精品解析：广西壮族自治区崇左市天等县金洞乡实验学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级上册数学能力达标检测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 在菱形中，对角线与相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为判断这个四边形门框是否为矩形，提出下列四个测量方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相等 B. 测量一组邻角是否互补 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量三个内角是否都是直角 3. 下列说法错误的是（ ） A. 菱形是轴对称图形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 4. 下列方程中为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程时，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 7. 方程的根是（ ） A. B. C. D. ， 8. 现有四张分别标有数字1，2，3，3的卡片，它们除数字外完全相同.把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后不放回，将卡片洗匀后，再随机抽取一张，则两次抽取的卡片上的数字不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 10. 已知（，），下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ）． A. B. C. 50 D. 30 12. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 如图，请补充一个条件_________：，使△ACB∽△ADE． 14. 将一副三角板按如图摆放，则与的周长比__________. 15. 如图，在△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，若BC＝6，AD＝5，CE＝4，则AB的长为____． 16. 如图，已知△ABC，，，四边形DECF的面积为12，若DE经过△ABC的重心，则△ABC的面积为 _____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 如图，的三个顶点坐标分别是． （1）作出关于y轴对称的． （2）以原点为位似中心，在轴右侧画出，使得与的位似比为； （3）的内部一点的坐标为，则点在中的对应点的坐标是多少？ 18. 小杰与小明身高相同．一天晚上，两人站在路灯下交流学习内容，小明恰好站在小杰头顶影子的位置．请在图中分别画出此时小杰、小明的影子．（用线段表示） 19. 某工厂要加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图．请你按照三视图确定制作每顶帐篷所需布料的面积（图中尺寸单位：）． 20. 已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 21. 如图，等腰梯形放置在平面直角坐标系中，已知、、，反比例函数的图象经过点． （1）直接写出点的坐标； （2）求反比例函数的解析式； （3）将等腰梯形向上平移个单位后，使点恰好落在曲线上，求的值． 22. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，且． （1）求反比例函数和直线PQ的表达式； （2）若点M在y轴上且△PMQ的面积为3，求点M的坐标． 23. 已知等腰直角中，，，点为边上动点，连接，过点作，交于点，拖动点． （1）若，垂足为点，求证： （2）若且，求的长度 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上册数学能力达标检测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 在菱形中，对角线与相交于点O，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质即可一一判断． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， 故A、B、C正确， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 2. 如图，为判断这个四边形门框是否为矩形，提出下列四个测量方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相等 B. 测量一组邻角是否互补 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量三个内角是否都是直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．由矩形的判定逐一分析即可得出结论． 【详解】解：对角线相等的四边形不一定是矩形，故选项A不符合题意； 一组邻角互补的四边形不一定是矩形，故选项B不符合题意； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 三个角是直角的四边形是矩形，故选项D符合题意； ∴在这四个拟定方案中，正确的方案是D， 故选：D． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 菱形是轴对称图形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定定理，矩形的性质，正方形的判定等知识，掌握以上知识是解题的关键． 根据菱形的性质，平行四边形的判定定理，矩形的性质，正方形的判定等逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 菱形是轴对称图形，故该选项正确，不符合题意； B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项正确，不符合题意； C. 矩形的对角线不一定垂直，故该选项错误，符合题意； D. 有一个角是直角的菱形是正方形，故该选项正确，不符合题意； 故选C 4. 下列方程中为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程有三个特点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程． 【详解】A． 是一元二次方程，符合题意； B． ，整理得，x-2=0，是一元一次方程，故不符合题意； C． 中的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D． 含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 5. 用配方法解一元二次方程时，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在方程两边加上16，然后把方程左边配成完全平方形式即可． 【详解】解：， 配方得，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，关键是掌握配方的方法：当二次项系数为1时，两边加上一次项系数一半的平方． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的根的判别式，熟记根的三种情况是解题的关键． 根据根的判别式判断即可． 【详解】解：∵， ∴该方程有两个相等的实数根， 故选：B． 7. 方程的根是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ∴或， 解得：，， 故选：D． 8. 现有四张分别标有数字1，2，3，3的卡片，它们除数字外完全相同.把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后不放回，将卡片洗匀后，再随机抽取一张，则两次抽取的卡片上的数字不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用列表法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可. 【详解】解：列表如下： 第一次 第二次 1 2 3 3 1 2 3 3 根据列表可得，一共有12种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的数字不相同的结果有10种，所以两次抽取的卡片上的数字不相同的概率是. 故选B. 【点睛】本题考查了列表法计算概率，解决本题的关键是能够将所有情况考虑全面，做到不重不漏熟练掌握概率的计算公式. 错因分析:本题属于中档题.失分原因是混淆放回型和不放回型导致错误. 9. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率． 10. 已知（，），下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质． 【详解】解：解：∵（，）， ∴，，，， 故选：D． 11. 如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ）． A. B. C. 50 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长． 【详解】解：， ， 即， ， 的长是． 故选：D． 12. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中， ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 如图，请补充一个条件_________：，使△ACB∽△ADE． 【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或（任选其中一个就可以） 【解析】 【分析】由∠A是公共角，且DE与BC不平行，可得当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ACB． 【详解】①补充∠ADE=∠C，理由是： ∵∠A是公共角，∠ADE=∠C， ∴△ADE∽△ACB． 故答案为：∠ADE=∠C． ②补充∠AED=∠B，理由是： ∵A是公共角，∠AED=∠B， ∴△ADE∽△ACB． ③补充，理由是： ∵∠A是公共角，， ∴△ADE∽△ACB． 故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握判定定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用． 14. 将一副三角板按如图摆放，则与的周长比__________. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的知识，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 首先设，由直角三角形的性质，可求得与的长，继而求得其比值，易证得， 然后由相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案． 【详解】解：设， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，，  ∴， ∴， ∵ ， ， ∴与的周长比为:． 故答案为:． 15. 如图，在△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，若BC＝6，AD＝5，CE＝4，则AB的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据△ABC的面积等于×底×高，分别以BC为底，AD为高和以AB为底，CE为高两种方式计算，面积相等，列出等式，再将已知数据代入，解出AB即可． 【详解】∵在△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高 ∴BC×AD=AB×CE ∴BC×AD=AB×CE ∵BC=6，AD=5，CE=4 ∴6×5=4AB ∴AB= 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，属于基础知识的考查，难度不大，利用三角形中的不同的底与其上高的乘积都等于三角形的面积是解答的关键． 16. 如图，已知△ABC，，，四边形DECF的面积为12，若DE经过△ABC的重心，则△ABC的面积为 _____． 【答案】27 【解析】 【分析】设重心为G，作BH过重心G交AC于点H，易证△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC，得，从而，，，设△ABC的面积为9k，四边形DECF的面积=，即可求解． 【详解】解：∵DE经过△ABC的重心， ∴，， ∴△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC， ∴， ∴， ∴，， ∴设△ABC的面积为9k，则△BDE的面积为4k，△ADF的面积为k， ∴四边形DECF的面积为， ， ∴k＝3或（不合题意，舍去） ∴9k＝27． 故答案为：27． 【点睛】本题考查了重心的性质，相似三角形的判定与性质，得到面积的比例关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 如图，的三个顶点坐标分别是． （1）作出关于y轴对称的． （2）以原点为位似中心，在轴右侧画出，使得与的位似比为； （3）的内部一点的坐标为，则点在中的对应点的坐标是多少？ 【答案】（1）如图，即为所作； （2） 如图，即为所作，且； （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）依据位似中心及位似比的大小即可作出； （3）根据轴对称和中心对称的性质，位似比和位似图形的位置即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 ∵与关于y轴对称，点在内部， ∴点在中的对应点的坐标为． ∵与的位似点为原点，且位似比为2：1，在y轴右侧， ∴点在中的对应点的坐标是． 【点睛】本题考查作图—轴对称变换，作图—位似变换，坐标与图形的变化—轴对称变换，坐标与图形的变化—位似变换．掌握轴对称的性质和能根据位似中心找到位似图形中对应点的位置是解题的关键． 18. 小杰与小明身高相同．一天晚上，两人站在路灯下交流学习内容，小明恰好站在小杰头顶影子的位置．请在图中分别画出此时小杰、小明的影子．（用线段表示） 【答案】 如图，小杰、小明的影子分别为线段EF，线段DF． 【解析】 【分析】作射线CA交直线l于F，作射线CB交直线l于D，线段EF，线段DF即为所求作． 【详解】略 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，中心投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 某工厂要加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图．请你按照三视图确定制作每顶帐篷所需布料的面积（图中尺寸单位：）． 【答案】（129600+50400π）cm2 【解析】 【分析】首先利用几何体的三视图确定该几何体的形状，然后根据表面积的计算公式进行计算即可 【详解】解：根据三视图可得无底帐篷所需布料的面积为：2×300×120+2×240×120+1202π+120π•300=（129600+50400π）cm2 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，图形的面积的计算，能根据图中的数据计算出表面积是解题的关键． 20. 已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】首先设，，进而可得，再把当时，；当时，代入可得，解方程可得、的值，进而可得函数解析式． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数与反比例函数解析式的形式． 21. 如图，等腰梯形放置在平面直角坐标系中，已知、、，反比例函数的图象经过点． （1）直接写出点的坐标； （2）求反比例函数的解析式； （3）将等腰梯形向上平移个单位后，使点恰好落在曲线上，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）过点C作于点E，根据证，求出，即可求出C的坐标； （2）设反比例函数的解析式为：，将点C的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可； （3）当点B恰好落在曲线上时，得出此时B的坐标是，代入反比例函数的解析求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作于点E， 四边形是等腰梯形， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：设反比例函数的解析式， 把代入 得：， 解得：， 反比例函数的解析式； 【小问3详解】 解：将等腰梯形向上平移m个单位后得到梯形， 点， 点恰好落在双曲线上， 当时，， 即． 22. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，且． （1）求反比例函数和直线PQ的表达式； （2）若点M在y轴上且△PMQ的面积为3，求点M的坐标． 【答案】（1）， （2）点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析，再利用反比例函数k的意义得P点的坐标，最后利用待定系数法得一次函数解析式； （2）先求点A（0，6），再设M（0，a），根据S△PQM＝S△QAM﹣S△PAM且△PMQ的面积为3，列出方程，解方程可得问题的答案． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数 的图象交于点Q（4，a）， ∴ ， ∵． ∴k＝8， ∴反比例函数的解析式为 ， ∵点P（m，n）是反比例函数图象上一点， ∴mn＝8，且n＝2m，m＞0， ∴m＝2，n＝4， ∴P（2，4）， 设直线PQ的解析式为y＝cx+b， ∴ ， 解得 ， ∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+6； 【小问2详解】 解：设直线PQ交y轴于点A，如图， ∴令x＝0，得y＝6， ∴A（0，6）， 设M（0，a）， ∴AM＝|6﹣a|． ∵S△PQM＝S△QAM﹣S△PAM且△PMQ的面积为3， ∴， ∴a＝3或a＝9， ∴点M的坐标为（0，3）或（0，9）． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是根据S△PQM＝S△PAM﹣S△QAM 列出方程，从而求得M坐标． 23. 已知等腰直角中，，，点为边上动点，连接，过点作，交于点，拖动点． （1）若，垂足为点，求证： （2）若且，求的长度 【答案】 （1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵等腰直角中， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，结合题意，得到，从而得；再结合等腰直角中，，得，从而得到，结合勾股定理，即可完成证明； （2）过D作交AC于点G，结合题意，推导出等腰直角,得DG和AB的关系式；通过，得，通过外角性质，计算得，从而得到，根据直角三角形角所对直角边是斜边的一半，得AD和AB的关系式，通过中勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】（1） 略 （2）如图，过D作交AC于点G 设 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴或（舍去） ∴的长度为． 【点睛】本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元二次方程、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理、全等三角形、直角三角形的性质，从而完成求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $