精品解析：北京市延庆区第八中学2026-2027学年七年级上学期学情诊断数学试题

2026--2027学年秋季学期数学学科学情诊断 一．选择题：（每小题2分，共16分） 1. 在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数是（　　） A. 1 B. 3 C. ±2 D. 1或﹣3 2. 如图，数轴上点，，，分别表示有理数，，，，其中绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 3. 在国际排球比赛中，排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的质量为，仅从质量的角度考虑，以下排球质量符合要求的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与4 D. 与 5. 下列式子中成立的是（　　） A. -|-5|＞4 B. -3＜|-3| C. -|-4|=4 D. |- 5.5|＜5 6. a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，且a，b同号，则的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 2或-2 D. 4或-4 8. 如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上表示和数的两点，那么的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 5 二．填空题：（每空1分，共20分） 9. 如果表示向东走，那么表示____． 10. 的相反数是___________；绝对值是___________． 11. 已知，满足，则的值为______． 12. 化简： ___________；___________；___________． 13. 比较下列各对数的大小： （1）___________； （2）___________； （3）___________． （4）___________； （5）___________． 14. 若，则___________；，则___________； 若，则___________． 15. 若，则a与0的大小关系是a___________0． 16. 若a是有理数，则下列各式：①；②；③；④．其中正确的是____（填序号）． 17. 已知数轴上两点到原点的距离是2和7，则两点间的距离是______． 18. 如图，点A，B是数轴上两点，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒． （1）点P和点Q相向运动，当t=___________时，点P和点Q重合； （2）当t=___________时，点P和点Q相距1单位长度． 三． 解答题： 19. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 20. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 21. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 22. 在数轴上表示下列各数：，，，，，0，并用“”号把这些数连接起来（或“排列起来”）． 23. 一辆货车从仓库出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次到达的5个销售地点分别为A，B，C，D，E．最后回到仓库．货车行驶的记录（单位：千米）如下：，，，，，． （1）试求出该货年共行驶了多少千米； （2）如果货车运送的水果以100千克为标准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则运往A，B，C，D，E五个地点的水果质量可记为，，，，，则该货车运送的水果总质量是多少千克？ 24. 阅读下列材料： 在数学小组活动中，小明提出了一个问题：“数轴上两点间的距离与这两个点表示的数之间有什么关系？”经过小组讨论，同学们认为应该从特殊情况入手研究． 数轴上特殊的点是原点，先研究原点O与数轴上另一个点A的距离如何计算． 研究过程如下： 由于原点O把数轴分成了左右两部分，可以分两种情况讨论． 情况一：如图1 原点O表示的数是0，点A表示的数是1，点A在点O的右侧，点A与点O之间的距离 ； 情况二：如图2 原点O表示的数是0，点A表示的数是，点O在点A的右侧，点A与点O之间的距离 ； 再研究数轴上的两个点都不是原点时，这两个点之间的距离如何计算． 研究过程如下： 首先思考可以分几种情况来讨论．两个点可以都在原点的右侧、也可以都在原点的左侧、还可以是一个点在原点的左侧另一个点在原点的右侧，所以分三种情况讨论． 情况一：如图3 点A表示的数是1，点B表示的数是4，点B在点A的右侧，点A与点B之间的距离 ； 情况二：如图4 点A表示的数是，点B表示的数是，点A在点B的右侧，点A与点B之间的距离 ； 情况三：如图5 点A表示的数是，点B表示的数是4，点B在点A的右侧，点A与点B之间的距离 ； 小明归纳出如下结论： 点A和点B是数轴上的两个点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，当 时，点A与点B之间的距离 ； 当时，点A与点B之间的距离 ； 根据以上材料解答下列问题： 如图6，数轴上点C表示的数是，点D表示的数是2，点M表示的数是m． （1）___________，___________； （2）若点M在点D的右侧，则___________；（用含m的式子表示） （3）若，则___________； （4）若，求m的值； （5）数轴上点P表示的数是x，若存在x使的值最小，则x的值为___________． 25. 阅读材料： 用“☆”定义一种新运算：下列是按照“☆”运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 请你完成下列问题： （1）归纳“☆”运算的运算法则：两数进行“☆”运算时，______．特别地，0与任何数进行“☆”运算，或任何数与0进行“☆”运算时，______． （2）计算：______．（括号的作用与它在有理数运算中的一致） （3）我们知道加法有交换律和结合律，请你说明，这两种运算律在有理数的“☆”运算中是否适用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026--2027学年秋季学期数学学科学情诊断 一．选择题：（每小题2分，共16分） 1. 在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数是（　　） A. 1 B. 3 C. ±2 D. 1或﹣3 【答案】D 【解析】 【详解】该点可以在-1的左边或右边，则有-1-2=-3；-1+2=1． 故选D 2. 如图，数轴上点，，，分别表示有理数，，，，其中绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义，数轴上表示数的点到原点的距离越远，其绝对值越大，观察图形可知点到原点的距离最远． 【详解】解：由数轴可知，点到原点的距离最远， ∴最大， ∴绝对值最大的是． 3. 在国际排球比赛中，排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的质量为，仅从质量的角度考虑，以下排球质量符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的知识，要能读懂题意，正确理解克的实际意义，分别计算最大值和最小值来确定合格范围． 【详解】解：净重的最大值是， 净重的最小值是， 这种食品的净重在之间都是合格的，所以质量合格的是． 故选：B． 4. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与4 D. 与 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ，， ∴ A、C选项中两数均相等，不互为相反数； ∵，， ∴ B选项两数互为相反数； ∵与符号相同， ∴ D选项两数不互为相反数． 5. 下列式子中成立的是（　　） A. -|-5|＞4 B. -3＜|-3| C. -|-4|=4 D. |- 5.5|＜5 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：A．-|-5|=-5＜4，故A选项错误； B．|-3|=3＞-3， 故B选项正确； C．-|-4|=-4≠4，故C选项错误； D．|-5.5|=5.5＞5，故D选项错误； 故选B． 6. a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，由数轴可得，，据此即可求得答案． 【详解】解：由数轴可得，， 则， 故选：B． 7. 若，，且a，b同号，则的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 2或-2 D. 4或-4 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的定义求出a，b的值，根据a，b同号，分两种情况分别计算即可． 【详解】解：∵|a|=3，|b|=1， ∴a=±3，b=±1， ∵a，b同号， ∴当a=3，b=1时，a+b=4； 当a=-3，b=-1时，a+b=-4； 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值，有理数的加法，考查分类讨论的数学思想，知道a，b同号分两种：a，b都是正数或都是负数是解题的关键． 8. 如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上表示和数的两点，那么的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】求出刻度尺对应的数轴单位长度数量即可得解． 【详解】解：根据题意，刻度尺上到的距离为， ∵数轴的单位长度是， ∴数轴上表示和的两点相距个单位长度， ∴． 二．填空题：（每空1分，共20分） 9. 如果表示向东走，那么表示____． 【答案】向西走了 【解析】 【分析】用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东记为正，则向西就记为负，由此得出是负数，直接得出结论即可． 【详解】∵表示向东走， ∴表示向西走了， 故答案为：向西走了． 【点睛】此题考查了正负数的意义，解题的关键数理解正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 10. 的相反数是___________；绝对值是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：的相反数是，. 11. 已知，满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值的非负性，由两个非负数的和为求出的值，代入计算的结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 12. 化简： ___________；___________；___________． 【答案】 ①. ②. ③. ##0.5 【解析】 【分析】先化简绝对值符号内部的符号运算，再依据绝对值的代数意义计算，注意保留绝对值外侧的符号. 【详解】解：对于， ∵为负数，负数的绝对值是它的相反数， ∴， ∴， 对于， ∵先化简内层符号可得，为正数，正数的绝对值是它本身， ∴， 对于， ∵先化简内层符号可得，为负数，负数的绝对值是它的相反数， ∴． 13. 比较下列各对数的大小： （1）___________； （2）___________； （3）___________． （4）___________； （5）___________． 【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. 【解析】 【分析】先根据相反数、绝对值的性质化简每对数中的数，再按照有理数大小比较的法则判断大小，两个负数比较时，绝对值大的数反而小． 【详解】解：（1）∵，，， ∴； （2）∵，，，， ∴； （3）∵，，， ∴； （4）∵，，， ∴； （5）∵，， ∴． 14. 若，则___________；，则___________； 若，则___________． 【答案】 ①. ②. ③. 或 【解析】 【分析】结合绝对值的定义与性质，先求解各绝对值等式中的未知数，再代入计算对应代数式的取值． 【详解】解：∵若一个数的绝对值等于正数，则这个数为或， ∴当时，或，即， ∵互为相反数的两个数绝对值相等，即， ∴当时，，可得， ∵当时，或， ∴当时，， 当时，， 即的取值为或． 15. 若，则a与0的大小关系是a___________0． 【答案】 【解析】 【分析】结合绝对值的代数定义，分a为正数、0、负数三类讨论，匹配的条件，确定a与0的大小关系． 【详解】解：当时，根据绝对值的性质，，不满足的条件， 当时，，满足的条件， 当时，根据绝对值的性质，，满足的条件， ∴满足的a的取值范围是． 16. 若a是有理数，则下列各式：①；②；③；④．其中正确的是____（填序号）． 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，相反数，有理数的大小比较，根据绝对值，相反数，有理数的大小比较逐一分析判断即可． 【详解】解：，计算错误； ，计算正确； 当时，，则错误； 当时，，则错误； ∴正确的有②． 故答案为：②． 17. 已知数轴上两点到原点的距离是2和7，则两点间的距离是______． 【答案】5或9##9或5 【解析】 【分析】由A点表示的数为，B点表示的数为，分类求出A、B两点间的距离即可． 【详解】解：∵数轴上两点到原点的距离是2和7， ∴A点表示的数为，B点表示的数为， 当A点表示的数为2，B点表示的数为7时，A、B两点间的距离为5； A点表示的数为，B点表示的数为7时，A、B两点间的距离为9； A点表示的数为2，B点表示的数为时，A、B两点间的距离为9； A点表示的数为，B点表示的数为时，A、B两点间的距离为5； 所以A、B两点间的距离为5或9． 故答案为：5或9． 【点睛】本题考查的是数轴上两点间的距离，数轴上两点间的距离等于这两点表示的两数之差的绝对值，本题还需注意分类讨论． 18. 如图，点A，B是数轴上两点，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒． （1）点P和点Q相向运动，当t=___________时，点P和点Q重合； （2）当t=___________时，点P和点Q相距1单位长度． 【答案】 ①. 2 ②. 或 【解析】 【分析】根据数轴确定点、的坐标及间的距离． （1）利用相遇问题的基本关系：时间路程速度和，列式计算即可； （2）分相遇前和相遇后两种情况，根据路程关系列方程求解． 【详解】解：由图可知，点表示的数为，点表示的数为2， ， （1）点和点相向运动，点的速度为1，点的速度为2， 两点相遇所需时间； （2）根据题意，点和点相向运动， ①当点和点相遇前相距1个单位长度时， 两点运动的路径和为， ； ②当点和点相遇后相距1个单位长度时， 两点运动的路径和为， ， 综上所述，当或时，点和点相距1单位长度． 三． 解答题： 19. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】根据有理数的加法法则计算． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式； 【小问4详解】 解：原式； 【小问5详解】 解：原式 ； 【小问6详解】 解：原式． 20. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1） -4 （2） 42 （3） 2025 （4） 4 （5） （6） 6 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 【小问5详解】 解：原式 【小问6详解】 解：原式 21. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 【小问5详解】 解：原式 【小问6详解】 解：原式 【小问7详解】 解：原式 【小问8详解】 解：原式 22. 在数轴上表示下列各数：，，，，，0，并用“”号把这些数连接起来（或“排列起来”）． 【答案】 大小关系为： 【解析】 【分析】根据数轴的画法和性质解题． 【详解】略 23. 一辆货车从仓库出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次到达的5个销售地点分别为A，B，C，D，E．最后回到仓库．货车行驶的记录（单位：千米）如下：，，，，，． （1）试求出该货年共行驶了多少千米； （2）如果货车运送的水果以100千克为标准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则运往A，B，C，D，E五个地点的水果质量可记为，，，，，则该货车运送的水果总质量是多少千克？ 【答案】（1）该货车共行驶18千米； （2）该货车运送的水果总质量是565千克． 【解析】 【分析】（1）根据题意把所走路程记录的绝对值相加即可； （2）根据题意，算出A、B、C、D、E的水果质量，然后相加即可得． 【小问1详解】 解：（千米）， 则该货车共行驶18千米； 【小问2详解】 解： （千克） 答：该货车运送的水果总质量是565千克． 24. 阅读下列材料： 在数学小组活动中，小明提出了一个问题：“数轴上两点间的距离与这两个点表示的数之间有什么关系？”经过小组讨论，同学们认为应该从特殊情况入手研究． 数轴上特殊的点是原点，先研究原点O与数轴上另一个点A的距离如何计算． 研究过程如下： 由于原点O把数轴分成了左右两部分，可以分两种情况讨论． 情况一：如图1 原点O表示的数是0，点A表示的数是1，点A在点O的右侧，点A与点O之间的距离 ； 情况二：如图2 原点O表示的数是0，点A表示的数是，点O在点A的右侧，点A与点O之间的距离 ； 再研究数轴上的两个点都不是原点时，这两个点之间的距离如何计算． 研究过程如下： 首先思考可以分几种情况来讨论．两个点可以都在原点的右侧、也可以都在原点的左侧、还可以是一个点在原点的左侧另一个点在原点的右侧，所以分三种情况讨论． 情况一：如图3 点A表示的数是1，点B表示的数是4，点B在点A的右侧，点A与点B之间的距离 ； 情况二：如图4 点A表示的数是，点B表示的数是，点A在点B的右侧，点A与点B之间的距离 ； 情况三：如图5 点A表示的数是，点B表示的数是4，点B在点A的右侧，点A与点B之间的距离 ； 小明归纳出如下结论： 点A和点B是数轴上的两个点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，当 时，点A与点B之间的距离 ； 当时，点A与点B之间的距离 ； 根据以上材料解答下列问题： 如图6，数轴上点C表示的数是，点D表示的数是2，点M表示的数是m． （1）___________，___________； （2）若点M在点D的右侧，则___________；（用含m的式子表示） （3）若，则___________； （4）若，求m的值； （5）数轴上点P表示的数是x，若存在x使的值最小，则x的值为___________． 【答案】（1）2，5 （2） （3） （4）或 （5）2 【解析】 【分析】（1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式列出式子即可； （3）根据题意列出方程进行求解即可； （4）根据题意列出方程进行求解即可； （5）根据绝对值的几何意义，得到当时，距离和最小，即可. 【小问1详解】 解：由题意，； 【小问2详解】 解：由题意，； 【小问3详解】 解：由题意，，解得； 【小问4详解】 解：由题意，，解得或； 【小问5详解】 解：表示数到数，，的距离之和， 当时，的值最小，为数到数的距离， 当时，，值最小， ∴当时，能够同时使的值和的值最小， ∴当时，的值最小. 25. 阅读材料： 用“☆”定义一种新运算：下列是按照“☆”运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 请你完成下列问题： （1）归纳“☆”运算的运算法则：两数进行“☆”运算时，______．特别地，0与任何数进行“☆”运算，或任何数与0进行“☆”运算时，______． （2）计算：______．（括号的作用与它在有理数运算中的一致） （3）我们知道加法有交换律和结合律，请你说明，这两种运算律在有理数的“☆”运算中是否适用． 【答案】（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）；（3）适用 【解析】 【分析】（1）两数进行“☆”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 0与任何数进行“☆”运算，或任何数与0进行“☆”运算时，都得这个数的绝对值； （2）先算括号里面的，再算括号外面的； （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的“☆”运算中还适用． 【详解】解：（1）归纳“☆”运算的运算法则： 两数进行“☆”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0与任何数进行“☆”运算，或任何数与0进行“☆”运算时，都得这个数的绝对值． （2）. （3）加法交换律和加法结合律在有理数的“☆”（加乘）运算中还适用． 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；-5． 【点睛】此题主要考查新定义运算，解题的关键是根据题意理解新定义运算法则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $