精品解析：湖南省湘西土家族苗族自治州凤凰县2025-2026学年上学期12月初中学情诊断九年级数学试题卷

湖南省凤凰县2025年12月初中学情诊断 九年级数学试题卷 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须先将自己的姓名、准考证号分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌上，由监考老师统一收回． 4．本试卷三大题，20小题，满分100分，时量120分钟． 一、选择题（每小题3分，共24分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的方程有实数解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 4. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接，当点A、D、E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m． A. 6 B. 45 C. 35 D. 25 6. 如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为(　　) A. B. C. D. 7. 下面有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆．其中错误的结论有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 9. 如果一元二次方程有一个根为0，则的值为_____________． 10. 二次函数，当时，y的取值范围为_______． 11. 如图，在中，，，点D，E在边上，，，，则的长______． 12. 如图所示，二次函数的图像的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③（为常数）；④和时函数值相等；⑤若，，在该函数图像上，则；⑥．其中错误的结论是_______（填序号）． 13. 一个圆锥的高为，底面圆的半径为2，则这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为______． 14. 如图，的顶点，分别在轴，轴上，，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为______． 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 15. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． （1）判断下列方程一定是“友好方程”有______个． ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程，证明：此方程一定是“友好方程”； 16. 已知函数（是常数），当函数与坐标轴有且仅有个交点时，求的值． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、的坐标分别为，． （1）与关于点成中心对称，请在图中画出； （2）在（1）的基础上，将绕点逆时针旋转后得到，请在图中画出． （3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标：_________． 18. “直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ （3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 19. 请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． （1）下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点， ． ． ．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． （2）在图1中，若，求的半径． 20. 定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． （1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由； （2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值； （3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省凤凰县2025年12月初中学情诊断 九年级数学试题卷 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须先将自己的姓名、准考证号分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌上，由监考老师统一收回． 4．本试卷三大题，20小题，满分100分，时量120分钟． 一、选择题（每小题3分，共24分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐一判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、在中，当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、是一元二次方程，故选项符合题意； C、是分式方程，故选项不符合题意； D、整理后为，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 关于的方程有实数解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】由于x的方程（m-2）x2-2x+1=0有实数解，则根据其判别式即可得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．但此题要分m=2和m≠2两种情况． 【详解】（1）当m=2时，原方程变为-2x+1=0，此方程一定有解； （2）当m≠2时，原方程是一元二次方程， ∵有实数解， ∴△=4-4（m-2）≥0， ∴m≤3． 所以m的取值范围是m≤3． 故选：B． 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于分两种情况进行讨论，错误的认为原方程只是一元二次方程． 4. 如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接，当点A、D、E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 根据旋转的性质，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求解即可． 【详解】解：绕点C逆时针旋转得到， ，， 点A、D、E在同一直线上， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ． 故选A． 5. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m． A. 6 B. 45 C. 35 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得s的最大值即为汽车从刹车后到停下来前进的距离，据此求解即可． 【详解】解：， 二次函数的最大值为， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了， 故选B． 6. 如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，从而∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出的度数． 【详解】解：过点分别作、、，垂足分别为、、，连接、、、、、、、，如图： ∵， ∴ ∴ ∴点是三条角平分线的交点，即三角形的内心 ∴， ∵ ∴ ∴． 故选：C 【点睛】本题考查的是三角形的内心、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，比较简单． 7. 下面有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆．其中错误的结论有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、三角形的外心的概念等知识点一一判断即可. 【详解】解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中； ③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径； ④三角形的外心到它的三顶点的距离相等，此选项正确； ⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，故正确. 故选C. 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得 【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=, B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为 y=(4－x)··=, 两个三角形重合时面积正好为. 由二次函数图象的性质可判断答案为A, 故选A. 【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 9. 如果一元二次方程有一个根为0，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及其根，熟练掌握定义即形如的方程，使得方程左右两边相等的未知数的值是方程的根是解题的关键．根据一元二次方程有一个根为0，得到计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得（舍去）． 故答案为：． 10. 二次函数，当时，y的取值范围为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先把函数化成顶点式 ，求出二次函数的最小值，再求出当和对应的y值，确定端点值，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴当时，y有最小值， 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当和对应的y值是解此题的关键． 11. 如图，在中，，，点D，E在边上，，，，则的长______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．过点作，在上截取，连接，，先证明得，，由此可证明，进而证明得，然后在中，由勾股定理求出． 【详解】解：过点作，在上截取，连接，，如图所示： ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 12. 如图所示，二次函数的图像的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③（为常数）；④和时函数值相等；⑤若，，在该函数图像上，则；⑥．其中错误的结论是_______（填序号）． 【答案】①⑤ 【解析】 【分析】根据二次函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴是直线， ∴，即， ∴， ∵经过点， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵当时，函数取得最大值，最大值为， ∴当时，， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴直线和直线与对称轴距离相等，则和时的函数值相等，故④正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且开口向下， ∴离对称轴越近，函数值越大， ∴，故⑤错误； 当时，， ∴， ∴，故⑥正确； 故答案为：①⑤． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，灵活掌握利用二次函数图像与性质解决代数式符号问题的解法是解决问题的关键． 13. 一个圆锥的高为，底面圆的半径为2，则这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是：先根据勾股定理求出母线长为6，设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是，利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：母线长为， 设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是， 根据题意得， 解得， 即圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是． 故答案为：． 14. 如图，的顶点，分别在轴，轴上，，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的规律问题，勾股定理，等腰直角三角形性质，旋转的性质．根据题意求出点初始坐标，再利用旋转知识得出每次旋转后的坐标，观察出每次一循环，即可得到本题答案． 【详解】解:∵，， ∴， 过点C作轴交轴与点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转得到的坐标为， 第二次旋转得到的坐标为， 第三次旋转得到的坐标为， 第四次旋转得到的坐标为， 第五次旋转得到的坐标为， 可以发现的坐标四次一循环， ∴第次旋转结束时:， ∴第次旋转结束时点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 15. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． （1）判断下列方程一定是“友好方程”有______个． ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程，证明：此方程一定是“友好方程”； 【答案】（1） （2） 证明：方程中，，， ， 此方程一定是“友好方程”． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、完全平方公式、整式的加减． (1)根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可； (2)根据一元二次方程根的判别式可得：，利用完全平方公式展开，再合并同类项可得：，可知关于的一元二次方程一定是“友好方程”． 【小问1详解】 解：①方程中，，， ， 故①是“友好方程”； ②方程中，，， ， 故②不是“友好方程”； ③方程中，，， ， 故③是“友好方程”； “友好方程”有个； 故答案为：； 【小问2详解】 略 16. 已知函数（是常数），当函数与坐标轴有且仅有个交点时，求的值． 【答案】的值是或或或-3. 【解析】 【分析】需要分类讨论：①该函数是一次函数时； ②该函数是二次函数时，分抛物线经过原点和抛物线不经过原点两种情况进行讨论. 【详解】解：①当时，该函数是一次函数，其图象是与坐标轴有且仅有个交点； ②当时，该函数是二次函数， 二次函数与轴只有一个交点，且图象不经过原点时， 则，且， 解得． 二次函数图象经过原点时， ， 解得：. 综上所述，的值是或或或 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点.解题时,需要分类讨论,以防漏解. 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、的坐标分别为，． （1）与关于点成中心对称，请在图中画出； （2）在（1）的基础上，将绕点逆时针旋转后得到，请在图中画出． （3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标：_________． 【答案】（1） ，如图所示： （2），如上图所示： （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换及中心对称变换，根据旋转的性质可知，对应点的连线段的夹角都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）利用关于原点对称的点的坐标特征得出点A、B、C的对应点，再连线即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点，连线即可； （3）作出平行四边形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知点D的坐标为：或或． 故答案为：(−5,−3)或(1,−1)或(−3,1)． 18. “直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ （3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 【答案】（1） （2）应将销售单价定为15元 （3）此时W的最大值为2160元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用、一元二次方程的应用、不等式的应用： （1）利润等于销量乘以售价与进价之差，由此可列函数关系式； （2）结合（1）中结论列一元二次方程，解方程即可； （3）先求出销售单价x的取值范围，再将二次函数一般式化为顶点式，即可求出W的最大值． 【小问1详解】 解：根据题意，得 ； 【小问2详解】 解：由， 解得或． ∵销量随售价x的增大而减小， ∴售价越小，销量越高，越有利于减少库存， ∴应将销售单价定为15元； 【小问3详解】 解：由，且，解得， ， ∴当时，W随着x的增大而减小， ∴当时，函数值最大，最大为． 答：此时W的最大值为2160元． 19. 请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． （1）下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点， ． ． ．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． （2）在图1中，若，求的半径． 【答案】（1） 证明：是的中点， ， ， 在中，， 在和中， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握同弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，数形结合，合理作出辅助线是关键． （1）根据题意可证，可得，由垂直平分线得到，由即可求解； （2）如图，过点作于点，于点，连接，，，由（1）可知，可证四边形是矩形，，则，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，于点，连接，，， 由（1）可知， 过圆心且， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 20. 定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆． （1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由； （2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值； （3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值． 【答案】（1）⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，理由： 对于二次函数y＝x2﹣4x+3， 当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3， ∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3）， ∵点P（2，2）， ∴PA＝PB＝PC＝， ∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆． （2）△POA周长的最小值为6 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断． （2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值． （3）连接CD，PA，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得PA=PC=2m，CE=m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 如图1，连接PH， ∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P， ∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4）， ∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6， ∴△POA周长的最小值为6． 【小问3详解】 如图2，连接CD，PA， 设二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F， 由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD， ∵AB＝， ∴AF＝BF＝， ∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4）， ∴∠PCD＝∠PDC＝30°， 设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m， ∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l为， ∴，即， 在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2， ∴， 即， 化简，得，解得， ∴． 【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识以及方程的思想，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $