培优15 弧长和扇形面积（11大题型）数学新教材人教版九年级上册

培优15 弧长和扇形面积 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.弧长公式：半径为的圆中，的圆心角所对的弧长。 2.扇形面积公式：扇形面积=（为弧长，为半径，类比三角形面积公式）=（为圆心角度数，为半径）。 3.弓形面积：当弓形为劣弧弓形时：弓形面积=扇形面积-三角形面积；当弓形为优弧弓形时：弓形面积=扇形面积+三角形面积。 4.圆锥的相关概念： 圆锥的母线：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段，记为； 圆锥的高：圆锥顶点到底面圆心的距离，记为； 圆锥底面半径：记为； 母线、高、底面半径构成直角三角形：（勾股定理）。 5.圆锥侧面展开图：圆锥的侧面展开图是一个扇形 扇形的半径=圆锥的母线长； 扇形的弧长=圆锥底面圆的周长； 圆锥侧面积=扇形面积=； 圆锥全面积=侧面积+底面积=+。 二 解题步骤 （一）弧长与扇形面积通用解题步骤 第一步：确定圆心角，找到所求弧/扇形对应的圆心角度数； 第二步：确定半径，找到扇形所在圆的半径； 第三步：代入公式，根据已知条件选择合适的弧长或扇形面积公式； 第四步：求解未知量，若求半径或圆心角，设未知数列方程求解。 （二）圆锥问题通用解题步骤 第一步：明确对应关系，扇形半径=圆锥母线长，扇形弧长=圆锥底面周长； 第二步：列方程，根据弧长相等关系，建立圆心角、母线、底面半径三者之间的关系； 第三步：勾股定理，利用，在母线、高、底面半径之间互求； 第四步：求面积，侧面积，全面积=侧面积+底面积。 题型分析 题型1：求弧长问题 【例1】 （2026·山东东营·中考真题）若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 变式1-1 （2026·河南商丘·模拟预测）月洞门是古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形的边长都是，点是圆心，，是网格线交点且均在上，整个图形是轴对称图形．若，则优弧的长为（    ） A． B． C． D． 变式1-2 （2026·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______． 题型2：求扇形半径问题 【例2】 （25-26九年级上·江西赣州·期末）《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，若取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（    ） A．30平方尺 B．35平方尺 C．40平方尺 D．45平方尺 变式2-1 （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 变式2-2 （25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 题型3：求扇形面积问题 【例3】 （25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） 变式3-1 （25-26六年级下·上海闵行·期末）如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么所得扇形的面积为原来的（     ） A．4倍 B．1倍 C． D． 变式3-2 （2026·河南南阳·三模）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 题型4：求弓形面积问题 【例4】 （25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 变式4-1 （2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 变式4-2 （2026九年级下·北京·专题练习）已知半径为2的扇形圆心角为，则此弓形的面积是______． 题型5：求不规则图形面积问题 【例5】 （26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 变式5-1 （26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号） 变式5-2 （2026·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 题型6：圆锥的高问题 【例6】 （2026·安徽马鞍山·一模）如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 变式6-1 （25-26九年级上·山东威海·期末）若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 变式6-2 （2026·黑龙江鸡西·模拟预测）哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 题型7：求圆锥的底面半径问题 【例7】 （2026·云南昆明·三模）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（     ）． A． B． C． D． 变式7-1 （2026·江苏宿迁·中考真题）用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 变式7-2 （25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图在半径为3的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． (1)求这个扇形的半径； (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 题型8：求圆锥侧面积问题 【例8】 （2026·四川德阳·中考真题）如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 变式8-1 （26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是__________． 变式8-2 （26-27九年级上·北京·课后作业）光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 题型9：求圆锥展开图圆心角度数问题 【例9】 （2026·黑龙江绥化·模拟预测）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 变式9-1 （2026·广西南宁·二模）如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 变式9-2 （25-26九年级上·云南大理·期末）一个底面半径为的圆锥，展开后的扇形半径为，则这个扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 题型10：圆锥侧面最短路径问题 【例10】 （25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 变式10-1 （25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 变式10-2 （24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 题型11：圆锥的实际问题 【例11】 （2026·黑龙江大庆·模拟预测）一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（） A． B． C． D． 变式11-1 （25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 变式11-2 （25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 解题技巧 1.求不规则图形面积：将不规则阴影部分面积转化为规则图形（扇形、三角形、矩形等）面积的和或差割补法； 2.等积转化法：利用同底等高、全等、旋转等性质，将阴影部分面积转化为便于计算的规则图形面积； 3.圆锥知二求一：母线、底面半径、高之间勾股定理的关系； 4.圆锥展开图和扇形面积的对应关系； 5.圆锥最短路径：将圆锥侧面展开成平面扇形，两点之间线段最短，用勾股定理求解； 归纳总结 一、重点 1.弧长公式与扇形面积公式的应用：直接代入计算是基础； 2.不规则图形面积的割补法：将不规则阴影转化为规则图形的和差； 3.圆锥侧面展开图的对应关系：扇形半径=母线、扇形弧长=底面周长，这是圆锥问题的关键； 4.圆锥三个基本量（母线、高、底面半径）的互求：利用勾股定理知二求一； 5.弓形面积的计算：扇形面积与三角形面积的和差。 二、难点 1.不规则图形面积的转化：如何将复杂的阴影部分通过割补、等积转化变成可计算的规则图形，需要较强的图形分析能力； 2.圆锥与扇形的对应关系：扇形半径对应母线、弧长对应底面周长； 3.圆锥侧面最短路径问题：需要将立体侧面展开为平面，再求两点间距离； 4.旋转扫过面积的计算：确定旋转过程中图形扫过的区域形状（扇形或扇环），准确找到旋转半径和角度。 三、易错点 1.弧长公式与扇形面积公式混淆：记错公式中的分母（弧长分母180，面积分母360）； 2.弓形面积方向搞反：劣弧弓形是扇形减三角形，优弧弓形是扇形加三角形，容易搞反； 3.圆锥展开图对应关系错误：将扇形半径误认为底面半径，或将弧长误认为母线； 4.圆锥侧面积公式记错、旋转扫过面积找错半径、扇形面积与三角形面积搞混。 四、数学思想 1.转化与化归思想：将不规则图形面积转化为规则图形（扇形、三角形）面积的和差；将圆锥侧面展开为平面扇形，将立体问题转化为平面问题；将圆锥的高、底面半径、母线问题转化为直角三角形问题。 2.数形结合思想：通过图形直观理解弧、扇形、圆锥之间的位置关系，再用定量公式计算。圆锥侧面展开图是典型的数形结合。 3.方程思想：求扇形半径、圆心角、圆锥底面半径等未知量时，常设未知数，利用弧长公式、扇形面积公式、勾股定理建立方程求解。 4.对称思想：圆和扇形都是轴对称图形，利用对称性可以简化计算，找到等量关系。 同步测评 1．（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北沧州·三模）蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（     ） A． B． C． D． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·三模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州遵义·一模）一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）将半径为8，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是（   ） A．1 B． C．2 D． 8．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 9．（2026·广西桂林·三模）经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（     ）． A． B． C． D． 10．（2026·江苏常州·一模）小红测量了某款冰淇淋蛋筒的圆锥形纸套，量得纸套的底部直径为，纸套的侧面长度（即母线长）为．把这个纸套沿母线剪开展平，所得图形的面积是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 12．（2026·山西忻州·二模）如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 13．（2026·广东广州·中考真题）如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 14．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 16．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 17．（2026·山东潍坊·三模）已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高h为_______． 18．（26-27八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为______．（注：结果用含π的式子表示） 19．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 20．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 21．（2026·云南临沧·二模）将一个圆心角为，半径为9的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为________． 22．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的全面积是________ 23．（2026·湖北黄石·一模）小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角是____． 24．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是________；外接圆半径为________； (3)该圆圆心到弦的距离为________．的长度为________． 25．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； (2)的长度为______． 26．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． (1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； (2)求裁剪后剩下废料的面积． 27．（2026·黑龙江·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； (3)在（2）的条件下，求出线段在旋转过程中扫过的面积． 28．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图1，中，．以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到是点的轨迹，是点的轨迹． (1)若用扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径； (2)如图2，求图中阴影部分的面积． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优15 弧长和扇形面积 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.弧长公式：半径为的圆中，的圆心角所对的弧长。 2.扇形面积公式：扇形面积=（为弧长，为半径，类比三角形面积公式）=（为圆心角度数，为半径）。 3.弓形面积：当弓形为劣弧弓形时：弓形面积=扇形面积-三角形面积；当弓形为优弧弓形时：弓形面积=扇形面积+三角形面积。 4.圆锥的相关概念： 圆锥的母线：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段，记为； 圆锥的高：圆锥顶点到底面圆心的距离，记为； 圆锥底面半径：记为； 母线、高、底面半径构成直角三角形：（勾股定理）。 5.圆锥侧面展开图：圆锥的侧面展开图是一个扇形 扇形的半径=圆锥的母线长； 扇形的弧长=圆锥底面圆的周长； 圆锥侧面积=扇形面积=； 圆锥全面积=侧面积+底面积=+。 二 解题步骤 （一）弧长与扇形面积通用解题步骤 第一步：确定圆心角，找到所求弧/扇形对应的圆心角度数； 第二步：确定半径，找到扇形所在圆的半径； 第三步：代入公式，根据已知条件选择合适的弧长或扇形面积公式； 第四步：求解未知量，若求半径或圆心角，设未知数列方程求解。 （二）圆锥问题通用解题步骤 第一步：明确对应关系，扇形半径=圆锥母线长，扇形弧长=圆锥底面周长； 第二步：列方程，根据弧长相等关系，建立圆心角、母线、底面半径三者之间的关系； 第三步：勾股定理，利用，在母线、高、底面半径之间互求； 第四步：求面积，侧面积，全面积=侧面积+底面积。 题型分析 题型1：求弧长问题 【例1】 （2026·山东东营·中考真题）若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴，解得， 即该圆锥的底面半径为． 变式1-1 （2026·河南商丘·模拟预测）月洞门是古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形的边长都是，点是圆心，，是网格线交点且均在上，整个图形是轴对称图形．若，则优弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可得， ，∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴优弧所对圆心角为， ∴优弧的长为． 故选：A． 变式1-2 （2026·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且点，在上．若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：点，的坐标分别是，， ， 垂直平分， 圆心在轴上． 如图，设所在圆的圆心为，连接，． 设的半径为， 在中，，即，解得． ， ， 的长为． 题型2：求扇形半径问题 【例2】 （25-26九年级上·江西赣州·期末）《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，若取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（    ） A．30平方尺 B．35平方尺 C．40平方尺 D．45平方尺 【答案】A 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为9尺，可得，解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺． 故选：A． 变式2-1 （2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【答案】 【详解】解：设扇形半径为，圆心角为， 由扇形面积公式，将，代入得：，解得， 将，代入弧长公式得：，解得， 即该扇形的圆心角为． 变式2-2 （25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，扇形的圆心角为，其弧长是． (1)求此弧所在圆的半径长； (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为， 根据题意，可得，解得； （2）如图，结合（1）可知， 设这个扇形制作成的圆锥底面半径为， 则有，解得，即， ∴． 故答案为：． 题型3：求扇形面积问题 【例3】 （25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 变式3-1 （25-26六年级下·上海闵行·期末）如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么所得扇形的面积为原来的（     ） A．4倍 B．1倍 C． D． 【答案】C 【详解】解：扇形面积，圆心角变为 ，半径变为， 变化后的扇形面积为： 变式3-2 （2026·河南南阳·三模）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【详解】解：，， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 即，解得（负值舍去）， ， 四边形是平行四边形，，且， ， ，， . 题型4：求弓形面积问题 【例4】 （25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即 ∴是等边三角形 ∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是 故选：C． 变式4-1 （2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接、． 由题意知， ∴， ∴点是半圆的圆心， ∴， ∴是等边三角形， ． 故答案为：． 变式4-2 （2026九年级下·北京·专题练习）已知半径为2的扇形圆心角为，则此弓形的面积是______． 【答案】 【详解】解：如图：过作， ， ， ， ， ，， 此弓形的面积是． 题型5：求不规则图形面积问题 【例5】 （26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵在中，， ∴是的中线， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 变式5-1 （26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号） 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ．， ，的面积为1， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∴， ， ， ∴图中阴影部分的面积． 变式5-2 （2026·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 题型6：圆锥的高问题 【例6】 （2026·安徽马鞍山·一模）如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由三视图可得该几何体为圆锥，如图， 由题意得， ∴ ∴， ∴这个几何体的体积为． 变式6-1 （25-26九年级上·山东威海·期末）若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆锥底面半径为，高为h， ∵圆锥母线长为8，侧面展开图是半圆， ∴侧面展开图半圆的弧长为， ∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长， ∴，解得， ∵圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，母线为斜边， ∴由勾股定理得， 即这个圆锥的高为， 故选：B． 变式6-2 （2026·黑龙江鸡西·模拟预测）哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 【答案】 【详解】解：如图所示，圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 即， 解得． 在中，， 根据勾股定理，得， 即，解得， 所以圆锥的高为． 题型7：求圆锥的底面半径问题 【例7】 （2026·云南昆明·三模）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴，化简得，解得， ∴该圆锥的底面圆的半径为． 变式7-1 （2026·江苏宿迁·中考真题）用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 【答案】 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径为，已知扇形半径为，圆心角为， 根据扇形弧长公式计算弧长得， ∵ 圆锥侧面展开后，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴ 可得方程 ，解得 ． 变式7-2 （25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图在半径为3的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）． (1)求这个扇形的半径； (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：如图，连接，，，过点O作，垂足为D， ∵，，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴这个扇形的半径为； （2）解：设圆锥底面圆的半径为， 根据题意，得，解得． 故圆锥底面圆的半径为 题型8：求圆锥侧面积问题 【例8】 （2026·四川德阳·中考真题）如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点P作于点E，如图： 由题意得，， ∴， ∴． 变式8-1 （26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【详解】解：∵圆锥的高为，母线长为， ∴由勾股定理可得，圆锥底面圆的半径 ， ∵圆锥侧面积公式为 ，其中是母线长， ∴代入得 ． 变式8-2 （26-27九年级上·北京·课后作业）光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：由题意得，劣的长， 劣的长， ∴花边的长度为； （2）解：由题意得，， ， ∴ ． 题型9：求圆锥展开图圆心角度数问题 【例9】 （2026·黑龙江绥化·模拟预测）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设侧面展开图的圆心角为 ， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥底面半径 ，母线长 ， ∴圆锥底面周长 ，扇形弧长公式为，据此列方程得 ，解得 ， ∴圆心角为． 变式9-1 （2026·广西南宁·二模）如图，圆锥的底面半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是______． 【答案】 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面半径是 ， 圆锥的底面周长是， 圆锥的母线长是， 侧面展开图的弧长是， ，解得， 圆锥侧面展开图的圆心角为． 变式9-2 （25-26九年级上·云南大理·期末）一个底面半径为的圆锥，展开后的扇形半径为，则这个扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设扇形的圆心角为， 圆锥底面周长为， 扇形弧长， 圆锥展开后的扇形的弧长等于圆锥底面的周长， ，即，解得． 这个扇形的圆心角为． 故选C． 题型10：圆锥侧面最短路径问题 【例10】 （25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：，解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 变式10-1 （25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【答案】 【详解】解：设圆锥的母线长为，， ∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ， 将，，代入扇形面积公式， 可得，，解得， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 变式10-2 （24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ，解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 题型11：圆锥的实际问题 【例11】 （2026·黑龙江大庆·模拟预测）一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设正方体的棱长为， ∴， ∵正方体削出的最大圆锥，底面直径等于正方体棱长，圆锥的高等于正方体棱长， ∴圆锥底面半径，圆锥高， ∴， ∴， 即圆锥的体积占正方体体积的． 变式11-1 （25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 【答案】30 【详解】解：设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为， ∴酒杯的体积为，酒瓶中酒的体积为， ∵， ∴共能倒满30杯． 变式11-2 （25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 【答案】 【详解】解：， 答：剩余部分的体积为 解题技巧 1.求不规则图形面积：将不规则阴影部分面积转化为规则图形（扇形、三角形、矩形等）面积的和或差割补法； 2.等积转化法：利用同底等高、全等、旋转等性质，将阴影部分面积转化为便于计算的规则图形面积； 3.圆锥知二求一：母线、底面半径、高之间勾股定理的关系； 4.圆锥展开图和扇形面积的对应关系； 5.圆锥最短路径：将圆锥侧面展开成平面扇形，两点之间线段最短，用勾股定理求解； 归纳总结 一、重点 1.弧长公式与扇形面积公式的应用：直接代入计算是基础； 2.不规则图形面积的割补法：将不规则阴影转化为规则图形的和差； 3.圆锥侧面展开图的对应关系：扇形半径=母线、扇形弧长=底面周长，这是圆锥问题的关键； 4.圆锥三个基本量（母线、高、底面半径）的互求：利用勾股定理知二求一； 5.弓形面积的计算：扇形面积与三角形面积的和差。 二、难点 1.不规则图形面积的转化：如何将复杂的阴影部分通过割补、等积转化变成可计算的规则图形，需要较强的图形分析能力； 2.圆锥与扇形的对应关系：扇形半径对应母线、弧长对应底面周长； 3.圆锥侧面最短路径问题：需要将立体侧面展开为平面，再求两点间距离； 4.旋转扫过面积的计算：确定旋转过程中图形扫过的区域形状（扇形或扇环），准确找到旋转半径和角度。 三、易错点 1.弧长公式与扇形面积公式混淆：记错公式中的分母（弧长分母180，面积分母360）； 2.弓形面积方向搞反：劣弧弓形是扇形减三角形，优弧弓形是扇形加三角形，容易搞反； 3.圆锥展开图对应关系错误：将扇形半径误认为底面半径，或将弧长误认为母线； 4.圆锥侧面积公式记错、旋转扫过面积找错半径、扇形面积与三角形面积搞混。 四、数学思想 1.转化与化归思想：将不规则图形面积转化为规则图形（扇形、三角形）面积的和差；将圆锥侧面展开为平面扇形，将立体问题转化为平面问题；将圆锥的高、底面半径、母线问题转化为直角三角形问题。 2.数形结合思想：通过图形直观理解弧、扇形、圆锥之间的位置关系，再用定量公式计算。圆锥侧面展开图是典型的数形结合。 3.方程思想：求扇形半径、圆心角、圆锥底面半径等未知量时，常设未知数，利用弧长公式、扇形面积公式、勾股定理建立方程求解。 4.对称思想：圆和扇形都是轴对称图形，利用对称性可以简化计算，找到等量关系。 同步测评 1．（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 2．（2026·河北沧州·三模）蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设裁剪出的更小扇形的半径为，折叠后的小扇形的半径． ∵扇形面积公式为，裁剪出的更小扇形与折叠后的扇形圆心角相同， ∴面积比等于半径平方的比， 又∵裁剪出的更小扇形面积是折叠后的扇形面积的， ∴， 代入得，解得，半径为正，舍去负解， 因此裁剪出的更小扇形的半径为， 故选B． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接，交于点 ∵折叠， ∴，， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 4．（2026·浙江温州·三模）如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图， 阴影部分面积，矩形面积，的面积，空白区域面积，空白区域面积，扇形面积，扇形面积， ∴阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∵矩形，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点， ∴，,矩形面积， 在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∴，，， ∴的面积， ∴，， ∴, ∴扇形面积， ∵空白区域面积矩形面积的面积扇形面积， ∴， ∴， ∵扇形面积， ∴空白区域面积矩形面积扇形面积， ∴， ∴， ∵阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∴， ∴． 5．（2026·贵州遵义·一模）一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：圆锥底面半径，高， 由勾股定理得圆锥母线长． ∵圆锥底面圆周长，且圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长， 设扇形圆心角度数为， 则，解得：， 即圆心角度数为． 6．（25-26九年级下·广东东莞·阶段检测）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 7．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）将半径为8，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：设此圆锥底面圆的半径为， ∵扇形的半径为，圆心角为，且扇形弧长等于圆锥底面周长， ∴可得 ， 化简得：，解得：． 8．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 9．（2026·广西桂林·三模）经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，，， 在中，， 由圆锥侧面积公式可得，． 10．（2026·江苏常州·一模）小红测量了某款冰淇淋蛋筒的圆锥形纸套，量得纸套的底部直径为，纸套的侧面长度（即母线长）为．把这个纸套沿母线剪开展平，所得图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：纸套的底部直径为， 底面圆的周长为， 圆锥侧面展开后，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 扇形面积公式为， 即所得图形的面积为． 11．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图： ， 由题意可得：在中，，，， ∴， ，， ∴， ∵点C为圆心交于点D，交于点E， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是斜边的中点， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C 12．（2026·山西忻州·二模）如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，作，于点F， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由，可得， ∴． 13．（2026·广东广州·中考真题）如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：在矩形 中，，， 设过三点的圆的圆心为，半径为，连接交于点，连接，连接，交圆M于点， 则点在的垂直平分线上 ∴ 在中， 在 中，，即 解得， 过作交延长线于， ∵矩形中， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， 则， ∴ 在中， ∵ ∴当 共线时，取最小值，此时点在点的位置， ∴ 在中，，， 弧的长即为 ． 14．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，， ， 由旋转可得，，，， ， ． 15．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 【答案】 【详解】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为， 如图所示， 根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E， ∴，则， ∴，，，4个空白半圆的面积为， ∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：， ∴在中，弓形的面积为， 同理，大圆内4个花瓣的面积和为， ∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ． 16．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，从一块直径是6的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由题意可得为的直径，，， ∴，即扇形的对应半径为， ∴弧的长为， 设圆锥的底面圆半径为，则， ∴， ∴将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是． 17．（2026·山东潍坊·三模）已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高h为_______． 【答案】 【详解】解：设圆锥侧面展开图扇形的半径为，圆锥底面圆的半径为， 由题意得，解得， ∵圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴，解得， ∴． 18．（26-27八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为______．（注：结果用含π的式子表示） 【答案】 【详解】解：当时，n边形的外角和为， ∴图中阴影部分的面积之和为 19．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 【答案】 【详解】解：∵ ∴ . 20．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【答案】 【详解】解：设圆锥底面半径为，扇形半径为， 由题意得，， ∴圆锥底面周长， ∴扇形面积． 21．（2026·云南临沧·二模）将一个圆心角为，半径为9的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为________． 【答案】 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 由扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，列出关系式：， ，， ，解得． 圆锥母线长等于扇形半径，即母线长为，底面圆半径为， 根据勾股定理得圆锥的高为：． 22．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的全面积是________ 【答案】 【详解】解：设圆锥的底面半径为，侧面展开扇形的半径，圆心角为， 由圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，得 解得， 圆锥侧面积为：， 圆锥底面积为：， 因此圆锥的全面积为：． 23．（2026·湖北黄石·一模）小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角是____． 【答案】 【详解】解：设扇形纸板的圆心角为， ∵圆的底面周长即是扇形的弧长， ∴，解得： 则扇形纸板的圆心角是． 24．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是________；外接圆半径为________； (3)该圆圆心到弦的距离为________．的长度为________． 【答案】(1)见详解；(2)；(3)； 【详解】（1）如图，点O即为所求； （2）解：点O的坐标为，外接圆的半径； （3）解：取的中点H，连接， ∵，， ∴， ∴该圆圆心到弦的距离为； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ． 25．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； (2)的长度为______． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）①的外接圆圆心，如图1即为所求； ②在上使平分的点，如图2即为所求； ； （2）解：由（1）中的②得出四边形是正方形， ，， 则的长度． 26．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． (1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； (2)求裁剪后剩下废料的面积． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：连接，根据题意，， ， 是直径， ，， ， ， ， ， 即裁剪得到的扇形装饰部件的半径为； （2）解： 即裁剪后剩下废料的面积为． 27．（2026·黑龙江·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； (3)在（2）的条件下，求出线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】（1）（2）见详解；(3) 【详解】(1)解：如图，即为所求作的三角形； (2)解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：由图可知，，， 线段在旋转过程中扫过的面积为． 28．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图1，中，．以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到是点的轨迹，是点的轨迹． (1)若用扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径； (2)如图2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：由旋转的性质得到， ∵， 的长为， ， ； （2）解：根据图形得， 是旋转得到的， ， ， ． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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