON⊥CE, OM=VOA2-AM2=15a, 在菱形OABC中，∠OAM=∠OCN, 在△OAM和△OCN中， 34/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 '∠OMA=∠ONC ∠OAM=∠OCN, OA=OC :.AOAM≌AOCN(AAS). .AM=CN=a,OM=ON=15a,EN=CN=a, 过E作EH⊥OA,则四边形ONEH为长方形， ..OH=EN=a,EH=ON=15a,AH=0A-OH =3a, AE=AH2+EH2=(3a)+(15a)=26a, AD 2a 9.(下册第三章追梦基础训练卷（一）)《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷 《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道 长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,EB=1寸， CD=10寸，求直径AB的长. 九章算术 【答案】26寸 【详解】解：连接OC,设OB=OC=r寸. 是直径， :AB⊥CDAB EC=ED=)CD=5寸. 在RtACE0中，则有r2=(r-1)+52, 解得r=13, AB=2r=26寸. 35/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.如图，以O为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点A、B、 C、D. ·0 、B C/D (1)求证：AB=CD: (2)连接OA、OB,如果∠0AD=30°，∠OBC=45°，AB=2,求小圆半径r的值 【答案】(1) 证明：如图，过点O作OH⊥AD于点H, ?0 CH :OH⊥AD, ∴.AH=DH,BH=CH, .AH-BH=DH-CH, 即AB=CD (②V6+V2 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接OA、OB, -0 H B D :OH⊥AD ∴.∠OHA=∠OHB=90°， :∠0AD=30°，∠OBC=45°， 36/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0A=20H,∠BOH=∠0BH=45°， ..BH=OH. 设BH=OH=x,则OA=2x,AH=AB+BH=2+x, 在RtAAHO中，：AH2+OH2=OA2, .(（2+x2+x2=(2x)2, 解得x=V3+1, .BH =OH=3+1, :.0B=V2BH=V2(3+1=6+V2. 即小圆半径r的值为V6+√2 11.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,连接BE,OD, BE与OD交于点F. (I)求证：OD∥AC; (2)当∠ABE=48°时，求∠CBE的度数. 【答案】() 证明：如图，连接AD, 为⊙O的直径， B C.AB AD⊥BC,而AB=AC, ∴.BD=CD :OA=OB, .OD∥AC: (2)21 【分析】 37/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)解：AB为⊙O的直径， .∠AEB=90°，而∠ABE=48° .∠BAC=90°-48°=42°， .AB=AC, ∠18C=080-429)=69， .∠CBE=69°-48°=21°， 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理的应用，三角形内角和定理等知 识，熟悉以上重点图形的基本性质是解本题的关键. l2.如图，四边形ABCD内接于O0,连接AC,BD交于点M,延长CD至点E. (①)若AB=AC,猜想∠ADB和∠ADE的数量关系，并说明理由： (2)若∠BAC=45°，BC=3.求⊙0的直径. 【答案】() 解：∠ADB=∠ADE,理由如下： :四边形ABCD内接于⊙O, :.∠ABC+∠ADC=180°， .∠ABC=∠ADE, AB=AC, ·.∠ABC=∠ACB. ,∠ADB=∠ACB. .∠ADB=∠ADE: (2)3V2 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接B0并延长，交O0于点E',连接CE, 38/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B :BE是直径， .∠BCE'=90°， :∠BAC=45°， .∠BEC=∠BAC=45°， :.∠CBE'=180°-90°-45°=45°， .∠BE'C=∠CBE', .CE'=BC=3 在Rt△BCE'中，由勾股定理得BE'=V32+32=32, .⊙0的直径为3V2. 13.如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且DA平分∠BDF. (I)求证：AB=AC: (2)若AB=13,BC=10,求⊙0半径. 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ,∠ABC=∠ADE,∠ADB=∠ACB, :DA平分∠BDF ∠ADB=∠ADE, .∠ABC=∠ACB, .AB=AC 39140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2R=169 24 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：如图，过点A作AG⊥BC于点G,交BD于点O, :AB=13,BC=10 ..BG=BC=5. .'AG=AB2-BG2 =12, :直线AG是BC得垂直平分线， .圆心O在AG上， D B ∴0A=OB=R,OG=12-R, .R2=(12-R)+52, 解得R=169 24· 40/40