重难点专题 圆的基本性质与垂径定理（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题 圆的基本性质与垂径定理（基础必考、填空选择核心） 重难点一 概念辨析题 核心方法：抓定义严格判断，牢记3个唯一判定依据.直径是圆中最长的弦，弦不一定是直径;等弧的前提：同圆或等圆中，弧长相等≠等弧;半圆是弧，但弧不一定是半圆.易错避坑：不要混淆“弧长相等”和“弧全等（等弧）”. 1.下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误； C、弦不一定是直径，故选项错误； D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确； 故选D． 2.已知的半径为5，点A在内，则长度可能是（    ） A． B．5 C．6 D．7 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟知在圆内的点到圆心的距离一定小于半径是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为5，点A在内， ∴， ∴长度可能是， 故选A． 3.如图，半径为5，那么图中到圆心距离为7的点可能是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】本题考查了点与圆心的位置关系，难度较小，根据图中的点在圆的分布位置，即可作答． 【详解】解：A、因为点P在圆上，所以点P到圆心距离即为半径，为5，故该选项是错误的； B、因为点在圆内，所以点Q到圆心距离小于半径5，故该选项是错误的； C、因为点在圆内，所以点到圆心距离小于半径5，故该选项是错误的； D、因为点在圆外，所以点到圆心距离大于半径5，那么图中到圆心距离为7的点可能是点，故该选项是正确的； 故选：D 4.关于圆有如下的命题：①圆是轴对称图形，直径是它的对称轴；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④三个点确定一个圆；⑤三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心．其中正确命题个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查圆相关基本概念的理解，直接根据5个陈述，直接判定正确与否即可选出正确答案． 【详解】（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线，而非直径，故①错误； （2）平分弦的直径垂直于弦，当这个弦是直径时，直径不一定垂直于弦，故②错误； （3）能够重合的弧是等弧，长度相等的弧并不一定重合，故③错误； （4）不在同一直线的三点可以确定一个圆，三点不一定能确定圆，故④错误； （5）角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，是内心的定义，故⑤正确； 综上所述，只有一个正确； 故选：A． 5.在直角三角形中，，则的外接圆半径为 【分析】本题主要考查的是三角形的内切圆与外接圆，依据三角形的外接圆的性质求得半径是解题的关键．根据勾股定理求出的长，根据直角三角形外心的特点求出外接圆的半径即可； 【详解】解：∵， ∴． ∵是圆的直径， ∴的外接圆的半径为5． 6.如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是 【分析】本题考查圆外动点最小距离问题，勾股定理及轴对称最小距离问题，作点的对称点，连接交圆于一点即为最小距离和的点，根据勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交圆于一点即为最小距离和的点，如图所示， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴的最小值是：． 7.如图，中，弦相交于点，，求证：．    【分析】本题主要考查同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，可得，，，再根据全等三角形的判定方法“角边角”即可求解． 【详解】解：∵与所对弧相同，与所对弧相同， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴． 8.如图，是的弦，，是上的一个动点，且．若，分别是，的中点，求长的最大值. 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候的值最大． 根据中位线定理得到的长最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【详解】解析：∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ∴当取最大值时，就取最大值， 当是直径时，最大， 即为半径时，最大， 连接，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴时，的长度最大. 9.如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，求的最小值. 【分析】取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，根据勾定理求出，结合四点共线时最小即可得到答案； 【详解】解：取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N， ∵点Q是的中点， ∴， ∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当、 、、四点共线时的值最小， ， ∴的最小值为： . 10.如图，，点是以为直径的半圆上不同于、的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，求线段的取值范围．    【分析】以为边作等边三角形，连接，与半圆交于点，连接，，由性质的性质可知为等边三角形，再证明，得出，点在以为圆心，为半径的圆上，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，与半圆交于点，连接，，    ∵是圆的直径， ∴， 又由旋转性质可知，为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，又由， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最大值为， ∴线段的取值范围是. 重难点二 垂径定理核心题型（本章最核心基础） 万能辅助线口诀：见弦作垂，连半径造Rt△. 解题步骤：① 过圆心作已知弦的垂直平分线（弦心距）;② 连接圆心与弦端点，构造(半径、弦心距、半弦长)直角三角形;③ 利用勾股定理：=（r半径、d弦心距、弦长） 推论规则：知二求一，垂直、平分弦、平分弧、过圆心，四者知二推二; 专属易错：平分直径的直径不一定垂直，垂径定理推论仅限(非直径的弦). 1.如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 【分析】垂直于弦的的直径平分弦及弦所对的两条弧，根据垂径定理即可进行判断，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径，是弦，，垂足为M， ∴，，， 无法判断， 故选：C 2.如图，是直径，弦，垂足为，若，，则等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】连接，根据题意求出，根据勾股定理、垂径定理即可求解．本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握相应定理的应用是求解的关键． 【详解】解：连接，设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得：， ∴； 故选：C． 3.如图，的直径，半径，点是弧上的一个动点，，，垂足分别是、，则长（     ）    A．变大 B．变小 C．先变小，再变大 D．不变，始终等于2 【分析】本题考查矩形的判定和性质，圆的认识，考虑利用矩形的对角线相等把转化为是解题的关键．． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴为矩形， ∴， ∴长不变，始终等于2， 故选D．    4.如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与A，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；其中一定正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据等边三角形的性质可得，从而得到，故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，为的直径，可得，再由是等边的外接圆，可得，可得，故③正确． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵点是上一动点， ∴不一定等于， ∴不一定成立，故②错误； 当最长时，为的直径， ∴， 又∵是等边的外接圆，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 综上可知，正确的有2个． 故选：C． 5.如图，的半径为，弦，点是弦上的动点且点不与点重合，则的长不可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，过作于，连接，根据勾股定理求出的值，进而可求出的取值范围，能根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过作于，连接，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：． 6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为3米，则点C到弦所在直线的距离是 .    【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用．连结交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】解：连接交于D，    由题意得：米，， ∴（米），， 由勾股定理得，（米）， ∴米， 即点C到弦所在直线的距离是米. 7.如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值是 .    A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 作于，连接、，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，则最小时，最大，根据垂线段最短得到当时，的值最大，从而得到的最大值为4． 【详解】解：作于，连接、，如图， ∵， ∴， 而为定值，最小时，最大， ∴当时，的值最大，最大值， ∴的最大值为4．    8.如图，为的直径，弦于点E，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识． （1）根据等弧对等角证明即可； （2）连接，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可． 【详解】（1）∵是的直径，， ∴． ∴； （2）连接，    ∵， ∴． ∵直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴． 9.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”．阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图，其中于点，问径就是要求的直径．再次阅读后，发现寸，寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出的直径． 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，由垂径定理可得，设寸，则寸，在中，由勾股定理可得，求出的值即可得到答案． 【详解】解：连接， 垂足为， ， 设寸，则寸， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴寸， 的直径为寸． 10.大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题． 名称 花坛Ⅰ 花坛Ⅱ 花坛Ⅲ 花坛Ⅳ 图形 条件 ， ，． ，， ，． ， ． ，， ，， 为正数． 说明：图中点都在圆上，在上，，垂足为． (1)问题解决： ①花坛Ⅰ的半径为 米；（直接写出答案） ②计算花坛Ⅱ的半径； ③计算花坛Ⅲ的半径； ④请用含的代数式表示花坛的半径． (2)问题拓展： 兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，在同一个圆上，是上一动点，经测量，，垂足为，，则面积最小值为 米． 【分析】（1）①根据圆周角为所对的弦为直径，再根据勾股定理即可作答； ②根据垂径定理得米，根据勾股定理进行列式作答即可； ③如图，可设花坛半径为米，连接和，可证和均为等腰直角三角形，则得，根据垂径定理得米，米，由勾股定理得米； ④本题可构造网格（如图）得等腰直角三角形，则，所以，，则．根据勾股定理进行列式，求得米，即可作答． （2）记该圆的圆心为点，连接，，，，且交于点，依题意，，即面积最小值，取最小值，因为，当点，，三点共线时，，此时半径最小，米，根据勾股定理进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：①连接, 因为， 所以是直径，的中点为圆心， 故米， 所以半径为米； 故答案为：米； ②设半径为米，记圆心为，连接，，如图所示： 因为，， 所以，米， 在，， 即， 解得； ③延长交于点，连接，过点分别作，作，连接，，如图所示： 因为，米， 所以是等腰三角形， 因为， 所以， 因为，延长交于点， 所以， 则是等腰三角形， 所以米， 因为，， 所以四边形是矩形，， 则米，米， 因为米， 所以米， 则米； ④依题意，，米，米，米，为正数． 可构造网格（如图），过点作的延长线上， 根据小正方形网格（边长为）特征， 则米， 易得等腰直角三角形，如图： 即， 所以， 记该圆心为点，以劣弧所对的圆周角为，如图所示： 则， 则． 在中，， 解得米． 故半径为米； （2）解：记该圆的圆心为点，连接，，，，且交于点， 因为，米， 所以， 要使面积最小值， 即取最小值， 因为， 所以， 则是等腰直角三角形， 所以， 设半径为米， 则， 当点，，三点共线时，即点与点重合，如图所示： 则，此时半径最小， 因为是等腰直角三角形， 则, 所以米， 那么， 所以， 解得，（舍去）， 因为， 则米， 所以面积最小值为米， 故答案为：． 重难点三 多弦、平行弦问题 解题方法：分类讨论！圆内平行弦分圆心同侧、圆心异侧两种情况，分别计算弦心距再求和/差. 1.如图，是的直径，若，，则的半径等于（） A．4 B．5 C．2 D． 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后在中，利用直角三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵是的直径， 在中， 则的半径等于2， 故选：C． 2.如图，的半径为，与为的两条平行弦．若，，则弦的长为（    ）    A． B． C． D． 【分析】连接，，，，过点作于，由可得的长，由，可得相关圆周角和圆心角的度数，推出是等腰直角三角形，从而求出的长，再用两次勾股定理可求出的长． 【详解】连接，，，，过点作于，    ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查垂径定理以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心O，连接，， ， ，纸条的宽为，，， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 4.如图，在四边形中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查圆周角定理、圆心角、弦、弧之间的关系以及勾股定理，根据圆周角定理、圆心角、弦、弧之间的关系以及勾股定理进行计算即可，掌握圆周角定理、圆心角、弦、弧之间的关系以及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，以点为圆心，为半径作，由于，所以点、点也在圆上，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴． 故选：． 5.如图，在中，AB是直径，弦于点E，于点M，CF交AB，BD分别于点G，H，，若，，则BM的长为 ． 【分析】连接，设、交于点N，证明，得出，证明，得出，证明，得出，，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，设、交于点N，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵，为直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6.已知，点，点，直线l经过点B且垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，的角平分线与直线l交于点Q，则的形状一定是 ；当点P运动至某一位置时，的外接圆与一条坐标轴相切，则所有符合情况的点P的坐标为 ． 【分析】（1）根据直线轴，得出直线轴，求出，根据角平分线的定义得出，说明，即可证明三角形的形状； （2）分两种情况讨论：当与x轴相切时，点M在y轴上，当与y轴相切时，则点M在x轴上，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）直线轴， ∴直线轴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 故答案为：等腰三角形； （2）∵的外接圆与一条坐标轴相切， ∴有以下两种情况： 当与x轴相切时，点P在第二象限，点Q在第一象限，连接， ∵， ∴点M在上，切点为O，如图所示： ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵直线轴， ∴平分， ∴， 在中，， ∵点B的坐标为， ∴， ∴， ∵点P在第二象限， ∴点P的坐标为； 当与y轴相切时，则点M在x轴上，切点为O，此时点P，Q都在第一象限，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵点P在第一象限， ∴点P的坐标为：； 综上分析可知，与一条坐标轴相切，则点P的坐标为：或． 故答案为：或． 7.根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．    素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．    问题解决： 任务1：确定桥拱形状是抛物线： 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上， 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长 任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它露出水面高米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，以及垂直于弦的直径平分弦，是解题的关键． 任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，则，设该抛物线的表达式为，把代入求出a的值，即可得出函数表达式； 任务2：根据该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，得出悬挂点的纵坐标，进而得出悬挂点的横坐标取值范围为，根据相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， 即可解答； 任务3：设圆的圆心为点C，相交于点D，得出，则，设该圆的半径为r，则，根据勾股定理列出方程求解即可； 任务4：先求出该货船顶端与圆心距离，根据勾股定理可得：，则，即可解答． 【详解】解：任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示： 根据题意可得：， 设该抛物线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； 任务2：∵该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标最小为， 把代入得： ， 解得：， ∴悬挂点的横坐标取值范围为； 方案一：从顶点处开始悬挂， ∵相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，， ∴从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为， ， ∴可以挂（盏）， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 任务3：设圆的圆心为点C，相交于点D， 由题意可得：， ∴， 设该圆的半径为r，则， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：；    任务4：由任务3可知，， 当河段水位涨达到最高时，， ∵货船漏出水面高米， ∴该货船顶端与圆心距离， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴船体在圆弧的拱顶正下方可以通过．    8.如图，的直径垂直于弦，垂足为，，，    (1)求的半径长； (2)连接，作于点，求的长． 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理， （1）连接，如图，设的半径长为，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，解方程即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长； 正确理解垂径定理并熟练应用是解题的关键． 【详解】（1）连接，如图， 设的半径长为， ∵， ∴，， 在中， ∵ ，， ， ∴由勾股定理得：，解得：， ∴的半径长为； （2）由（）得：， 在中，∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即的长为． 9.如图，为的直径，点C、D都在上，且平分，交于点E．    (1)求的大小． (2)若，，求的半径； (3)于点F，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由平分，根据圆周角定理，可得； （2）过点作于点，求出长，则，可求出，则答案得出； （3）过点作，交的延长线于点，证明与，则，则结论可得出． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴ ∵平分， ∴， ∵； （2）解：如图1，过点作于点，    为的直径， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 如图2，过点作，交的延长线于点，    四边形内接于圆， ， ， ， ，，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 即． 10．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．    (1)若，则正方形的面积为　 　； (2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比． 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）连接，根据正方形和圆的性质得出，然后根据勾股定理求解即可； （2）①连接，，设，分别在、中，利用勾股定理关键关于x的方程求解即可； ②连接，，，先证明共线，然后求出，最后根据正方形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，    四边形是正方形， ， 解得：， 正方形的边长为4， 正方形的面积为16． （2）解：①连接，，    四边形是正方形，且其面积为16， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得（舍） ， ． ②连接，，，    ，且， ，， 又， ， 共线， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 圆的基本性质与垂径定理（基础必考、填空选择核心） 重难点一 概念辨析题 核心方法：抓定义严格判断，牢记3个唯一判定依据.直径是圆中最长的弦，弦不一定是直径;等弧的前提：同圆或等圆中，弧长相等≠等弧;半圆是弧，但弧不一定是半圆.易错避坑：不要混淆“弧长相等”和“弧全等（等弧）”. 1.下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 2.已知的半径为5，点A在内，则长度可能是（    ） A． B．5 C．6 D．7 3.如图，半径为5，那么图中到圆心距离为7的点可能是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 4.关于圆有如下的命题：①圆是轴对称图形，直径是它的对称轴；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④三个点确定一个圆；⑤三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心．其中正确命题个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.在直角三角形中，，则的外接圆半径为 6.如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是 7.如图，中，弦相交于点，，求证：．    8.如图，是的弦，，是上的一个动点，且．若，分别是，的中点，求长的最大值. 9.如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，求的最小值. 10.如图，，点是以为直径的半圆上不同于、的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，求线段的取值范围．    重难点二 垂径定理核心题型（本章最核心基础） 万能辅助线口诀：见弦作垂，连半径造Rt△. 解题步骤：① 过圆心作已知弦的垂直平分线（弦心距）;② 连接圆心与弦端点，构造(半径、弦心距、半弦长)直角三角形;③ 利用勾股定理：=（r半径、d弦心距、弦长） 推论规则：知二求一，垂直、平分弦、平分弧、过圆心，四者知二推二; 专属易错：平分直径的直径不一定垂直，垂径定理推论仅限(非直径的弦). 1.如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 2.如图，是直径，弦，垂足为，若，，则等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3.如图，的直径，半径，点是弧上的一个动点，，，垂足分别是、，则长（     ）    A．变大 B．变小 C．先变小，再变大 D．不变，始终等于2 4.如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与A，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；其中一定正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5.如图，的半径为，弦，点是弦上的动点且点不与点重合，则的长不可能是（　　） A． B． C． D． 6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为3米，则点C到弦所在直线的距离是 .    7.如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值是 .    A．2 B．4 C．6 D．8 8.如图，为的直径，弦于点E，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 9.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”．阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图，其中于点，问径就是要求的直径．再次阅读后，发现寸，寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出的直径． 10.大课间活动时，数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小，因受限于场地和工具，花坛半径不能直接测量，兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据（单位：米），根据所学知识计算花坛半径．相关花坛的图形及数据见下表，请完成下列问题． 名称 花坛Ⅰ 花坛Ⅱ 花坛Ⅲ 花坛Ⅳ 图形 条件 ， ，． ，， ，． ， ． ，， ，， 为正数． 说明：图中点都在圆上，在上，，垂足为． (1)问题解决： ①花坛Ⅰ的半径为 米；（直接写出答案） ②计算花坛Ⅱ的半径； ③计算花坛Ⅲ的半径； ④请用含的代数式表示花坛的半径． (2)问题拓展： 兴趣小组在活动中遇到下面问题：如图，在同一个圆上，是上一动点，经测量，，垂足为，，则面积最小值为 米． 重难点三 多弦、平行弦问题 解题方法：分类讨论！圆内平行弦分圆心同侧、圆心异侧两种情况，分别计算弦心距再求和/差. 1.如图，是的直径，若，，则的半径等于（） A．4 B．5 C．2 D． 2.如图，的半径为，与为的两条平行弦．若，，则弦的长为（    ）    A． B． C． D． 3.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（    ） A． B． C． D． 4.如图，在四边形中，，，，则（　　） A． B． C． D． 5.如图，在中，AB是直径，弦于点E，于点M，CF交AB，BD分别于点G，H，，若，，则BM的长为 ． 6.已知，点，点，直线l经过点B且垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，的角平分线与直线l交于点Q，则的形状一定是 ；当点P运动至某一位置时，的外接圆与一条坐标轴相切，则所有符合情况的点P的坐标为 ． 7.根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．    素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．    问题解决： 任务1：确定桥拱形状是抛物线： 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上， 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长 任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它露出水面高米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行． 8.如图，的直径垂直于弦，垂足为，，，    (1)求的半径长； (2)连接，作于点，求的长． 9.如图，为的直径，点C、D都在上，且平分，交于点E．    (1)求的大小． (2)若，，求的半径； (3)于点F，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 10．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．    (1)若，则正方形的面积为　 　； (2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16 ①求的值； ②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $