专题02 椭圆几何性质、离心率（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题02椭圆几何性质、离心率 常考题型·精准突破 题型1 求椭圆的焦点、焦距 题型2 求共焦点的椭圆方程 题型3 根据椭圆的有界性求范围或最值 题型4 椭圆的对称性 题型5 求椭圆的顶点坐标 题型6 求椭圆的长轴、短轴 题型7 求椭圆的离心率 题型8 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 题型9 根据离心率求椭圆的标准方程 题型10 离心率的取值范围 题型11 椭圆的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 求椭圆的焦点、焦距 【例1】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）椭圆的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 【变式3】（25-26高二下·海南省直辖县级单位·阶段检测）椭圆C:的一个焦点F坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二下·上海·阶段检测）椭圆的焦距为，则__________． ◆题型2 求共焦点的椭圆方程 【例2】（26-27高二上·全国·课后作业）与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二·全国·课后作业）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·广东·开学考试）写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程__________． 【变式3】（25-26高二上·北京·阶段检测）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是______ ． 【变式4】（25-26高二上·福建泉州·期中）若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为____________． 【变式5】（25-26高二上·全国·课后作业）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程． ◆题型3 根据椭圆的有界性求范围或最值 【例3】（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式2】（25-26高二上·江苏常州·期中）设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A．16 B．4 C．3 D．5 【变式3】（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值____. 【变式4】（25-26高二上·上海·期中）点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是________． 【变式5】（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为__________. 【变式6】已知是椭圆上的一个动点，则的取值范围是________． 【变式7】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． ◆题型4 椭圆的对称性 【例4】（25-26高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【变式1】下面是关于曲线对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称. 其中正确叙述的个数为 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，A，是上关于原点对称的两点，且，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．不确定 【变式3】（25-26高二上·天津河北·期中）如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列结论错误的是（   ） A．两个椭圆的离心率相等 B．P到，，，四点的距离之和为定值 C．曲线C关于直线，均对称 D．曲线C所围区域面积必小于36 【变式4】（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高三上·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的左焦点，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，则________． 【变式6】（25-26高二上·河北保定·期末）已知椭圆的左焦点为，是上关于原点对称的两点，且，则三角形的周长为___________． ◆题型5 求椭圆的顶点坐标 【例5】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·山东青岛·期中）椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（25-26高二上·吉林·期中）已知椭圆，则（   ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为 ◆题型6 求椭圆的长轴、短轴 【例6】（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖南·模拟预测）如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 【变式2】（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知椭圆 的左焦点与上顶点都在函数的图象上， 则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·新疆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，为中点，若的周长为6，则椭圆的短轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式4】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5】（多选）（25-26高二上·安徽黄山·期中）已知椭圆，则（    ） A．的焦点坐标为 B．的长轴长为8 C．的短轴长为6 D．的一个顶点为 【变式6】（25-26高二下·上海·期中）在中，，点在以为焦点的椭圆上，则该椭圆的短轴长为______. 【变式7】（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆经过原点，且圆上的点与上的点间距离的最大值为8，则的长轴长为________. ◆题型7 求椭圆的离心率 【例7】（26-27高三上·湖南·阶段检测）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·安徽滁州·三模）已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知椭圆：的一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（26-27高二上·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（26-27高二上·四川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式7】（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为__________. 【变式8】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）、为椭圆（，）的4个顶点、两个焦点中的两点，，椭圆的离心率为______． 【变式9】（2026高三·全国·专题练习）椭圆的两个焦点为，点P在椭圆上，且的最大值为，则椭圆的离心率为________ ◆题型8 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【例8】（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线，其离心率分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2026高二·全国·专题练习）（1）过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，求该椭圆的离心率； （2）下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？ ①与； ②与． ◆题型9 根据离心率求椭圆的标准方程 【例9】（25-26高二上·广东江门·期末）已知椭圆（），离心率为，长轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】（2026高二·全国·专题练习）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·河北唐山·期中）已知椭圆的离心率为，短半轴长为1，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式5】（25-26高二下·河南许昌·阶段检测）阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6】（2026高三·全国·专题练习）长轴长为20，离心率为的椭圆的标准方程为________． 【变式7】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知椭圆C的离心率为，其左右焦点分别为，上顶点为，若的外接圆半径为，则椭圆C的方程为__________. 【变式8】（25-26高二下·福建莆田·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为，过的直线交于，两点，且的周长为16，则椭圆的方程为________． ◆题型10 离心率的取值范围 【例10】（2026·河北唐山·二模）若，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·贵州毕节·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2026高三上·全国·专题练习）设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【变式5】设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________． 【变式6】（25-26高二下·上海·期中）法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【变式7】（25-26高三·全国·一轮复习）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 【变式8】（2026·陕西安康·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． ◆题型11 椭圆的实际应用 【例11】（25-26高二上·江苏南通·期中）地球运行的轨道是长半轴长为 km，离心率为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最近距离（   ） A． km B． km C． km D． km 【变式1】（26-27高二上·全国·课堂例题）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【变式3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·广东梅州·期中）小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用表示）.    A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二上·浙江·期中）人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6】（25-26高二上·安徽芜湖·阶段检测）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【变式7】（2022·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式8】（多选）（25-26高二上·江苏盐城·期中）如图所示，2024年5月3日“嫦娥六号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，给出下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·江苏南京·模拟预测）椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D．4 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广东广州·模拟预测）已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·海南·期末）设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 8．（25-26高二下·广东韶关·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距，点，在椭圆上且满足，若，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西·模拟预测）将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·海南·期末）若椭圆上存在点，使得点到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的长轴长为20cm，则小椭圆的短轴长为（   ） A．30cm B．20cm C．cm D．10cm 13．（多选）（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 14．（多选）（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有6个 15．（多选）（25-26高二上·云南文山·阶段检测）加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆：相切，则下列说法正确的是（     ）    A．椭圆的左焦点为 B．椭圆的蒙日圆方程为 C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为14 16．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）椭圆的离心率为，则_________. 17．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点是椭圆上一点，，分别是其左、右焦点，若，离心率为，则椭圆的标准方程为_____ 18．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知椭圆，其右焦点为，现把椭圆长轴分成6等分，过每个等分点作轴的垂线，交椭圆上半部分于，则=_______ 19．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，则的离心率的取值范围为__________. 20．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 21．（25-26高二下·上海·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 22．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 23．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02椭圆几何性质、离心率 常考题型·精准突破 题型1 求椭圆的焦点、焦距 题型2 求共焦点的椭圆方程 题型3 根据椭圆的有界性求范围或最值 题型4 椭圆的对称性 题型5 求椭圆的顶点坐标 题型6 求椭圆的长轴、短轴 题型7 求椭圆的离心率 题型8 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 题型9 根据离心率求椭圆的标准方程 题型10 离心率的取值范围 题型11 椭圆的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 求椭圆的焦点、焦距 【例1】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）椭圆的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】把椭圆方程化为标准方程可得 ， 所以椭圆焦点在轴，，坐标为. 【变式1】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆的焦点在轴上，半焦距， 所以所求焦点坐标为. 【变式2】（26-27高二上·河南南阳·开学考试）若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 【答案】D 【解析】已知椭圆的焦距是2，因为 当焦点在轴上，，，所以，， 当焦点在轴上，，所以，，综上或. 【变式3】（25-26高二下·海南省直辖县级单位·阶段检测）椭圆C:的一个焦点F坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆方程为，可得，，且； ；又，. ，焦点在轴上，可得焦点坐标为； 椭圆的一个焦点F坐标为. 【变式4】（25-26高二下·上海·阶段检测）椭圆的焦距为，则__________． 【答案】 【解析】由，焦点在轴上，其中短半轴的平方； 由椭圆焦距为，可得，解得， 又，则，结合已知，故. ◆题型2 求共焦点的椭圆方程 【例2】（26-27高二上·全国·课后作业）与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】椭圆的焦点在轴上，故排除选项A，D． 在椭圆中，；在椭圆中，，故排除选项B； 在椭圆中，，易知中的椭圆符合题意． 【变式1】（25-26高二·全国·课后作业）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为椭圆，即， ，，可得，椭圆的焦点为， 设椭圆方程是，则，解得 所求椭圆的方程为.故选：A． 【变式2】（25-26高三上·广东·开学考试）写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题可知椭圆的形式应为（，且），可取 故答案为：（答案不唯一） 【变式3】（25-26高二上·北京·阶段检测）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是______ ． 【答案】 【解析】根据题意，椭圆的标准方程为，其焦点坐标为， 则所求的椭圆的焦点坐标为，设其左右焦点为、，又由椭圆经过点， 则有， 则，又由，则， 则要求椭圆的方程为：． 【变式4】（25-26高二上·福建泉州·期中）若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为____________． 【答案】 【解析】法1：因为椭圆与椭圆共焦点，所以设椭圆， 因为椭圆过点，所以，即， 解得或（舍去），所以椭圆的方程为． 法2：因为椭圆的焦点为，椭圆过点， 所以 所以，而，所以，所以椭圆的方程为． 【变式5】（25-26高二上·全国·课后作业）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程． 【答案】． 【解析】解法一：由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x轴上，设方程为， 由，得，所以，① 又在椭圆上，则，② 由①②解得：， 即所求的方程是． 解法二：由已知设所求的椭圆的标准方程是：， 则， 整理得：，解得， 因为，所以， 故所求的椭圆的标准方程是．    ◆题型3 根据椭圆的有界性求范围或最值 【例3】（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，则， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为．故选：A． 【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【解析】由椭圆，可设，其中， 则，其中， 因为，所以， 即的取值范围为，结合选项，可得A符合题意.故选：A. 【变式2】（25-26高二上·江苏常州·期中）设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A．16 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【解析】，设，则，所以， ， 因为，所以当时，有最大值为.故选：B.    【变式3】（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值____. 【答案】 【解析】设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 【变式4】（25-26高二上·上海·期中）点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为椭圆，所以椭圆上的点的横坐标取值范围为， 【变式5】（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为__________. 【答案】/ 【解析】易知当点为椭圆与轴的交点时，最大， 因为椭圆方程为， 所以，， 此时，， 满足， 所以为等腰直角三角形，所以． 【变式6】已知是椭圆上的一个动点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为是椭圆上的一个动点，， 所以，即，所以， 又，，所以，即. 【变式7】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值，故选A. ◆题型4 椭圆的对称性 【例4】（25-26高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【解析】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以，故选：C. 【变式1】下面是关于曲线对称性的一些叙述：①关于x轴对称；②关于y轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称. 其中正确叙述的个数为 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】曲线方程可化为，故该曲线为焦点在y轴上的椭圆， 由椭圆的性质，知该曲线关于x轴对称、y轴对称、原点对称. 将曲线方程中的x换成y，y换成x，得，与原曲线方程不同， 故该曲线不关于直线对称. 即正确的为①②③，④错误. 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知椭圆的左焦点为，A，是上关于原点对称的两点，且，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．不确定 【答案】B 【解析】设椭圆的右焦点为，连接，， 根据椭圆的对称性可得, 即四边形为矩形 所以, 由椭圆的定义可得，所以 所以的周长为：故选：B. 【变式3】（25-26高二上·天津河北·期中）如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列结论错误的是（   ） A．两个椭圆的离心率相等 B．P到，，，四点的距离之和为定值 C．曲线C关于直线，均对称 D．曲线C所围区域面积必小于36 【答案】B 【解析】对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率 ，，A正确； 对于B，为椭圆的左右焦点，为 椭圆的两个焦点，当点为两个椭圆交点时，点到四点距离的和为20； 当点时，点到四点距离的和为，因此距离之和不为定值，B错误； 对于C，两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，C正确； 对于D，椭圆的上、下顶点分别为，椭圆的 左、右顶点分别为，曲线在两组平行直线所围正方形及内部， 该正方形边长为6，因此曲线C所围区域面积必小于36，D正确.故选：B 【变式4】（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，， ，即，则， 所以椭圆的离心率，故选B 【变式5】（25-26高三上·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的左焦点，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，则________． 【答案】 【解析】解法一：在椭圆中，，∴， 在椭圆上关于原点对称， 设，由对称性，不妨设点在第一象限， 所以， 因为，所以，， ，或， 所以， 所以. 解法二：，，是椭圆上关于原点对称的两点， 则. 【变式6】（25-26高二上·河北保定·期末）已知椭圆的左焦点为，是上关于原点对称的两点，且，则三角形的周长为___________． 【答案】18 【解析】由题意的半长轴，半焦距 ， 如图示，设椭圆右焦点为,连接， 由于是上关于原点对称的两点，则， 因为，O为的中点，故 ， 而， 故三角形的周长为, ◆题型5 求椭圆的顶点坐标 【例5】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆的一个顶点是，一个焦点是，椭圆的焦点在轴上， 设椭圆方程为，则有，得， 所以椭圆左顶点为，右顶点为，下顶点为，上顶点为， 只有A选项符合. 【变式1】（25-26高二上·山东青岛·期中）椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆标准方程为，则，故左顶点的坐标为. 故选：B 【变式2】（多选）（25-26高二上·吉林·期中）已知椭圆，则（   ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为 【答案】ACD 【解析】因为，且椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的长轴长为10，顶点为，焦距为8，离心率. 故选：ACD ◆题型6 求椭圆的长轴、短轴 【例6】（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆方程知，故短轴长为. 【变式1】（2026·湖南·模拟预测）如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 【答案】B 【解析】设该椭圆的长半轴长，短半轴长和半焦距分别为, 依题意，，因,则， 故. 故该椭圆的短轴长约为15.1cm． 【变式2】（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知椭圆 的左焦点与上顶点都在函数的图象上， 则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆的上顶点为，代入，可得， 左焦点为，代入，可得，解得， 故，故，故长轴长为.故选：A 【变式3】（2026·新疆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，为中点，若的周长为6，则椭圆的短轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】 由为中点，可得为的中位线， 由的周长为6，可得的周长为， 即，因为，所以， 即，所以椭圆的短轴长，故选: B 【变式4】（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为椭圆， 若椭圆的焦点在轴上，则，则由,得舍去， 若椭圆的焦点在轴上，则，则由得，故椭圆的长轴长为．故选：B． 【变式5】（多选）（25-26高二上·安徽黄山·期中）已知椭圆，则（    ） A．的焦点坐标为 B．的长轴长为8 C．的短轴长为6 D．的一个顶点为 【答案】BC 【解析】由椭圆，可得，则， 对于A中，由椭圆的焦点坐标为，所以A错误； 对于B中，由椭圆的长轴长为，所以B正确； 对于C中，由椭圆的短轴长为，所以C正确； 对于D中，顶点坐标为和，所以D错误. 故选：BC. 【变式6】（25-26高二下·上海·期中）在中，，点在以为焦点的椭圆上，则该椭圆的短轴长为______. 【答案】 【解析】 根据题意可知，在如图所示中， 对于椭圆上的点，有，代入，得半长轴， 椭圆的焦距为，代入，得半焦距， 由于椭圆中半长轴、半短轴与半焦距之间满足关系式， 代入，得半短轴长，因此短轴长为. 【变式7】（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆经过原点，且圆上的点与上的点间距离的最大值为8，则的长轴长为________. 【答案】8 【解析】由题意可知，椭圆的半焦距，则圆的半径为， 由圆上的点与上的点间距离的最大值为8， 所以，解得，故的长轴长为. ◆题型7 求椭圆的离心率 【例7】（26-27高三上·湖南·阶段检测）椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由离心率公式得：. 【变式1】（2026·安徽滁州·三模）已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知椭圆C：经过点， 则，解得，，． 【变式2】（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，所以，则，解得：， 所以. 【变式3】（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知左顶点，上顶点，则， 所以，所以椭圆的焦点在y轴上，所以. 【变式4】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知椭圆：的一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，短半轴，长半轴为 因为一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，所以，代入，两边平方得，解得，即，即离心率 【变式5】（26-27高二上·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，椭圆的焦距为，则， 由，有，解得或（舍）， 故，，且， 在中，由余弦定理可得， 所以，故，. 【变式6】（26-27高二上·四川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，则① ， 在中，由及余弦定理可得，即② ， ①② 得，所以， 又， 又，因为，所以， 解得，故椭圆的离心率为. 【变式7】（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】或 【解析】当椭圆的焦点在轴时， 此时椭圆满足，由焦距，得， 根据椭圆关系，有，解得， 所以​，离心率. 当椭圆的焦点在轴时， 此时椭圆满足，同理由焦距，得， 由得，解得， 所以，离心率​. 综上，椭圆的离心率为​​或. 【变式8】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）、为椭圆（，）的4个顶点、两个焦点中的两点，，椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以椭圆顶点：，；焦点：， 所以，， 当、为短轴顶点时，，不合题意， 当、为焦点和左右顶点中的两点时，两点间距离可能为，若其中任意一个为，解得均不是整数，不合题意， 当、一个为焦点一个为短轴顶点时，，是整数，所以，不合题意， 当、一个为长轴顶点一个为短轴顶点时，，解得，满足题意， 所以， 所以. 【变式9】（2026高三·全国·专题练习）椭圆的两个焦点为，点P在椭圆上，且的最大值为，则椭圆的离心率为________ 【答案】/ 【解析】椭圆上，点对两个焦点的张角为， 当落在椭圆短轴端点时，取得最大值，且最大值为， 因此在短轴端点时，，此时为等腰三角形，顶角为， 故是等边三角形，得，则椭圆离心率. ◆题型8 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【例8】（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，， 所以椭圆离心率为， 对于B，， 所以椭圆离心率为， 对于C，， 所以椭圆离心率为， 对于D，， 所以椭圆离心率为， 因为，所以D选项中椭圆离心率最小， 由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆，故D正确. 【变式1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A，其离心率为， 对B，其离心率为， 对C，其离心率为， 对D，其离心率为， 根据离心率越小，其越接近于圆，则最小，其形状最接近于圆，则A选项符合题意. 【变式2】（25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线，其离心率分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设三条曲线的方程为 （），其中 相同,离心率 由图可知，短半轴 ，因此 ， 即 . 两边同除以 ，得 ，即 . 故选：B 【变式3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 可得， 得到最接近于圆的椭圆是，故B正确. 故选：B 【变式4】（2026高二·全国·专题练习）（1）过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，求该椭圆的离心率； （2）下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？ ①与； ②与． 【解】（1）如图，作出图象，    设，由题设条件，可知，则， 又椭圆的离心率， 即该椭圆的离心率为. （2）①椭圆变形可得，离心率， 椭圆，离心率， ，所以椭圆更接近圆 ②椭圆变形为，离心率， 椭圆，离心率， ，所以椭圆更接近圆. ◆题型9 根据离心率求椭圆的标准方程 【例9】（25-26高二上·广东江门·期末）已知椭圆（），离心率为，长轴长为4，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆的长轴长为4，所以， 因为椭圆的离心率为，所以，解得，可得， 则的方程为，故B正确. 故选：B 【变式1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解析】已知椭圆，离心率，则， 因为点在该椭圆上，代入椭圆方程得，联立上述方程解得， 因为点在该椭圆上，椭圆的左、右焦点分别为， 根据椭圆的定义得， 所以的周长为. 故选：D. 【变式2】（2026高二·全国·专题练习）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为中心在原点的椭圆的右焦点为， 所以椭圆焦点在轴，设标准方程为， 由题意可得，，得到，， 故椭圆的方程是.故选：D 【变式3】（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为椭圆经过点，所以，即； 离心率，所以，所以方程为. 故选：D 【变式4】（25-26高二上·河北唐山·期中）已知椭圆的离心率为，短半轴长为1，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】依题意，短半轴， 由，解得. 故选：A 【变式5】（25-26高二下·河南许昌·阶段检测）阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意,设椭圆的标准方程为， 由椭圆的离心率为，面积为， 得，解得， 即椭圆的标准方程为. 【变式6】（2026高三·全国·专题练习）长轴长为20，离心率为的椭圆的标准方程为________． 【答案】或 【解析】由题可知，，解得， 又因为离心率，解得， 则. 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为：； 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为：， 故答案为：或. 【变式7】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知椭圆C的离心率为，其左右焦点分别为，上顶点为，若的外接圆半径为，则椭圆C的方程为__________. 【答案】 【解析】已知椭圆C的离心率为，所以， 因为，所以， 因为，，所以为等边三角形， 由题知，的外接圆半径为， 由正弦定理得，即，解得， 所以，，所以椭圆C的方程为. 【变式8】（25-26高二下·福建莆田·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为，过的直线交于，两点，且的周长为16，则椭圆的方程为________． 【答案】 【解析】已知的周长为，可得. 因为离心率，可得. 根据椭圆中. 可得椭圆的方程为. 故答案为：. ◆题型10 离心率的取值范围 【例10】（2026·河北唐山·二模）若，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，则椭圆焦点在轴，， ． 【变式1】（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的右焦点为，因为点在的内部，所以． 由椭圆的定义知，所以， 则， 则的最大值为，所以， 又，所以，此时满足， 所以的离心率． 【变式2】（2026·贵州毕节·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限，若，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点A，B为椭圆上关于原点对称的两点，A点在第一象限， 则O为的中点，结合，所以四边形为矩形， 所以，而， 则，整理得， 所以，结合A在第一象限，可知， 所以， 由椭圆的对称性可知，由可得， 即，所以，整理得， 所以，即椭圆C的离心率的取值范围为. 【变式3】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆以，为焦点，即，， 所以设椭圆方程， 联立方程， 消去得出， 由题意可得， 即，得出或（舍去），解得， 所以， 所以椭圆的离心率的最大值为. 【变式4】（2026高三上·全国·专题练习）设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】P为椭圆的下顶点，四边形为平行四边形， 在y轴上，，且M，N关于x轴对称， 因为的倾斜角，所以点在第一象限， 可设点， 由点在椭圆上可得，解得， 直线的倾斜角， ，即， 但，，即. 【变式5】设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________． 【答案】 【解析】设到两个焦点的距离分别为，，根据椭圆定义可知：， 又结合椭圆的性质可知．根据三角形三边关系有，即，， 即．又因为，所以． 【变式6】（25-26高二下·上海·期中）法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】因为，则椭圆的焦点在轴上， 因为直线，与椭圆都相切， 所以直线，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 且圆的圆心为坐标原点，半径为， 因为直线与圆没有公共点，所以，解得， 所以， 故椭圆的离心率为. 【变式7】（25-26高三·全国·一轮复习）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【解析】由已知，设，则，又，， 所以， 因为，所以， 当，即时，时，，即满足题意， 此时由得，，， 当，即时，时，， 由题意，， ，， ，，， 又，即，所以， 综上，的范围是,即. 【变式8】（2026·陕西安康·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】由，得， 由椭圆的定义得，又，所以， 设，则有，， 点在椭圆上，有，所以， 则时，有最大值， 时，有最小值， 所以有， 由，有，所以， 由，有， 可得，解得（舍去）或， 因为，综上可知的离心率的取值范围为． ◆题型11 椭圆的实际应用 【例11】（25-26高二上·江苏南通·期中）地球运行的轨道是长半轴长为 km，离心率为0.02的椭圆，太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最近距离（   ） A． km B． km C． km D． km 【答案】A 【解析】由题意得，由离心率可得， 所以，则地球到太阳的最近距离为 km. 故选：A 【变式1】（26-27高二上·全国·课堂例题）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【解析】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 【变式3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 【变式4】（25-26高二上·广东梅州·期中）小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用表示）.    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】  设篮球半径为，显然平面平面，连接平面， 过作交于，则， 于是椭圆长轴长， 在四边形中，， 令椭圆半焦距为，而， 则， 解得，所以该椭圆的离心率为.故选：A 【变式5】（25-26高二上·浙江·期中）人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为， 则由题意得， 解得， 所以该椭圆形轨道的离心率. 故选：A. 【变式6】（25-26高二上·安徽芜湖·阶段检测）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】C 【解析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； 根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； 卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误． 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小， 所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确； 故选：C． 【变式7】（2022·江苏泰州·模拟预测）我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆的离心率，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为 则 故选：B 【变式8】（多选）（25-26高二上·江苏盐城·期中）如图所示，2024年5月3日“嫦娥六号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，给出下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对A，观察给定图形，显然，则，故A正确； 对B，由及得，B正确； 对CD，因，即，有， 得， 令，，即有，由给定轨道图知，， 因此，，D正确；而，C不正确. 故选：ABD 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将椭圆方程化为标准方程得，则，故该椭圆的长轴长为. 故选：D. 2．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为椭圆的一个焦点坐标为， 所以该椭圆的焦点在纵轴上，因此有，且，故选C 3．（2026·江苏南京·模拟预测）椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解析】由题意知，，，又， 所以，解得，又，所以. 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为椭圆的短轴的长为6，所以，解得， 所以，所以离心率. 5．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将椭圆方程变形得，则. 所以，所以该椭圆焦点为.对于A，，A错误； 对于B，椭圆焦点位于轴上，不位于轴上，B错误； 对于C，，且焦点位于轴上，，所以短轴长为2，符合题意，C正确； 对于D，，D错误.故选：C. 6．（2026·广东广州·模拟预测）已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆方程为，可得长半 ；短半轴 ； 所以椭圆的半焦距， 故椭圆的左、右焦点坐标分别 ，. 设椭圆上任意一点的坐标为，， 则向量，， ， 由椭圆方程，可得 ，代入数量积的表达式得： ， 由，可得： 当（即点在椭圆短轴端点处）时， 取得最小值； 当 （即点在椭圆长轴端点处）时， 取得最大值 . 所以 的取值范围是 . 7．（25-26高二下·海南·期末）设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 根据椭圆的定义，， 所以，当最小时，最大， 又当轴，即为椭圆通径时，最小，为， 此时，所以，所以， 所以，. 8．（25-26高二下·广东韶关·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距，点，在椭圆上且满足，若，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据已知条件及椭圆的定义有，，且，再应用勾股定理列方程求参数值，即可得. 【详解】根据，设，则，，， 因为，所以， 在中，有，即①， 在中，，即②， 所以，则，而，故③， ③代入①可得，所以，故， 所以椭圆的长轴长为. 9．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由，得， 由，得三点共线，连接，设， 则，，， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，化简得， 所以，即， 因为以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以， ，即，得， 所以，即的方程为. 10．（2026·陕西·模拟预测）将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】椭圆的长轴为，分成6等份时5个分点的横坐标依次是： ， 对应点和，和关于轴对称， 右焦点，左焦点， 由椭圆定义可知， 由对称性可得， ， 已知， ，故， ，故， ． 11．（25-26高二上·海南·期末）若椭圆上存在点，使得点到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可设点到椭圆两个焦点的距离分别为 ， 则，解得， 因为点到椭圆焦点的距离范围是， 则，即，得， 所以，又，故 ， 所以该椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 12．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的长轴长为20cm，则小椭圆的短轴长为（   ） A．30cm B．20cm C．cm D．10cm 【答案】D 【解析】因为两个椭圆的扁平程度相同， 所以两个椭圆的离心率相同， 所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同， 即，即， 解得， 所以小椭圆的短轴长为10cm， 故选：D 13．（多选）（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 【答案】ABD 【解析】椭圆中，，， 则，焦点，，上顶点， 选项A：长轴长，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：离心率，故C错误； 选项D：的周长为，故D正确． 14．（多选）（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有6个 【答案】CD 【解析】由椭圆，得，则， 对于A，椭圆的离心率，故A错误； 对于B，当点在短轴端点处时，最大，此时，又， 所以，即，所以不存在点，使得，故B错误； 对于C，由椭圆定义得， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，要使得为等腰三角形，分下面三种情况： 当时，对应短轴两个端点，共2个点； 当，，对应上下2个点； 当，，对应上下2个点； 综上，使得为等腰三角形的点共有6个，故D正确. 15．（多选）（25-26高二上·云南文山·阶段检测）加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆：相切，则下列说法正确的是（     ）    A．椭圆的左焦点为 B．椭圆的蒙日圆方程为 C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为14 【答案】BD 【解析】A. ，椭圆焦点坐标 ，左焦点为 ，A 错误； B.由蒙日圆公式，蒙日圆方程为，B 正确； C.正方形四个顶点在圆 上，圆半径 ，对角线长 ， 设正方形边长为 ，对角线 ，，C 错误； D.设长方形长、宽分别为 ，由圆内接矩形，由均值不等式，当且仅当 时取等，面积最大值为 14，D 正确. 16．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）椭圆的离心率为，则_________. 【答案】 【解析】由题意可得，解得. 17．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点是椭圆上一点，，分别是其左、右焦点，若，离心率为，则椭圆的标准方程为_____ 【答案】 【解析】根据题意，，即， 又，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 18．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知椭圆，其右焦点为，现把椭圆长轴分成6等分，过每个等分点作轴的垂线，交椭圆上半部分于，则=_______ 【答案】 【解析】由题意，知与，与分别关于y轴对称， 设椭圆的左焦点为，由已知, 则，同时， 所以. 19．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，则的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】设是椭圆的左右焦点， 又椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为4:1，可知， 又，所以， 因此，解得，即， 又椭圆离心率的取值范围为，所以. 20．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 【解】（1）由题意可得，又，则， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为. （2）设椭圆的标准方程， 由于椭圆过点和， 代入可得，解得， 所以椭圆的方程为：. （3）设椭圆方程为， 则，，解得， 所以椭圆方程为. 21．（25-26高二下·上海·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 【解】（1）因为椭圆方程为，所以，，所以， 所以，，，所以长轴长为，短轴长为，焦距为， 坐标为； （2）因为，两点在椭圆上，所以 ， ， 所以的周长为 . 22．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 【解】（1）因为椭圆：，所以， 所以椭圆的离心率为； （2）由题直线的斜率为， 所以直线的方程为，代入椭圆方程得， 设，则， 所以 又点A到直线的距离为 所以的面积为 23．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点坐标． 【解】（1）以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，即. 由，得，则，即. 代入解得，所以椭圆的方程为. （2）由题可设，且满足，即，. 而上顶点，则， .所以当时， 所以的最大值为.此时，， 所以点坐标为或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $