第26章 圆（单元自测）数学新教材华东师大版九年级下册

第26章 圆 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（ ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【解析】弦为、、． 故选B． 2．对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（ ） A．小亮的求解不正确，或 B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，应该等于 D．小亮的求解不正确，的度数不固定 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理以及外心的性质，运用了分类讨论思想，讨论是锐角三角形还是钝角三角形是解决本题的关键． 本题涉及圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，注意的是，需讨论是锐角三角形还是钝角三角形求解即可． 【解析】当是锐角三角形时，如图， 已知点O为的外心，连接，， 此时是圆心角，是圆周角，且， 即； 当是钝角三角形时，如图， 同样连接，，， 此时可得， 则四边形为圆的内接四边形， 所以， 总结，小亮只考虑了锐角三角形的情况，求解不正确，或． 故选A． 3．如图，是的直径，、是上两点，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，连接，求解，，进一步可得结论． 【解析】如图，连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故选A 4．下列结论：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上．正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆的性质，涉及确定圆的条件、圆心角与弧的关系、切线判定、圆内接四边形、三角形的内心与外心定义等知识，根据相关概念，逐项判断即可得到答案，熟记与圆有关的概念与性质是解决问题的关键． 【解析】①当三点在一条直线上时，无法确定一个圆；故①结论错误； ②圆的大小不同，相等的圆心角所对的弧不相等；故②结论错误； ③经过半径的端点（不是圆心）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故③结论错误； ④圆内接四边形对角互补；故④结论正确； ⑤三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离都相等；故⑤结论正确； ⑥直角三角形的外心在斜边的中点上；故⑥结论错误； 综上所述，正确的结论是④⑤，共2个， 故选B． 5．已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理，熟练掌握点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理是解题的关键；过点O作于点D，连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【解析】如图，过点O作于点D，连接， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在内； 故选B． 6．如图，的直径垂直于弦，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出，再根据圆周角定理得出，从而求出的度数． 【解析】连接， 为的直径，， ， ． 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． ， ， ．故选D． 7．下列命题中属于假命题的是（ ） A．同位角相等，两直线平行 B．菱形的对角线互相垂直 C．三个角是直角的四边形是矩形 D．三点确定一个圆 【答案】D 【分析】根据平行线的判定、菱形的性质、矩形的判定及确定圆的条件进行判断即可． 【解析】同位角相等，两直线平行是真命题，故A不符合题意； 菱形的对角线互相垂直是真命题，故B不符合题意； 三个角是直角的四边形是矩形是真命题，故C不符合题意； 三点确定一个圆是假命题，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查命题的真假判定、平行线的判定、菱形的性质、矩形的判定及确定圆的条件，熟练掌握相关定理是解题的关键． 8．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【解析】①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或．故选A． 9．如图，是的切线，P为切点，连接，分别与相交于点C，点D，若，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用弧长公式进行计算，即可解答． 本题考查了切线的性质，弧长的计算，锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【解析】如图，连接， 是的切线，P为切点， ，即， ， ， 在中，，， ． ， ， ， ， 的长． 故选C． 10．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【解析】 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选C． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．如图，是的直径，弦于点，连接，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理求出的度数，再由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系得到的度数，从而求出的度数即可．本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 【解析】如图，连接． ∵， ∴， ∵弦， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 12．如图，是的直径，点为圆上一点，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆心角与弧之间的关系，连接，由圆周角定理得到，则由平角的定义可得的度数，根据是劣弧的中点，可得，则由圆周角定理可得． 【解析】如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 13．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据直径得出的度数为，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【解析】∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴．故答案为$65{^{\circ}}$． 14．如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 ________（结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算及长方形的性质，明确是解答本题的关键． 用长方形的面积加上扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积． 【解析】在长方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为 15．如图，在中，，，以为直径的半圆，交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点．则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质与扇形面积公式的综合应用，关键是将阴影部分转化为半圆的面积与空白部分的面积差，而空白部分的面积为的面积减去扇形的面积． 根据等腰直角三角形的性质求出相关角度和线段长度，再分别计算两部分阴影的面积，最后相加得到结果． 【解析】在中，，， ，，． 以为圆心，为半径的扇形，圆心角，半径， ， 空白部分的面积为； 以为直径的半圆，半径， ， 该部分阴影面积为； 故答案为． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的直径是8，，求的长． 【答案】（1） 证明：连， ， ， ， ， ， 即， 是直径， ， ， 是半径， 是的切线． （2） 【分析】本题考查了切线的判定，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角并结合已知可得出，根据直径所对的圆周角是直角可得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）在中，根据正切的定义和特殊角的三角函数值可求出，然后根据弧长公式求解即可． 【解析】（1）略 （2）解：的直径是8， ， 在中，， ， ， 的长为． 17．（9分）如图，已知，请在直线上方确定一点，连接，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，画出符合条件的一种情况即可） 【答案】 如图所示，点P即为所求． 【分析】本题主要考查了作三角形外接圆，同弧所对的圆周角相等，作的外接圆，在上方的的外接圆上任取一点P，连接，点P即为所求． 【解析】作的外接圆，在上方的的外接圆上任取一点P，连接，由同弧所对的圆周角相等得到，则点P即为所求． 18．（9分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点为正方形网格的中心，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中作，要求所做的同时满足以下三个条件： ①点A、B、C均在格点上； ②点为的外心； ③所画的三角形互不全等． 【答案】如图，可画出如下图形： 【分析】本题考查了只用无刻度的直尺作符合条件的三角形，解题关键是弄清题意． 根据所给的三个条件画图即可． 【解析】所画出三角形显然都满足条形①，也满足条件③， 第1个图为等腰直角三角形，斜边的中点为G，点G就是其外接圆圆心； 第2个图为直角三角形，G为斜边中点，点G就是其外接圆圆心； 第3个图的右边两边的垂直平分线过点G，点G就是其外接圆圆心； 第4个图为等腰直角三角形，斜边的中点为G，点G就是其外接圆圆 心； 第5个图最短边的垂直平分线就是以这条边为对角线的正方形的另一对角线所在的直线，G点所在最长边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 第6个图显然在最短边的垂直平分线上，也在较短边的垂直平分线上（以较短边为对角线的正方形的另一对角线所在的直线就是较短边的垂直平分线），所马点G就是其外接圆圆 心； 第7个图点G在较短边的垂直平分线上，也在最短边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 第8个图点G在最短边的垂直平分线上，也在最长边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 所以以上8个图都符合要求，即为所求作的图形． 19．（9分）在中，，点是边上一点，以为半径的与边相交于点． （1）如图1，当过点时，取边中点，连接，求证：是的切线； （2）如图2，若，，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， 是直径， ， 点是中点， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ∵为的半径， 是的切线； （2） 【分析】本题考查圆周角定理的推论，切线的判定，垂径定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）连接，，先得出，结合点是中点，得出，得出，再判定 ，即可证明； （2）延长交于点，连接，，利用垂径定理得出，利用圆内接四边形得出，再证明，证明，得出，由，，设，，，求出，，，，即可求解． 【解析】（1）略 （2）解：如图，延长交于点，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ， ∴， 则， ∴， 由，， 设，，， ∴， 则， ， ， ， ． 20．（9分）如图1，平面中的线段和直线外一点，对于，，三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点为线段的“优关联点”．如图2，已知点，． （1）在点，，中，是线段的“优关联点”的是________； （2）如果直线上存在线段的“优关联点”，则求出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了圆周角定理，直线和圆的位置关系，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据所对的弧为优弧可得，进而结合图形可得结果； （2）以为直径作，求出直线与相切时b的值，进而即可求解． 【解析】（1）解：由题意可得：， ∵， ∵是线段的“优关联点”， 故答案为； （2）解：如图，以为直径作， 当直线与相切于点A或点B时，设其分别交y轴于点D，交x轴于E， 则直线， ∵当时，；当时，， ∴直线与x轴所成的锐角是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴此时直线与y轴交于， ∴． 21．（10分）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，点在上，且． （1）求证：是半圆的切线； （2）若，，，求半圆的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是半圆O的切线； （2） 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理． （1）连接，根据，得，证明，得，进而可得结论； （2）设半径为r，连接，，则，求得，再由勾股定理，利用为中间变量列出r的方程便可求得结果． 【解析】（1）略 （2）解：连接，，如图2， 设圆的半径为r，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故圆的半径为． 22．（10分）如图，在中，，连接并延长，与过点的切线相交于点．已知，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得，证明是等边三角形，可得，如图，连接，根据切线的性质得，根据圆内接三角形的性质、全等三角形的性质及等边对等角得，，根据，最后由可得答案． 【解析】∵在中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 如图，连接，， ∵与相切于点， ∴， 由题意知：内接于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（10分）阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 等径三角形定义：若三角形中有一条边长等于该三角形外接圆的半径，则该三角形被称为等径三角形． 特例分析：如图1，是等径三角形，的外接圆半径． ①尺规作图：作的外接圆． ②结论：________（判断依据：________）． 一般结论：如图2，是的弦，且等于的半径，C是上一动点．若记，，则： ①________； ②________． 问题解决： （1）尺规作图：在图1中，作的外接圆． （2）填空： ①“特例分析”中，________（判断依据：________）． ②“一般结论”中，________；________． 【答案】（1） （2）①，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；②或， 【分析】（1）在上截取，以为圆心为半径作圆，即可； （2）①根据题意可得是等边三角形，得出，根据圆周角定理，即可求解； ②分情况讨论，当在优弧和劣弧上，两种情况，根据含度角的直角三角形的性质求得边上的高，进而根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【解析】（1）略 （2）①连接， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴（同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半） ②当点在优弧上时，如图，过点作于点， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 当点在劣弧上时，如图， ∵是的内接四边形， ∴ 过点作 ∴ ∴ 综上所述，或； 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 圆 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（ ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（ ） A．小亮的求解不正确，或 B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，应该等于 D．小亮的求解不正确，的度数不固定 3．如图，是的直径，、是上两点，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 4．下列结论：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上．正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 6．如图，的直径垂直于弦，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．下列命题中属于假命题的是（ ） A．同位角相等，两直线平行 B．菱形的对角线互相垂直 C．三个角是直角的四边形是矩形 D．三点确定一个圆 8．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（ ） A．或 B．或 C． D． 9．如图，是的切线，P为切点，连接，分别与相交于点C，点D，若，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．如图，是的直径，弦于点，连接，若，则的度数为________． 12．如图，是的直径，点为圆上一点，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为________． 13．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 14．如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 ________（结果保留π）． 15．如图，在中，，，以为直径的半圆，交于点，以点为圆心，为半径作弧，交于点．则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）如图，是的直径，点是上的一点，点是延长线上的一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若的直径是8，，求的长． 17．（9分）如图，已知，请在直线上方确定一点，连接，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，画出符合条件的一种情况即可） 18．（9分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点为正方形网格的中心，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中作，要求所做的同时满足以下三个条件： ①点A、B、C均在格点上； ②点为的外心； ③所画的三角形互不全等． 19．（9分）在中，，点是边上一点，以为半径的与边相交于点． （1）如图1，当过点时，取边中点，连接，求证：是的切线； （2）如图2，若，，求的值． 20．（9分）如图1，平面中的线段和直线外一点，对于，，三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点为线段的“优关联点”．如图2，已知点，． （1）在点，，中，是线段的“优关联点”的是________； （2）如果直线上存在线段的“优关联点”，则求出的取值范围． 21．（10分）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，点在上，且． （1）求证：是半圆的切线； （2）若，，，求半圆的半径． 22．（10分）如图，在中，，连接并延长，与过点的切线相交于点．已知，求和的度数． 23．（10分）阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 等径三角形定义：若三角形中有一条边长等于该三角形外接圆的半径，则该三角形被称为等径三角形． 特例分析：如图1，是等径三角形，的外接圆半径． ①尺规作图：作的外接圆． ②结论：________（判断依据：________）． 一般结论：如图2，是的弦，且等于的半径，C是上一动点．若记，，则： ①________； ②________． 问题解决： （1）尺规作图：在图1中，作的外接圆． （2）填空： ①“特例分析”中，________（判断依据：________）． ②“一般结论”中，________；________． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $