精品解析：广东东莞市2026-2027学年第一学期期中质量自查九年级数学

2026-2027学年第一学期期中质量自查 九年级数学 说明：1．全卷满分120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动．先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用错笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁． 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 6. 设，是抛物线上的两点，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 不确定 7. 如图，二次函数和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（﹣2，1）和点B（4，3），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A. x＜﹣2 B. x＞4 C. ﹣2＜x＜4 D. x＜﹣2或x＞4 8. 已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后停下来滑行的距离是（ ） A. 200 B. 400 C. 600 D. 800 10. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 2个 二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是__________． 12. 若是一元二次方程的两根，则___________． 13. 若m是方程的一个根，则的值为__________． 14. 二次函数 的部分对应值列表如下： 则一元二次方程 的解为__________ 15. 抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 三．解答题一（共3小题，每小题8分，满分24分） 16. 解方程：． 17. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）根据图象，当时，直接写出的取值范围为． 18. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 四．解答题二（共3小题，每小题9分，满分27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，连接、． （1）求的值； （2）点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该品牌头盔的进价为30元/个，市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到5250元的同时，尽可能让市民享受实惠，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 21. 【综合与实践】为了去海边冲浪，小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，请你帮小明解决以下问题： （1）求出与的函数关系； （2）求为何值时，临时换衣间的地面面积最大？最大面积是多少？ （3）小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行说明． 五．解答题（共2小题，每小题12分，满分24分） 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）【初步思考】 若一元二次方程为，该方程的衍生点的坐标为 ． （2）【尝试应用】 若关于的一元二次方程为． 求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． 由得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式为 ． 在的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 23. 如图（1），抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． （1）求抛物线的解析式． （2）平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标． （3）如图（2），将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中质量自查 九年级数学 说明：1．全卷满分120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动．先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用错笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁． 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，需满足三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2． 【详解】选项A：，未知数的最高次数为3，不符合“二次”条件． 选项B：，含两个未知数和，不符合“一元”条件． 选项C：，仅含一个未知数，且最高次数为2，符合所有条件． 选项D：，未知数的最高次数为1，不符合“二次”条件． 故选C． 2. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：B． 3. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：方程的一次项为，则一次项系数为． 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ， ， ． 5. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 【答案】D 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程． 【详解】解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝110． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键． 6. 设，是抛物线上的两点，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线，对称轴为直线，可得当时，随的增大而减小，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线，，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 而， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握“抛物线的增减性”是解本题的关键． 7. 如图，二次函数和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（﹣2，1）和点B（4，3），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A. x＜﹣2 B. x＞4 C. ﹣2＜x＜4 D. x＜﹣2或x＞4 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，x＜﹣2或x＞4时，二次函数图象在一次函数图象上方， 所以，若y1＞y2，则x的取值范围是x＜﹣2或x＞4． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象与不等式的关系，解题关键是熟练掌握二次函数图象与一次函数的关系，二次函数与方程及不等式的关系． 8. 已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 9. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后停下来滑行的距离是（ ） A. 200 B. 400 C. 600 D. 800 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机滑行距离的函数为二次函数，其最大值对应飞机停下来的总滑行距离．通过将二次函数配方成顶点式，可求出最大值． 【详解】解： ∵ 代入得： ∵二次项系数，抛物线开口向下， ∴顶点为最大值点， 当秒时，滑行距离最大，即飞机停下来的总距离为米． 故选：C 10. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由图象可知：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，为最小值， 当时，， ∴， 整理得：，故⑤正确． 综上，正确的有②④⑤共三个， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定． 二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，把抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线平移法则：左加右减、上加下减，根据题中所给条件，按照函数图像的平移法则操作即可得到答案． 【详解】解：抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是． 12. 若是一元二次方程的两根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系得求解即可． 【详解】解：在方程中，，，， ∵是一元二次方程的两根，且， ∴． 13. 若m是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得到，然后整体代入到即可得解． 【详解】解：是方程的一个根， ，, 则 , 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，采用整体代换思想是解题关键． 14. 二次函数 的部分对应值列表如下： 则一元二次方程 的解为__________ 【答案】2或0 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．先求出对称轴，由表格中的数据可知：当时，，利用二次函数的对称性即可即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由抛物线的对称性质知，对称轴是直线． 根据表格可知：当时，， 根据二次函数的对称性可知：当时，， 所以一元二次方程的解为或． 故答案为：0或2． 15. 抛物线的图象如图所示，点在抛物线第一象限的图象上．点在轴的正半轴上，都是等腰直角三角形，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，求出；设，求出，得出规律，，，，根据等腰直角三角形的性质，求出，即可． 【详解】解：设， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），， ∴； ∵是等腰直角三角形，设， ∴， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图像上， ∴， 解得：（舍），； ∴， 同理可得：，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的点的特征，坐标规律探究，等腰直角三角形的性质，观察图形得出规律是解题的关键． 三．解答题一（共3小题，每小题8分，满分24分） 16. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：利用公式法解方程即可. 试题解析： ． ． =12． ． ． ． ∴方程的解为． 17. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）根据图象，当时，直接写出的取值范围为． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 图略 【小问3详解】 当时，由图象可知，x的取值范围为 18. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 四．解答题二（共3小题，每小题9分，满分27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，连接、． （1）求的值； （2）点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式，即可求解的值． （2）先求点B的坐标，令代入已确定的抛物线解析式，得到B点纵坐标，确定的长度，设点的坐标为，因为的边在y轴上，所以三角形的高为点P横坐标的绝对值，根据三角形面积公式列方程，求解得到的值，再代入抛物线解析式得到对应纵坐标，即得点P坐标． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入中，得 ， ； 【小问2详解】 解：当时， ∴， 设， 的面积为4， ∴， ∴ ∴P点坐标为或． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该品牌头盔的进价为30元/个，市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到5250元的同时，尽可能让市民享受实惠，该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为20%． （2）该品牌头盔的实际售价应定为每个45元． 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． （2）设该品牌头盔的实际售价为元，根据月销售利润等于每个头盔的利润乘以月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之结合尽可能让市民享受实惠的要求选取较小的根即可求出结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得： ， 解得， （舍去）， 所以该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为20%． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为元， 由题意得： ， 解得： ， ， 因为尽可能让市民享受实惠，所以价格要低一些， 所以舍去， 所以该品牌头盔的实际售价应定为每个45元． 21. 【综合与实践】为了去海边冲浪，小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，请你帮小明解决以下问题： （1）求出与的函数关系； （2）求为何值时，临时换衣间的地面面积最大？最大面积是多少？ （3）小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行说明． 【答案】（1） （2）当时，临时换衣间的地面面积最大，最大面积是 （3）小明的地面面积可以更大，当长为 时，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）由题意得，长方形的宽为：，根据长方形的面积公式即可得出答案； （2）根据二次函数的性质即可得出答案； （3）设长方形的长为，则宽为，面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形的宽为：， 则； 【小问2详解】 解：由（1）得，； ∵，故函数有最大值， 当时，函数的最大值为：， 即当时，临时换衣间的地面面积最大，最大面积是； 【小问3详解】 解：能． 设长方形的长为，则宽为， 则， ， 故函数有最大值， 当时，函数的最大值为， 即小明的地面面积可以更大，当长为 时，最大面积为． 五．解答题（共2小题，每小题12分，满分24分） 22. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）【初步思考】 若一元二次方程为，该方程的衍生点的坐标为 ． （2）【尝试应用】 若关于的一元二次方程为． 求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． 由得到的所有衍生点都在同一条直线上，则直接写出直线解析式为 ． 在的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【答案】（1） （2）这个方程根的判别式为， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得（满足）， 该方程的衍生点的坐标为 ② ③ 【解析】 【分析】先读懂"衍生点"规则：两根满足，点为． 第题直接解方程套定义； 第用判别式证明根的情况，再因式分解求两根； 第用消参法把含参点的轨迹化为直线； 第构造新函数，配方法求最值． 【小问1详解】 解：把方程因式分解： 解得（满足）． 衍生点． 【小问2详解】 ①证明：略． ②设衍生点，由得： 消去参数： ， ，即时，的最大值为． 【点睛】本题是新定义题型，融合一元二次方程判别式、因式分解、动点轨迹与二次函数最值．新定义题核心：先读懂规则，严格按定义做题；衍生点横坐标是较小根，纵坐标是较大根，顺序不能颠倒；证明方程总有两个不等实根，标准做法是计算判别式并证恒成立；含参点求轨迹：消参法，把消去得到、的关系式；二次函数求最值优先配方法：，时顶点处取最大值． 23. 如图（1），抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． （1）求抛物线的解析式． （2）平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标． （3）如图（2），将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） （3）①点P的坐标为 ②当t时，线段PQ的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线即可求得，由抛物线与轴交于点坐标，可得，即可求得答案； （2）连接，由平移可知四边形是平行四边形，得出，运用待定系数法可得直线的解析式，再联立方程组即可求得答案； （3）①联立直线与抛物线的解析式可求得坐标，根据对称点的连线与对称轴垂直可得：；设，根据四边形是菱形，有，再利用勾股定理表示出两点之间的距离，据此列出关于的一元二次方程，解方程即可求解．②设直线分别交轴、轴于点、，过点作轴交于，交轴于点，设，则，可得，再证得是等腰直角三角形，表示出的关系式，运用二次函数的性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点， ∴1， 解得：， 又∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 如图1，连接， ∵平移线段，且点C的对应点落在抛物线上，点D的对应点落在直线上， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为，将代入得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴． 【小问3详解】 ①联立得， 解得：，， ∴， 如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q， 设， ∵点P是上方的抛物线上的一动点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 化简得， 解得：m或m（小于，舍去）， ∴点P的坐标为； ②如图3，设直线分别交x轴、y轴于点L、F，过点P作轴交于J，交y轴于点H， 设，则， ∴， ∵直线的解析式为， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵P、Q关于直线对称， ∴，即，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，线段的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $