培优专题04 圆锥曲线定义与焦点三角形（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

培优专题04 圆锥曲线定义与焦点三角形（专项训练） 常考题型·精准突破 ◆题型1 第一定义基础应用（重） ◆题型2 定义转化求距离最值 ◆题型3 焦点三角形的边长、周长与比例问题（高频） ◆题型4 焦点三角形的角度判定与计算 ◆题型5 焦点三角形的面积计算与最值（高频） ◆题型6 焦点三角形衍生几何性质（内切圆与外接圆）（难） ◆题型7 椭圆与双曲线共焦点的定义综合模型（难） ◆题型8 第二定义进阶：焦半径与焦点弦专项（重） ◆题型9 第三定义拓展（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 第一定义基础应用 1．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高二上·北京·期末）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 3．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ） A．2 B． C． D．4 4．（26-27高二上·云南昆明·期中）已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C．4 D． ◆题型2 定义转化求距离最值 6．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知，，动点在曲线上．过作直线的垂线，垂足为，则的最大值为________． 9．（2026·江西赣州·二模）已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 10．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知点为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则的面积为2 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大值为 ◆题型3 焦点三角形的边长、周长与比例问题 11．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）（多选）已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则（   ） A．的短轴长为4 B．的离心率为 C．的周长为 D．的面积为2 12．（26-27高二上·江苏·期中）（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 13．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）（多选）记双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，则下列说法中正确的有（    ） A．双曲线的离心率是 B．若，则的周长为 C．存在四条不同直线使得 D．线段的中点坐标可能是 14．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）离心率满足的椭圆被称为“黄金椭圆”.若是“黄金椭圆”，则______；“黄金椭圆”：的两个焦点分别为，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于，则______. 15．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）记椭圆：的左右焦点分别为，，已知椭圆上的点满足，记的平分线与椭圆交于另外的点，若，则______；椭圆的离心率______. ◆题型4 焦点三角形的角度判定与计算 16．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）已知焦距相同的椭圆与双曲线的一个交点为，的左、右焦点分别为、，且的离心率为，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 17．（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________ 18．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）（多选）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q，若，，则（    ） A． B．E的渐近线方程为 C． D．的外接圆半径为 19．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）（多选）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的面积为 D．双曲线是等轴双曲线 20．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． ◆题型5 焦点三角形的面积计算与最值 21．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________； 22．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 23．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知椭圆C：的左右两个焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大面积为3 B．若，则点的纵坐标为 C．存在点，使得 D．的取值范围为 24．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（ ） A．以为直径的圆与圆相切 B．的离心率 C．线段的中点在直线上 D．的面积为 25．（2026·海南儋州·一模）（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则（   ） A．若的面积，则满足题意的点有四个 B．若，则的面积 C．椭圆内接矩形面积的最大值为12 D．若为钝角三角形，则的面积的取值范围为 ◆题型6 焦点三角形衍生几何性质（内切圆与外接圆） 26．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 27．（2026·重庆万州·三模）若F1，F2为椭圆的两个焦点，P为C上一点，且△PF1F2的内切圆的半径小于则点P横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（26-27高三上·浙江·阶段检测）（多选）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 29．（26-27高三上·湖南·开学考试）（多选）在平面直角坐标系中，双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线与在第一象限内相交于点，过点作轴的平行线与相交于另一点，若，，则（    ） A． B．的渐近线方程为 C． D．的外接圆半径为 30．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点P，使得的面积为2 C．椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 ◆题型7 椭圆与双曲线共焦点的定义综合模型 31．（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 32．（26-27高三上·重庆·开学考试）（多选）已知椭圆与双曲线的焦距相同，左、右焦点分别为的离心率分别为是与的一个交点，，则的值可能为（   ） A．4 B． C．2 D． 33．（2025高二·全国·专题练习）双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为_____. 34．（2025·湖北·模拟预测）（多选）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（    ） A． B． C． D．当时，的取值范围是 35．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，M是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（） A． B． C． D．的最小值为 ◆题型8 第二定义进阶：焦半径与焦点弦专项 36．（2025·辽宁·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，为上第一象限内一点，的平分线经过抛物线的焦点，且与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 37．（2024·四川成都·模拟预测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆E相交于P，Q两点，则（   ）. A．以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为 B．以为直径的圆与椭圆E有且仅有2个公共点 C．以为圆心，为半径的圆与椭圆E有3个公共点 D．以为直径的圆与直线相离 38．（24-25高二上·浙江·期中）已知，M是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，则的最大值为________． 39．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）已知椭圆上任意一点到左焦点的距离为，到右焦点的距离为 (其中为椭圆的离心率). 若分别是椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于的任意一点，为椭圆所在平面上的动点，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为3 B．若点的横坐标为，则的角平分线与轴交点横坐标为 C．若外接圆的圆心在外，则 D．若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 40．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1，F2 ， P是C上一点，记I，G分别为△PF1F2​的内心和重心，则∣IG∣的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆题型9 第三定义拓展 41．（2025·山东枣庄·二模）已知椭圆，直线与交于，两点，过点作与垂直的直线交于另一点，记直线的斜率为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 42．（2027高二·全国·专题练习）已知双曲线，直线交于，两点，为上另一点，满足，为平面直角坐标系的原点．若线段的中点分别为，则直线斜率的乘积为（   ） A．16 B． C．4 D． 43．（2027高二·全国·专题练习）已知曲线方程，，，点为曲线右支上一点，且与不重合，直线，分别与直线交于，两点，则以，为直径的圆面积的最小值是________． 44．（2027高二·全国·专题练习）（多选）已知点，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，且，点是椭圆上异于，的一动点，直线，分别与直线交于点，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 45．（2025·湖北·三模）（多选）已知点是椭圆的右焦点，点A，B分别是椭圆的左、右顶点，过点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，点P在第一象限，用，，分别表示直线，，的斜率，，则（    ）． A． B． C． D．面积的最大值为 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（     ） A．6 B．12 C．16 D．24 2．椭圆的左、右焦点分别为、，上点位于第一象限内，为坐标原点，，线段与轴交于点且，若的面积等于，则（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．若椭圆与双曲线有公共的左焦点，两曲线在第一、三象限内的公共点分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，P为与在第一象限的公共点，若，则的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知椭圆的左、右焦点分别为在上且不在轴上，则（    ） A．面积的最大值为 B．直线与的斜率之积可能为 C．存在点使得 D．的取值范围是 8．已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（   ） A．的周长是 B．时，的面积是 C．的最大值是2 D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 9．已知是椭圆上一点，是左右焦点，交椭圆于点交椭圆于点，则（   ） A．的周长等于12 B．可能是等边三角形 C．若是椭圆的上顶点，则的面积为10 D．若，则 三、填空题 10．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则___________． 11．如图所示，已知双曲线和椭圆有共同的右焦点，记曲线为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若，分别在曲线中的双曲线和椭圆上，则周长的最小值等于__________． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上异于左、右顶点的一点，且．若，则的面积为_______；设的内心为，其外接圆的半径为，记的面积分别为，若，则椭圆的离心率为_______． 四、解答题 13．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）． (1)若，求的面积； (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 14．已知椭圆短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于M，N两点，其中M，N分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点． (1)若坐标为，求椭圆的方程； (2)若，求实数的取值范围． 15．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线：与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题04 圆锥曲线定义与焦点三角形（专项训练） 常考题型·精准突破 ◆题型1 第一定义基础应用（重） ◆题型2 定义转化求距离最值 ◆题型3 焦点三角形的边长、周长与比例问题（高频） ◆题型4 焦点三角形的角度判定与计算 ◆题型5 焦点三角形的面积计算与最值（高频） ◆题型6 焦点三角形衍生几何性质（内切圆与外接圆）（难） ◆题型7 椭圆与双曲线共焦点的定义综合模型（难） ◆题型8 第二定义进阶：焦半径与焦点弦专项（重） ◆题型9 第三定义拓展（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 第一定义基础应用 1．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由椭圆，得半长轴长． 因为在椭圆上，所以． 又，所以． 2．（23-24高二上·北京·期末）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 【答案】D 【详解】双曲线：，则， 由双曲线定义可知，解得或， 因为，所以点在双曲线的左支上， 所以，所以. 3．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标. 【详解】由题意可得，焦点，则， 即点到准线的距离为，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入，则， 所以. 4．（26-27高二上·云南昆明·期中）已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义转化得到距离差，由双曲线的定义判定轨迹，再根据确定只取双曲线下支，写出带范围的轨迹方程． 【详解】，，， ，，， 因为都在椭圆上，所以，， 所以的轨迹是以为焦点的双曲线的下支（，动点离更近）， 由，，得， 所以的轨迹方程是． 5．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求出，再由离心率的定义求解. 【详解】由题意，设，，， 则， 则，则. ◆题型2 定义转化求距离最值 6．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 7．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 8．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知，，动点在曲线上．过作直线的垂线，垂足为，则的最大值为________． 【答案】7 【分析】由题意得在椭圆上，设，根据椭圆定义得到， 则，再结合三角不等式求的最大值，进一步得到的最大值. 【详解】曲线变形为，为椭圆的一部分，且为椭圆的下焦点， 设为椭圆的上焦点，由椭圆定义得，所以； 所以， 因为（当且仅当共线时取等）， 由，得，直线， 当时，直线为 联立，解得或； 所以当时，取最大值； 到直线的距离， 所以此时，. 9．（2026·江西赣州·二模）已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，结合对勾函数单调性即可求解.. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以双曲线的焦半距为2， 由题意可知双曲线离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 令， 得，由对勾函数单调性可知其中单调递增， 当时，取到最小值，即， 所以的最小值为． 10．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知点为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则的面积为2 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大值为 【答案】C 【分析】选项A，由得到，结合，解出，利用三角形面积公式求解；选项B，按照，，三种情况讨论求解；选项C，将代入，利用的范围求解；选项D，将代入，利用的范围求解. 【详解】，，， 选项A，，， 点为椭圆上的点，， ，联立，解得， ，故选项A正确； 选项B，当时，，点为短轴的两个端点，故这样的有2个； 当，，点有两个，故这样的有2个； 当，，点有两个，故这样的有2个； 综上可知，使为直角三角形的点有6个，故选项B正确； 选项C，，， ， ，， ，， ，故选项C错误； 选项D，，， ，， ， 的最大值为，故选项D正确. 故选：C. ◆题型3 焦点三角形的边长、周长与比例问题 11．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）（多选）已知椭圆E：的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则（   ） A．的短轴长为4 B．的离心率为 C．的周长为 D．的面积为2 【答案】AC 【详解】对于A，设椭圆E的长轴长，短轴长，焦距分别是2a，2b，2c， 由E：，得，， 所以，，， 所以E的短轴长为4，故A正确； 对于B，离心率，故B错误； 对于C， 由椭圆的定义，得， 又， 所以的周长为，故C正确； 对于D， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 的面积为，故D错误. 12．（26-27高二上·江苏·期中）（多选）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 【答案】ABD 【分析】对于选项A：借助双曲线定义与焦距长度计算即可得；对于选项B：设出点，表示出、后，利用余弦定理计算即可得；对于选项C：结合B中所得计算即可得；对于选项D：利用内切圆中切线长性质结合双曲线定义与焦距长度计算即可得． 【详解】对于选项A：由双曲线定义可得，则， 则，又， 则，故A正确； 对于选项B：设，则，即， 双曲线的渐近线为，则， 由对称性，不妨设在上，在上，则，，有， 由，则， 则， 故，由点不在顶点上，故不能取等，即，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：设内切圆圆心为，与、、的切点分别为、、， 由切线长定理可得、、， 又，， 即， 则， 则，又， 故，即内切圆的圆心在直线上，故D正确． 13．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）（多选）记双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，则下列说法中正确的有（    ） A．双曲线的离心率是 B．若，则的周长为 C．存在四条不同直线使得 D．线段的中点坐标可能是 【答案】ABD 【分析】根据双曲线方程可确定的取值，根据离心率定义、双曲线的定义可求得AB正确；分别讨论直线斜率不存在和斜率存在的情况，通过与双曲线方程联立，利用弦长公式和中点坐标公式，结合韦达定理可求得可能的取值，进而得到CD正误. 【详解】对于A，由双曲线方程知：，，则， 双曲线的离心率，A正确； 对于B，，， 的周长为，B正确； 对于C，当斜率不存在时，即时，； 当斜率存在时，设，，， 由得：， 且，则，， ，解得：，即， 方程为：； 综上所述：存在三条不同的直线使得，C错误； 对于D，当直线斜率不存在时，线段中点为； 当直线斜率存在时，由C知，若线段中点为， 则，，解得：， 当方程为时，线段的中点坐标为，D正确. 14．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）离心率满足的椭圆被称为“黄金椭圆”.若是“黄金椭圆”，则______；“黄金椭圆”：的两个焦点分别为，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于，则______. 【答案】 【分析】根据“黄金椭圆”的定义列式求的值；设，内切圆半径为，利用面积用表示，再利用，结合“黄金椭圆”的离心率可求解. 【详解】因为， 所以，得， 解得. 如图， 设，内切圆半径为， 由 . 所以 . 15．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）记椭圆：的左右焦点分别为，，已知椭圆上的点满足，记的平分线与椭圆交于另外的点，若，则______；椭圆的离心率______. 【答案】 【分析】设，由椭圆定义得，利用余弦定理、勾股定理得；再由角平分线及正弦定理建立与角的关系，通过三角恒等变换求出比值，进而解得. 【详解】设， 则 设平分，记， 又设，因为，所以， 在与中由正弦定理得：①，②， 在中，由余弦定理得：， 在中，由勾股定理得： 两式相等，且，整理得， 由①②相乘：， 又，所以， 于是， 由①②相加： 两边平方： 所以，即 由①②消去，整理得 于是， 代入，， 计算可得， 又由勾股定理：. 所以，故. ◆题型4 焦点三角形的角度判定与计算 16．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）已知焦距相同的椭圆与双曲线的一个交点为，的左、右焦点分别为、，且的离心率为，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义及基本性质，结合余弦定理，列出方程，求得，即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，椭圆与双曲线的焦距相同，即焦点相同，设，， 则在椭圆中，可得。，则， 则， 又，即， 即，所以， 所以， 在双曲线中，可得，则， 所以， 又，所以，化简得， 又，所以，所以，解得， 所以双曲线的离心率为. 17．（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________ 【答案】/ 【分析】设直线，的倾斜角分别为，， ，且，利用差角正切公式、基本不等式求关于椭圆中参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率. 【详解】由题意知，，，直线为， 设直线，的倾斜角分别为，， 由椭圆的对称性，不妨设为第一象限的点，即，， 则，. ， ， 当且仅当，即时取等号， 又的最大值为， ，即，整理得，故椭圆的离心率是. 18．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）（多选）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，直线与E在第一象限内相交于点P，过点P作x轴的平行线与E相交于另一点Q，若，，则（    ） A． B．E的渐近线方程为 C． D．的外接圆半径为 【答案】ABD 【分析】A选项，利用直线斜率求得，余弦定理求得，由得结果；B选项，由勾股定理求，结合双曲线定义求出，可得渐近线方程；C选项，求出的横坐标结合曲线对称性可得的值；D选项，由正弦定理得的外接圆半径． 【详解】显然，由得， ， 由余弦定理得， ，于是，故选项A正确； 由勾股定理得，， 由定义得，，， 故渐近线方程为，故选项B正确； 显然的横坐标满足，，由曲线对称性可知，故选项C错误； ， ∴由正弦定理得的外接圆半径，故选项D正确． 19．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）（多选）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的面积为 D．双曲线是等轴双曲线 【答案】ACD 【分析】根据条件，利用双曲线的定义求出，再由余弦定理即可求出，进而可得，即可判断出A、B和D的正误，再由平方关系和三角形面积公式，求出的面积，即可判断C的正误. 【详解】易知，则，又，所以，又，所以， 则，所以A正确， 对于B，因为，则，所以，则的渐近线方程为，所以B错误， 对于C，因为，则， 所以的面积为，故C正确， 对于D，因为，则，即，所以双曲线是等轴双曲线，D正确. 20．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义推得，结合对称性得，设，分别利用三角函数定义和余弦定理列方程，消去，得关于的齐次方程，求解即得. 【详解】如图，连接，由双曲线定义，， 因，则， 由对称性可知，，设， 在等腰三角形中，，即（*） 在中，由余弦定理，， 即， 将（*）代入，可得， 整理得，则有， 故. ◆题型5 焦点三角形的面积计算与最值 21．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________； 【答案】 【分析】根据对称可得四边形为矩形，进而根据垂直关系以及椭圆定义求解，利用面积为即可求解. 【详解】由于，且、在原点处互相平分，因此四边形为矩形， 因此，即， 又，因此，故， 又四边形的面积为，因此，故，即. 22．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【答案】/ 【分析】设的内切圆半径为，结合双曲线定义与三角形面积公式推导、的关系，进而求出离心率。 【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件， 得 ，得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. 23．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知椭圆C：的左右两个焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大面积为3 B．若，则点的纵坐标为 C．存在点，使得 D．的取值范围为 【答案】B 【分析】对于A，当位于椭圆的上、下顶点时，的面积最大，求出最大值即可判断；对于B，设，利用余弦定理求出，利用即可判断；对于C，若存在点，则点在以线段为直径的圆上，联立方程判断无解，即可判断；对于D，求出，根据的范围即可判断. 【详解】对于椭圆C：，，，， 对于A，当位于椭圆的上、下顶点时，的面积最大， 所以的面积最大值为，故A错误； 对于B，设，则， 在中，， 即，解得或， 根据对称性，不妨设，则，， ， 又， 所以，解得，故B正确； 对于C，以为直径的圆方程为， 若存在点，使得，则点在以线段为直径的圆上， 联立，方程组无解， 故不存在点，使得，故C错误； 对于D，设点， ， 因为，所以，故D错误. 24．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（ ） A．以为直径的圆与圆相切 B．的离心率 C．线段的中点在直线上 D．的面积为 【答案】AD 【分析】设的中点为，则，即可判断A；设直线与圆的切点为，直线为双曲线的另一条渐近线，根据双曲线的对称性可得，结合离心率的概念计算即可判断B；根据点差法计算可得，求出直线的斜率即可判断C；设，则，根据双曲线的定义可得，结合计算即可判断D. 【详解】对于选项A，设的中点为，则， 以为直径的圆与圆的圆心距为两圆的半径之和， 故以为直径的圆与圆相切，故A正确； 对于选项B，因为点是双曲线的渐近线上的一点，， 所以，设直线与圆的切点为， 则，故直线的斜率为. 即直线为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知， ，即. 所以双曲线的离心率为，故B错误； 对于选项C，设的中点为，设， 则，直线的斜率为， 且，两式相减得. 整理得，即， 又因为直线的斜率为，所以直线的斜率为. 所以的中点在直线上，故C错误； 对于选项D，设，因为， 所以，由双曲线的定义得. 因为，代入得，化简整理得， 即，即. 解得，又， 所以的面积为，故D正确. 25．（2026·海南儋州·一模）（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则（   ） A．若的面积，则满足题意的点有四个 B．若，则的面积 C．椭圆内接矩形面积的最大值为12 D．若为钝角三角形，则的面积的取值范围为 【答案】ABD 【分析】设，结合选项利用面积公式可判断AD，利用余弦定理得，然后代入三角形面积公式求解判断B；设椭圆内接矩形的一个顶点为，利用二倍角公式化简面积，结合正弦函数的最值可得面积的最值判断C. 【详解】∵椭圆，∴，∴，， 设，则，， 对于A：若，则，解得，代入椭圆方程可得， 故满足题意的点有四个，正确； 对于B：由余弦定理得，， 则，即， ∴， ∴的面积为，正确； 对于C：设椭圆内接矩形的一个顶点为， 则椭圆内接矩形的面积为， 由得，∴， ∴椭圆内接矩形面积的最大值为，错误； 对于D： ，可知不可能为钝角， 由对称性不妨设是钝角，先考虑临界情况，当为直角时， 由通径长可得，此时， ∴当为钝角三角形时，，则， 即的面积的取值范围为，正确. ◆题型6 焦点三角形衍生几何性质（内切圆与外接圆） 26．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内心性质可得，利用椭圆的定义可得，再根据三角形面积及余弦定理得，进而求得，即可求解离心率． 【详解】因为 ，所以． 设，，焦距．的周长为． 由椭圆的定义可知，代入得，所以． 三角形面积，所以． 在中，由余弦定理得，即． 又．代入得． 整理得，即． 由代入得．联立解得．故离心率． 27．（2026·重庆万州·三模）若F1，F2为椭圆的两个焦点，P为C上一点，且△PF1F2的内切圆的半径小于则点P横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等面积法建立方程，表示出P横坐标，再根据△PF1F2的内切圆的半径取值范围求解. 【详解】由题可知，所以，， 设△PF1F2的内切圆的半径为， 所以， 又，所以，即 又，所以，所以， 所以，因为 所以所以， 所以或，所以点P横坐标的取值范围是 28．（26-27高三上·浙江·阶段检测）（多选）已知双曲线，焦点，，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线于第一象限交于点，则下列满足内切圆半径为1的双曲线方程有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】通过内切圆半径确定双曲线中需满足的等式关系，进而逐项判断即可. 【详解】以原点为圆心、为半径的圆方程为，该圆过双曲线的两个焦点， 根据直径所对圆周角为直角，可得为直角三角形，， 设，，由双曲线定义得； 直角三角形内切圆半径公式为，又，， 代入得；结合， 可得：， 由勾股定理， 将、代入上式化简可得关系：； 选项A：双曲线，，， ，不满足条件， 选项B：双曲线，，， ，满足条件， 选项C：双曲线，，， ，满足条件， 选项D：双曲线，，， ，满足条件. 29．（26-27高三上·湖南·开学考试）（多选）在平面直角坐标系中，双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线与在第一象限内相交于点，过点作轴的平行线与相交于另一点，若，，则（    ） A． B．的渐近线方程为 C． D．的外接圆半径为 【答案】ABC 【分析】根据双曲线焦距公式得到的值，设，由，利用向量数量积求解的坐标.将点坐标代入双曲线方程，结合，联立求解得到.对于选项A，利用两点距离公式求解，进而在求解；对于选项B，由的值写出渐近线方程；对于选项C，确定的坐标，进而计算；对于选项D，结合三点坐标，正弦定理求解半径. 【详解】已知，故双曲线半焦距，即，. 设，由得向量点积为0： ， 化简得，解得（在第一象限），故. 选项A，在中，，， 因此：，A正确. 选项B，将代入双曲线方程，联立，解得，， 渐近线方程为，B正确. 选项C，平行于轴，故与纵坐标相同，代入双曲线得Q的横坐标为，因此：，C正确. 选项D，，，，为等腰三角形， 底边长，高为，. 在中由余弦定理可得：， ，解得， 即， 所以， 因此外接圆半径，D错误. 30．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点P，使得的面积为2 C．椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义结合△ABF₂的周长为8的条件，即可求出的值，从而判断选项A；由椭圆中焦点三角形最大面积为，求出最大面积即可判断选项B；分情况考虑直角三角形的顶点，即可判断选项C；先内切圆的面积公式可知最大时，内切圆半径最大，求出内切圆半径；再由正弦定理可得外接圆半径的等量关系，当时，此时外接圆半径最小，求出最小值，即可判断选项D. 【详解】对于A，由题可知，椭圆焦点在轴上，由椭圆的定义可知，， 又，所以的周长为，所以，选项A正确； 对于B，由A知，则椭圆的方程为，即，所以， 因为，所以不存在点，使的面积为2，选项B错误； 对于C，若为直角三角形，当时，存在两个这样的点；当时，存在两个这样的点； 当时，可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括，两点，因为，所以圆与椭圆有四个交点， 即椭圆上存在4个不同的点，使得. 因此，椭圆上存在8个不同的点，使得为直角三角形，选项C错误； 对于D，由的周长为，设内切圆的半径为， 则，所以当最大时，内切圆半径最大， 此时为上顶点或下顶点，，则，解得； 设外接圆的半径为，由正弦定理可得， 由选项C可知，存在点使得，则，此时， 所以内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为，选项D正确. ◆题型7 椭圆与双曲线共焦点的定义综合模型 31．（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆和双曲线的定义和标准方程，结合余弦定理即可求解. 【详解】椭圆中，所以共同焦点，, 由椭圆的定义，得, 双曲线中，由双曲线的定义得， 不妨设，得， 在中，由余弦定理得. 故选：D. 32．（26-27高三上·重庆·开学考试）（多选）已知椭圆与双曲线的焦距相同，左、右焦点分别为的离心率分别为是与的一个交点，，则的值可能为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】CD 【分析】设半焦距为，设，且，则根据椭圆定义与双曲线定义得，再结合，根据余弦定理求得即可求得答案. 【详解】设半焦距为，因为与的焦距相同， 所以，对椭圆，，， 对双曲线，，， 所以，即. 设， 所以，由椭圆的定义得，， 根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设， 所以，解得， 因为，所以， 当时，，解得. 此时，，. 当时，，解得， 此时，. 综上，的值可能为或. 33．（2025高二·全国·专题练习）双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为_____. 【答案】 【分析】可设所求的双曲线的方程为，结合双曲线与椭圆有相同的焦点得到，根据双曲线的定义可得， 计算的周长可转化为，当，，三点共线时，周长取最小值. 【详解】由题意，可设所求的双曲线的方程为，即. 椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点为，，所以，， 所以双曲线的方程为，则，， 如图： 的周长为. 当，，三点共线时，有最小值，最小值， 故的周长的最小值为. 故答案为： 34．（2025·湖北·模拟预测）（多选）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，若为，在第一象限的一个公共点，和的离心率分别为，，，则（    ） A． B． C． D．当时，的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A项，依据椭圆上点到两焦点距离和为2a，结合，联立算出与，二者相乘得结果. 对于B项，由椭圆与双曲线性质得两种表达式，进而推出的值，用余弦定理求，再算向量数量积. 对于C项，将、、代入式子，计算结果不符，该项错误. 对于D项，当，用勾股定理得等式，化简后得到. 设，，根据、的范围确定范围，再根据函数性质求范围. 【详解】对于，设椭圆的焦距为，，， 则，， 解得，.，则A正确； 对于，，即， ，， ，则B正确； 对于，由B可知， 所以可得，得到， 由，，得，. 可得：，整理可得：，并非等于.则C错误； 对于，因为，所以，即， 化简得，即，即， 令，， 则，其中，，取， 因为，，所以，， 所以，，故， 因为，其中，， 所以在上单调递增，故，则D正确. 故选：. 35．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，M是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（） A． B． C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】由椭圆与双曲线中参数之间的关系得到，判断A选项；由三角形正弦定理求得角，再由椭圆和双曲线定义表示出线段，再用余弦定理求得关系，由三个参数的关系式，判断B选项；由两边同除再化简，判断C选项；用离心率公式代入数值后利用基本不等式求得最小值，判断D选项. 【详解】 对于A：是椭圆和双曲线的公共焦点， 双曲线，则焦点在轴，所以椭圆中， ，即，即，故A错误； 对于B：由正弦定理可知在中，，， ， 由椭圆和双曲线的定义可知：，解得， ， 即， ，故B错误； 对于C：判断，即判断. ，即，得，，而，易知，即，故C错误； 对于D：由，得，所以 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故D正确. 故选：D. ◆题型8 第二定义进阶：焦半径与焦点弦专项 36．（2025·辽宁·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，为上第一象限内一点，的平分线经过抛物线的焦点，且与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线的焦点为，，根据圆锥曲线的统一定义得，再由角平分线定理得，通过化简变形得到，从而得，再根据∥，求得，将代入求出代入即得结果. 【详解】因为椭圆，所以， 所以，，，离心率. 设抛物线的焦点为，由题意得， 设，则 由角平分线定理得，所以， 所以，即 所以，所以， 所以 由题意，得∥，所以，解得. 将代入，得，解得， 所以. 故选：D. 37．（2024·四川成都·模拟预测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆E相交于P，Q两点，则（   ）. A．以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为 B．以为直径的圆与椭圆E有且仅有2个公共点 C．以为圆心，为半径的圆与椭圆E有3个公共点 D．以为直径的圆与直线相离 【答案】ABD 【分析】对于A，由长半轴的长结合题设即可判断；对于B，求出焦距后联立圆方程和椭圆方程后可判断其正误；对于C，根据焦半径的范围可判断其正误；对于D，利用圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断其正误. 【详解】对于A，以椭圆的长轴为直径的圆的半径为，圆心为原点， 故该圆的方程为，选项A正确； 对于B，由椭圆方程可得，故以为直径的圆的半径为1，圆心为原点， 故其方程为，由可得或， 故该圆与椭圆有且仅有2个公共点，选项B正确； 对于C，由于椭圆上的任意一点与左焦点的距离， 当且仅当为左顶点时取等号， 故以为圆心，为半径的圆与椭圆只有一个公共点，选项C错误； 对于D，设为线段的中点，过点作直线l的垂线， 垂足分别为点，，，设，则， 因为，所以， 而，故，同理， 则， 即以为直径的圆的圆心到直线l的距离大于该圆的半径，选项D正确. 故选：ABD. 38．（24-25高二上·浙江·期中）已知，M是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，则的最大值为________． 【答案】 【分析】设，可得，结合椭圆的第二定义可得，进而得到，进而利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意，要求的最大值，设， 则，即， 由，得，则， 则，，椭圆的右准线为， 则到右准线为的距离为， 根据椭圆的第二定义可知，，即， 又，， 则 ， 由于，则， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用椭圆的第二定义得到，进而表示出，再利用基本不等式求解即可. 39．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）已知椭圆上任意一点到左焦点的距离为，到右焦点的距离为 (其中为椭圆的离心率). 若分别是椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于的任意一点，为椭圆所在平面上的动点，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为3 B．若点的横坐标为，则的角平分线与轴交点横坐标为 C．若外接圆的圆心在外，则 D．若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 【答案】ABC 【分析】对于A，设，可得，其中，进而表示出即可求解判断；对于B，设的角平分线与轴交点横坐标，根据题设定义及角平分线性质可得，进而代值计算即可判断；对于C，分析可得最大为，先考虑圆的圆心在上的情况，此时为直角三角形，可求得，进而判断外接圆的圆心在外时的情况；对于D，设，先求出过点的圆的圆心，再得到，进而求解判断即可. 【详解】由椭圆，则，即. 对于A，设，则，即，其中， 则， 则时，的最小值为3，故A正确； 对于B，由题意，，，点的横坐标为， 设的角平分线与轴交点横坐标， 由角平分线性质知， 则，解得，故B正确； 对于C，当点在椭圆上顶点时，最大， 此时，则，即， 先考虑圆的圆心在上的情况，此时为直角三角形， 不妨设点在第一象限，则，即， 即， 若外接圆的圆心在外，则为钝角三角形， 此时，故C正确； 对于D，设过点的圆的方程为， 设，则，，即 则，又， 则，，解得， 则， 所以过点的圆的方程为，则圆心为， 而关于对称，则， 令，则， 代入得，，即， 所以点的轨迹方程为，故D错误. 40．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1，F2 ， P是C上一点，记I，G分别为△PF1F2​的内心和重心，则∣IG∣的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由三角形重心坐标公式可得，由椭圆第二定义，结合圆的切线性质，等面积法可得，据此可得答案. 【详解】由题可得，，准线方程为：. 设，三角形重心坐标公式可得：，则. 如下图作出椭圆的两条准线，过向两条准线做垂线，垂足为. 由椭圆第二定义可得：， 从而， ，则. 如图，作出的内切圆，与各边切点为. 由圆的切线性质可得：， 则， 又注意到，则， 结合，可得. 因表示三角形内心到的距离， 则，其中为三角形内切圆半径. 注意到， 因在x轴同侧，从而，则，注意到， 则 ◆题型9 第三定义拓展 41．（2025·山东枣庄·二模）已知椭圆，直线与交于，两点，过点作与垂直的直线交于另一点，记直线的斜率为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据对称性设出，，三点的坐标，并得到与的表达式，然后由，在椭圆上得到与的关系，因为直线与垂直，所以进一步转化为与的关系，最后利用题目中与的比例以及离心率公式求解. 【详解】 设，，则， 所以，. 又，， 所以. 因为直线与垂直，所以， ，所以，所以. 又，所以，的离心率. 故选：. 42．（2027高二·全国·专题练习）已知双曲线，直线交于，两点，为上另一点，满足，为平面直角坐标系的原点．若线段的中点分别为，则直线斜率的乘积为（   ） A．16 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】设，，则所以，即，所以，这表明中，边上中线的斜率与的斜率之积为，所以，所以，又因为，所以，而，所以，所以．故选B． 43．（2027高二·全国·专题练习）已知曲线方程，，，点为曲线右支上一点，且与不重合，直线，分别与直线交于，两点，则以，为直径的圆面积的最小值是________． 【答案】 【详解】利用双曲线第三定义可知，则，， 令，则，，所以，以，为直径的圆面积，当且仅当时等号成立．故答案为： 44．（2027高二·全国·专题练习）（多选）已知点，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，且，点是椭圆上异于，的一动点，直线，分别与直线交于点，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB 【详解】设点，设直线的倾斜角为，斜率为，直线的倾斜角为，斜率为，对于A，由题意可得，且，所以，，则椭圆方程为，所以，故A正确； 对于B，由，得，令得，，所以，则，所以，故B正确； 对于C，同理，得，令，得，所以，又由，得，则，当且仅当时，等号成立，故C错误； 对于D，不妨设且，则，，设，分别为直线，的倾斜角，则，即，即为钝角，又由，得，则，当且仅当时，等号成立，此时取最大值，即最大，因此的最小值为，故D错误；故选AB． 45．（2025·湖北·三模）（多选）已知点是椭圆的右焦点，点A，B分别是椭圆的左、右顶点，过点F的直线l与椭圆交于P，Q两点，点P在第一象限，用，，分别表示直线，，的斜率，，则（    ）． A． B． C． D．面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，联立，与椭圆方程，由韦达定理，，，从而可以用离心率表示，进一步结合可求出，，，以及面积的最大值． 【详解】 设，，设， 联立直线与椭圆方程得， ，，，， ， ，同理， 又， ， 故，又,故，． 于是， 又，所以， 当在短轴端点时， 面积的最大值为． 故选：BCD. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在上，且的周长为16，则面积的最大值为（     ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【详解】的周长为16， 所以有， 化简得. 由椭圆方程可知，，代入， 解得，， 设椭圆的短半轴长为，则， 所以，当点为椭圆上下顶点时，面积最大，最大值为. 2．椭圆的左、右焦点分别为、，上点位于第一象限内，为坐标原点，，线段与轴交于点且，若的面积等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据得，再根据以及与轴交于点列两组等式求出，并得到，由此可判断出的形状，并据此及的面积列等式求出c的值，最后再求出． 【详解】 设，根据可得， 因为，所以、、共线， 可得，化简得（1）， 又因为直线过点、，可得直线的方程为， 代入得，化简得（2）， 联立（1）（2）可得，易知，所以，即， 所以，即，又，所以轴， ，解得， 因此，在中，， 所以． 3．已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立a、c关系求解离心率． 【详解】设椭圆左焦点为，连接，    由A、B关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率． 故选：C 4．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆及双曲线的方程，根据椭圆及双曲线的离心率公式及定义，求得，进而得，，利用余弦定理即可求得，根据双曲线的渐近线方程，即可求得答案． 【详解】设椭圆的方程：，双曲线的方程：，， 焦点，， 由，，由，则，则， 由定义：，， 则，， 由余弦定理可知：， 则， ，，则， 双曲线的渐近线方程， 5．若椭圆与双曲线有公共的左焦点，两曲线在第一、三象限内的公共点分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，由双曲线和椭圆的定义先求出焦点三角形各边长，发现，从而由即可得解. 【详解】    易知两曲线有公共的右焦点，根据题意，，， 根据椭圆的定义得到， 根据双曲线的定义得到， 故，，又， 所以，从而， 所以. 故选：C． 6．已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，P为与在第一象限的公共点，若，则的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，不妨设，，则，于是， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 又，所以， 在中，，，， 设内切圆的半径为，则，即， 解得. 二、多选题 7．已知椭圆的左、右焦点分别为在上且不在轴上，则（    ） A．面积的最大值为 B．直线与的斜率之积可能为 C．存在点使得 D．的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据椭圆方程即可判断A正确，设出点坐标并利用椭圆性质及其范围可判断B错误，满足的点在以为原点，1为半径的圆上，此时圆与椭圆无交点，即C错误；利用椭圆定义求得的表达式并利用二次函数性质可判断D正确. 【详解】对于A，易知当点位于的上（下）顶点时，的面积最大为，A正确； 对于B，设，则， 又点在上，则，即，所以， 由得，所以， 因此不可能为，B错误； 对于C，满足的点在以为原点，1为半径的圆上， 易知其与椭圆无公共点，因此不存在上的点，使得，C错误； 对于D，由椭圆的定义可得，， 易知，则，D正确． 故选：AD 8．已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（   ） A．的周长是 B．时，的面积是 C．的最大值是2 D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，先得到，再根据椭圆的定义求解判断即可；对于B，根据余弦定理可得，再求解判断即可；对于C，由基本不等式求解判断即可；对于D，设，易得切线方程为，进而得到，由结合基本不等式可得，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由椭圆知椭圆焦点在轴上，且， 则的周长是，故A正确； 对于B，由椭圆的定义得，， 由余弦定理得，， 则，即，则， 所以的面积为，故B错误； 对于C，由，则， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，先证明：椭圆上的一点处的切线方程为. 联立，得， 点在椭圆上，， ，即， ， 得，故直线和椭圆仅有一个公共点， 则椭圆上的一点处的切线方程为. 设，由题意知的切线斜率存在，则切线方程为， 令，得，令，得，即， 又，则， 即，当且仅当时等号成立， 则面积为， 即的面积的最小值为，故D正确. 9．已知是椭圆上一点，是左右焦点，交椭圆于点交椭圆于点，则（   ） A．的周长等于12 B．可能是等边三角形 C．若是椭圆的上顶点，则的面积为10 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据椭圆的定义可判断A，利用反证法可判断B，利用椭圆的定义结合余弦定理可计算出，然后利用面积公式即可判断C；利用椭圆的定义结合余弦定理可判断D. 【详解】由题意可知，椭圆的长半轴长. 对于A，的周长， 故A正确； 对于B，若为等边三角形，又，则为的中点，由椭圆对称性可知，进而得出在轴上，又三点共线，则也在轴上， 与矛盾，所以不可能是等边三角形，故B错误； 对于C，若是椭圆的上顶点，则，设，则， 在由勾股定理可得 ，即，解得， 所以，，设，则， 在由余弦定理可得：， 即解得，即，所以， 所以的面积，故C正确； 对于D，若，则， 设，则，，由A可知，解得， 所以 ，， 在由余弦定理可得：， 所以，即，，所以 ，故D错误. 故选：AC    三、填空题 10．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则___________． 【答案】3 【分析】由椭圆方程得，由椭圆定义、焦点三角形中的余弦定理及求解. 【详解】由椭圆可得，所以， 所以， 设，， 则，， 在中，， 即， 所以，所以，所以， 即， 故答案为：. 11．如图所示，已知双曲线和椭圆有共同的右焦点，记曲线为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若，分别在曲线中的双曲线和椭圆上，则周长的最小值等于__________． 【答案】2 【分析】根据双曲线和椭圆定义，表示出周长与、的关系，根据三角形性质——两边之差小于第三边得出当，，三点共线时周长最小的结论，即可求出答案. 【详解】设双曲线和椭圆共同的左焦点为，根据双曲线和椭圆定义可知，， 得周长为： 根据三角形性质可知，当，，三点共线时取最大值，此时周长最小，当，，三点共线时，最小周长为 故答案为：2 12．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上异于左、右顶点的一点，且．若，则的面积为_______；设的内心为，其外接圆的半径为，记的面积分别为，若，则椭圆的离心率为_______． 【答案】 / 【分析】第一空：令，根据椭圆的定义结合余弦定理得出，然后应用面积公式计算即可；第二空：设内切圆半径为，根据面积等式，结合椭圆的定义，求得，再结合正弦定理得出，最后代入题设条件计算即可求解. 【详解】第一空：设，则由椭圆定义可得 ， ① 由余弦定理得： ，② ①式平方减去②得：，即， 所以的面积， 因为，则的面积； 第二空：设内切圆半径为，则的面积， 所以，故， 由正弦定理可得：，解得：， 由可得： 整理得： 即， 又，即，所以椭圆的离心率为. 四、解答题 13．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）． (1)若，求的面积； (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解，（也可以用二级结论，其中求解）； （2）由双曲线的定义和圆的切线长定理，得到内切圆圆心的横坐标为a，再根据该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点求解. 【详解】（1）设，，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理，得， 可得，则的面积． （可用二级结论验证：若为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，则双曲线焦点三角形的面积，其中，此题中，则）． （2）如图所示，，， 设内切圆与轴的切点为与内切圆的切点分别为． 由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，， 故，即． 设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为，故，可得． 由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点， 可得，， 解得，， 可得内切圆圆心的横坐标为． 14．已知椭圆短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于M，N两点，其中M，N分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点． (1)若坐标为，求椭圆的方程； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据重心的定义，求解得到点的坐标，用待定系数法即得椭圆的方程； （2）根据重心的几何性质并结合图象，将三角形的面积拆分，然后利用面积关系即可求解得到的取值范围． 【详解】（1）依题意，，故椭圆， 易知点为的重心，则，故， 代入椭圆方程得， 所以椭圆的方程为． （2）解法一：易知点分别为的重心， 设，设点， 则根据重心性质及面积公式得， ， 而， 所以，则，所以； 设直线，则联立椭圆方程得，消元化简得，，， ， 对任意的恒成立， 即得，故实数的取值范围为． 解法二：易知点为的重心，， ， 此时，设点，则根据重心的性质可得， ，， ，而， ； 设直线，则联立椭圆方程得，消元化简得，，， ， 对任意的恒成立， 即得，故实数的取值范围为． 15．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线：与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用椭圆的范围求出面积的最大值表达式，再利用给定的最大值及取得最大值的条件求出即可. （2）（i）联立直线与椭圆方程，求出的表达式，再判别式及利用韦达定理列出不等式求出范围；（ii）由（i）的信息，利用向量的坐标运算，结合点在椭圆上列式求得答案. 【详解】（1）设，椭圆的半焦距为，则，， ，当且仅当，即点为椭圆短轴端点时取等号， 而当时，的面积取得最大值，则，， 因此， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）由消去并整理得， 由，得，设， 则，显然同号，则， 由，得， 由，得，则，设， 于是，解得， 由点在点之间，得，则， 所以的取值范围. （ii）由（i）知， 由，得， 由，得，点， 而点在椭圆上，因此，解得，满足题意， 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题04 圆锥曲线定义与焦点三角形（专项训练） 常考题型·精准突破 ◆题型1 第一定义基础应用 1． 【答案】C 2． 【答案】D 3． 【答案】C 4． 【答案】A 5． 【答案】B ◆题型2 定义转化求距离最值 6． 【答案】C 7． 【答案】A 8． 【答案】7 9． 【答案】A 10． 【答案】C ◆题型3 焦点三角形的边长、周长与比例问题 11． 【答案】AC 12． 【答案】ABD 13． 【答案】ABD 14． 【答案】 15． 【答案】 ◆题型4 焦点三角形的角度判定与计算 16． 【答案】B 17． 【答案】/ 18． 【答案】ABD 19． 【答案】ACD 20． 【答案】B ◆题型5 焦点三角形的面积计算与最值 21． 【答案】 22． 【答案】/ 23． 【答案】B 24． 【答案】AD 25． 【答案】ABD ◆题型6 焦点三角形衍生几何性质（内切圆与外接圆） 26． 【答案】B 27． 【答案】A 28． 【答案】BCD 29． 【答案】ABC 30． 【答案】AD ◆题型7 椭圆与双曲线共焦点的定义综合模型 31． 【答案】D 32． 【答案】CD 33． 【答案】 34． 【答案】ABD 35． 【答案】D ◆题型8 第二定义进阶：焦半径与焦点弦专项 36． 【答案】D 37． 【答案】ABD 38． 【答案】 39． 【答案】ABC 40． 【答案】A ◆题型9 第三定义拓展 41． 【答案】D 42． 【答案】B 43． 【答案】 44． 【答案】AB 45． 【答案】BCD 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】B 2． 【答案】A 3． 【答案】C 4． 【答案】B 5． 【答案】C 6． 【答案】D 7． 【答案】AD 8． 【答案】ACD 9． 【答案】AC 10． 【答案】3 11． 【答案】2 12． 【答案】 / 13． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解，（也可以用二级结论，其中求解）； （2）由双曲线的定义和圆的切线长定理，得到内切圆圆心的横坐标为a，再根据该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点求解. 【详解】（1）设，，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理，得， 可得，则的面积． （可用二级结论验证：若为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，则双曲线焦点三角形的面积，其中，此题中，则）． （2）如图所示，，， 设内切圆与轴的切点为与内切圆的切点分别为． 由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，， 故，即． 设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为，故，可得． 由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点， 可得，， 解得，， 可得内切圆圆心的横坐标为． 14． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据重心的定义，求解得到点的坐标，用待定系数法即得椭圆的方程； （2）根据重心的几何性质并结合图象，将三角形的面积拆分，然后利用面积关系即可求解得到的取值范围． 【详解】（1）依题意，，故椭圆， 易知点为的重心，则，故， 代入椭圆方程得， 所以椭圆的方程为． （2）解法一：易知点分别为的重心， 设，设点， 则根据重心性质及面积公式得， ， 而， 所以，则，所以； 设直线，则联立椭圆方程得，消元化简得，，， ， 对任意的恒成立， 即得，故实数的取值范围为． 解法二：易知点为的重心，， ， 此时，设点，则根据重心的性质可得， ，， ，而， ； 设直线，则联立椭圆方程得，消元化简得，，， ， 对任意的恒成立， 即得，故实数的取值范围为． 15． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用椭圆的范围求出面积的最大值表达式，再利用给定的最大值及取得最大值的条件求出即可. （2）（i）联立直线与椭圆方程，求出的表达式，再判别式及利用韦达定理列出不等式求出范围；（ii）由（i）的信息，利用向量的坐标运算，结合点在椭圆上列式求得答案. 【详解】（1）设，椭圆的半焦距为，则，， ，当且仅当，即点为椭圆短轴端点时取等号， 而当时，的面积取得最大值，则，， 因此， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）由消去并整理得， 由，得，设， 则，显然同号，则， 由，得， 由，得，则，设， 于是，解得， 由点在点之间，得，则， 所以的取值范围. （ii）由（i）知， 由，得， 由，得，点， 而点在椭圆上，因此，解得，满足题意， 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $