第一章 有理数全章高频重点题型突破(专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以“概念-工具-应用-综合”为逻辑主线，系统整合有理数高频题型，提炼数形结合、分类讨论等解题方法，实现基础巩固与知能拔高的分层突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|9题型（含正负数表示、有理数分类等）|提炼正负数表示规则、绝对值几何意义、数轴距离公式等实用技巧|从有理数概念生成到数轴工具应用，构建“概念-性质-简单应用”基础链| |综合攻坚|6题型（含分类综合辨析、绝对值几何意义等）|总结分类讨论（多解问题）、非负性求值、动点问题分析策略|延伸至绝对值性质拓展及动点综合问题，形成“基础-拓展-综合”完整知识链|

第一章 有理数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1·用正负数表示相反意义的量（高频） 题型2·有理数分类辨析（区分整数、分数、正负数） 题型3·数轴读数、在数轴上描点 题型4·求一个数的相反数、多重符号化简 题型5·求有理数的绝对值 题型6·利用绝对值求字母的值（重） 题型7·有理数大小比较 题型8·数轴上两点之间距离计算 题型9·根据绝对值非负性简单求值 综合攻坚·知能拔高 ◆题型·1·用正负数表示相反意义的量（高频） 1．蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启了人形机器人智造的黄金时代，国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻，若人形机器人向前进行12次空翻记作次，则人形机器人向后进行9次空翻记作（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 2．若规定向东走记作，则向西走记作（     ） A． B． C． D． 3．一种罐装速溶咖啡的质量标准为净重克，下列（     ）的咖啡符合此标准． A．净重克 B．净重克 C．净重克 D．净重克 ◆题型·2·有理数分类辨析 4．下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 5．在，，0，，，，，5中，非负整数有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．把下列各数填入相应的集合中： ，，，，0，，． 正有理数集合{_______________}； 负分数集合{_______________}； 整数集合{_______________}； 非负整数集合{_______________}． ◆题型·3·数轴读数、在数轴上描点 7．关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 8．下列四个选项中，所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 9．在数轴上表示下列各数：，，，，，，． ◆题型·4·求一个数的相反数、多重符号化简 10．实数的相反数是（     ） A．2 B． C． D． 11．下列几对数中互为相反数的一对为（　　） A．和 B．与 C．与 D．与 12．下列各组数：①与；②与；③与；④与；⑤与．其中互为相反数的有（  ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 13．计算：______________． ◆题型·5·求有理数的绝对值 14．的相反数是（    ）． A．2027 B． C． D． 16．________． ◆题型·6·利用绝对值求字母的值（重） 15．若，则_____． 17．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； ◆题型·7·有理数大小比较 18．在给出的数、、中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 19．已知，则，，三者大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 20．比较大小： （1）2 _____ ； （2） 0 ______； （3）_____ ◆题型·8·数轴上两点之间距离计算 21．如图，数轴上点，表示的数互为相反数．若点表示的数为，点在点的右侧，则点到原点的距离为（　　） A． B． C． D． 22．点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数是，若，则B点表示的数为（   ） A． B．或 C．或1 D．1 23．数轴上表示的点为A，点B到点A的距离等于2，则点B表示的数是______． 24．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段　　　　　　； (2)数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段　　　　　　； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为，则另一个点表示的数是　　　　　　． (4)数轴上点G、H代表的数分别为a和b，则线段　　　　　　； 25．[阅读材料]的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数________的点之间的距离； (2)（ⅰ）若，求x的值； （ⅱ）求的最小值． ◆题型·9·根据绝对值非负性简单求值 26．已知，则的值为______． 27．若与互为相反数，则的值是________． 28．若有理数a，b满足，则_______． 29．若，则________． ◆题型1 有理数分类综合辨析（易混数归类，π、有限小数判断） 1．在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．在中，有理数有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．负分数不是有理数 C．0是最小的有理数 D．是最大的负整数 ◆题型2 绝对值的几何意义（数轴距离问题） 4．数轴上点A表示，那么到点A距离是6个单位长度的点表示的数是 _____． 5．数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想，当取得最小值时，写出此时所有整数值为__________． 3．阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有理数0表示的点）的距离，叫作这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上表示有理数2的点到原点的距离，从数轴上容易发现，表示有理数2的点到原点的距离是2个单位长度，即（如图①）．同样的，数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图②）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务． 【任务一】请根据以上阅读计算： 若点表示，点表示1，则两点的距离是 ． 【任务二】根据绝对值的意义求字母的值： 若，求所表示的有理数．根据绝对值的意义，“”指数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度，表示的有理数是 ． 【任务三】设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴如图探索： 的最小值是 ． ◆题型3 绝对值非负性综合：|a|+|b|=0求值 6．如果有理数a、b满足，那么等于（　　） A． B．3 C． D．7 7．如果，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 8．若，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D． ◆题型4 数轴动点基础（点移动、求移动后数字） 9．数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B．2 C．或2 D．4或 10．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 11．如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，．．．以此类推，这样移动2025次后该点到原点的距离为___________． ◆题型5 分类讨论：已知绝对值求原数（多解） 12．若，则__________． ◆题型6 利用数轴化简含绝对值式子 13．观察下面的等式，并解决问题： ，；，； ，； … (1)化简； (2)求的值． 14．化简______． 15．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当，时，；当时，，请用这种方法解决下列问题： (1)当时，______，当时，______． (2)已知a，b是有理数，当，时，求的值． (3)已知，且，求的值． 1．数轴上表示数x，y的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 3．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 4．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 5．利用绝对值的几何意义，可以得到使小于3的整数的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．若与互为相反数，则__________. 7．已知六个有理数：．解答下列问题： (1)如图是一条不完整的数轴，请将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上； (2)将各数按从小到大的顺序用“”连接起来． 8．数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 9．【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1·用正负数表示相反意义的量（高频） 题型2·有理数分类辨析（区分整数、分数、正负数） 题型3·数轴读数、在数轴上描点 题型4·求一个数的相反数、多重符号化简 题型5·求有理数的绝对值 题型6·利用绝对值求字母的值（重） 题型7·有理数大小比较 题型8·数轴上两点之间距离计算 题型9·根据绝对值非负性简单求值 综合攻坚·知能拔高 ◆题型·1·用正负数表示相反意义的量（高频） 1．蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启了人形机器人智造的黄金时代，国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻，若人形机器人向前进行12次空翻记作次，则人形机器人向后进行9次空翻记作（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】D 【分析】根据正负数的意义，向前空翻记作正数，则向后空翻记作负数表示即可． 【详解】解：∵向前进行12次空翻记作次，向后与向前意义相反， ∴向后进行9次空翻记作次． 2．若规定向东走记作，则向西走记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题干的正方向规定，利用相反意义的量的表示方法求解． 【详解】解：∵规定向东走记为正，向西与向东是相反意义的量， ∴向西走记作． 3．一种罐装速溶咖啡的质量标准为净重克，下列（     ）的咖啡符合此标准． A．净重克 B．净重克 C．净重克 D．净重克 【答案】B 【分析】先根据克的质量标准算出合格质量的取值范围，再判断各选项是否符合． 【详解】解：合格质量最大值为（克）， 最小值为（克）， 即合格范围为克净重克． A选项，C选项，D选项，均不符合标准； B选项，符合标准． ◆题型·2·有理数分类辨析 4．下列各数中：1，，2.8，，，是分数的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据有理数分类中分数的定义判断各数，初中数学中有限小数和无限循环小数都属于分数，统计符合条件的数的个数即可得到答案． 【详解】解：1是整数，不是分数； 是负分数，属于分数； 是有限小数，可化为分数，属于分数； ，是整数，则不属于分数； ，是有限小数，可化为分数，则属于分数； 是无限循环小数，可化为分数，属于分数； 综上，属于分数的数共有个． 5．在，，0，，，，，5中，非负整数有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是明确非负整数的定义； 先明确非负整数的定义（即正整数和0），再逐一判断所给数字是否符合该定义，统计符合的个数即可得出答案． 【详解】解：∵非负整数是指正整数和0， ∴是负整数；是分数；0是非负整数；是分数；是负小数；是负分数；不是有理数；5是正整数； ∴符合条件的非负整数有0和5，共2个， 故选：B． 6．把下列各数填入相应的集合中： ，，，，0，，． 正有理数集合{_______________}； 负分数集合{_______________}； 整数集合{_______________}； 非负整数集合{_______________}． 【答案】；；； 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握根据有理数的定义和分类方法，是解题的关键．根据正有理数包括正整数和正分数；负分数是负的分数；整数包括正整数、负整数和零；非负整数是正整数和零，进行求解即可． 【详解】解：正有理数集合{}； 负分数集合{}； 整数集合{}； 非负整数集合{}． ◆题型·3·数轴读数、在数轴上描点 7．关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【分析】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 8．下列四个选项中，所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的定义， 根据规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴解答即可. 【详解】解：因为图A中没有原点，所以不符合题意； 因为图B中点的位置不对，所以不符合题意； 因为图C有正确的原点，正方向，单位长度，所以符合题意； 因为图D中没有正方向，所以D不符合题意. 故选：C. 9．在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 【答案】 画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可． 【详解】略 ◆题型·4·求一个数的相反数、多重符号化简 10．实数的相反数是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答． 【详解】解：的相反数是． 11．下列几对数中互为相反数的一对为（　　） A．和 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，，相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意； B、，两数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意； C、，，是互为相反数，故本选项符合题意； D、，，相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意． 故选：C． 12．下列各组数：①与；②与；③与；④与；⑤与．其中互为相反数的有（  ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的判断，准确理解相反数的性质是解题的关键． 根据相反数的性质判断即可； 【详解】解：①与两数相等； ②与是互为相反数； ③与是互为相反数； ④与两数相等； ⑤与是互为相反数． 其中②③和⑤符合题意，故3组； 故选：B． 13．计算：______________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，根据相反数的定义解即可 【详解】解： 故答案为： ． ◆题型·5·求有理数的绝对值 14．的相反数是（    ）． A．2027 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据负数的绝对值等于它的相反数求出的值，再在这个数前面添加负号，即可得到它的相反数． 【详解】解：，其相反数为． 16．________． 【答案】3 【分析】本题考查多重符号化简，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算括号内的表达式，再求绝对值． 【详解】解：． 故答案为：3． ◆题型·6·利用绝对值求字母的值（重） 15．若，则_____． 【答案】 3或 【分析】本题主要考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴或； 故答案为：3或． 17．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． ◆题型·7·有理数大小比较 18．在给出的数、、中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵题干给出的数为，，， ∴不在给出的数范围内，排除A； ∵， ∴最小的数是． 19．已知，则，，三者大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可判断出和的范围，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 20．比较大小： （1）2 _____ ； （2） 0 ______； （3）_____ 【答案】 【分析】根据有理数大小比较法则，正数大于一切负数，零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，据此比较即可． 【详解】解：（1）因为2是正数，是负数，正数大于一切负数，所以； （2）因为 负数都小于零，所以； （3），，，所以． ◆题型·8·数轴上两点之间距离计算 21．如图，数轴上点，表示的数互为相反数．若点表示的数为，点在点的右侧，则点到原点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义，数轴上点到原点的距离，掌握相反数的定义是解题关键． 先根据相反数的定义求出点表示的数，再计算该数的绝对值，即为点到原点的距离． 【详解】解：点，表示的数互为相反数，点表示的数为， 点表示的数为， 点到原点的距离为． 故选：． 22．点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数是，若，则B点表示的数为（   ） A． B．或 C．或1 D．1 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间距离的计算，需考虑点B在点A左右两侧两种情况． 【详解】解：设点B表示的数为 ∵点A表示的数是，， ∴根据数轴上两点间距离公式，得，即， 当时，解得， 当时，解得， ∴点B表示的数为或， 故选：C． 23．数轴上表示的点为A，点B到点A的距离等于2，则点B表示的数是______． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离公式，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先设点表示的数为，根据点B与点A的位置关系分两种情况讨论：点B在点A左侧或点B在点A右侧，分别计算即可． 【详解】解：设点表示的数为， 当点B在点A左侧时，则； 当点B在点A右侧时，则， 故点B表示的数是或1． 故答案为：或1． 24．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段　　　　　　； (2)数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段　　　　　　； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为，则另一个点表示的数是　　　　　　． (4)数轴上点G、H代表的数分别为a和b，则线段　　　　　　； 【答案】(1)7 (2)4 (3)2或 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离． （1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）分两种情况讨论，当另一个点在右侧或当另一个点在左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可； （4）直接根据数轴上两点间的距离求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段， 故答案为：7； （2）解：数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段， 故答案为：4； （3）解：由题可得：①当另一个点在右侧时，； ②当另一个点在左侧时，， 综上，另一个点表示的数为2或． 故答案为：2或； （4）解：数轴上点G、H代表的数分别为a和b，则线段． 故答案为：． 25．[阅读材料]的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数________的点之间的距离； (2)（ⅰ）若，求x的值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ）3 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）（ⅰ）根据绝对值的意义得到数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3，进行求解即可； （ⅱ）根据绝对值的意义，得到当表示数的点在表示数和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即可得出结果． 【详解】（1）解：的几何意义是表示数x的点与表示数的点之间的距离； （2）（ⅰ）由题意，表示数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3， ∴或； （ⅱ）表示数轴上表示数的点到表示数和数1的点之间的距离之和， ∴当表示数的点在表示数和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即． ◆题型·9·根据绝对值非负性简单求值 26．已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的非负性及代数式的值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键；根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，然后问题可求解． 【详解】解：因为且， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 27．若与互为相反数，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据绝对值非负的性质，互为相反数的两个绝对值只能同时为零，得到，，求出、的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数，且，， ∴且， 即 ，， 解得，/ ∴． 故答案为：． 28．若有理数a，b满足，则_______． 【答案】 【分析】此题考查绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟练掌握几个非负数之和为零，则每一项都应为零． 根据绝对值和平方的非负性可求出、的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 29．若，则________． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值的非负性，解题的关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解未知数． 根据绝对值的非负性，由得出、的值，再计算． 【详解】因为且，且， 所以且， 解得，， 因此． 故答案为：5． ◆题型1 有理数分类综合辨析（易混数归类，π、有限小数判断） 1．在，，0，，3.14159，，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是有限小数，是有理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数。 综上，有理数共有个． 2．在中，有理数有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解题的关键；有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，进而逐个判断每个数即可． 【详解】解：在中，有理数有，共6个； 故选C． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．负分数不是有理数 C．0是最小的有理数 D．是最大的负整数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类相关概念，解题关键是明确有理数（正、负、零）及负整数的定义与范围． 分别根据有理数的分类（正、负、零）及负整数的定义，逐一分析每个选项． 【详解】选项 A：有理数包括正数、负数和0，并非不是正数就是负数，错误； 选项 B：负分数属于分数，分数是有理数，错误； 选项 C：有理数没有最小的，错误； 选项 D：是最大的负整数，正确． 故选D． ◆题型2 绝对值的几何意义（数轴距离问题） 4．数轴上点A表示，那么到点A距离是6个单位长度的点表示的数是 _____． 【答案】或3 【详解】解：设到点距离是个单位长度的点表示的数为， 由题意得， 整理得， 去绝对值可得或， 解得或． 5．数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想，当取得最小值时，写出此时所有整数值为__________． 【答案】1，2，3 【分析】本题考查了数轴，绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 根据绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：∵表示数轴上与1之间的距离，表示数轴上与3之间的距离， ∴时，表示数的点到表示数1和3的点之间的距离之和最小， ∴整数为， 故答案为：． 3．阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有理数0表示的点）的距离，叫作这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上表示有理数2的点到原点的距离，从数轴上容易发现，表示有理数2的点到原点的距离是2个单位长度，即（如图①）．同样的，数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图②）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务． 【任务一】请根据以上阅读计算： 若点表示，点表示1，则两点的距离是 ． 【任务二】根据绝对值的意义求字母的值： 若，求所表示的有理数．根据绝对值的意义，“”指数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度，表示的有理数是 ． 【任务三】设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴如图探索： 的最小值是 ． 【答案】任务一：；任务二：或；任务三： 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离计算，绝对值的几何意义，正确理解题意是解题的关键． 任务一：数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用表示，据此求解即可； 任务二：根据题意可得数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度，那么可分x在3的左侧和x在3的右侧两种情况，结合数轴上两点间的距离计算公式求解即可； 任务三：表示数轴上表示的点到表示4的点与表示的点到表示的点的距离之和，那么当位于和4之间时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：任务一：由题意得两点的距离是， 故答案为：； 任务二：∵“”指数轴上表示的点到表示3的点的距离是4个单位长度， ∴由数轴可得或， 故答案为：或； 任务三：表示数轴上表示的点到表示4的点与表示的点到表示的点的距离之和， 故当位于和4之间时，有最小值，最小值为， 故答案为：5 ． ◆题型3 绝对值非负性综合：|a|+|b|=0求值 6．如果有理数a、b满足，那么等于（　　） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性、求代数式的值； 根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都必须为零，从而求出a和b的值，再代入即可求值． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 7．如果，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零则每个部分必为零，由此求出、的值，代入所求代数式计算即可得出结果，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 8．若，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，求代数式的值，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，求出、的值，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握绝对值的非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． ◆题型4 数轴动点基础（点移动、求移动后数字） 9．数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B．2 C．或2 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移． 点A在数轴上移动3个单位长度，可向左或向右移动，根据数轴上点的移动规律：向右移动加，向左移动减，计算点B表示的数即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点， 则点表示的数是或． 故选：C． 10．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】 4 64岁 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，找到题目中的等量关系． （1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】解：（1）如图1， 可知：三个火车的长为， 则一个火车的长为， 故答案为：4； （2）同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 故答案为：64岁． 11．如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，．．．以此类推，这样移动2025次后该点到原点的距离为___________． 【答案】3037 【分析】本题考查数轴、数字规律，依次求得每次移动后点所对应的数，根据总结的规律求解即可． 【详解】解：由题知，第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，移动个单位长度，移动后点所对应的数为1； 第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； 第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； 第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； ⋯， 移动n次后该点对应的数为个单位长度； ∴移动5次后对应的点数为，n为奇数时，向右移动；n为偶数时，向左移动； ∴第2025次向右移动个单位长度， ∵， 即前2024次移动后表示的数为， ∴， ∴移动2025次后表示的数为3037，移动2025次后该点到原点的距离为3037， 故答案为：3037． ◆题型5 分类讨论：已知绝对值求原数（多解） 12．若，则__________． 【答案】 【分析】先去括号得到，根据绝对值等于一个正数的数有两个，直接利用绝对值得性质得出结果． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的求解，绝对值得意义，去括号得法则，熟练掌握绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于的数有一个，没有绝对值等于负数的数，是解答本题的关键． ◆题型6 利用数轴化简含绝对值式子 13．观察下面的等式，并解决问题： ，；，； ，； … (1)化简； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减运算，绝对值的意义，类比题中示例进行去绝对值是解题的关键． （1）先类比题中示例去掉绝对值再进行减法运算； （2）先类比题中示例去掉绝对值再进行加减运算． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 14．化简______． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键．根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：3． 15．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当，时，；当时，，请用这种方法解决下列问题： (1)当时，______，当时，______． (2)已知a，b是有理数，当，时，求的值． (3)已知，且，求的值． 【答案】(1)1；； (2)0； (3)或3． 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的加法，掌握分类讨论是关键． （1）直接将，代入求出答案； （2）分别利用，，得出，，求出答案； （3）根据，且，得出，，或，，利用分类讨论的方法可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ． 故答案为：1；； （2）解：当时， ， 当时，， ． （3）解： ， ，． 又 ，， ，或，． ，或． 故的值为：或3． 1．数轴上表示数x，y的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再根据绝对值的性质可得，，，据此进行判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，则选项C错误； ∴，则选项A错误，选项B正确； ∵，， ∴，则选项D错误； 故选：B． 2．如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的概念，解题的关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐， ∴数轴上1个单位长度表示， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：D． 3．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离、点所对应的数等知识点，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离是两数之差的绝对值是解题的关键． 根据圆的周长公式得到圆滚动的长度，分两种情况结合数轴上两点间距离即可解答． 【详解】解：由题意可得，点A滚动长度为：， ∴往右滚动1周对应的数为：，往左滚动1周对应的数为：， ∴点表示的数是：或． 故选D． 4．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论和数形结合的思想方法，注意分类讨论不要遗漏是关键． 分线段的端点与整点重合和线段AB的端点与整点不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论． 【详解】解：依题意得：当线段起点在整点时， 则1厘米长的线段盖住2个整点，2017厘米长的线段盖住2018个整点， 当线段起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2017厘米长的线段盖住2017个整点． 故选C． 5．利用绝对值的几何意义，可以得到使小于3的整数的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴理解表示与在数轴上对应点的距离． 利用绝对值的几何意义，将转化为数轴上x与1对应点的距离小于3，确定x的取值范围，再找出其中的整数个数． 【详解】解：根据绝对值的几何意义得， 表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离． 因为， 所以x对应的点与1对应的点之间的距离小于3． 在数轴上，1左边与1距离3个单位的数是，右边与1距离个单位的数是， 所以x的取值范围是． 在范围内的整数有、0、1、2、3，共5个． 故选：C． 6．若与互为相反数，则__________. 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性和相反数的定义，熟练掌握“几个非负数的和为时，每个非负数都为”是解题的关键． 根据相反数的定义和绝对值的非负性，求出、的值，进而计算． 【详解】∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 解得， ∴， 故答案为：． 7．已知六个有理数：．解答下列问题： (1)如图是一条不完整的数轴，请将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上； (2)将各数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1) 根据题意可得：， 补充完整数轴，将各数表示在数轴上如图所示： (2) 【分析】本题主要考查了化简双重符号，求解绝对值，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先将各数进行化简，并将补充完整数轴，将各数表示在数轴上即可． （2）根据数轴即可列出． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得：． 8．数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)8 (2)或 (3)、、、、、 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，熟练掌握“绝对值表示数轴上两点之间的距离”是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，计算与在数轴上的距离； （2）将变形为，结合距离的意义列方程求解； （3）根据的几何意义（到和的距离和），分析的取值范围后确定整数解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴或， 即或， ∴或； （3）解：∵表示到和的距离和，且与在数轴上的距离为， ∴在到之间（含和）． ∴符合条件的整数为：，，，，，． 9．【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）或6.5；（3）①3；，，0，1；②有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对值的几何意义是解题的关键； （1）根据题意可知可看作是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为，然后问题可求解； （2）同理（1）可求； （3）根据绝对值的几何意义及数轴上两点距离可进行求解①②． 【详解】解：（1）由可知：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为， ∴或， 解得：或， 故答案为或； （2）由可知：数轴上表示数x的点到表示数和3的点之间的距离之和为12， ∵， 当数轴上表示数x的点在表示数的左侧时，则有：， 解得：； 当数轴上表示数x的点在表示数3的右侧时，则有：， 解得：； 故答案为或6.5； （3）①由可知：数轴上表示数x的点到表示数和1的点之间的距离之和， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数和1的点之间取得最小值，此时x可以取的整数有，，0，1； 故答案为3；，，0，1； ②由可变形为， ∴同理①可知：当数轴上表示数x的点在表示数和4的点之间取得最小值， ∴最小值为； 由可知：数轴上表示数x的点到表示数和5的点之间的距离之差， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数5的右侧时，取得最大值，最大值为7； 答：有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $