第1章 一元二次方程 期中复习单元卷 - 2026-2027学年九年级数学上册

《一元二次方程》期中复习单元专题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列方程：①x2﹣5＝0；②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+3）＝x2+1；④x2﹣4x+4＝0；⑤中，一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据一元二次方程的定义：只含一个未知数、最高次数为2的整式方程，逐一判断①~⑤。 【解答】解：①x2﹣5＝0是一元二次方程； ②当a≠0时，ax2+bx+c＝0是一元二次方程； ③由（x﹣2）（x+3）＝x2+1得x﹣7＝0，不是一元二次方程； ④x2﹣4x+4＝0是一元二次方程； ⑤不是整式方程，故不是一元二次方程， 故①④是一元二次方程，共2个， 故选：B． 2．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（　　） A．x2+x（1+x）＝81 B．1+x+x2＝81 C．（1+x）2＝81 D．x（1+x）＝81 【分析】设每轮传染中平均1人传染x人，则第一轮后共（1+x）人患病，第二轮新增x（1+x）人，两轮后总人数为（1+x）²。 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝81， 即（1+x）2＝81． 故选：C． 3．若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有一根是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【分析】观察等式a﹣b+c＝0，其结构与x＝﹣1代入ax²+bx+c所得一致，故x＝﹣1必为方程的根。 【解答】解：∵a﹣b+c＝0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0一定有一根是﹣1． 故选：D． 4．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x﹣2）2＝11 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣4）2＝23 D．（x﹣4）2＝9 【分析】配方法解二次项系数为1的方程：移项后两边同加一次项系数一半的平方，配成完全平方式。 【解答】解：移项，得x2﹣4x＝7， 配方，得x2﹣4x+4＝7+4， 即（x﹣2）2＝11， 故选：A． 5．2026年9月10日是我国第42个教师节，我县教育系统为庆祝教师节正在开展教职工篮球友谊赛，如果每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛总场次会多达45场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝45 C． D．x（x+1）＝45 【分析】单循环赛中每两队只赛一场，总场次为x（x﹣1）÷2（每场被两队各计一次）。 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝45． 故选：A． 6．已知x1和x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．﹣1 【分析】由韦达定理得x₁+x₂＝1、x₁x₂＝﹣1，将所求式用两根之和与两根之积表示后代入。 【解答】解：由题知， 因为x1和x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根， 所以x1+x2＝1，x1x2＝﹣1， 所以 ＝12﹣（﹣1） ＝2． 故选：B． 7．（2026春•扶绥县期末）·【较易】如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（　　） A．x2+32＝（10﹣x）2 B．（10﹣x）2+32＝x2 C．（10﹣x）2+x2＝32 D．x2+32＝102 【分析】设折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，抵地处离竹根3尺，由勾股定理列方程。 【解答】解：根据勾股定理可得x2+32＝（10﹣x）2． 故选：A． 8．潮阳区某特产店销售一种果脯，当每盒利润为40元时，每天可售出20盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出2盒．要使每天的利润达到1200元，设每盒降价x元，则可列方程为（　　） A．（40﹣x）（20+2x）＝1200 B．（40+x）（20﹣2x）＝1200 C．（40﹣x）（20﹣2x）＝1200 D．（40﹣x）（20+x）＝1200 【分析】设每盒降价x元，则单件利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）盒，由总利润＝单件利润×销量列方程。 【解答】解：设每盒降价x元， 根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 故选：A． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．已知m是方程x2﹣x﹣6＝0的根，则代数式﹣m2+m﹣6的值为　 　 ． 【分析】把x＝m代入方程得m²﹣m＝6，整体代入所求代数式求值。 【解答】解：把m代入方程x2﹣x﹣6＝0中，得m2﹣m﹣6＝0， ∴﹣m2+m＝﹣6， ∴﹣m2+m﹣6＝﹣6﹣6＝﹣12． 故答案为：﹣12． 10．若是关于x的一元二次方程，则m＝　 　 ． 【分析】一元二次方程要求未知数最高次数为2且二次项系数不为0，据此列条件求解。 【解答】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴m2﹣2＝2且m+1≠0， 解得m＝±2且m≠﹣1， ∴m＝±2． 故答案为：±2． 11．已知a，b是关于x的方程x2+3x﹣2014＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是　 　 ． 【分析】由根满足方程得a²+3a＝2014，由韦达定理得a+b＝﹣3，将所求式拆成这两个整体代入。 【解答】解：由题知， 因为a，b是关于x的方程x2+3x﹣2014＝0的两根， 所以a2+3a﹣2014＝0，a+b＝﹣3， 则a2+3a＝2014， 所以a2﹣a﹣4b＝a2+3a﹣4a﹣4b＝a2+3a﹣4（a+b）＝2014﹣4×（﹣3）＝2014+12＝2026． 故答案为：2026． 12．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排21场比赛，则共有　 　 个参赛球队． 【分析】设邀请x个队，单循环总场次为x（x﹣1）÷2＝21，解方程取正根。 【解答】解：设邀请x个球队参加比赛， 根据题意，得， 解得：x1＝7，x2＝﹣6（舍去）． 故答案为：7． 13．关于x的方程x2+kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为　 　 ． 【分析】方程有两个相等实根等价于判别式Δ＝0，据此列方程求k。 【解答】解：由条件可得：Δ＝k2﹣4×4＝0， ∴k＝±4； 故答案为：±4． 14．若关于x的一元二次方程x2﹣5x+c＝0有两个实数根，其中一根x1＝2，则另一根x2＝　 　 ，c＝　 　 ． 【分析】由韦达定理x₁+x₂＝5求另一根，再由x₁x₂＝c求c。 【解答】解：由根与系数的关系得：x2+2＝5， 解得：x2＝3， ∵x1x2＝c， ∴c＝2×3＝6， 故答案为：3，6． 15．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，则m的值是　 　 ． 【分析】先因式分解求出两根为m和2，再由“邻根”定义（两根差为1）列方程。 【解答】解：x2﹣（m+2）x+2m＝0， （x﹣m）（x﹣2）＝0， ∴x1＝m，x2＝2， ∵方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“邻根方程”， ∴m﹣2＝1或2﹣m＝1， 解得m＝3或m＝1． 故答案为：3或1． 16．如图，在矩形ABCD中，AD＝16cm，CD＝6cm，点P从点D出发沿DA以3cm/s的速度向点A移动，一直到达点A为止；同时，点Q从点B出发以1cm/s的速度向点C移动．经过　 　 秒，P、Q两点之间的距离首次达到10cm． 【分析】作PE⊥BC构造Rt△PEQ，设t秒后PQ＝10，用t表示EQ，由勾股定理列方程。 【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝16cm，CD＝6cm，过点P作PE⊥BC交BC于点E， 设t秒后，PQ＝10cm， 由题意可知：AD＝BC＝16cm，CD＝AB＝6cm，∠C＝∠D＝90°， ∴四边形CDPE为矩形， ∴PE＝CD＝6cm， 根据题意可知，DP＝CE＝3tcm，BQ＝tcm， ∴EQ＝BE﹣BQ＝BC﹣CE﹣BQ＝16﹣3t﹣t＝（16﹣4t）cm， 在Rt△PEQ中，（cm）， 则16﹣4t＝8， 解之得t＝2． 故答案为：2． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）用你喜欢的方法解下列方程： （1）x2+4x﹣5＝0； （2）2x2﹣5x+6＝0． 【分析】（1）用十字相乘法因式分解求解；（2）计算判别式Δ，若Δ＜0则无实数根。 （2）利用求根公式解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0， 因式分解得：（x+5）（x﹣1）＝0， x+5＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣5，x2＝1； （2）2x2﹣5x+6＝0， ∵a＝2，b＝﹣5，c＝6， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×6＝25﹣48＝﹣23＜0， ∴原方程无实数根． 18．（本题6分）已知x＝1是方程x2+2x﹣k＝0的一个根，求方程的另一个根及k的值． 【分析】把x＝1代入方程先求k，再解所得方程求另一根。 【解答】解：由题意得：1+2﹣k＝0， 解得：k＝3， 则原方程可化为x2+2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， 则方程的另一个根为﹣3． 19．（本题6分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根x1，x2满足x1+x2+x1x2＝8．求m的值． 【分析】（1）由两个不相等实根等价于Δ＞0列不等式；（2）由韦达定理表示两根之和与积，代入已知等式求m并验证范围。 （2）利用一元二次方程根与系数的关系解答即可求解． 【解答】解：（1）由题知， 因为关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2+m﹣2）＞0， 解得m＜2； （2）因为方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0的两根x1，x2， 所以x1+x2＝2m，． 又因为x1+x2+x1x2＝8， 所以2m+m2+m﹣2＝8， 解得m＝2或m＝﹣5， 因为m＜2， 所以m＝﹣5． 20．（本题6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个实数根． （1）求m取值范围； （2）若方程的一个根是2，求另一个根及m的值． 【分析】（1）由有两个实数根等价于Δ≥0求m范围；（2）由韦达定理求另一根，再求m。 （2）方程的另一个根为t，则根据根与系数的关系得2t＝4，（2）t＝m+1，然后先求出t，再计算出m的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（m+1）≥0， 解得m≤3； （2）设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得2t＝4，（2）t＝m+1， 解得t＝2， ∴（2）（2）＝m+1， 解得m＝0， 即另一个根为2，m的值为0． 21．（本题7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）设16，求m的值． 【分析】（1）计算Δ并配成完全平方加正数，证明Δ＞0；（2）利用x₁²+x₂²＝（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂＝16列方程。 （2）先根据根与系数的关系得x1+x2＝m﹣1，x1x2＝﹣2（m+3），再利用已知条件和完全平方公式得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，所以（m﹣1）2﹣2[﹣2（m+3）]＝16，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：（1）证明：∵Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×[﹣2（m+3）] ＝m2﹣2m+1+8m+24 ＝m2+6m+25 ＝（m+3）2+16， ∵（m+3）2≥0， ∴（m+3）2+16＞0，即Δ＞0， ∴无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝m﹣1，x1x2＝﹣2（m+3）， ∵16， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16， ∴（m﹣1）2﹣2[﹣2（m+3）]＝16， 整理得m2+2m﹣3＝0， 解得m1＝1，m2＝﹣3， 即m的值为1或﹣3． 22．（本题7分）利用一面墙（墙的长度不限），用16m的篱笆围成一个矩形场地ABCD．设矩形与墙垂直的一边AB为xm，矩形的面积为Sm2． （1）若面积S＝24m2，求AB的长； （2）能围成面积为34m2的矩形吗？说明理由． 【分析】（1）设AB＝x m，则BC＝（16﹣2x）m，由面积列方程；（2）假设面积为34，列方程后用判别式判断。 （2）根据矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程，再结合一元二次方程根的判别式判断即可． 【解答】解：（1）设矩形与墙垂直的一边AB为xm，则矩形与墙平行的一边BC为（16﹣2x）m， ∵面积S＝24m2， ∴x（16﹣2x）＝24， 整理得x2﹣8x+12＝0， 解得x1＝2，x2＝6， ∴AB的长为2m或6m； （2）不能围成面积为34m2的矩形， 理由如下：根据题意列方程x（16﹣2x）＝34， 整理得x2﹣8x+17＝0， ∵Δ＝（﹣8）2﹣4×1×17＝﹣4＜0， ∴该一元二次方程无实数根， ∴不能围成面积为34m2的矩形． 23．（本题7分）某机器人公司2023年的利润为4000万元．公司计划通过扩大生产线和增加研发投入，使利润逐年增长，已知2025年的利润达到5760万元． （1）假设2023年到2025年利润的年平均增长率相同，求该机器人公司这两年的年平均增长率； （2）按照（1）中的年平均增长率，请你通过计算预测该机器人公司2026年的利润能否超过7000万元？ 【分析】（1）由4000（1+x）²＝5760求年平均增长率；（2）用2025年利润乘（1+x）预测2026年利润，与7000比较。 （2）利用预测该机器人公司2026年的利润＝该机器人公司2025年的利润×（1+该机器人公司这两年的年平均增长率），可预测该机器人公司2026年的利润，再将其与7000万元比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该机器人公司这两年的年平均增长率为x， 根据题意得：4000（1+x）2＝5760， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该机器人公司这两年的年平均增长率为20%； （2）根据题意得：5760×（1+20%）＝6912（万元）， ∵6912万元＜7000万元， ∴按照（1）中的年平均增长率，预计该机器人公司2026年的利润不能超过7000万元． 24．（本题7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+3k﹣3＝0． （1）求证：无论k取何实数，方程有两个实数根； （2）若直角三角形△ABC的两直角边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，求k的值． 【分析】（1）计算Δ并配成完全平方，证明Δ≥0；（2）两直角边为方程两根，由勾股定理x₁²+x₂²＝25列方程。 （2）设AB＝x1，AC＝x2，根据根与系数的关系及勾股定理得关于k的方程（k+2）2﹣2（3k﹣3）＝25，解方程验证即可． 【解答】解：（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝3k﹣3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（3k﹣3）＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0， ∴无论k取何实数，方程有两个实数根； （2）解：∵两直角边AB，AC的长是这个方程的两个实数根， 设AB＝x1，AC＝x2， ∴x1+x2＝k+2，x1x2＝3k﹣3，且k+2＞0，3k﹣3＞0， ∴k＞1， ，即， ∴（k+2）2﹣2（3k﹣3）＝25， 解得k1＝5，k2＝﹣3（不合题意，舍去）， 当k＝5时，方程为x2﹣7x+12＝0， 解得x1＝3，x2＝4，经检验符合题意， 综上所述，k的值为5． 25．（本题10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． （1）下列方程是倍根方程的是　 　 ； ①x2+6x+8＝0； ②x2﹣4＝0； ③x2﹣7x+12＝0． （2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　 　 ； （3）若关于x的方程x2﹣（m+4）x﹣2m＝0（m是常数）是“倍根方程”，试求出m的值； （4）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“倍根方程”，令t＝9a﹣4b+1，试求t的最小值． 【分析】（1）求各方程的根，判断是否存在一根是另一根的2倍；（2）设两根为t和2t，由韦达定理求c；（3）同法求m；（4）由韦达定理消元得a与b关系，代入t后配方求最值。 （2）设两根为t与2t，利用根与系数的关系计算c即可； （3）设两根为t与2t，结合根与系数的关系列方程即可求解m； （4）设方程的两根为k和2k，结合根与系数的关系得2b2＝9a，代入t得只含b的式子，再配方求最值即可． 【解答】解：（1）求解各方程的根，结合倍根方程的定义判断如下： ①解方程x2+6x+8＝0， 因式分解得（x+2）（x+4）＝0， 即x+2＝0或x+4＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣4， ∵﹣4＝2×（﹣2）， ∴该方程是倍根方程； ②解方程x2﹣4＝0， 移项，得x2＝4， 解得x1＝2，x2＝﹣2， 不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； ③解方程x2﹣7x+12＝0， 因式分解得（x﹣3）（x﹣4）＝0， 即x﹣3＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝3，x2＝4， 不存在一个根是另一个根的2倍，故该方程不是倍根方程； 综上，是倍根方程的是①； 故答案为：①； （2）设方程的两根为t和2t，则t+2t＝6， 解得t＝2， ∴c＝t•2t＝2×4＝8； 故答案为：8； （3）设方程的两根为t和2t，则t+2t＝m+4，t•2t＝﹣2m， 即3t＝m+4，t2＝﹣m， 将代入t2＝﹣m，得： ， 解得m1＝﹣1，m2＝﹣16， 经检验，m＝﹣1和m＝﹣16均使方程有两个实数根，符合题意， ∴m的值为﹣1或﹣16； （4）设方程的两根为k和2k，则，， 即，， 由得，代入，得： ， 整理得2b2＝9a， 将9a＝2b2代入t＝9a﹣4b+1，得： t＝2b2﹣4b+1＝2（b﹣1）2﹣1， ∴当b＝1时，t取得最小值，最小值为﹣1， 此时，符合题意， ∴t的最小值为﹣1． 26．（本题10分）下面展示的是阿拉伯数学家阿尔•花拉子米利用几何法求解x2+10x＝39的过程： ①如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形； ②一方面大正方形的面积为（x+　 　 ）2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2+10x＝39，可得方程（x+　 　 ）2＝39+　 　 ，则方程的正数解是x＝　 　 ． 根据上述材料，解决下列问题． （1）上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的（　　） A．直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法 （2）将上述过程补充完整； （3）请你用几何法求方程x2+4x＝32的正数解； （4）求方程x3+9x2+27x＝973的正数解． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成正方体来求解，现准备如图2所示规格的立体图形． 需要准备图2（1）中立体图形　 　 块； 需要准备图2（2）中立体图形　 　 块； 需要准备图2（3）中立体图形　 　 块； 需要准备图2（4）中立体图形　 　 块． 请直接写出方程x3+9x2+27x＝973的正数解：x＝　 　 ． 【分析】（1）几何补形化为完全平方，本质即配方法；（2）大正方形面积等于各部分面积之和；（3）类比补边长为2的小正方形；（4）类比三次，利用完全立方公式补成大正方体。 （2）图1中大正方形边长为x+5，面积（x+5）2；补形后各部分面积和等于大正方形面积，由x2+10x＝39得（x+5）2＝64，正数解x＝3． （3）类比（2）：因4x＝2×2x，补边长为2的小正方形，大正方形边长变为x+2，化为（x+2）2＝36，正数解x＝4． （4）类比三次：利用（x+3）3＝x3+9x2+27x+27，对应图（1）棱长x的正方体1块、图（2）x×x×3的长方体3块、图（3）3×3×x的长方体3块、图（4）棱长3的正方体1块；补形后（x+3）3＝973+27＝1000，正根x＝7． 【解答】解：（1）上述过程把方程x2+10x＝39通过补项25写成完全平方（x+5）2＝64，这正是配方法． 故选：C； （2）大正方形边长为x+5，面积为（x+5）2， 各部分面积之和为x2+5x+5x+25＝x2+10x+25， ∵x2+10x＝39， ∴（x+5）2＝39+25＝64， 两边开平方，取正数解：x+5＝8， ∴x＝3． 故答案为：5，5，25，3； （3）如图3，作一个边长为x的正方形，面积为x2，在其两个相邻边上各作一个长为x、宽为2的矩形，每个面积为2x，共4x，在拐角处补上一个边长为2的小正方形，面积为4，于是拼成边长为x+2的大正方形，面积为（x+2）2， ∴（x+2）2＝x2+4x+4＝32+4＝36， 取正数解：x+2＝6， ∴x＝4． （4）类比二次情形，把x3+9x2+27x看成（x+3）3展开后缺少常数项： （x+3）3＝x3+3•3x2+3•32x+33＝x3+9x2+27x+27， 因此所需立体图形为： 图（1）棱长为x的正方体：1块； 图（2）尺寸x×x×3的长方体：3块； 图（3）尺寸3×3×x的长方体：3块； 图（4）棱长为3的正方体：1块． 由x3+9x2+27x＝973， 两边同加27得：（x+3）3＝973+27＝1000， 开立方取正根：x+3＝10， ∴x＝7． 故答案为：1，3，3，1，7． 27．（本题10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动． （1）几秒后点P，Q之间的距离为？请说明理由． （2）几秒后∠DQP为直角？请说明理由． （3）当BP＝BQ时，Rt△PBQ内有一个动点M，连接PM，QM，BM．若∠BQM＝∠MBP，线段PM的最小值为　 　 ． 【分析】（1）设t秒后PQ为指定值，由勾股定理列方程；（2）∠DQP为直角等价于DP²＝DQ²+PQ²；（3）先求t＝2，再取BQ中点N，利用直角三角形斜边中线性质将PM最小值转化为PN。 （2）根据矩形的性质及勾股定理列方程求解，即可解答； （3）根据题意求出t＝2，进而得到BP＝BQ＝4，取BQ的中点N，连接MN，PN，利用勾股定理及两点之间线段最短即可解答． 【解答】解：（1）2s或s后点P，Q之间的距离为，理由如下： 设移动时间为ts， ∴AP＝tcm，BQ＝2tcm． ∵AB＝6cm， ∴BP＝（6﹣t）cm， ∵四边形ABCD是矩形，∠B＝90°， ∴由勾股定理得BP2+BQ2＝PQ2， ∵， ∴（6， 整理得（t﹣2）（5t﹣2）＝0， 解得t＝2或， ∴2s或s后点P，Q之间的距离为． （2）s或6s后∠DQP为直角，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝12cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴BP＝（6﹣t）cm，CQ＝（12﹣2t）cm， 在Rt△PAD中，DP2＝AD2+AP2＝122+t2＝t2+144； 在Rt△PBQ中，PQ2＝BP2+BQ2＝（6﹣t）2+（2t）2＝5t2﹣12t+36； 在Rt△DCQ中，DQ2＝CD2+CQ2＝62+（12﹣2t）2＝4t2﹣48t+180， ∵∠DQP为直角， ∴由勾股定理得DP2＝DQ2+PQ2， ∴t2+144＝（4t2﹣48t+180）+（5t2﹣12t+36）， 整理得2t2﹣15t+18＝0， 即（2t﹣3）（t﹣6）＝0， 解得或t＝6， ∴s或6s后，∠DQP为直角． （3）∵BP＝BQ， ∴6﹣t＝2t， 解得t＝2， ∴BP＝BQ＝4， 如图，取BQ的中点N，连接MN，PN， ∵∠PBQ＝90°，∠MBP+∠MBQ＝90°， ∵∠BQM＝∠MBP， ∴∠BQM+∠MBQ＝90°， ∴∠BMQ＝90°， ∵点N是BQ的中点， ∴， 在Rt△PBN中，PN， ∵PM+MN≥PN， ∴P，M，N三点共线时，PM+MN有最小值，最小值为PN的长，为， ∴PM的最小值为， 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/30 14:36:15；用户：G8冯隆志；邮箱：16606149894；学号：54046794 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 《一元二次方程》期中复习单元专题卷 时间：120分钟 满分：130分 班级：___________ 姓名：____________ 得分：______________ 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列方程：①x2﹣5＝0；②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+3）＝x2+1；④x2﹣4x+4＝0；⑤中，一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（　　） A．x2+x（1+x）＝81 B．1+x+x2＝81 C．（1+x）2＝81 D．x（1+x）＝81 3．若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有一根是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 4．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x﹣2）2＝11 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣4）2＝23 D．（x﹣4）2＝9 5．2026年9月10日是我国第42个教师节，我县教育系统为庆祝教师节正在开展教职工篮球友谊赛，如果每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛总场次会多达45场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝45 C． D．x（x+1）＝45 6．已知x1和x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．﹣1 7．如图是《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．若设竹子折断处离地面x尺，则根据题意，方程可列为（　　） A．x2+32＝（10﹣x）2 B．（10﹣x）2+32＝x2 C．（10﹣x）2+x2＝32 D．x2+32＝102 8．潮阳区某特产店销售一种果脯，当每盒利润为40元时，每天可售出20盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出2盒．要使每天的利润达到1200元，设每盒降价x元，则可列方程为（　　） A．（40﹣x）（20+2x）＝1200 B．（40+x）（20﹣2x）＝1200 C．（40﹣x）（20﹣2x）＝1200 D．（40﹣x）（20+x）＝1200 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．已知m是方程x2﹣x﹣6＝0的根，则代数式﹣m2+m﹣6的值为________ ． 10．若是关于x的一元二次方程，则m＝_______ ． 11．已知a，b是关于x的方程x2+3x﹣2014＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是_________ ． 12．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排21场比赛，则共有_____ 个参赛球队． 13．关于x的方程x2+kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为_______ ． 14．若关于x的一元二次方程x2﹣5x+c＝0有两个实数根，其中一根x1＝2，则另一根x2＝_____ ，c＝_____ ． 15．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0（m是常数）是“邻根方程”，则m的值是________ ． 16．如图，在矩形ABCD中，AD＝16cm，CD＝6cm，点P从点D出发沿DA以3cm/s的速度向点A移动，一直到达点A为止；同时，点Q从点B出发以1cm/s的速度向点C移动．经过_____ 秒，P、Q两点之间的距离首次达到10cm． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）用你喜欢的方法解下列方程： （1）x2+4x﹣5＝0； （2）2x2﹣5x+6＝0． 18．（本题6分）已知x＝1是方程x2+2x﹣k＝0的一个根，求方程的另一个根及k的值． 19．（本题6分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根x1，x2满足x1+x2+x1x2＝8．求m的值． 20．（本题6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个实数根． （1）求m取值范围； （2）若方程的一个根是2，求另一个根及m的值． 21．（本题7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）设16，求m的值． 22．（本题7分）利用一面墙（墙的长度不限），用16m的篱笆围成一个矩形场地ABCD．设矩形与墙垂直的一边AB为xm，矩形的面积为Sm2． （1）若面积S＝24m2，求AB的长； （2）能围成面积为34m2的矩形吗？说明理由． 23．（本题7分）某机器人公司2023年的利润为4000万元．公司计划通过扩大生产线和增加研发投入，使利润逐年增长，已知2025年的利润达到5760万元． （1）假设2023年到2025年利润的年平均增长率相同，求该机器人公司这两年的年平均增长率； （2）按照（1）中的年平均增长率，请你通过计算预测该机器人公司2026年的利润能否超过7000万元？ 24．（本题7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+3k﹣3＝0． （1）求证：无论k取何实数，方程有两个实数根； （2）若直角三角形△ABC的两直角边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，求k的值． 25．（本题10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． （1）下列方程是倍根方程的是_____ ； ①x2+6x+8＝0； ②x2﹣4＝0； ③x2﹣7x+12＝0． （2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“倍根方程”，则c＝_____ ； （3）若关于x的方程x2﹣（m+4）x﹣2m＝0（m是常数）是“倍根方程”，试求出m的值； （4）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“倍根方程”，令t＝9a﹣4b+1，试求t的最小值． 26．（本题10分）下面展示的是阿拉伯数学家阿尔•花拉子米利用几何法求解x2+10x＝39的过程： ①如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形； ②一方面大正方形的面积为（x+_____ ）2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2+10x＝39，可得方程（x+_____ ）2＝39+_______ ，则方程的正数解是x＝_____ ． 根据上述材料，解决下列问题． （1）上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的（　　） A．直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法 （2）将上述过程补充完整； （3）请你用几何法求方程x2+4x＝32的正数解； （4）求方程x3+9x2+27x＝973的正数解． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成正方体来求解，现准备如图2所示规格的立体图形． 需要准备图2（1）中立体图形_____ 块； 需要准备图2（2）中立体图形_____ 块； 需要准备图2（3）中立体图形_____ 块； 需要准备图2（4）中立体图形_____ 块． 请直接写出方程x3+9x2+27x＝973的正数解：x＝_____ ． 27．（本题10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动． （1）几秒后点P，Q之间的距离为？请说明理由． （2）几秒后∠DQP为直角？请说明理由． （3）当BP＝BQ时，Rt△PBQ内有一个动点M，连接PM，QM，BM．若∠BQM＝∠MBP，线段PM的最小值为__________________ ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $