精品解析：广西壮族自治区崇左市天等县福新镇初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年福新镇初级中学九年级数学上册月考测试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下列等式中，表示y是x的反比例函数的是（　　） A. y= B. xy= C. y=x﹣1 D. 2. 已知反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，则点P所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像位于第二、四象限 B. 图像与坐标轴有公共点 C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D. 图像经过点，则 5. 在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系：，已知时，在此温度下，设x克水可溶解氯化钠y克，则y与x的关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 一个面积为的矩形，若长与宽分别为，，则与之间的关系用图象可大致表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数 图象交于点，，连接，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，若正方形的顶点B和正方形的顶点E都在函数的图象上，则点E的坐标为（　　） A. B. （） C. （） D. （） 11. 如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=5米，进口AB∥OD，且AB=2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为( ) A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 12. 如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 已知反比例函数（k为常数，且），当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值为______． 14. 已知反比例函数的图像在第一、三象限，则k的取值范围是________. 15. 已知是关于的反比例函数，则______． 16. 如图，点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则___________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 已知y是x的反比例函数，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）在图中画出该函数的图象，并根据图象直接写出当时，y的取值范围． 18. 已知反比例函数（为常数，且） （1）若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； （2）若点在该反比例函数的图象上，求的值； 19. 已知与成反比例，且当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，求的值． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴相交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象，求不等式的解集． 21. 如图，已知平行四边形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，点的纵坐标为4， （1）求A点坐标； （2）连接，求平行四边形的面积． 22. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 23. 我们定义：若点A在一个函数的图象上，且点A的横、纵坐标互为相反数，则称点A为这个函数的“反点”． （1）一次函数的“反点”的坐标为_______； （2）已知反比例函数与一次函数有公共的“反点”，求k的值； （3）若点P为反比例函数的“反点”，则点P到直线上任意一点的最小距离为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年福新镇初级中学九年级数学上册月考测试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下列等式中，表示y是x的反比例函数的是（　　） A. y= B. xy= C. y=x﹣1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，解析式符合y=（k≠0）的形式为反比例函数． 【详解】A.y=中，y是x2的反比例函数，错误； B.xy=−符合反比例函数的形式，是反比例函数，正确； C.y=x-1是一次函数，错误； D. 中，y是的反比例函数，错误． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记并理解反比例函数是解题的关键． 2. 已知反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】∵反比例函数在各个象限内，随的增大而减小， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数（）的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小． 3. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，则点P所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由增减性得的符号，结合点的横坐标判断纵坐标符号，确定所在象限． 【详解】解：∵反比例函数在每一个象限内随的增大而减小， ∴， ∵点在该函数图象上， ∴， ∵，， ∴， ∵点横、纵坐标均为正， ∴点在第一象限． 4. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像位于第二、四象限 B. 图像与坐标轴有公共点 C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D. 图像经过点，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意； B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意； C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意； D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键． 5. 在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系：，已知时，在此温度下，设x克水可溶解氯化钠y克，则y与x的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及反比例函数的应用．直接利用：，进而得出与之间的关系． 【详解】解：由题意可得：， 故． 故选：A． 6. 一个面积为的矩形，若长与宽分别为，，则与之间的关系用图象可大致表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据矩形的面积公式得到y与x之间的函数关系式，再根据反比例函数的性质判断其图象即可． 【详解】∵矩形的面积为10，长为y，宽x， ∴10=xy，即y=， ∵此函数是反比例函数，其图象是双曲线， ∴A、D错误； ∵x＞0， ∴其图象在第一象限． 故选C 【点睛】本题考核知识点：反比例函数.解题关键点：熟记反比例函数的图象. 7. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象在第二、四象限，利用，即可求得，的关系． 【详解】解：反比例函数中，， 反比例函数图象在第二、四象限． ， 在第二象限，在第四象限． ，． ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，利用双曲线所在的象限确定函数值的符号是解题的关键． 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标． 9. 如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数 图象交于点，，连接，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可知，，再根据反比例函数的面积关系解答即可． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴设点， ∵轴于点， ∴点 ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∵点在反比例函数图象上，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的面积关系，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 10. 如图，若正方形的顶点B和正方形的顶点E都在函数的图象上，则点E的坐标为（　　） A. B. （） C. （） D. （） 【答案】A 【解析】 【分析】易得点B的坐标，设点E的纵坐标为y，可表示出点E的横纵坐标，代入所给反比例函数即可求得点E的纵坐标，也就求得了点E的横坐标． 【详解】解：∵四边形是正方形，点B在反比例函数的图象上， ∴点B的坐标为． 设点E的纵坐标为y， ∴点E的横坐标为， ∴， 即， 即， ∵， ∴， ∴点E的横坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的比例系数的意义；突破点是得到点B的坐标；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数． 11. 如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=5米，进口AB∥OD，且AB=2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为( ) A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到BE=OA=5，AB=2，求得B（2，5），设双曲线BC的解析式为y=，得到k=10，于是得到结论． 【详解】∵四边形AOEB是矩形，∴BE=OA=5，AB=2，∴B（2，5）， 设双曲线BC的解析式为y=，∴k=10，∴y=， ∵CD为1，∴当y=1时，x=10，∴DE的长=10–2=8（米）， 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，解题突破口是设双曲线BC的解析式为y=. 12. 如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论． 【详解】解：如图， 设OD=m， ∵ ∴OC= ∵轴于点，轴于点， ∴四边形BEOD是矩形 ∴BD=OE=1 ∴B(m，1) 设反比例函数解析式为， ∴k=m×1=m 设AC=n ∵轴 ∴A（，n） ∴，解得，n=，即AC= ∵AC=AE ∴AE= 在Rt△AEF中，， 由勾股定理得， 解得，（负值舍去） ∴ 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 已知反比例函数（k为常数，且），当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数，当时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大是解决问题的关键．先根据反比例函数的性质判断出的符号，再写出符合条件的函数关系式即可． 【详解】解：反比例函数，当时随的增大而增大， 的值可以为． 故答案为：（答案不唯一） 14. 已知反比例函数的图像在第一、三象限，则k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限可得关于k的不等式，解不等式即得答案. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，属于基本题型，熟练掌握反比例函数的性质是关键. 15. 已知是关于的反比例函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴， 故答案为：． 16. 如图，点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则___________． 【答案】7 【解析】 【分析】阴影部分的面积刚好等于以为斜边的大三角形的面积减去以为斜边的小三角形的面积，即可得． 【详解】解：如图， ∵点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上， ∴，， 又阴影部分的面积为2， ∴, 解得：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 已知y是x的反比例函数，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）在图中画出该函数的图象，并根据图象直接写出当时，y的取值范围． 【答案】（1）该函数解析式为 （2）画函数图象见解析；当时，y的取值范围是 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可； （2）画出相应函数图象，然后结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 把，代入得， ∴， ∴该函数解析式为：； 【小问2详解】 列表如下：当时； x y 当时， x 1 2 4 8 y 8 4 2 1 描点，连线，函数的图象如图所示： 当时，y的取值范围是． 【点睛】题目主要考查反比例函数解析式的确定及函数图象的作法，根据函数图象确定函数值的取值范围等，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题关键． 18. 已知反比例函数（为常数，且） （1）若在其图象的每一个分支上，随增大而减小，求的取值范围； （2）若点在该反比例函数的图象上，求的值； 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的增减性即可求出的取值范围； （2）用待定系数法即可求出的值． 【小问1详解】 ∵图象的每一个分支上，随增大而减小， ∴ 解得： 【小问2详解】 把代入 中， ∴， 解得：， 【点睛】此题考查了反比例函数图象的性质和待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 19. 已知与成反比例，且当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值． （1）根据题意设，把x，y的一组值代入求解k的值即可解答； （2）把代入（1）求得的解析式即可解答． 【小问1详解】 解：∵与成反比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴与之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 经检验，是该方程的解． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴相交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象，求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得a值，即可得到一次函数解析式，再求出，进而利用待定系数法求解反比例函数解析式即可； （2）根据图象，只需找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分点的横坐标的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：把代入一次函数中，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， 将代入，得， 解得， ， 将代入，得， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 观察图象可知，不等式的解集为或． 21. 如图，已知平行四边形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，点的纵坐标为4， （1）求A点坐标； （2）连接，求平行四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点C的坐标代入反比例函数解析式求出，根据平行四边形的性质结合点的纵坐标为4，可得点A的纵坐标为1，代入反比例函数解析式即可解答； （2）作轴于D，轴于E，轴于F，则，利用即可求得． 【小问1详解】 解：根据题意：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵平行四边形中，点的纵坐标为4， ∴点A的纵坐标为1， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作轴于D，轴于E，轴于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的意义，反比例函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质．掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键． 22. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… （1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【答案】（1）线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）； （2）y＝（x≥3）； （3） 该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L， 理由如下： 当x=15时，y==0.9， 因为0.9＜1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【解析】 【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可； （2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可； （3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可． 【小问1详解】 解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ， 解得：k=﹣2.5，b=12 ∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12； 【小问2详解】 解：当x≥3时，设y=， 把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=， 解得k=13.5， ∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键． 23. 我们定义：若点A在一个函数的图象上，且点A的横、纵坐标互为相反数，则称点A为这个函数的“反点”． （1）一次函数的“反点”的坐标为_______； （2）已知反比例函数与一次函数有公共的“反点”，求k的值； （3）若点P为反比例函数的“反点”，则点P到直线上任意一点的最小距离为______． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意，设“反点”的坐标为，进而可得，求出x后即可得解； （2）依据题意，一次函数上的“反点”为，从而可得，求出反点后，代入反比例函数解析式可得k的值； （3）依据题意，设“反点”为，则“反点”在上，设上任意一点，得，令，则，根据二次函数的性质得出的最小值，故可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，设“反点”的坐标为， ∴． ∴． ∴“反点”的坐标为． 【小问2详解】 解：由题意，一次函数上的“反点”为， ∴． ∴． ∴反点为． ∵反比例函数与一次函数有公共的“反点”， ∴． 【小问3详解】 解：∵点P为反比例函数的“反点”， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在直线上； 设直线上任意一点，则： ， 令，则 这是关于u的二次函数，开口向上，最小值在顶点处， 顶点横坐标， ∴， ∴， ∴反比例函数的“反点”P到直线上任意一点的最小距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $