复习12 平衡中的极值和临界 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

复习12．《平衡中的极值和临界问题》讲义 复习目标：会分析平衡中的临界与极值问题。 知识点复习一、平衡中的临界问题 1．定义：由某种物理现象变化为另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态。临界状态可以理解为“ 出现”或“ 不出现”某种现象的状态。在问题描述中常用“ ”、“ ”、“ ”等语言叙述。解题的关键是确定“ 出现”或“ 不出现”的条件。 2．求解平衡问题中的临界问题常用的方法 （1）解析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件列出物理量之间的函数关系——方程（画出函数图象），在解方程时采用数学方法求极值（如求二次函数极值、讨论分式求极值、公式极值、三角函数求极值以及几何法求极值等）。 （2）图解法：根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。 （3）极限法：极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端（“极大”、“极小”、“极右”、“极左”等），从而把比较隐蔽的临界现象（“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。 3．思路：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 4．常见的临界状态有： （1）两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为 （主要体现为两物体间的弹力为 ）； （2）绳子断与不断的临界条件为绳中的张力达到 ；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中的张力为 ； （3）存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到 。 【题1】如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m的滑块，此时弹簧处于自然长度。已知滑块与板间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直到板竖直，此过程中弹簧弹力的大小F随夹角θ的变化关系可能是图中的 【题2】如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态，重力加速度为g。（已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力） （1）轻绳OA、OB受到的拉力分别是多大？ （2）人受到的摩擦力是多大？方向如何？ （3）若人的质量m2＝60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.3，g取10 m/s2。欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？ 知识点复习二、极值问题 1．定义：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的 和 问题。极值是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出遭到的 或 。可分为简单极值问题和条件极值问题。 2．解决极值问题和临界问题的方法 （1）极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的 点和 点；临界条件必须在 中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即 和 ，并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。 （2）数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系或画出函数图象，用数学方法求极值，如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值，但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论和说明。 （3）物理分析方法——图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【题3】质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止）。 （1）当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值； （2）求在（1）的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？ 【题4】如图所示，物体的质量为m＝5 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上（∠BAC＝θ＝60°），在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围？（g取10 m/s2） 【题5】如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F的最小值？ - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 复习12．《平衡中的极值和临界问题》讲义 复习目标：会分析平衡中的临界与极值问题。 知识点复习一、平衡中的临界问题 1．定义：由某种物理现象变化为另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态。临界状态可以理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态。在问题描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述。解题的关键是确定“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。 2．求解平衡问题中的临界问题常用的方法 （1）解析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件列出物理量之间的函数关系——方程（画出函数图象），在解方程时采用数学方法求极值（如求二次函数极值、讨论分式求极值、公式极值、三角函数求极值以及几何法求极值等）。 （2）图解法：根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。 （3）极限法：极限法是一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端（“极大”、“极小”、“极右”、“极左”等），从而把比较隐蔽的临界现象（“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。 3．思路：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 4．常见的临界状态有： （1）两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0（主要体现为两物体间的弹力为0）； （2）绳子断与不断的临界条件为绳中的张力达到最大值；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中的张力为0； （3）存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大值。 【题1】如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m的滑块，此时弹簧处于自然长度。已知滑块与板间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直到板竖直，此过程中弹簧弹力的大小F随夹角θ的变化关系可能是图中的 【答案】C 【解析】设板与水平面的夹角为α时，滑块相对于板刚要滑动。 则由mgsin α＝μmgcos α得tan α＝，α＝ 则θ在0～范围内，弹簧处于原长，弹力F＝0 当板与水平面的夹角大于α时，滑块相对板缓慢滑动，由平衡条件得 F＝mgsin θ－μmgcos θ＝mg·sin（θ－β），其中tan β＝μ 说明F与θ是正弦函数形式的关系。当θ＝时，F＝mg。 【题2】如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态，重力加速度为g。（已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力） （1）轻绳OA、OB受到的拉力分别是多大？ （2）人受到的摩擦力是多大？方向如何？ （3）若人的质量m2＝60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.3，g取10 m/s2。欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？ 【解析】（1）对结点O进行受力分析，受甲通过绳子对O的拉力m1g，OB的拉力F和OA的拉力FT，处于平衡状态，如图所示，有：FT＝＝m1g，F＝m1g·tan θ＝m1g （2）对人受力分析，在水平方向上受OB的拉力F′和地面对人的摩擦力Ff处于平衡状态，所以有： Ff＝F′＝F＝m1g，①人有向右的运动趋势，所以人受到水平向左的摩擦力作用 （3）人在竖直方向上受重力m2g和支持力FN，若人的质量m2＝60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.3，则人受到的最大静摩擦力为：Ffmax＝μFN＝μm2g ② 此时物体甲的质量达到最大，联立①②并代入数据得：m1＝24 kg。 知识点复习二、极值问题 1．定义：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。极值是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出遭到的最大值或最小值。可分为简单极值问题和条件极值问题。 2．解决极值问题和临界问题的方法 （1）极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。 （2）数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系或画出函数图象，用数学方法求极值，如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值，但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论和说明。 （3）物理分析方法——图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 【题3】质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止）。 （1）当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值； （2）求在（1）的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少？ 【答案】（1）（2）mgsin 4θ 【解析】木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mgsin θ＝μmgcos θ，即μ＝tan θ （1）木楔在力F的作用下沿斜面向上匀速运动，有Fcos α＝mgsin θ＋Ff Fsin α＋FN＝mgcos θ Ff＝μFN解得F＝＝＝ 则当α＝θ时，F有最小值，为Fmin ＝mgsin 2θ。 （2）因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即Ff′＝Fcos（α＋θ） 当F取最小值mgsin 2θ时，Ff′＝Fmincos 2θ＝mgsin 2θ·cos 2θ＝mgsin 4θ。 【题4】如图所示，物体的质量为m＝5 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上（∠BAC＝θ＝60°），在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围？（g取10 m/s2） 【答案】 N≤F≤ N 【解析】设AB绳的拉力为F1，AC绳的拉力为F2，对物体受力分析，由平衡条件有 Fcos θ－F2－F1cos θ＝0，Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0， 可得F＝－F1，F＝＋。 若要使两绳都能伸直，则有F1≥0，F2≥0， 则F的最大值Fmax＝＝ N， F的最小值Fmin＝＝ N， 即拉力F的大小范围为 N≤F≤ N。 【题5】如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F的最小值？ 【答案】2 N 【解析】设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ＝μ（mg－Fsin θ），整理得cos θ＋μsin θ＝，sin（α＋θ）＝（其中sin α＝），当θ＝－α时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin＝＝2 N。 - 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