精品解析：广东广州市真光中学2026-2027学年九年级上学期10月期中考试数学试题

2026学年第一学期期中初三数学考试 注意事项： 1．本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分；共6页，满分150分，全闭卷作答，考试时间120分钟． 2．选择题答案必须写在答题卡上．写在试题卷上的答案不予评分． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡题目指定区域内的相应位置上，并请注意题号顺序；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须自觉遵守考场纪律，答卷独立完成． 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 将方程化为一般形式后，的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 2. 已知 是方程的一个根，则m的值等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将代入方程，直接计算m的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 解得：． 故选：B． 3. 反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性推出，进而求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小， ， 解得． 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， 所得抛物线对应的函数表达式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，是解题的关键． 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 即． 6. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 与轴无交点 B. 对称轴为直线 C. 当时，随增大而增大 D. 函数的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据抛物线的图象和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，函数有最小值. 抛物线开口向上，顶点坐标为， 与轴有两个交点，A说法错误，不符合题意； 对称轴为直线，B说法错误，不符合题意； 函数有最小值，D说法错误，不符合题意； 当时，随的增大而增大，， ∴当时，随增大而增大，C说法正确，符合题意． 7. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. C. 2023 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴； 故选C． 8. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大， 点关于直线的对称点为， ， ． 故选：A． 9. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对每个选项，判断反比例函数和一次函数中的的取值范围，看是否出现矛盾，从而选出正确的选项． 【详解】选项A：反比例函数中的，一次函数中的，出现矛盾，不符合题意； 选项B：反比例函数中的，一次函数中的，出现矛盾，不符合题意； 选项C：反比例函数中的，一次函数中的，没有矛盾，符合题意； 选项D：反比例函数中的，一次函数中的，出现矛盾，不符合题意． 10. 如图，的边在轴上，若过点的反比例函数的图象还经过边上的中点，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点坐标，利用平行四边形性质和中点公式表示点坐标，结合反比例函数性质建立坐标之间的关系，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形，在轴上， ，， ， 是的中点，， ， ∵点在反比例函数图象上 ， ， ∵是中点 ， ∴，即， ∵， ∴， ， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 解得：． 12. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的结构确定顶点坐标． 【详解】解：对于二次函数的顶点式，其顶点坐标为， 抛物线解析式为，对应可得，， 因此抛物线的顶点坐标为． 13. 抛物线y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为______． 【答案】x＜-3或x＞1 【解析】 【分析】先由抛物线的对称轴及已知交点（1，0）的坐标得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，则根据二次函数与不等式的关系可得答案． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，该抛物线与x轴的一个交点为（1，0）， ∴该抛物线与x轴的另一个交点为（-3，0） 又∵抛物线开口向上 ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜-3或x＞1． 故答案为：x＜-3或x＞1． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，明确二次函数的相关性质及二次函数与不等式的关系是解题的关键． 14. 双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点围成的三角形面积，结合图像所在的象限确定k的符号即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在双曲线上， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线图像位于第二象限， ∴， ∴． 15. 关于的函数与轴只有一个交点，则的值是_____． 【答案】1或2 【解析】 【分析】分两种情况：①当该函数是一次函数时，；②当该函数是二次函数时，，，据此可求出a的值． 【详解】解：∵函数与轴只有一个交点， ∴①当该函数是一次函数时，可得， 解得； ②当该函数是二次函数时，，且， 解得， 综上，a的值是1或2． 16. 已知抛物线的与的部分对应值如表： 1 4 0 5 9 5 下列结论： ①对称轴为直线； ②方程有两个不相等的实数根； ③若点，均在二次函数图象上，则； ④满足的的取值范围是或． 其中正确结论的序号为__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据对称轴公式求出对称轴即可判断①，根据根的判别式即可判断②，利用对称性可判断③，把化成二次函数和一次函数的交点问题，结合函数图象即可判断④． 【详解】解：把，，代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， ∴对称轴为直线，故①正确； 令，即， ∴，即， 即， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，故②错误； ∵， ∴点，关于对称轴直线对称， ∴，故③正确； 由得， 即， 联立方程组∶， 解得：或， 记点，， 画出函数和函数如下： 结合函数图象可知：或时，， 即． 综上，正确结论为①③④． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： ， 18. 已知关于的二次函数为，其图象经过点． （1）求该函数的对称轴和顶点坐标； （2）当时，的取值范围是_____． 【答案】（1）直线， （2） 【解析】 【分析】（1）把已知点的坐标代入解析式，确定b的值，然后把解析式化成顶点式，求解即可； （2）根据题意，得抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，且为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大，函数值越大，根据增减性求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数为的图象经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大函数值越大， ∵，且包含在这个范围内， 故该范围内函数的最小值为； ∵， ∴时，函数取得最大值，且为， ∴y的取值范围是． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 【答案】（1）的取值范围是且； （2）所求代数式的值为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可求解； （2）根据（1）中m的取值范围确定m的值，代入一元二次方程，利用根与系数的关系得到、的值，对算式变形后代入计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：， 又∵， ∴， ∴m的取值范围为：且； 【小问2详解】 解：∵， ∴m的最大正整数值为2， 当时，一元二次方程为， ∴，， ∴原式 ． 20. 2026年巴南区莲花街道一家校园文具店购进了一批A、B两种型号的笔袋，2个A型笔袋和1个B型笔袋需要花费80元，1个A型笔袋和2个B型笔袋需要花费70元． （1）求A、B两种型号的笔袋进价各是多少元？ （2）在销售过程中，文具店老板决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，若每降价1元，则将多售出5个，为让利于顾客，问每个A型笔袋降价多少元时，每天售出A型笔袋的总利润为240元？ 【答案】（1）A种型号的笔袋进价30元，B种型号的笔袋进价20元 （2）每个A种型号笔袋降价4元时，每天售出A种型号笔袋的利润为240元 【解析】 【分析】（1）设A种型号的笔袋进价元，B种型号的笔袋进价元，由题意得：，解方程组即可； （2）设每个A种型号笔袋降价元时，每天售出A种型号笔袋的利润为240元，由题意得：，解答即可． 【小问1详解】 解：设A种型号的笔袋进价元，B种型号的笔袋进价元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的笔袋进价30元，B种型号的笔袋进价20元； 【小问2详解】 解：设每个A种型号笔袋降价元时，每天售出A种型号笔袋的利润为240元， 由题意得：， 解得：，， ∵要让利于顾客， ∴． 答：每个A种型号笔袋降价4元时，每天售出A种型号笔袋的利润为240元． 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． （1）求，，的值； （2）连接，，求的面积； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）连接，，先求出点C的坐标，再根据求解即可； （3）根据一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，反比例函数的图像经过一、三象限，由图象直接求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴，， 解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：连接，， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴令得：， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，反比例函数的图像经过一、三象限， ∴由图象可得，不等式的解集为或． 22. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． （1）以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： （2）花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意可把，代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，； 当时，； ∴的取值范围为． 23. 如图，在正方形中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向匀速运动（点不与、重合），连接，；动点以每秒个单位长度的速度从点同时出发，沿方向匀速运动（点不与、重合），过点作交对角线于点．设运动时间为秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请求当时，的取值范围． 【答案】（1）， （2）函数、的图象如图所示， 函数的性质：当时，随的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，三角形的面积公式以及等腰直角三角形的判定与性质，分情况讨论即可； （2）根据、的函数解析式，描点画出图象，根据图象即可得出性质； （3）联立方程求出交点，根据图象解答即可． 【小问1详解】 解：在正方形中，， ∴，， 当时，即点在边上，则， ∴； 当时，即点在边上，则， ∴， 综上，， 由题意得，，，， 故是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴自变量的取值范围是， ∴． 【小问2详解】 解：列表如下： 2 4 6 4 8 4 2 画出函数，的图象：略． 写出函数的一条性质：略． 【小问3详解】 解：由图象可知，当，函数、的图象有交点， 联立方程，即， 解得， （不符合题意，舍去）， ∴由图像可知，当时，的取值范围是． 24. 在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； （2）线段的“最优郡值”为，求的值； （3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“郡值”的定义，点的“郡值”即为纵坐标与横坐标的差，代入计算即可；函数的“郡值”表达为，所以根据在时随的增大而减小，即可判断当时，取得最大值，故“最优郡值”为； （2）函数的“郡值”表达式为，“最优郡值”为，即的最大值为，那么需要分情况讨论的符号，根据的增减性代入对应区间的端点值计算出最大值，从而解得的值； （3）将二次函数图象的顶点代入直线，得到，然后代回二次函数解析式得，从而求出二次函数“郡值”的表达式为，由于在上的最大值为，因此需要分三种情况讨论对称轴的位置，分别是，和，根据“郡值”表达式的增减性代入对应区间端点计算最大值，从而解得的值． 【小问1详解】 解：①点的“郡值”为； ②， ， 在时随的增大而减小， 时，的最大值为， 函数的“最优郡值”为． 【小问2详解】 解：线段， ， 的“最优郡值”为， 需要分和两种情况讨论， 当，即时，随增大而减小， 要取得最大值，则，解得，经检验符合； 当，即时，随增大而增大， 要取得最大值，则，解得，经检验符合， 综上所述，或． 【小问3详解】 解：二次函数图象的顶点在直线上， ， ， 二次函数“郡值”表达式为， 二次函数的“最优郡值”为，即在上的最大值为， 需要分三种情况讨论对称轴的位置． 当对称轴时，即时，在区间上随增大而减小， 当时，取得最大值，代入得，解得或（舍去）； 当对称轴时，在区间上的最大值即为顶点纵坐标，代入得，， 该情况与题意不符； 当对称轴时，在区间上随增大而增大， 当时，取得最大值，代入得，解得（舍去）或． 综上所述，或． 25. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中且，且点是抛物线上在第一象限内的一个动点，点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上存在点，使得四边形是菱形，求出点的坐标． （3）如图，点为抛物线对称轴上一点，作直线，分别交抛物线于点，（点在轴的左侧），连接，．若的面积比的面积大，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）求得，即，，再利用待定系数法求解即可； （2）连接，交对称轴于，根据菱形的性质得出，，根据（1）中解析式得出，对称轴为直线，可得，进而求出，即可得答案； （3）设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点，求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵且， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，交对称轴于， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，，轴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点， 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 同理求得直线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴的左侧， ∴，即， ∵，， 由题意得， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中初三数学考试 注意事项： 1．本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分；共6页，满分150分，全闭卷作答，考试时间120分钟． 2．选择题答案必须写在答题卡上．写在试题卷上的答案不予评分． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡题目指定区域内的相应位置上，并请注意题号顺序；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须自觉遵守考场纪律，答卷独立完成． 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 将方程化为一般形式后，的值分别是（ ） A. B. C. D. 2. 已知 是方程的一个根，则m的值等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数的表达式为（　　） A. B. C. D. 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 与轴无交点 B. 对称轴为直线 C. 当时，随增大而增大 D. 函数的最大值为 7. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. C. 2023 D. 2027 8. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的边在轴上，若过点的反比例函数的图象还经过边上的中点，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 12. 抛物线的顶点坐标为______． 13. 抛物线y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为______． 14. 双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 15. 关于的函数与轴只有一个交点，则的值是_____． 16. 已知抛物线的与的部分对应值如表： 1 4 0 5 9 5 下列结论： ①对称轴为直线； ②方程有两个不相等的实数根； ③若点，均在二次函数图象上，则； ④满足的的取值范围是或． 其中正确结论的序号为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的二次函数为，其图象经过点． （1）求该函数的对称轴和顶点坐标； （2）当时，的取值范围是_____． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 20. 2026年巴南区莲花街道一家校园文具店购进了一批A、B两种型号的笔袋，2个A型笔袋和1个B型笔袋需要花费80元，1个A型笔袋和2个B型笔袋需要花费70元． （1）求A、B两种型号的笔袋进价各是多少元？ （2）在销售过程中，文具店老板决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，若每降价1元，则将多售出5个，为让利于顾客，问每个A型笔袋降价多少元时，每天售出A型笔袋的总利润为240元？ 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点． （1）求，，的值； （2）连接，，求的面积； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 22. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． （1）以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： （2）花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 23. 如图，在正方形中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向匀速运动（点不与、重合），连接，；动点以每秒个单位长度的速度从点同时出发，沿方向匀速运动（点不与、重合），过点作交对角线于点．设运动时间为秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请求当时，的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； （2）线段的“最优郡值”为，求的值； （3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 25. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中且，且点是抛物线上在第一象限内的一个动点，点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上存在点，使得四边形是菱形，求出点的坐标． （3）如图，点为抛物线对称轴上一点，作直线，分别交抛物线于点，（点在轴的左侧），连接，．若的面积比的面积大，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $