培优专题 第1章 有理数全章八种重难点题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册
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内容正文：
培优专题 第1章 有理数全章八种重难点题型
（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册
目 录
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、数轴动点（单点与双点）
题型二、数轴上的距离和与最值
题型三、绝对值方程与不等式
题型四、含字母的多重绝对值化简
题型五、数轴上的规律探究
题型六、数轴折叠、覆盖与整点计数
题型七、数轴上的新定义
题型八、有理数大小比较进阶
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
第 1 章八种题型，落点只有四件事：单点或者双点运动，先明确运动情况，模拟运动路径，在运动过程中寻找符合题意的位置点，通过位置点进行运算，点与点的距离，明确右减左，可以保证点表示的数与距离两者之间不冲突，两点距离一律写成 |a−b|；绝对值写成“到某点的距离”；动点先根据路程公式表示在数轴上面的距离，再列式；
本章必备的三条核心结论：
1. 数轴上 A、B 两点表示 a、b，则 AB＝|a−b|，与谁大谁小无关；看到“距离”两个字，先把它写成绝对值。明确右减左，设元，标注线段长度，来表示距离。
2. |x−a| 就是 x 到 a 的距离；|x−a|＋|x−b| 的最小值＝|a−b|，此时 x 在 a、b 之间（含端点）。偶数个点的最值在中间两个点之间。奇数个点的最值在最中间的位置。
3. 折叠的实质是对称：两个对称点的坐标之和＝折痕坐标的 2 倍，模拟折叠后的位置进行判断。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 距离写成 a−b 而不是 |a−b|，一遇到负数就错，一定要明确右减左。
2. 解 |x−a|＝b 不先看 b 的符号，b＜0 时仍去解方程；
3. 动点题不设 t、不分段，直接拿终点位置算全程；
4. 含字母的绝对值不先由数轴定符号，硬拆绝对值把符号拆错。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、数轴动点（单点与双点）
典例1 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．
(1)直接写出A，B，C三点所表示的数；
(2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动：
①求15秒后动点P与点B之间的距离；
②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
解题模板
1.设运动时间为 t，位置＝起点±速度×t，先写含 t 的式子再列方程。
2.相遇令两个位置相等；相距某长度要分未相遇、已相遇两种情况。
3.到达端点折返的，必须先判断 t 落在哪一段，再分段列式。
4.中点型：某点是另两点的中点，用两点坐标之和＝中点坐标的 2 倍。
变式1-1 （25-26七年级上·浙江温州·期中）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究温州轻轨的运行．
素材一
如图1是温州轨道2号线的轻分线路图，为了研究方便，轻轨运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间轻轨的运行时间都为3分钟，每站停靠时间为30秒．
素材二
小安用数轴上的动点P来表示轻轨的运行，他以东山站为原点建立了如图2所示的数轴．其中数字1表示上东路站，数字2代表上望站．以此类推，动点P每运动到一个整点时．都需要暂停30秒，代表轻轨到达停靠．
问题解决
探究1
如图2，数字4表示______站
探究2
（1）如图，若小瑞从东山站出发往天河方向，出发时间为t分钟，当分钟时，此时小瑞离东山站距离多远？
（2）若P从原点出发，运动t分钟到数字4和数字5之间（不含数字4和数字5），求P点在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）．
探究3
若小瑞在上望站上车，坐轻轨往天河方向，同时小安在鲍田站上车，往东山方向坐轻轨．若两辆轻轨恰好同时从上望站和鲍田站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度．
变式1-2 （25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是．
(1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______；
(2)如果，求出点P表示的数以及b的值；
(3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
变式1-3 （25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）．
例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）．
已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点．
(1)（点，线段）________，（点，线段）________；
(2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值；
(3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值．
题型二、数轴上的距离和与最值
典例2 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）数轴上点A，B分别表示有理数a，b，这两点之间的距离记为，即．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)表示2和5的两点之间的距离为______，表示2和的两点之间的距离为______；
(2)表示x和的两点之间的距离为__________；（用含有x的式子表示）
(3)求的最小值为__________；
(4)求的最小值为__________．
解题模板
1.|x−a| 表示 x 到 a 的距离，先画点再算，别直接代公式。
2.|x−a|＋|x−b| 的最小值＝|a−b|，x 取 a、b 之间任一点。
3.三个及以上绝对值相加，x 取中间那个零点时最小。
4.求最大值时先看 x 的取值范围，端点上取到。
变式2-1 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为
，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（一）数轴上表示数的点和表示数2的点之间的距离是 ．
（二）数轴上点A用数a表示，
（1）若，那么a的值是 ．
（2）最小值是 ．
（3）最小值是 ．
（4）当a为何值时，有最小值，最小值为多少？
变式2-2 （24-25七年级上·浙江湖州·期中）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：
(1)填空：_______．若，则________．
(2)填空：使得成立的的值是________．
(3)由以上探索：猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，请说明理由．
变式2-3 （23-24七年级上·浙江台州·期中）已知点，在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离可以表示为，比如式子表示有理数的点与表示数3的点之间的距离．
请回答以下问题：
(1)若表示一个有理数，，则______．
(2)若表示一个有理数，的最小值_____．
(3)在一工厂流水线上依次排列了个工作台（工作台在同一直线上），第1个工作台安排了2名工人，其他每个工作台安排了1名工人，现在要在流水线上设置一个工具台，以方便这名工人从工作台到工具台拿取工具，为了让工人们拿取工具所走路程之和最短，请直接说出工具台设置在什么位置．
题型三、绝对值方程与不等式
典例3 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）同学们都知道，表示与的差的对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成：
（1）可理解为与______在数轴上所对应的两点之间的距离；
（2）使得，则______．
解题模板
1.|x−a|＝b：b＞0 两解，b＝0 一解，b＜0 无解，先看 b 的符号。
2.|x−a|＋|x−b|＝c 的解的个数，看 c 与 |a−b| 谁大。
3.解集的端点就是等号成立时的解，再判断取中间还是取两边。
4.含参讨论按有解、无解、有无穷多解三种情形分。
变式3-1 （24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知有理数，满足，，且的绝对值与其相反数相等，则的值为_____．
变式3-2 （25-26七年级上·浙江金华·期中）已知，，且，则的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
变式3-3 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）我们知道，在数轴上表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点，，分别用数，表示，那么、两点之间的距离为：．例如，点表示的数是2，点表示的数为，，两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题：
(1)A所表示的数是，B所表示的数是6，A，B两点之间的距离是_____．
(2)若，则_____，
(3)结合数轴，求得的最小值为_____；
题型四、含字母的多重绝对值化简
典例4 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，数轴上的三个点分别表示数，，．若，，且，则________．
解题模板
1.由数轴给出的位置定每个字母的正负，符号定了再化简。
2.先找零点，把数轴分成若干段，再逐段去绝对值。
3. 型只看 a 的正负，结果只能是 ±1。
4.化到不留绝对值符号、括号也去完为止。
变式4-1 （23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）探索研究：
(1)比较下列各式的大小．（用“”、“ ”或“”连接）
①_____；
②______；
③_______．
(2)观察、分析、归纳，并比较大小： ．（填“”、“ ”、“”、“”或“”）
(3)根据（2）中得出的结论解答下列问题：
①当时，则x的取值范围是______；
②如果，，求m的值．
变式4-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（ ）
A．10 B．9 C．7或9 D．9或10
变式4-3 （26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，点和点在数轴上表示的数分别是，，若的绝对值是的绝对值的倍，则的值为________．
题型五、数轴上的规律探究
典例5 （24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
解题模板
1.先手写前 4~5 次的位置，圈出开始重复的那一段。
2.确定周期长度，用总次数除以周期，看余数定位。
3.余数为 0 时落在周期末位，不是首位。
4.步长本身有规律的，先看步长的规律，再算位置。
变式5-1 （24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
变式5-2 （23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（ ）所对应的点重合．
A． B． C． D．
变式5-3 （25-26七年级上·浙江·阶段检测）有一机器人从数轴原点出发，沿数轴负方向以每前进5步后退4步的程序运动．该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第秒该机器人在数轴上所对应的数，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_____（填序号）．
题型六、数轴折叠、覆盖与整点计数
典例6 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）以厘米为个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度，刻度和刻度，如图所示．设点，，在数轴上所表示的数的和是，该数轴的原点为．
(1)若点所表示的数是，则点所表示的数是 ．
(2)若点，所表示的数互为相反数，求p的值．
(3)若点，之间的距离为厘米，求的值．
解题模板
1.折叠的实质是对称，折痕就是对称中心。
2.两个对称点的坐标之和＝折痕坐标的 2 倍。
3.区间内整数点个数＝右端取整−左端取整＋1，端点取舍单独看。
4.多条线段覆盖求并集，重复的整数点只算一次。
变式6-1 （22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在数轴上，点、分别表示、，、互为相反数且它们之间的距离为6，则点表示的数为______．
变式6-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，．
(1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数．
(2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数．
(3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数．
变式6-3 （26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，单位长度为的数轴上有三个点，，，若点，表示的数互为相反数，则图中点对应的数是（ ）
A． B． C． D．
题型七、数轴上的新定义
典例7 （25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，数轴上点，所对应的数分别是，2．对于关于的式子，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，式子的最大值小于等于2，最小值大于等于，则称式子是线段的“完美”式子．例如，对于关于的式子，当时，式子取得最大值2；当时，式子取得最小值0，所以式子是线段的“完美”式子．
(1)关于的式子，当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，取得的最大值是_____，最小值是_____，所以式子_____（填“是”或“不是”）线段的“完美”式子．
(2)关于的式子是线段的“完美”式子，则有理数的最大值是_____，最小值是_____．
(3)以下关于的式子：①；②；③．其中是线段的“完美”式子的是_____（填序号），并说明理由（只需对你认为是的式子给出验证过程，不是的无需说明）．
解题模板
1.先把定义翻译成一个距离等式，再按老办法做。
2.判断某点是否属于定义，代进去验算即可，不必解方程。
3.存在性问题：设点坐标→列定义等式→看有没有符合范围的解。
4.新定义一定回到距离这一件事上，不要另造方法。
变式7-1 （24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）在数学探究课上，老师和同学们一起利用数轴研究了下面的问题：
数轴上点满足从第3个点起，每个点到前2个点的距离相等（点到点的距离相等）．已知点表示5，点表示．
【理解运用】
（1）填空：点表示______，点表示______（填数字）．
【画图探究】
（2）在如图所示的数轴上标出点的位置．
①哪个点是原点？
②利用数轴比较点所表示的数的大小，将它们按从小到大的顺序用“”连接．
【创新发现】
（3）在点中，距离原点最近的点（不包括原点）是哪一个？（直接写出答案）
变式7-2 （25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）下面的材料：
如图，若线段在数轴上，，点表示的数分别为，，则线段的长（点到点的距离）可表示为．
请用上面材料中的知识解答下面的问题：
如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用1个单位长度表示．
(1)线段的长度是______；
(2)若数轴上有一点，且，则点表示的数是______；
(3)数轴上有一点表示，则使得这样的整数点有哪几个？
变式7-3 （26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索：
(1) ______；如果，则______．
(2)求的最小值，并求此时的取值范围；
(3)由以上探索及猜想，计算的最小值．
题型八、有理数大小比较进阶
典例8 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列关系中正确的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤
A．个 B．个 C．个 D．个
解题模板
1.数轴法最快：右边的数一定大于左边的数。
2.作差法：a−b＞0 则 a＞b；作商法适合同号两数。
3.含字母先定字母范围，再比较 a、－a、、a² 的位置。
4.含参比较按 a＞1、0＜a＜1、a＜－1 分类讨论。
变式8-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式8-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示．
(1)在数轴上标出表示的点．
(2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
变式8-3 （2024七年级下·浙江杭州·竞赛）比较分数与的大小，结果是（ ）
A． B． C． D．无法确定
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1.（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若四个数a，b，c，d满足，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2.（26-27七年级·浙江·暑假作业）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知，则，，三者大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________．
5.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知为有理数，则的最小值为______．
6.（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如可理解为数轴上表示有理数的点与表示数的点之间的距离．试探索：
(1)若，则 ；
(2)若，则满足条件的的值为 ；
(3)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
(4)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
7.（22-23七年级上·浙江嘉兴·期中）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示．
(1)在数轴上表示出，的相反数的位置, 并将，，，，四个数从小到大用“<”连 接起来；
(2)若与其相反数所表示的点之间的距离是16，则表示的数是多少?
8.（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题．
在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小：
因为，，所以，所以．
(1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断．
(2)利用上述方法比较与的大小．
9.（22-23七年级上·浙江宁波·期中）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价元，茶碗每只定价元，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送只茶碗；方案二：茶具和茶碗都按定价的八五折付款．现在某客户要到商场购买茶具套，茶碗（）只．
(1)分别用含有的代数式表示用两种方案购买所需的费用；
(2)当时，客户选用哪种方案比较实惠？请说明理由．
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（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册
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解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、数轴动点（单点与双点）
题型二、数轴上的距离和与最值
题型三、绝对值方程与不等式
题型四、含字母的多重绝对值化简
题型五、数轴上的规律探究
题型六、数轴折叠、覆盖与整点计数
题型七、数轴上的新定义
题型八、有理数大小比较进阶
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
第 1 章八种题型，落点只有四件事：单点或者双点运动，先明确运动情况，模拟运动路径，在运动过程中寻找符合题意的位置点，通过位置点进行运算，点与点的距离，明确右减左，可以保证点表示的数与距离两者之间不冲突，两点距离一律写成 |a−b|；绝对值写成“到某点的距离”；动点先根据路程公式表示在数轴上面的距离，再列式；
本章必备的三条核心结论：
1. 数轴上 A、B 两点表示 a、b，则 AB＝|a−b|，与谁大谁小无关；看到“距离”两个字，先把它写成绝对值。明确右减左，设元，标注线段长度，来表示距离。
2. |x−a| 就是 x 到 a 的距离；|x−a|＋|x−b| 的最小值＝|a−b|，此时 x 在 a、b 之间（含端点）。偶数个点的最值在中间两个点之间。奇数个点的最值在最中间的位置。
3. 折叠的实质是对称：两个对称点的坐标之和＝折痕坐标的 2 倍，模拟折叠后的位置进行判断。
学生高频易错点主要有如下几种情形：
1. 距离写成 a−b 而不是 |a−b|，一遇到负数就错，一定要明确右减左。
2. 解 |x−a|＝b 不先看 b 的符号，b＜0 时仍去解方程；
3. 动点题不设 t、不分段，直接拿终点位置算全程；
4. 含字母的绝对值不先由数轴定符号，硬拆绝对值把符号拆错。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、数轴动点（单点与双点）
典例1 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．
(1)直接写出A，B，C三点所表示的数；
(2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动：
①求15秒后动点P与点B之间的距离；
②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A：，B：，C：4
(2)①点P与点B之间的距离为1；
②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，
则，，
当时，
，
当时，
解得，
，
当时，
，
当时，
解得，
，
当时，
，
当时，
解得，
，
所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变．
【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上点的移动等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点；
（1）运用数轴上的点可以用有理数表示和数轴上两点间的距离公式即可得到答案；
（2）①根据点的运动规律用有理数表示出运动后点表示的数，再运用数轴上两点间的距离公式即可得到答案；
②先根据点的运动规律表示出运动后点表示的数，根据两点间的距离公式用式子表示运动距离，再根据题意列出整式，根据项无关得到结果进行对比即可得到答案；
【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位，
∴点表示的数为，再向右移7个单位，
∴点表示的数为，、C两点间距离为，
∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为，
∴点表示的数为，
即A：，B：，C：4；
（2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为，
∵表示的数为4，
∴表示的数为：，又B表示的数为，
∴点P与点B之间的距离为1，
动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
②略
解题模板
1.设运动时间为 t，位置＝起点±速度×t，先写含 t 的式子再列方程。
2.相遇令两个位置相等；相距某长度要分未相遇、已相遇两种情况。
3.到达端点折返的，必须先判断 t 落在哪一段，再分段列式。
4.中点型：某点是另两点的中点，用两点坐标之和＝中点坐标的 2 倍。
变式1-1 （25-26七年级上·浙江温州·期中）七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究温州轻轨的运行．
素材一
如图1是温州轨道2号线的轻分线路图，为了研究方便，轻轨运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间轻轨的运行时间都为3分钟，每站停靠时间为30秒．
素材二
小安用数轴上的动点P来表示轻轨的运行，他以东山站为原点建立了如图2所示的数轴．其中数字1表示上东路站，数字2代表上望站．以此类推，动点P每运动到一个整点时．都需要暂停30秒，代表轻轨到达停靠．
问题解决
探究1
如图2，数字4表示______站
探究2
（1）如图，若小瑞从东山站出发往天河方向，出发时间为t分钟，当分钟时，此时小瑞离东山站距离多远？
（2）若P从原点出发，运动t分钟到数字4和数字5之间（不含数字4和数字5），求P点在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）．
探究3
若小瑞在上望站上车，坐轻轨往天河方向，同时小安在鲍田站上车，往东山方向坐轻轨．若两辆轻轨恰好同时从上望站和鲍田站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度．
【答案】探究1：汀田站，探究2：小瑞离东山站的距离为：，探究3：或
【分析】本题考查了数轴的应用．理解轻轨在数轴上的运动规律是解题的关键．
探究1：根据题目所给信息，以东山站为原点建立数轴，数字依次对应不同站点，按照顺序可直接得出数字4表示站点；
探究2：（1）先计算出轻轨实际运行时间，然后按照每站之间运行需要3分钟得到轻轨速度为，按照速度时间得出距离即可；
（2）从原点出发到数字4和5之间，经过4个间隔，每个间隔运行3分钟，停靠4次，每次分钟得出总共用时，然后根据速度时间距离，用含的代数式表示4和5之间的距离，再加上个站点的距离即可；
探究3：分相遇前和相遇后两种情况讨论， 相距时，相遇前两辆轻轨一共走了，相遇后两辆轻轨一共走了，据此计算出相应的时间即可．
【详解】探究1：汀田站
探究2：（1）每相邻两站的运行时间为3分钟，每站停靠时间为30秒即分钟．
当时行驶的时间为分钟
所以小瑞离东山站的距离为：
（2）总共用时分钟，
所以此时P表示的数为：
探究3：分两种情况
（1）相遇前相距个单位长度
出发时间
（2）相遇后相距个单位长度
出发时间
变式1-2 （25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是．
(1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______；
(2)如果，求出点P表示的数以及b的值；
(3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点P表示的数是2026，的值是2023
(3)，定值为
【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P表示数2，与P相距4个单位的两点m、可通过“，”计算；
（2）设点P表示的数为x，根据对称数组的定义，，，因此，，代入，即可求解；
（3）先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出t秒后P、Q的位置，再结合“对称数组”的定义求出n和q，最后分析为定值的条件．
【详解】（1）∵点P表示数2，
∴，，
对称数组是；
（2）∵，
∴点P表示的数，
∴；
（3）秒后，点P表示的数为，
由，得，
点Q表示的数为，由，
得，
假设存在常数k，使得为定值：
，
要使为定值，则t的系数为0，即，
解得，
此时定值为．
【点睛】本题考查了数轴上的新定义“对称数组”，理解定义并结合数轴运动、代数运算求解，熟练掌握“对称数组”的定义是解题关键．
变式1-3 （25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）．
例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）．
已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点．
(1)（点，线段）________，（点，线段）________；
(2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值；
(3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或或或秒．
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论．
(1)根据定义求值即可；
(2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解；
(3)根据点的运动方向和速度分情况讨论．
【详解】（1）解：（点，线段），
（点，线段），
故答案为：，；
（2）解：当线段在线段左侧时，
可得：（线段，线段），
解得：；
当线段在线段右侧时，
可得：（线段，线段），
解得：；
综上所述，或；
（3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为，
则有（线段，线段）；
当时，点表示的数为，点表示的数为，
则有（线段，线段），
解得：(不符合题意)；
当时，点表示的数是，点表示的数为，
则有（线段，线段）；
当时，点表示的数为，点表示的数为，
则有（线段，线段），
解得：；
当时，点表示的数为，点表示的数为，
则有（线段，线段）；
当时，点表示的数为，点表示的数为，
则有（线段，线段），
解得：；
当时，点表示的数为，点表示的数为，
则有（线段，线段）；
当时，
则有（线段，线段）；
综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒．
题型二、数轴上的距离和与最值
典例2 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）数轴上点A，B分别表示有理数a，b，这两点之间的距离记为，即．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)表示2和5的两点之间的距离为______，表示2和的两点之间的距离为______；
(2)表示x和的两点之间的距离为__________；（用含有x的式子表示）
(3)求的最小值为__________；
(4)求的最小值为__________．
【答案】(1)3，5
(2)
(3)8
(4)
【分析】本题主要考查了绝对值的意义、数轴上两点之间的距离等知识，
（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可；
（2）结合数轴上两点之间的距离公式，即可获得答案；
（3）结合题意分析，可知表示x的点在表示和5的点之间时，的值最小，即可获得答案；
（4）分析可知，当表示的点位于数轴上表示1的点和表示2025的点中间位置，即时，取最小值，然后求解即可．
【详解】（1）解：表示2和5的两点之间的距离为，
表示2和的两点之间的距离为．
故答案为：3，5．
（2）表示x和的两点之间的距离为．
故答案为：．
（3），即数轴上表示的点到表示的点的距离与到表示5的点的距离之和，当表示的点位于表示的点与表示5的点之间时，距离最小，
则的最小值为．
故答案为：8．
（4）结合题意，可知为数轴上表示的点到表示1的点的距离，
为数轴上表示的点到表示2的点的距离，
为数轴上表示的点到表示3的点的距离，
…，
为数轴上表示的点到表示2025的点的距离，
当表示的点位于数轴上表示1的点和表示2025的点中间位置，即时，
取最小值，
此时
．
．
故答案为：．
解题模板
1.|x−a| 表示 x 到 a 的距离，先画点再算，别直接代公式。
2.|x−a|＋|x−b| 的最小值＝|a−b|，x 取 a、b 之间任一点。
3.三个及以上绝对值相加，x 取中间那个零点时最小。
4.求最大值时先看 x 的取值范围，端点上取到。
变式2-1 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为
，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（一）数轴上表示数的点和表示数2的点之间的距离是 ．
（二）数轴上点A用数a表示，
（1）若，那么a的值是 ．
（2）最小值是 ．
（3）最小值是 ．
（4）当a为何值时，有最小值，最小值为多少？
【答案】（一）4；（二）（1）或；（2）2028；（3）；（4）a为时，的最小值为．
【分析】本题考查数轴，绝对值方程，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键．
（一）根据两点间距离的求法直接写出即可；
（二）（1）由题意可得或，求出的值即可；
（2）根据绝对值的几何意义可知时，有最小值2028；
（3）分类讨论，去绝对值符号即可解答；
（4）将原式化为，根据绝对值的意义分段解答即可．
【详解】解：（一）表示数的点和表示数2的点之间的距离是，
故答案为：4；
（二）（1），
或，
解得或，
的值是或，
故答案为：或；
（2）表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和，
当时，的最小值是2028，
故答案为：2028；
（3）当时，；
当时，，
时，取最小值为；
当时，，
综上所述，的最小值为，
故答案为：；
（4），
，
当时，有最小值，
当时，有最小值，
所以当时，原式有最小值，
最小值为
综上，a为时，的最小值为．
变式2-2 （24-25七年级上·浙江湖州·期中）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：
(1)填空：_______．若，则________．
(2)填空：使得成立的的值是________．
(3)由以上探索：猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)有最小值，最小值为
【分析】（）根据绝对值的意义解答即可求解；
（）由得式子可理解为到与到的距离之和，又由知不在和之间，再分在左边和在右边两种情况解答即可求解；
（）由得式子可理解为到与到的距离之和，根据两点之间线段最短，可知当时，的值最小，据此即可求解；
本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】（1）解：，
若，则与的距离等于，
∴或，
当时，，
∴；
当时，，不合题意；
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴式子可理解为到与到的距离之和，
∵，
∴不在和之间，
当在左边时，，
解得；
当在右边时，，
解得；
故答案为：或；
（3）解：有最小值，最小值为，理由如下：
∵，
∴式子理解为到与到的距离之和，
根据两点之间线段最短，可知当时，的值最小，最小值为．
变式2-3 （23-24七年级上·浙江台州·期中）已知点，在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离可以表示为，比如式子表示有理数的点与表示数3的点之间的距离．
请回答以下问题：
(1)若表示一个有理数，，则______．
(2)若表示一个有理数，的最小值_____．
(3)在一工厂流水线上依次排列了个工作台（工作台在同一直线上），第1个工作台安排了2名工人，其他每个工作台安排了1名工人，现在要在流水线上设置一个工具台，以方便这名工人从工作台到工具台拿取工具，为了让工人们拿取工具所走路程之和最短，请直接说出工具台设置在什么位置．
【答案】(1)或4
(2)3
(3)当为偶数时，工作台可设置在第个工作台处；当为奇数时，工作台可设置在第个和第个工作台之间任何位置（包括第个和第个工作台的位置）
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数以及数轴上两点之间的距离等知识，解题关键是理解题意，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
（1）根据题意，由数轴上与表示有理数1的点之间的距离为3的点的位置，即可获得答案；
（2）根据题意，可知表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离，作出图形，分情况讨论，即可获得答案；
（3）分别分析计算当有2个、3个、4个、5个、6个工作台时，工具台应放置的位置，找出规律，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，
如下图，
若，
∵数轴上与表示有理数1的点的距离为3的点有两个，分别为表示有理数的点和表示有理数4的点，
∴或4；
故答案为：或4；
（2）∵，
∴表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，
又∵表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离，
∴当表示有理数的点在表示有理数的点左侧时，如下图，
此时，
当表示有理数的点与表示有理数的点重合时，如下图，
此时，
当表示有理数的点在表示有理数的点与表示有理数2的点中间时，如下图，
此时，
当表示有理数的点与表示有理数2的点重合时，如下图，
此时，
当表示有理数的点在表示有理数2的点右侧时，如下图，
此时．
综上所述，的最小值．
故答案为：3；
（3）①如下图，当流水线上排列了2个工作台时，
工具台可设置在第1个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为1；
②如下图，当流水线上排列了3个工作台时，
工具台可设置在第1个工作台与第2个工作台之间任何位置（包括第1个和第2个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为3；
③如下图，当流水线上排列了4个工作台时，
工具台可设置在第2个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为5；
④如下图，当流水线上排列了5个工作台时，
工具台可设置在第2个工作台与第3个工作台之间任何位置（包括第2个和第3个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为8；
⑤如下图，当流水线上排列了6个工作台时，
工具台可设置在第3个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为11；
……；
综上所述，当为偶数时，工作台可设置在第个工作台处；当为奇数时，工作台可设置在第个和第个工作台之间任何位置（包括第个和第个工作台的位置）．
题型三、绝对值方程与不等式
典例3 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）同学们都知道，表示与的差的对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成：
（1）可理解为与______在数轴上所对应的两点之间的距离；
（2）使得，则______．
【答案】 或/或2
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离，解决本题的关键是根据绝对值的几何意义分段求解．
（1）因为，可知可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离；
（2）根据绝对值的几何意义分当、、三种情况求解．
【详解】（1）解：根据表示数轴上与两点之间的距离，
，
可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离；
故答案为：；
（2）解：表示数轴上所对应的点到和所对应的点的距离之和，
当时，
可得：，
，
解得：；
当时，
可得：，
不成立；
当时，
可得：，
，
，
解得：；
故答案为：或．
解题模板
1.|x−a|＝b：b＞0 两解，b＝0 一解，b＜0 无解，先看 b 的符号。
2.|x−a|＋|x−b|＝c 的解的个数，看 c 与 |a−b| 谁大。
3.解集的端点就是等号成立时的解，再判断取中间还是取两边。
4.含参讨论按有解、无解、有无穷多解三种情形分。
变式3-1 （24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知有理数，满足，，且的绝对值与其相反数相等，则的值为_____．
【答案】或或
【分析】本题考查了绝对值的几何意义，有理数的减法运算，解题的关键是熟练掌握几何意义．
先根据绝对值的几何意义求出或，或，然后确定，再分类讨论求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴或，或
∵的绝对值与其相反数相等，即，
∴，
∴，或，或，
∴或或
故答案为：或或．
变式3-2 （25-26七年级上·浙江金华·期中）已知，，且，则的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值的概念和基本代数运算，关键是根据条件排除不满足的组合，避免漏解．根据绝对值的定义，得到和各有两种取值，结合的条件筛选满足条件的组合，再计算的值即可．
【详解】解：，，
，，
，
，或，，其他组合不满足，
当，时，；
当，时，；
的值为或．
故选：A．
变式3-3 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）我们知道，在数轴上表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点，，分别用数，表示，那么、两点之间的距离为：．例如，点表示的数是2，点表示的数为，，两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题：
(1)A所表示的数是，B所表示的数是6，A，B两点之间的距离是_____．
(2)若，则_____，
(3)结合数轴，求得的最小值为_____；
【答案】(1)7
(2)或
(3)
【分析】本题考查绝对值的几何意义和数轴的应用，熟练掌握数轴上点的距离是解题的关键，
（1）根据数轴上点的距离定义即可得到答案；
（2），即，表示数轴上点到点的距离为1，从而即可得到答案；
（3）要求的最小值，相当于在数轴上找一个点，使得它到6和的距离之和最小，根据几何意义，当点在6和之间时，它们的和最小，从而得到答案．
【详解】（1）解：由题可得：，
故答案为：7；
（2）解：∵，即，
∴点到点的距离为1，
∴或；
（3）解：设点是数轴上一点，
∴当点在6和之间时有最小值，
∴有最小值为．
题型四、含字母的多重绝对值化简
典例4 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，数轴上的三个点分别表示数，，．若，，且，则________．
【答案】
【分析】本题考查了根据数轴上的点表示有理数，化简绝对值，代数式求值，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．
首先化简绝对值得到，，然后由，结合得到，，最后代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
解题模板
1.由数轴给出的位置定每个字母的正负，符号定了再化简。
2.先找零点，把数轴分成若干段，再逐段去绝对值。
3. 型只看 a 的正负，结果只能是 ±1。
4.化到不留绝对值符号、括号也去完为止。
变式4-1 （23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）探索研究：
(1)比较下列各式的大小．（用“”、“ ”或“”连接）
①_____；
②______；
③_______．
(2)观察、分析、归纳，并比较大小： ．（填“”、“ ”、“”、“”或“”）
(3)根据（2）中得出的结论解答下列问题：
①当时，则x的取值范围是______；
②如果，，求m的值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)①；②或
【分析】（1）先分别计算再比较大小即可；
（2）根据提供的关系式得到规律即可；
（3）①根据提供的关系式得到规律即可；②根据（1）中的结论分当为正数，为负数时和当为负数，为正数时两种情况分类讨论即可确定答案．
【详解】（1）解：①；
②；
③；
故答案为：，，；
（2）根据题意得：，
故答案为：；
（3）①当时，则的取值范围是，
故答案为：；
②由上题结论可知，因为，，，所以、异号．
当为正数，为负数时，，则，，或2；
当为负数，为正数时，，则，，或；
综上所述，为或．
【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是能够根据题意分类讨论解决问题，难度不大．
变式4-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（ ）
A．10 B．9 C．7或9 D．9或10
【答案】B
【分析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．分种情况讨论，再进行计算求值；每种情况交换两组数，m的值仍不变，由此即可确定答案．
【详解】解：若取6，7，8，取5，4，3，
∴；
若取5，6，7；取8，4，3，
∴；
若取4，5，6；取8，7，3，
∴；
若取3，4，6；取8，7，5，
∴；
若取3，4，7；取8，6，5，
∴；
若取4，7，8；取6，5，3，
∴；
若取3，5，8；取7，6，4，
∴；
若取3，6，8；取7，5，4，
∴；
若取4，6，8；取7，5，3，
∴；
若取4，5，8；取7，6，3，
∴；
以上每种情况交换两组数，即，，分别变为，，；，，分别变为，，，则，结果不变；如取4，5，8；取7，6，3，交换两组数，即取3，6，7；取8，5，4，此时；
综上所述，m为9．
故选：B．
变式4-3 （26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，点和点在数轴上表示的数分别是，，若的绝对值是的绝对值的倍，则的值为________．
【答案】
【分析】根据数轴得：，，，根据的绝对值是的绝对值的倍，即可得，即可得，进而得的值为．
【详解】解：如图，
根据数轴得：，，，
∵的绝对值是的绝对值的倍，
∴，
∴，解得：，
∴，解得：，
∴的值为．
题型五、数轴上的规律探究
典例5 （24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】A
【分析】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键．
【详解】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次，
第一次翻转A对应1，
第二次翻转B对应2，
第三次翻转C对应3，
第四次翻转D对应4，
…，
∴四次一个循环，
∵，
∴2025所对应的点是A，
故答案为：A．
解题模板
1.先手写前 4~5 次的位置，圈出开始重复的那一段。
2.确定周期长度，用总次数除以周期，看余数定位。
3.余数为 0 时落在周期末位，不是首位。
4.步长本身有规律的，先看步长的规律，再算位置。
变式5-1 （24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】B
【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、图形类规律探索，由题意可得，由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A.，再根据各个选项逐项判断即可得解．
【详解】解：由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A.
A、，，故与三角形上的A重合，不符合题意；
B、，，故2019与三角形上的B重合，符合题意；
C、，，故2020与三角形上的C重合，不符合题意；
D、，，故与三角形上的A重合，不符合题意；
故选：B．
变式5-2 （23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（ ）所对应的点重合．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆的滚动可得四个字母一循环，从点与数字对应开始计算，滚动到的时候滚动了次，能被整除，于是可求解．
【详解】解：圆的周长为个单位长度，
个数字为一个循环，
∵点与数字对应，滚动到所对应的点时，滚动了次，能被整除，
对应的字母是．
变式5-3 （25-26七年级上·浙江·阶段检测）有一机器人从数轴原点出发，沿数轴负方向以每前进5步后退4步的程序运动．该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第秒该机器人在数轴上所对应的数，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_____（填序号）．
【答案】①②③
【分析】本题考查了数轴上的规律问题，准确理解题意，发现该机器人每9秒向左移动1个单位长度是解题的关键．先根据题意得出该机器人每9秒向左移动1个单位长度，用时间除以9，得到的余数小于等于5时，向左移动，余数大于5时，向右移动，据此一一判断即可．
【详解】解：∵机器人从数轴原点出发，沿数轴负方向以每前进5步后退4步的程序运动，每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，
∴，①正确；该机器人每9秒向左移动1个单位长度，
∴，②正确；
∵，
∴，
∴，③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，④错误；
∴正确的有①②③，
故答案为：①②③．
题型六、数轴折叠、覆盖与整点计数
典例6 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）以厘米为个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度，刻度和刻度，如图所示．设点，，在数轴上所表示的数的和是，该数轴的原点为．
(1)若点所表示的数是，则点所表示的数是 ．
(2)若点，所表示的数互为相反数，求p的值．
(3)若点，之间的距离为厘米，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，相反数的概念，有理数的加法运算等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键．
（1）根据数轴上两点之间距离进行计算即可求解；
（2）根据A、B两点的距离及点A，B所表示的数互为相反数，则原点为刻度位置，根据数轴得出所表示的数，进而根据有理数的加法求得的值；
（3）根据，之间的距离为厘米，则在直尺刻度或刻度位置，进而分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：由图知，、相距个单位长度，且点在点的右边，
若点所表示的数是，则点所表示的数是．
故答案为：．
（2）若和所表示的数互为相反数，则原点为刻度位置，
得、、所表示的数分别为：，，，
所以＋＋．
（3）若，之间的距离为厘米，则在直尺刻度或刻度位置，
①在刻度位置时，记为“”，
可得、、所表示的数分别为，，，
所以＋＋；
②在直尺刻度位置时，记为“”，
可得、、所表示的数分别为，，，
所以＋＋．
解题模板
1.折叠的实质是对称，折痕就是对称中心。
2.两个对称点的坐标之和＝折痕坐标的 2 倍。
3.区间内整数点个数＝右端取整−左端取整＋1，端点取舍单独看。
4.多条线段覆盖求并集，重复的整数点只算一次。
变式6-1 （22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在数轴上，点、分别表示、，、互为相反数且它们之间的距离为6，则点表示的数为______．
【答案】
【分析】利用互为相反数的定义进行求解．
【详解】解：∵、互为相反数且它们之间的距离为6，
∴，
∴，
∴点表示的数为．
变式6-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，在单位长度为1的数轴上有三个点，，．
(1)若点表示的数是，直接写出点，表示的数．
(2)若点，所表示的数互为相反数，求出点表示的数．
(3)若点与原点之间的距离为，求出点表示的数．
【答案】(1)点，表示的数分别为和
(2)点表示的数为
(3)点表示的数为或
【分析】本题考查了相反数的定义、利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离；
（1）根据数轴，直接写出点，表示的数．
（2）根据点，所表示的数互为相反数得出点表示的数为，结合数轴即可求解．
（3）分两种情况，原点在点的左侧或右侧分别讨论，即可求解．
【详解】（1）解：点表示的数是，
∴点，表示的数分别为和；
（2）解：∵之间的距离为个单位长度，点，所表示的数互为相反数，
∴点表示的数为，
∵点在点左侧2个单位长度位置，
∴点表示的数为．
（3）解：当原点在点的左侧时，则点表示的数为，
∵点在点左侧2个单位长度位置，
∴点表示的数为；
当原点在点的右侧时，则点表示的数为，
∵点在点左侧2个单位长度位置，
∴点表示的数为；
综上，点表示的数为或．
变式6-3 （26-27七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，单位长度为的数轴上有三个点，，，若点，表示的数互为相反数，则图中点对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于点，表示的数互为相反数，因此的中点即为原点，将每个间隔视为一个单位长度，即可得出点表示的数．
【详解】解：∵点，表示的数互为相反数，
∴的中点即为原点，
∴点表示的数为，点表示的数为，
∴点表示的数为4．
题型七、数轴上的新定义
典例7 （25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，数轴上点，所对应的数分别是，2．对于关于的式子，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，式子的最大值小于等于2，最小值大于等于，则称式子是线段的“完美”式子．例如，对于关于的式子，当时，式子取得最大值2；当时，式子取得最小值0，所以式子是线段的“完美”式子．
(1)关于的式子，当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，取得的最大值是_____，最小值是_____，所以式子_____（填“是”或“不是”）线段的“完美”式子．
(2)关于的式子是线段的“完美”式子，则有理数的最大值是_____，最小值是_____．
(3)以下关于的式子：①；②；③．其中是线段的“完美”式子的是_____（填序号），并说明理由（只需对你认为是的式子给出验证过程，不是的无需说明）．
【答案】(1)；；不是
(2)；
(3)②，
对于：
∵，在到之间（包括和）时，最大值为、最小值为
∴式子最大值为，最小值为．
∵且，符合要求，故②是；
【分析】本题考查了数轴上绝对值的性质、一次函数的增减性及线段“完美”式子的定义应用，解题的关键是紧扣“完美”式子的定义（在到之间，包括和时，最大值且最小值），通过分析绝对值或一次函数在该范围内的最值，判断是否满足定义．
（1）确定在到之间（包括和），根据绝对值性质找的最值（端点时最大，顶点时最小），再对比“完美”式子条件；
（2）先求在在到之间（包括和）的最值（时最小，时最大），根据的最值要求列不等式，求解的范围及最值；
（3）对每个式子分别分析：①利用一次函数增减性求最值；②化简后求最值；③分段讨论绝对值表达式求最值，筛选符合“完美”定义的式子．
【详解】（1）∵在数轴上、之间（包括、），
∴在到之间（包括和）．
对于：
当时，；当时，；当时，，
∴的最大值是，最小值是，
又∵“完美”式子要求最大值，而，
∴式子不是线段的“完美”式子．
故答案为：；；不是；
（2）∵在到之间（包括和），
对于：
当时，取最小值；当时，取最大值，
∵是“完美”式子，
∴需满足：
最大值：；
最小值：
∴在到之间（包括和），则的最大值是，最小值是．
故答案为：；；
（3）∵在到之间（包括和），逐一验证式子：
①对于：
∵，式子随增大而增大．
当时，（最小值<-2），不符合要求，故①不是；
②略
③对于：
当在到之间（包括和）时，
式子（最小值），不符合要求，故③不是；
综上，是线段“完美”式子的是②．
故答案为：②；
解题模板
1.先把定义翻译成一个距离等式，再按老办法做。
2.判断某点是否属于定义，代进去验算即可，不必解方程。
3.存在性问题：设点坐标→列定义等式→看有没有符合范围的解。
4.新定义一定回到距离这一件事上，不要另造方法。
变式7-1 （24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）在数学探究课上，老师和同学们一起利用数轴研究了下面的问题：
数轴上点满足从第3个点起，每个点到前2个点的距离相等（点到点的距离相等）．已知点表示5，点表示．
【理解运用】
（1）填空：点表示______，点表示______（填数字）．
【画图探究】
（2）在如图所示的数轴上标出点的位置．
①哪个点是原点？
②利用数轴比较点所表示的数的大小，将它们按从小到大的顺序用“”连接．
【创新发现】
（3）在点中，距离原点最近的点（不包括原点）是哪一个？（直接写出答案）
【答案】（1），；
（2）①；
②在数轴上表示为：
；
（3）距离原点最近的点（不包括原点）是．
【分析】本题考查了数轴表示数，两点间的距离，有理数的大小比较等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据中点公式即可求解；
（2）①根据中点公式求出、表示的数，则可确定原点；
②在数轴上把、、、表示出来，根据数轴特点比较大小即可；
（3）根据中点公式求出、，并在数轴上表示出来，由题意和数轴可知，都在的左边，则可得出答案．
【详解】解：∵点表示5，点表示，
由题意可得，表示的数为：，
∴表示的数为，
∴表示的数为：，
故答案为：，；
（2）①由（1）可知，表示的数为，表示的数为，
∴表示的数为：，
表示的数为：，
∴原点是；
②由上可知，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，
根据数轴特点可得：；
（3）∵表示的数为，表示的数为，
∴表示的数为，
表示的数为，
如图：
由题意和数轴可知，都在的左边，
是原点，到原点的距离为，到原点的距离为，
∴距离原点最近的点（不包括原点）是．
变式7-2 （25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）下面的材料：
如图，若线段在数轴上，，点表示的数分别为，，则线段的长（点到点的距离）可表示为．
请用上面材料中的知识解答下面的问题：
如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用1个单位长度表示．
(1)线段的长度是______；
(2)若数轴上有一点，且，则点表示的数是______；
(3)数轴上有一点表示，则使得这样的整数点有哪几个？
【答案】(1)5
(2)或
(3)
【分析】此题考查了数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．
（1）根据题意容易画出图形，根据题意即可求出的长度；
（2）设表示的数为，由绝对值的意义容易得出结果；
（3）根据绝对值的几何意义可知，点在到1之间即可求解．
【详解】（1）位置如图，
则；
故答案为：5；
（2）设表示的数为，
∵，
∴，
解得：或，
∴点表示的数为或；
（3）设点表示的数为1，点表示的数为，
则，即，
又因为当点之间时，取得最小值，且，
所以，
解得，
故整数点有．
变式7-3 （26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索：
(1) ______；如果，则______．
(2)求的最小值，并求此时的取值范围；
(3)由以上探索及猜想，计算的最小值．
【答案】(1)3，3或；
(2)当时，的值有最小值，最小值为2；
(3)最小值为．
【分析】本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
（1）根据绝对值的意义直接计算即可；
（2）把理解为：在数轴上表示到和的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，则有最小值，从而得结论；
（3）观察已知条件可以发现，表示到的距离，要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值．
【详解】（1）解：，
，
或，
或，
故答案为：，或；
（2）解：理解为：在数轴上表示到与的距离之和，
当在与之间的线段上（即）时，有最小值，最小值为，此时的取值范围为：；
（3）解：由已知条件可知，表示到的距离，原式代表到，2，3，，2018共2018个点的距离之和，
当时，式子取得最小值．
取，
此时，
．
即最小值为．
题型八、有理数大小比较进阶
典例8 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列关系中正确的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，有理数加法，绝对值，相反数，熟记数轴特征和各个运算法则是解题的关键．
先在数轴上表示出，，再根据数轴知，且，然后根据有理数加法法则和利用数轴比较有理数大小逐个进行判断即可求解．
【详解】解：在数轴上表示出，，如图，
由数轴可知，，且，
，故①错误，
，故②错误，
，故③正确，
，故④正确，
，故⑤正确，
综上所述，③④⑤正确，有3个正确．
故选：C．
解题模板
1.数轴法最快：右边的数一定大于左边的数。
2.作差法：a−b＞0 则 a＞b；作商法适合同号两数。
3.含字母先定字母范围，再比较 a、－a、、a² 的位置。
4.含参比较按 a＞1、0＜a＜1、a＜－1 分类讨论。
变式8-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查绝对值，有理数的减法运算及有理数的大小比较，熟练掌握绝对值，有理数的减法运算及有理数的大小比较是解题的关键；由于a、b、c均为负数，比较大小需先比较其绝对值，绝对值越大，负数越小；通过计算各分数与1的差值，比较差值大小，进而得出绝对值大小关系，再转换为负数的大小关系即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，由于a、b、c为负数，
∴
故选C．
变式8-2 （26-27七年级·浙江·暑假作业）在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示．
(1)在数轴上标出表示的点．
(2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
【答案】(1)如图所示：
(2)
【详解】（1）解：略
（2）解：由数轴知．
变式8-3 （2024七年级下·浙江杭州·竞赛）比较分数与的大小，结果是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了有理数大小比较，由于分数的分母和分子都是较大数，通分化为同分母比较困难， 利用，，将它们转化为同分子比较，即可得出结论．
【详解】解：∵，
，
∵，
∴
∴
故选A．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1.（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若四个数a，b，c，d满足，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的大小比较，倒数等知识，设，则根据倒数的定义可得出，，，，进而可得答案．
【详解】解：设，
∴，，，，
∴，，，，
∴．
故选：C．
2.（26-27七年级·浙江·暑假作业）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，
∴ ．
3.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知，则，，三者大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据可判断出和的范围，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
4.（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________．
【答案】8
【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值．
式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值．
【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离，
∴式子表示的是一个数到和的距离的和，
∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小，
和间的距离为，
的最小值为，
故答案为：．
5.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知为有理数，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，可得，即可求解．
利用绝对值的非负性，确定代数式的最小值．
【详解】解：∵，
∴的最小值为
故答案为：．
6.（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）我们知道表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与－3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如可理解为数轴上表示有理数的点与表示数的点之间的距离．试探索：
(1)若，则 ；
(2)若，则满足条件的的值为 ；
(3)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
(4)根据以上探索，猜想对于任何有理数，是否有最小值，如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)或
(2)或
(3)有，最小值为
(4)有，最小值为
【分析】（）根据绝对值的意义即可求解；
（）由绝对值的意义可知表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于，由可知不可能在和之间，再分在的左边和在的右边两种情况，利用两点间距离公式计算即可求解；
（）由绝对值的意义可知式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和，可知当在和之间时，距离之和最小，据此即可求解；
（）由绝对值的意义可知式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和，可知当时，距离之和最小，据此即可求解；
本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，理解绝对值是意义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴或，
∴或，
故答案为：或；
（2）解：∵，
∴，
即表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和等于，
∵，
∴不可能在和之间，
当在的左边时，，
解得；
当在的右边时，，
解得；
综上，满足条件的的值为或，
故答案为：或；
（3）解：有．
∵，
即式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离之和，
可知当在和之间时，距离之和最小，最小值为；
（4）解：有．
式子表示对应的点到对应的点距离与到对应的点的距离与到对应的点的距离之和，
可知当时，距离之和最小，最小值为．
7.（22-23七年级上·浙江嘉兴·期中）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示．
(1)在数轴上表示出，的相反数的位置, 并将，，，，四个数从小到大用“<”连 接起来；
(2)若与其相反数所表示的点之间的距离是16，则表示的数是多少?
【答案】(1)
(2)表示的数是
【分析】（1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出，，在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大排列四个数；
（2）先得到表示的点到原点的距离为8，然后根据数轴表示数的方法得到表示的数．
【详解】（1）解：，的相反数分别为，，表示在数轴上如图：
这四个数从小到大排列为：；
（2）解：数与其相反数相距16个单位长度，则表示的点到原点的距离为8，
所以表示的数是；
【点睛】本题考查了数轴，相反数，有理数的大小比较等知识点．能在数轴上表示出、的位置是解此题的关键．
8.（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题．
在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小：
因为，，所以，所以．
(1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断．
(2)利用上述方法比较与的大小．
【答案】(1)；绝对值
(2)
【分析】本题主要考查有理数大小比较，根据阅读材料得出两个分数大小比较方法是解答本题的关键．
（1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可；
（2）找出中间量是，再比较大小即可．
【详解】（1）解：上述方法是先通过找中间量来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“绝对值大的负数反而小”进行判断；
故答案为：；绝对值；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
9.（22-23七年级上·浙江宁波·期中）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价元，茶碗每只定价元，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送只茶碗；方案二：茶具和茶碗都按定价的八五折付款．现在某客户要到商场购买茶具套，茶碗（）只．
(1)分别用含有的代数式表示用两种方案购买所需的费用；
(2)当时，客户选用哪种方案比较实惠？请说明理由．
【答案】(1)该客户按方案一购买，需付款元，该客户按方案二购买，需付款元
(2)
按方案一购买比较实惠，理由如下：
当时，
方案一：（元），
方案二：（元），
∵，
∴当时，按方案一购买比较实惠．
【分析】本题考查代数式的实际应用，
（1）根据所给优惠规则列代数式即可；
（2）将代入（1）中结论，求出两个代数式的值，比较大小即可；
解题的关键是根据题意正确列出代数式．
【详解】（1）解：若该客户按方案一购买，需付款：元，
若该客户按方案二购买，需付款：元，
∴该客户按方案一购买，需付款元，该客户按方案二购买，需付款元；
（2）略
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