重难点专题 圆的相关计算（弧长、扇形面积、圆锥、阴影面积)（专项训练）数学新教材人教版九年级上册
|
2份
|
45页
|
64人阅读
|
0人下载
内容正文：
重难点专题 圆的相关计算
重难点一 弧长、扇形面积问题
弧长公式：
扇形面积两公式：
选用技巧：已知圆心角用第一个，已知弧长用第二个，提速最快.
1.已知圆弧的度数为，弧长为，则圆的半径为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．18
2.如图，点A，B，C是上的点，且，阴影部分的面积为，则此扇形的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.如图，四边形内接于圆，，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，已知一个半圆形工件，搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，半圆的直径为，则圆心所经过的路线长是（ ）．
A． B． C． D．
5.如图，点 是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为 ，在 点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着 点转动，转动过程中，边界的两条光线分别与圆交于 ，两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下结论正确的是（ ）
A．点 到弦 所在直线的距离存在最大值 B．弦 的大小改变
C．弦 与 的长度之和不变 D．图中阴影部分的面积不变
6.贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为 .
7.如图，四边形内接于，的半径为4，，则的长是 .
8.如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，则的长为 .
A． B． C． D．
9.一个扇形的弧长为，面积为，求扇形的圆心角的度数．
10.某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，求的长.
11.如图所示，有一边长为的等边三角形木块，点P是的延长线上的点，为，其中，，的圆心依次为A，B，C，求曲线的长.
12.如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，求小羊A在草地上的最大活动区域面积.
13.完成下列问题：
(1)如图甲，扇形的半径为1，以为圆心的弧平分扇形的面积，求的长：
(2)如图乙，在扇形中，以为圆心作弧（点在上，点在上），使弧平分扇形的面积．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
14.如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，求点运动的路径长.
重难点二 圆锥计算问题
核心等量关系（圆锥唯一解题钥匙）：
① 圆锥底面周长 = 侧面展开扇形的弧长
② 圆锥母线长 = 侧面展开扇形的半径
解题步骤：所有圆锥题，先列周长等式，再求圆心角、底面半径、侧面积.
1.用圆心角为，半径为的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（ ）
A． B． C． D．
2.把半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A． B． C．2 D．
3.将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
4.圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是 .
6.一个圆锥的侧面积为，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为 .
7.如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是 .
8.已知一个圆锥的高为4，底面圆的直径为6，求此圆锥的侧面积.
9.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分別为．
(1)外接圆的圆心的坐标是______；
(2)求该圆圆心到弦的距离；
(3)以所在直线为旋转轴，将旋转一周，求所得几何体的表面积．
10.如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．
(1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h．
①求扇形的弧长；
②则h的值为___________；
(2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________．
重难点三 与圆相关的阴影面积计算问题
三大通用方法：
和差法：整体规则图形面积相加减（扇形±三角形±四边形）
割补法：利用圆的对称性、等积替换，将不规则阴影转化为标准扇形/三角形
平移旋转法：重合阴影抵消，简化计算
核心思路：不规则转规则，绝不硬算不规则图形
1.如图，正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
3.已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的面积为（ ）
A． B．2π C．π D．
4.如图，圆心角都是的扇形与扇形叠放在一起，，，分别连接、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是中点，绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论：
嘉嘉：的长为；琪琪：扫过的面积为下列论正确的是（ ）
A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对
6.如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E．若，则阴影部分面积为 .
7.如图，点O是半圆的圆心，是半圆的直径，点在半圆上，且，，，则过点D作于点C，则图中阴影部分的面积是 .
8.如图，为的直径，，垂足为点E，，．
(1)求的大小；
(2)求阴影部分的面积．
9.已知：如图，点是正方形内一点，连接、、．
(1)将绕点顺时针旋转得到，若，．求旋转过程中边扫过区域阴影部分的面积；
(2)若，，，求点与之间的距离以及的长．
10.如图，半圆O的直径，弦，
(1)求弦的长
(2)求阴影部分的面积（结果保留π）．
11.如图①，点，是上两定点，圆上一动点从圆上一定点出发，沿逆时针方向匀速运动到点，运动时间是，线段的长度是．图②是随变化的关系图象，求图中的值.
12.图1是一块含（即）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边与量角器所在圆的直径重合，长度为，量角器最外缘的读数是从点开始（即点的读数为），现有射线绕点从方向顺时针以每秒度的速度旋转到方向，在旋转过程中，射线与量角器的半圆弧交于点．
(1)如图2，当射线经过的外心时，求此时处的读数及线段扫过的面积；
(2)设旋转秒后，处的读数为，求与的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(3)与的长度能相等吗？若能，求旋转的时间；若不能，请说明理由．
13.如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过、的分别交、于点、，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)若，半径为2，求阴影部分面积．（结果保留）
14.如图，C是圆O被直径分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接．
(1)若，求的度数
(2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．
15.【教材呈现】（1）如图，直线，与的面积相等吗？为什么？
【基础巩周】（2）如图，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；
【尝试应用】（3）如图，在半径为5的中，，，．求；
16.如图，形如三角板的中，厘米，形如量角器的半圆的直径在直线上，且厘米，点在三角形的左侧，厘米．若半圆沿方向以每秒2厘米的速度向右运动，设运动时间为t秒．
(1)当______时，半圆与直线相切；
(2)当时，试判断直线与半圆的位置关系并说明理由；
(3)当时，求半圆与三角形重合部分的面积．
17.已知，如图1，P是内的一点，直线分别交于点A，B，易得是点P到上的点的距离的最大值．如图2，在平面直角坐标系中，点，以为半径在x轴的上方作半圆O，交x正半轴于点B，点C是该半圆上一动点，连接、，并延长至点D，使．
(1)连接，直接写出的最大值为_____；
(2)如图3，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足．
①若点C的横坐标为4，求线段的长；
②若将点C从点B运动到点A，则线段（包含起点处）扫过的区域的面积为___．
1 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
重难点专题 圆的相关计算
重难点一 弧长、扇形面积问题
弧长公式：
扇形面积两公式：
选用技巧：已知圆心角用第一个，已知弧长用第二个，提速最快.
1.已知圆弧的度数为，弧长为，则圆的半径为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．18
【分析】本题考查了弧长的计算，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r，那么这个圆心角所对的弧长为．设扇形的半径为r ，根据弧长公式和已知条件得出，再求出答案即可．
【详解】解：设圆的半径为r ，
∵圆弧的度数为，弧长为，
∴，
解得：，
即圆的半径是18，
故选D．
2.如图，点A，B，C是上的点，且，阴影部分的面积为，则此扇形的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得的度数是解答此题的关键．
先由圆周角定理可得的度数，再由扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴扇形的面积为，
，
故选：B．
3.如图，四边形内接于圆，，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角和为180度可得，进而可得，即可求解．
【详解】解：，，
圆的周长，
四边形内接于圆，
，
，
，
，
，
，
故选B．
4.如图，已知一个半圆形工件，搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，半圆的直径为，则圆心所经过的路线长是（ ）．
A． B． C． D．
【分析】此题考查了弧长，根据弧长的公式先求出半圆形的弧长，即半圆作无滑动翻转所经过的路线长，即为所求，解题的关键是熟练掌握弧长计算公式及其应用．
【详解】解：∵半圆的直径为，
∴半圆的半径为，
由图形可知，圆心总共走过的路程半圆的弧长，
∴圆心所经过的路线长是，
故选：．
5.如图，点 是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为 ，在 点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮的区域如图中阴影所示，该装置可以绕着 点转动，转动过程中，边界的两条光线分别与圆交于 ，两点，并且夹角保持不变，该装置转动的过程中，以下结论正确的是（ ）
A．点 到弦 所在直线的距离存在最大值 B．弦 的大小改变
C．弦 与 的长度之和不变 D．图中阴影部分的面积不变
【分析】此题主要考查圆的基本性质，圆周角定理，点到直线的距离，掌握基础知识的综合运用是解此题的关键．根据圆周角定理，点到直线的距离的定义、极限思想和三角形三边关系、三角形面积公式等进行逐一判断即可．
【详解】解：A、如图，连接，
当时，此时点P到弦所在直线的距离最大，故A正确；
B、根据题意得：点A，B是圆O上的定点，所以所对的弦的大小不变，即的大小不变，故B错误；
C、当点P无限接近点B时，线段与的长度之和无限接近，而当点P从点B向点A移动过程中，线段与的长度之和发生变化，故C错误；
D、阴影部分面积分为弓形面积和面积之和，弓形面积不变，而点P到距离不一定，所以面积非定值，故阴影部分面积随着点P的移动发生变化，故D选项错误；
故选：A．
6.贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为 .
【分析】本题考查扇形的面积，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可．
【详解】解：由题意，扇叶扫过的图形为扇形，且，半径米，
∴扇叶扫过的面积为平方米．
7.如图，四边形内接于，的半径为4，，则的长是 .
【分析】本题考查圆内解四边形对角互补及扇形弧长公式，根据得到，从而得到，结合求解即可得到答案；
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴．
8.如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，则的长为 .
A． B． C． D．
【分析】根据直角三角形的性质得到，根据已知条件得到是等边三角形，由等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，
，，，
，，
以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，
是等边三角形，
，
．
9.一个扇形的弧长为，面积为，求扇形的圆心角的度数．
【分析】本题考查了扇形的面积计算和弧长的计算，能熟记公式是解此题的关键．
设这个扇形的半径为，圆心角是，根据扇形的面积公式求出，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：设这个扇形的半径为，圆心角是，
根据扇形面积公式，
可得，
解得．
再根据弧长公式，
可得，
解得．
答：扇形的圆心角的度数为．
10.某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是，，求的长.
【分析】本题考查弧长的计算、切线的性质．设圆心为点，连接，先根据切线的性质，得 ，再求出所对的圆心角，再根据弧长公式计算即可．解答本题的关键是求出优弧 AMB 的度数．
【详解】解：如图，设圆心为点，连接，
，分别与所在圆相切于点，，
，即，
在四边形中，，
所对的圆心角为，
则的长．
11.如图所示，有一边长为的等边三角形木块，点P是的延长线上的点，为，其中，，的圆心依次为A，B，C，求曲线的长.
【分析】本题考查弧长公式，等边三角形的性质，点P运动的路线长为三段弧长，每段弧的圆心角都是，半径依次是、、，利用弧长公式计算即可．审清题意得出P运动的路线为三段弧并得出每段弧的圆心角和半径是解题的关键．
【详解】解：∵有一边长为的等边三角形木块，
∴，
∴
∵，
∴，
∴点P运动的路线长为三段弧长，每段弧的圆心角都是，半径依次是、、，
∴曲线的长是cm．
12.如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，求小羊A在草地上的最大活动区域面积.
【分析】本题考查了扇形的面积的计算；小羊的最大活动区域是一个半径为、圆心角为和一个半径为、圆心角为的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．
【详解】解：大扇形的圆心角是度，半径是，
所以面积；
小扇形的圆心角是，半径是，
则面积，
则小羊A在草地上的最大活动区域面积．
13.完成下列问题：
(1)如图甲，扇形的半径为1，以为圆心的弧平分扇形的面积，求的长：
(2)如图乙，在扇形中，以为圆心作弧（点在上，点在上），使弧平分扇形的面积．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【分析】此题考查扇形的面积公式，以及等腰直角三角形作图法，
（1）设，，求得扇形的面积，根据题意列方程，解方程，即可解答；
（2）根据（1）可得，故以为斜边作等腰直角三角形，等腰三角形的直角边即为的长，将扇形面积比转化为半径的比是解题的关键．
【详解】（1）解：设，，
则扇形的面积为，
可得方程，
解得（舍去），
故的长为；
（2）解：如图所示，即为所求：
14.如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，求点运动的路径长.
【分析】本题属于二次函数和圆的综合问题；、、的坐标，然后求出半圆的直径为，由于为定点，是半圆上的动点，为的中点，连接，可证明，所以的运动路径为以为直径的半圆，计算即可．
【详解】解：连接，．
，
点的坐标为，
令，则，
解得，，，
，，
，
∴，
∴轴．，
∴点在上，
∵，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是以为直径的半圆，
点运动的路径长是．
重难点二 圆锥计算问题
核心等量关系（圆锥唯一解题钥匙）：
① 圆锥底面周长 = 侧面展开扇形的弧长
② 圆锥母线长 = 侧面展开扇形的半径
解题步骤：所有圆锥题，先列周长等式，再求圆心角、底面半径、侧面积.
1.用圆心角为，半径为的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用弧长公式计算出的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到，计算即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【详解】∵圆心角为，半径为，设所对的弧记作，
∴，
设圆锥的底面圆的半径为，则，
∴，
解得，
故选C．
2.把半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】本题考查了圆锥的计算利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得圆锥的底面半径，再利用勾股定理即可求出圆锥的高．
【详解】解：设此圆锥的底面半径为，
由题意，得，
解得．
故圆锥的高为：．
故选：A．
3.将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为，圆锥的侧面积为，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握公式是解题的关键．根据圆锥侧面积公式求出圆锥的底面周长，即可得到圆锥的底面圆的半径，即直角三角形的一直角边为5，设直角三角形的另一条直角边的长为x，利用股沟定理求出，即这条边的长为圆锥的高．
【详解】解：扇形的面积，即，
解得，即圆锥的底面周长为，
由可得圆锥的半径，即直角三角形的一直角边为，
设直角三角形的另一条直角边的长为，
由勾股定理可知，
解得：，
直角三角形的另一直角边为，即圆锥的高为．
故选：B．
4.圆锥底面圆半径为，高为，则它侧面展开图的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：圆锥底面圆半径为，高为，
圆锥的母线长为：，
圆锥的侧面展开图的面积为：，
故选：D．
5.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是 .
【分析】本题考查了扇形面积公式，根据题意得出圆锥的底面圆周长即为侧面展开图弧长，再根据，求出扇形半径，最后根据，即可求出圆心角度数．
【详解】解：∵该圆锥的底面圆周长为，
∴侧面展开图弧长，
∵侧面积为，，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
∴这个扇形的圆心角的度数是．
6.一个圆锥的侧面积为，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为 .
【分析】本题考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等圆锥的母线长是解题的关键，设该圆锥的母线长为，利用圆锥的侧面积公式得到方程，然后解方程即可得到答案．
【详解】解：设该圆锥的母线长为，
根据题意得
，
解得，
即该圆锥的母线长是9．
7.如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是 .
【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积，解决问题的关键是熟练掌握圆的周长公式和扇形面积公式．先根据直径求出圆的周长，再根据母线长求圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是扇形，运用扇形面积公式计算，圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】由图知，底面直径为8，母线长为10，
则底面周长为，，
所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积是，．
8.已知一个圆锥的高为4，底面圆的直径为6，求此圆锥的侧面积.
【分析】本题考查了求圆锥侧面积，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图为扇形，母线长为扇形半径，底面周长为扇形弧长，扇形面积公式．
【详解】解：∵该圆锥底面圆的直径为6，
∴该圆锥底面周长，底面半径，
根据勾股定理可得：该圆锥母线长，
∴此圆锥的侧面积．
9.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分別为．
(1)外接圆的圆心的坐标是______；
(2)求该圆圆心到弦的距离；
(3)以所在直线为旋转轴，将旋转一周，求所得几何体的表面积．
【分析】（1）分别作的垂直平分线，即可解答；
（2）用中点公式求得的中点，再利用勾股定理即可解答；
（3）旋转后的几何体为半径为2，高为6的圆锥，减去半径为2，高为2的圆锥，据此求出表面积即可．
【详解】（1）解：如图，外接圆的圆心的坐标是，
故答案为：；
（2）解：根据中点公式，可得的中点，
（3）解：旋转后的几何体为半径为2，高为6的圆锥，减去半径为2，高为2的圆锥，
则他们的母线长为，，
所得表面积为．
10.如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．
(1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h．
①求扇形的弧长；
②则h的值为___________；
(2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________．
【分析】（1）①本题考查求扇形弧长，根据等边三角形得到，结合即可得到答案；②本题考查圆锥展开图，根据底面圆周长等于扇形弧长求解即可得到答案；
（2）本题考查等边三角形的性质及勾股定理，连接并延长交于点D，作即可得到为最小值求解即可得到答案；
【详解】（1）解：①∵三角形是正三角形，
∴，
∴；
②由①得，
，
∴，
∴；
（2）解：连接并延长交于点D，作于，
∵O是正三角形的中心，，
∴，，，
∴，是点到三角形边上最长的线段，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：
．
重难点三 与圆相关的阴影面积计算问题
三大通用方法：
和差法：整体规则图形面积相加减（扇形±三角形±四边形）
割补法：利用圆的对称性、等积替换，将不规则阴影转化为标准扇形/三角形
平移旋转法：重合阴影抵消，简化计算
核心思路：不规则转规则，绝不硬算不规则图形
1.如图，正方形的边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查了不规则图形的计算，由图形可得，代入已知数据计算即可求解，通过观察图形得到是解题的关键．
【详解】解：由图形可得，，
故选：．
2.如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可．
【详解】解：如图：
；
；
则．
故选：D．
3.已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的面积为（ ）
A． B．2π C．π D．
【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，根据翻折的性质以及等边三角形的判定得出是等边三角形，进而求出扇形圆心角度数，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．掌握扇形面积的计算公式以及正三角形的判定和性质是正确解答的前提．
【详解】解：由翻折的性质可知，，
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4.如图，圆心角都是的扇形与扇形叠放在一起，，，分别连接、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查了求扇形面积；根据题意得出，进而根据阴影部分面积等于大扇形的面积减去小扇形的面积，即可求解．
【详解】由图可知，将顺时针旋转后可与重合，
∴；
因此．
故选C．
5.如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是中点，绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论：
嘉嘉：的长为；琪琪：扫过的面积为下列论正确的是（ ）
A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积，令所在圆的圆心为点O，连接，与相交于点Q，根据垂径定理得出，，设，则，根据勾股定理，建立方程，求出，则，即可判断嘉嘉的结论；由旋转的性质得出，再根据扇形面积公式，即可求出扫过的面积，即可判断淇淇的结论．
【详解】解：令所在圆的圆心为点O，连接，与相交于点Q，
∵点P是中点，
∴，，
设，则，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：（舍去），
∴，
∴，故嘉嘉对；
∵绕点A逆时针旋转后得到，
∴，
∴扫过的面积，故琪琪错；
故选：B．
6.如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E．若，则阴影部分面积为 .
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角和弧之间的关系，扇形的面积，连接、，根据，得出，得出，根据即可求得．
【详解】连接、，
是直径，
，
，
，
的度数为，
，
．
7.如图，点O是半圆的圆心，是半圆的直径，点在半圆上，且，，，则过点D作于点C，则图中阴影部分的面积是 .
【分析】如图，连接，根据已知条件可得是等边三角形，再证明为等边三角形，求出的长，根据进行求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与与是等底等高的三角形，
∴．
8.如图，为的直径，，垂足为点E，，．
(1)求的大小；
(2)求阴影部分的面积．
【分析】（1）先根据等弧所对弦相等得出，再由垂径定理得出，从而由线段垂直平分线定理得出，即可得出，从而得到，由等边三角形性质得出，即可求解；
（2）由垂径定理得出，由勾股定理，得，再在中，由勾股定理，求得，由圆周角定理得出，最后由求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵为的直径，，
∴，
∴，
∴，，
∴
∴
（2）解：连接，
由（1）知：
∵为的直径，，
∴
在中，由勾股定理，得，
∵
∴
在中，由勾股定理，得
解得：
∴
由（1）知：
∴
∴.
9.已知：如图，点是正方形内一点，连接、、．
(1)将绕点顺时针旋转得到，若，．求旋转过程中边扫过区域阴影部分的面积；
(2)若，，，求点与之间的距离以及的长．
【分析】此题考查正方形的性质，旋转的性质，扇形面积的计算.
（1）根据旋转的性质得到，根据扇形的面积公式计算即可；
（2）连接，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）由旋转的性质可知，，
旋转过程中边扫过区域面积 ；
（2）连接，
由旋转的性质可知，，， ，，
，，
．
10.如图，半圆O的直径，弦，
(1)求弦的长
(2)求阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 ，扇形的面积公式，等底等高三角形的面积相等，等边三角形的判定与性质等知识．
（1）连接由同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可得,证明是等边三角形，可得；
（2）把阴影部分的面积转化为扇形的面积，判断出阴影部分的面积=扇形的面积，根据扇形的面积公式即可求解
【详解】（1）连接如图，
∴，
又
∴是等边三角形，
∴；
（2）∵，
∴的面积=的面积，
∴阴影部分的面积=弓形的面积的面积=扇形的面积．
11.如图①，点，是上两定点，圆上一动点从圆上一定点出发，沿逆时针方向匀速运动到点，运动时间是，线段的长度是．图②是随变化的关系图象，求图中的值.
【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及了弧长公式，等边三角形的判定和性质．根据图②得：当时，，此时为的直径；当时，，可求出圆的半径，从而得到是等腰直角三角形，再根据当P点走到点A，O，P三点共线的位置，求出点P走过的弧长，从而得到点P的运动速度，再根据当时，是等边三角形，可求出当时，点P走过的弧长，即可求解．
【详解】解：根据图②得：当时，，此时为的直径；当时，，
∴圆的半径，
当时，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
当P点走到点A，O，P三点共线的位置，即点M处时，如图，
此时点P走过的弧长为，
∴点P的运动速度为，
∵当时，，
∴此时，
∴此时是等边三角形，
∴，
∴当时，点P走过的弧长为，
∴．
12.图1是一块含（即）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边与量角器所在圆的直径重合，长度为，量角器最外缘的读数是从点开始（即点的读数为），现有射线绕点从方向顺时针以每秒度的速度旋转到方向，在旋转过程中，射线与量角器的半圆弧交于点．
(1)如图2，当射线经过的外心时，求此时处的读数及线段扫过的面积；
(2)设旋转秒后，处的读数为，求与的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；
(3)与的长度能相等吗？若能，求旋转的时间；若不能，请说明理由．
【分析】(1)过外心时(即过点)时，，根据圆周角定理，则点处的读数是；然后计算扫过的面积为即可解题；
（2）由于每次旋转的度数一样，所以旋转秒后,的度数为，从而得出的度数，也即可得出与的函数式.
（3）根据已知求得，即可知道旋转角度为，从而得到结果.
【详解】（1）解：
的外接圆就是量角器所在的圆，当过外心时 (即过点) ,
，
，
, 即处的读数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即,
线段扫过的面积为
（2）旋转秒后, 的度数为,的度数为,
故可得与的函数式为:；
（3）在图2中,
∵，，
∴，
又∵,
∴,
∴运动时间为：秒
13.如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过、的分别交、于点、，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)若，半径为2，求阴影部分面积．（结果保留）
【分析】（1）如图所示，连接，根据等边对等角和角平分线的定义证明，推出，则，由此即可证明结论；
（2）设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到阿安；
（3）先根据等边对等角和角平分线的定义得到，进而利用三角形内角和推出，则，求出，，再根据进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为3；
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵半径为2，
∴，
∴，
∴．
14.如图，C是圆O被直径分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接．
(1)若，求的度数
(2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．
【分析】本题考查圆的切线性质，直角三角形性质等知识．
（1）由是半圆O的直径，是半圆O的切线，可得，即得，可得，从而，可得的度数；
（2），可得，，即得，再利用阴影部分的面积等于半圆减去即可解题．
【详解】（1）解：∵是半圆O的直径，
∴，
∵是半圆O的切线，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：的度数是；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是-2=2π-2，
答：阴影部分的面积是．
15.【教材呈现】（1）如图，直线，与的面积相等吗？为什么？
【基础巩周】（2）如图，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；
【尝试应用】（3）如图，在半径为5的中，，，．求；
【分析】本题考查的是平行线的性质，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，扇形面积，勾股定理等，解决本题的关键是熟练掌握两条平行线之间的距离处处相等．
（1）根据等底等高的三角形面积相等可直接得出答案；
（2）根据，，可得阴影面积等于扇形的面积，由此可解；
（3）连接，作于E，通过导角证明，推出，可得，只需求出即可．
【详解】解：（1）与的面积相等，因为与等底等高；
（2）如图，连接，，
，正方形中，
，
，，
阴影面积等于扇形的面积，
四边形是正方形，
，
扇形的面积为：，
阴影面积与圆面积的比值为：；
（3）如图，连接，作于E，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
16.如图，形如三角板的中，厘米，形如量角器的半圆的直径在直线上，且厘米，点在三角形的左侧，厘米．若半圆沿方向以每秒2厘米的速度向右运动，设运动时间为t秒．
(1)当______时，半圆与直线相切；
(2)当时，试判断直线与半圆的位置关系并说明理由；
(3)当时，求半圆与三角形重合部分的面积．
【分析】（1）考虑点刚到点时和点刚到点时，两种情况，即可解答；
（2）当时，点与点重合，利用含有角的直角三角形的边长关系，求得点到直线的距离即可解答；
（3）画出图形，利用扇形面积加上等腰三角形的面积，即可解答；
【详解】（1）解：如图，当点刚到点时，，
如图，当点刚到点时，，
故答案为：或；
（2）相切，理由如下：
解：当时，点与点重合，
如图，过点作的垂线段，交于点，
，
，
，，
当时，直线与半圆相切；
（3）解：当时，点运动到的中点，点和点重合，
如图，过点作的垂线段，交于点，连接，
，
，，
扇形的面积为，
根据勾股定理，可得，
，
，
半圆与三角形重合部分的面积为．
17.已知，如图1，P是内的一点，直线分别交于点A，B，易得是点P到上的点的距离的最大值．如图2，在平面直角坐标系中，点，以为半径在x轴的上方作半圆O，交x正半轴于点B，点C是该半圆上一动点，连接、，并延长至点D，使．
(1)连接，直接写出的最大值为_____；
(2)如图3，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足．
①若点C的横坐标为4，求线段的长；
②若将点C从点B运动到点A，则线段（包含起点处）扫过的区域的面积为___．
【分析】（1）连接，求出，再由，点C是该半圆周上一动点，得出当点C与点A重合时，，此时取得最大值，即可得出结论；
（2）①连接，过点C作轴于点G，则，得，再求出，得，，，然后由圆周角定理得，则，，进而证，即可解决问题；
②结合为直径，，易得是的垂直平分线，，如图，点C从点B运动到点A，线段（包含起点处）扫过的区域的面积为半圆的面积减去半圆的面积，列式即可作答．
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵点，
∴， ，，
∵，点C是该半圆周上一动点，
∴当点C与点A重合时，，如图，
此时取得最大值；
（2）解：①如图，连接，过点C作轴于点G，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点C的横坐标为4，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：
即线段的长为；
②依题意，如图3：
因为为直径，
所以，
因为，
所以是的垂直平分线，
则，
故点D在以点A为圆心，为半径的半圆上，点C在以点O为圆心，为半径的半圆上，
所以点C从点B运动到点A，线段（包含起点处）扫过的区域的面积为半圆的面积减去半圆的面积，
即，
故答案为：．
1 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
