九年级数学上学期期中模拟卷（新教材苏科版第1～3章，高效培优·提升卷）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1章~第3章。 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知是方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入原方程求解即可． 【详解】解：将代入，得 ． 2．下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点的横坐标代入反比例函数，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解判断． 【详解】解：、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、当时，，则点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意． 3．如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用垂径定理即可得到答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， ． 4．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．例如：的两根分别为，，即，则方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或0 B．或 C．或 D．0或 【答案】B 【分析】根据“倍根方程”的定义，结合韦达定理求出与的关系，进而求出代数式的值． 【详解】解：先对方程因式分解：， ， 解得，， 由“倍根方程”定义，一根是另一根的倍，分两种情况： ①若： ， ②若： ． 综上可知，代数式的值为或． 5．如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，根据切线长定理可知，，，再由的周长为，即可求解． 【详解】解：连接，，， ，分别与相切， ， 同理，， 的周长为， ， ， ， ， ， ． 6．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为． ∵， ∴点D坐标可表示为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．如图，点 是反比例函数 （）在第一象限内图象上的一点，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，矩形 的面积为 6，则 的值为______． 【答案】6 【分析】设，将点横坐标代入反比例函数解析式，用横、纵坐标表示矩形邻边，列式计算面积，约分求出；结合第一象限说明为正． 【详解】设，则，， 矩形的面积． 8．在学校就餐时，往往需要在窗口前排队等待．经调查发现，同学们的舒适度指数与等待时间之间满足如图所示的反比例函数关系．当舒适度指数不低于15时，同学们才感觉到舒适，那么在窗口排队的同学至多等待________才合适． 【答案】8 【分析】首先利用待定系数法求出，当时，，然后结合图象求解． 【详解】解：设与之间的关系式为 将代入得， ∴ ∴ 当时， ∴ 由图象得，当时， ∴在窗口排队的同学至多等待才合适． 9．若，则x的值为_________． 【答案】 3或 【分析】题干给出含的整式的平方等于定值4，利用平方根的定义将二次方程降次为一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或． 10．一元二次方程的一个根为a，则的值是________ 【答案】4 【分析】根据方程根的定义得到a满足的等式，将所求代数式变形为可整体代入的结构，无需计算方程的具体根即可完成求值． 【详解】解：∵ a是一元二次方程的根， ∴ 把代入方程可得， 移项整理得， ∴． 11．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 【答案】 /164度 【分析】利用圆内接四边形的外角等于内对角求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵是内接四边形的一个外角，， ∴， ∴， ∴. 12．如图在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，点在线段上，点在的右侧，和都是等腰直角三角形，，若函数的图象经过点，且与的面积之差为3，则______． 【答案】6 【分析】由题意可设，则，由于函数的图象经过点，故，再由与的面积之差为3求解． 【详解】解：∵，和都是等腰直角三角形，， ∴设， 则， ∵函数的图象经过点， ∴ ∵与的面积之差为3， ∴ ∴． 13．如图，某公园圆形喷泉的直径是景观轴线，长为6米．A，B，C，D为喷泉边缘上的四个喷头位置，其中A，D为直径两端．已知，且，则喷头C，D之间的距离为______米． 【答案】3 【分析】由直径的长度求出圆的半径，明确的长度均等于半径．因为弧等于弧，所以对应圆心角与相等，结合已知的度数，求出的度数．根据的边长和角度特征，利用对应三角形的性质，求解的长度． 【详解】设圆形喷泉的圆心为点，连接， ∵直径米， ∴圆的半径米． ∵，且， ∴， ∴． ∵是直径，， ∴． ∴是等边三角形， ∴ 14．在圆柱形油槽内装有一些油，截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了______． 【答案】 【分析】过点作于，延长交于，连接、，根据垂径定理可得，，利用勾股定理求出，，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于，连接、， 由题意可知，，，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴油面上升了． 15．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 【答案】 【分析】将阴影部分平移构成一个完整的矩形，再由矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：如图所示： ． 16．把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______． 【答案】 【分析】连接，，，，，根据题意可以推得，根据直角所对的弦是直径可知是的直径，根据直径所对圆周角是直角可得和是直角三角形；设，根据题意和勾股定理列式求解即可． 【详解】解：连接，，，，， 设， ∵正方形和正方形， ∴， ∴， 则是的直径， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴，， ∴， 则在中，， 在中，， 即 解得或（舍） 代入可得， ∴半径为． 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用因式分解法进行求解即可． （2）将方程进行移项，把含有的项放在等式一边，提取公因式进行求解即可． 【详解】（1）解：， 分解左边：， 或， ． （2）解：， 移项：， 提取公因式：， 即：， 或， ． 18．如图，是 的弦，半径 于点 ，交 于点 ，已知 ，． (1)求证：； (2)求的半径． 【答案】(1)，是的半径， （垂径定理）． (2)5 【分析】（1）本题考查垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，直接利用定理即可证明弧相等； （2）设圆的半径为，结合表示出，由垂径定理得到，在中用勾股定理列方程求解半径． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 设的半径为，则， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： 解得：， 的半径为． 19．2023年11月，第一届全国学生(青年)运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月份数量持续增高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个． (1)求 10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． (2)若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在11月销量的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在 12月份可获利4200元？ 【答案】(1)10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为 (2)当毛绒玩具每个降价5元时，12月份可获利4200元 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据9月销量乘的平方等于11月销量列方程求解； （2）设降价m元，以11月销量为基础表示12月销量，结合单个利润与总利润的关系列一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为； （2）解：设毛绒玩具每个降价m元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当毛绒玩具每个降价5元时，12月份可获利4200元． 20．某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． (1)当时，求此时大棚内的温度； (2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间段是什么． 【答案】(1)大棚内的温度为度 (2)草莓一天内最适合生长的时间段是1到16时 【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式； （2）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可． 【详解】（1）解：设段所对应的反比例函数关系式为． 由条件可得， ∴． 当时，， ∴当时，此时大棚内的温度为度． （2）解：设直线的函数关系式为． 由条件可得， 解得， ∴直线的函数关系式为． 当时，，解得． 当时，，解得， ∴草莓一天内最适合生长的时间段是1到16时． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于、两点，连结、． (1)求、的值和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当时，关于的不等式的解集为____________． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）把、两点代入一次函数求出坐标，再代入求反比例解析式； （2）求出直线与轴交点，将转化成求面积； （3）根据函数图象，在部分找反比例在一次函数上方对应的范围． 【详解】（1）解：把代入，得， 则点的坐标为， 把代入，得，解得， 则点的坐标为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：如图，设直线交轴于点， 当时，， 则的坐标为，即， 据（1）可知点的坐标为，点的坐标为， 故． （3）解：，即反比例函数图象在一次函数图象上方，且点的坐标为， 故当时，的解集为． 22．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求圆心O到的距离． 【答案】(1)证明：连接、， ∵是的直径， ∴，即． 又， ∴，即D是的中点． ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 又是的半径， ∴是的切线； (2) (3)4 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理得出，结合，得出，则是的中位线，即可得，结合，得出，即可证明是的切线； （2）在中，根据勾股定理求出，再根据等面积法求解即可； （3）过点O作于点H，根据三线合一得出，在中，是的中位线，即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴在中，． ∵， ∴，解得． （3）解：过点O作于点H， ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴在中，是的中位线， ∴． ∴圆心O到的距离为4． 23．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”，理由：．再如，（x，y是整数），所以M也是“完全数”． 解决问题： (1)请你再写一个小于10的“完全数”___________；并判断40是否为“完全数”_______； (2)若二次三项式（x为整数）是“完全数”，可配方成（m，n为常数），则的值为_______； 探究问题： (3)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完全数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论： (4)已知实数x，y满足，求的最小值是_______． 【答案】(1)4；是 (2)4或 (3)10 (4)1 【分析】（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解； （4）根据题意可得，把代入，然后得出即可求解． 【详解】（1）解：4是“完全数”，理由：， 40是“完全数”，理由：， （2）解：∵， ∴，或， ∴或． （3）解：， 由题意得：， 解得：． （4）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，最小值为1． 24．按要求完成下列各题： (1)已知，为方程的两根，求的值． (2)阅读材料：已知，，且．求的值． 解：由可知，∴．∴． 又，且，即， ∴m，是方程的两根．∴________．∴________． (3)根据阅读材料所提供的方法及（2）的方法完成下题的解答． 已知，且，求的值． 【答案】(1)6 (2)1，1 (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系得到，，进而根据完全平方公式变形求值即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到；对代数式变形即可； （3）同（2）可得，是方程的两个根，则，，结合完全平方公式的变形可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之和为1，因此； 对代数式变形可得； （3）解：∵，且， ∴，，，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴． 25．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，其中，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)若的面积为6，求点B的坐标及直线的解析式； (3)随着点B的变化四边形的形状也在变化，在变化过程中，四边形能变为菱形吗？，如果能，请求出B点坐标．如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)四边形能变为菱形，此时点B的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，根据点A和点B的坐标可推出，，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可； （3）根据题意可得，根据点A和点B的坐标可推出，根据菱形的对角线互相平分建立方程求出m、n的值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵轴，轴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：∵轴，轴， ∴，即， ∵，， ∴，，， ∴，， 当四边形是菱形时，则， ∴， ∴， 此时，即点B在反比例函数的图象上， ∴四边形能变为菱形，此时点B的坐标为． 26．【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度后，若点在双曲线上，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度后，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度后，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，直接写出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)值为24或6 【分析】（1）根据矩形的性质推出为线段中点，求出其坐标代入解析式即可； （2）根据矩形的性质推出为线段中点，列方程求解； （3）由勾股定理计算的长，在等腰中，分类讨论当、、时，列方程计算即可． 【详解】（1）解：由题可知、， 根据矩形的性质，为线段中点， ∴，即， ∵反比例函数， ∴， ∴， ∴双曲线的解析式为； （2）解：由题可得、、， 根据矩形性质，且为的中点， ∴， ∵、都在上， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由上题同理可得， ∵，，由勾股定理得， ∴， ∵为上一点， 则设， 在等腰中， ①若， ∵， ∴， ∴， ∵、同为上的点， ∴， 解得； ②若， 则与重合，由题可得， ∴， 解得； ③若， 则， 化简得， 又∵， ∴， 解得，不符合，舍去； 综上所述，的值为24或6． 27．如图所示的平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点．直线l过点C，，垂足为点P． (1)如图1，当平分时，试说明：直线l与相切； (2)如图2，当直线l与相交时，且另一个交点E在弧上时，连接、与． ①求证：； ②连接，证明：． (3)如图3，当直线l与相交，且另一个交点E在弧上时，连接、与．（2）中的两个结论是否仍成立？若成立，请直接回答成立；若不成立，请直接写出结果． 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切． (2)证明：①连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理推论得：， ∴． ②如图，过点作于点，连接， ∴， 由圆周角定理推论得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． (3)①仍成立；② 【分析】（1）先得出，，则可得，再得出，进而可得，然后得出，由此即可得； （2）①连接，先得出，再得出，由此即可得证； ②过点作于点，连接，分别证出，，根据全等三角形的性质、线段和差即可得证； （3）①仍成立；②；证明过程：过点作于点，连接，得出即可得；分别证出，，根据全等三角形的性质、线段和差即可得证． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：①仍成立；②． 如图，过点作于点，连接， ∵是的直径，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。) 题号 2 3 4 5 6 答案 0 c B A D 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分.） 7.6 8.8 9.3或-1 10.4 11.164°/164度 12.6 13.3 14.2 15.(92-2x60-x)=5310 16.2 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共 88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.1)=25=3 2)=25=3 1/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：x2-5x+6=0, 分解左边： (x-2)(x-3)=0 ∴x-2=0或x-3=0 ∴x=2,x2=3 3分 (2)解： 3x-2)2=x(x-2) 3(x-2)2-x(x-2)=0 移项： 提取公因式：(-2儿3(x-2)-习=0 即： (x-2)(2x-6)=0 ∴.x-2=0或2x-6=0, ∴.x=2,x2=3 7分 18.(1)0C⊥AB,OC是⊙0的半径， AC=BC（垂径定理).3分 (2)5 【详解】(1)略 (2)解：连接OA, C 设⊙0的半径为r,则OA=OC=r, .CD=2. ∴.OD=OC-CD=r-2, 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OC⊥AB, 1 4D=2MB=2X8=4, 在Rt△AOD中，由勾股定理得： OA2=AD2+OD2 r2=42+(r-2)2 r2=16+r2-4r+4 4r=20 解得：r=5, ⊙0 的半径为.7分 19.(1)10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为25% (2)当毛绒玩具每个降价5元时，12月份可获利4200元 【详解】(1)解：设10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为x, 由题意得， 256(1+x)2=400 解得x=0.25=25%或x=-2.25(舍去)， 答：10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为25%；…-4分 (2)解：设毛绒玩具每个降价m元， (40-25-m)(400+4m)=4200 由题意得， 整理得m2+85m-450=0, 解得m=5或m=-90(舍去)， 答：当毛绒玩具每个降价5元时，12月份可获利4200元.-8分 20.(1)大棚内的温度为12度 (2)草莓一天内最适合生长的时间段是1到16时 【详解】(1)解：设CD段所对应的反比例函数关系式为y= (k+0) 由条件可得k=24×10=240, 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..y= 240 当x=20时，y 240=12 20 ∴.当x=20时，此时大棚内的温度为12度.…4分 (2)解：设直线MB的函数关系式为'=mr+n(0≤x≤2) n=10 由条件可得2m+n=20, m=5 解得n=l0, .直线AB的函数关系式为y=5x+10 当y=15时，15=5x+10,解得x=1. 当y=15时，15=240 ,解得x=16 .草莓一天内最适合生长的时间段是1到16时.8分 21.1)a=2’b=2,ys、3 3 (2)2 (3)x>2 【详解】(4解：把P-@代入y=-+1,得=-()+1=2， 则点的坐标为12) 把6-)代入y=-x+1,得1=b+1,解得b=2, 则点2的坐标为 2,-1) 点P在反比例函数图象上， 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=xy=-1×2=-2. ·反比例函数解析式为少=-名 x·-3分 (2)解：如图，设直线y=-x+1交y轴于点M, P/3 2 -4-3-2-10 234x -2 -3 当x=0时，y=1, 则M的坐标为Q),即OM=1, 据4)可知点P的坐标为2)，点的坐标为2， 放SB0=Sow+SoM=2x1x1+2×1x2= 2 2…-6分 (3)解：x -x+1,即反比例函数图象在一次函数图象上方，且点Q的坐标为(2-)， 故当x>0时，x >-x+1的解集为x>2·8分 22.(1)证明：连接OD、AD, D ,AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°，即AD⊥BC. 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又AB=AC, ∴.BD=DC,即D是BC的中点. O是AB的中点， .OD是△ABC的中位线， .OD∥AC, DE⊥AC, DE⊥OD 又OD是O0的半径， .DE是⊙0的切线；-3分 (2)4.8 (3)4 【详解】(1)略 2)解：：BD=DC=BC=6,4B=10Y 2 在RIAABD中，AD=VAB2-BD2=V00-36=8 S.4c-DC-AD=ACDE 2 2 .6×8=10×DE,解得DE=4.8.-5分 (3)解：过点O作OH⊥BC于点H, .OB=OD, ∴.BH=DH, O是AB的中点， ∴，在△ABD中，OH是△ABD的中位线， :0H=)AD=x8=4 2 2 6/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴圆心O到BC的距离为4.--8分 23.(14:是 (2)4或-4 (3)10 (4)1 【详解】(1)解：4是“完全数”，理由：4=2+02， 40是“完全数”，理由：40=62+2,2分 （2)解：-4r+8=2-4+4+4=6x-2+2-(x-2+(-2} .m=2,n=2或-2， ∴.mn=4或-4.…-4分 (3)解：S=+4y+2x-12y+k=(x+12+(2y-3}+k-10 由题意得：k-10=0, 解得：k=10.-6分 (4)解：r+3x+y-2=0 :y-3x+2 :x+y=x+-3x+2=-2x+2=(x-}+1 (x-≥0 :(x-+1≥1 当x=1时，x+y最小，最小值为1.…-8分 24.(1)6 (2)1,1 9 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：x2-2x-1=0, :名+污=26=1 :+=(6+广-2x5=2-2x0=4+2=6:-2分 （2)解：根据一元二次方程根与系数的关系，方程-x-1=0的两根之和为1，因此m+】1, n mn+l 1 对代数式变形可得分=m+”:-4分 (3)解：2m-3m-1=0㎡+3n-2=0 且mn1 Cm0:02m≠12-3-1=0 n’n2n 一m,n是方程2x2-3x-1=0的两个根， 13m .m+ =-1 'n2n2, ㎡+证@+0-2》1-.一分 25-90) (2)B(6,1):y=2x+4 四边形0C8变为麦形.出时吉8的华东为》 【详解】(4解，？反比剂函数-上(x>0)的图象经过点42,3)， 3 2 .k=6, :反比例函数的表达式为y=（x>0),-2分 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：AC⊥x轴，BD1y轴， .AC⊥BD,即AE⊥BD, .A(2,3)B(m,n) ..OD=CE=n,BD=m,AC=3, .AE=AC-CE=3-n, ,△ABD的面积为6， BD-AE=6, .2 “2m(3-川=6， .3m-mn=12, :点B在反比例函数y=(x>0)的图象上， .mn=6, .3m-6=12, .m=6, .n=1, :86) 设直线1B的解析式为)=：+b(K≠0) 2k'+b'=3 则6k+b'=1, 1 = 2 6=4’ ∴直线B的解析式为=44，-5分 (3)解：：AC⊥x轴，BD1y轴， 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC⊥BD,即AE⊥BD, ·4(2,3)B(m,n) :.OD=CE=n,BD=m,AC=3,DE=OC=2, .AE=AC-CE=3-n,BE BD-DE=m-2, 当四边形ADCB是菱形时，则AE=CE,DE=BE, .3-n=n,m-2=2. m=4,n=3 此时mn=4× 6,即点B在反比例函数y-(x>0)的图象上， 3 2 3 ∴，四边形ADCB能变为菱形，此时点B的坐标为 2 8分 26.(y=72 2F(24,10) (3)t值为24或6 D(3,16B(15,0) 【详解】(1)解：由题可知 根据矩形的性质，E为线段BD中点， E3+1516 (22月 即E(9,8), 、k ·反比例函数y=、 9 .8 k=72, 一双曲线的解析式为少=2 ;2分 (2)解：由题可得D(m16)、Bm+12,0)F(m,10) 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据矩形性质，且E为BD的中点， .E(6+m,8) k ”EF都在y=(x>0)上， .y=k, .10m=8(6+m) 解得m=24, :F24,10) -4分 (6+t,8) (3)解：由上题同理可得 :4D=16,AB=12,由勾股定理得4C=V2+16=20, AB-)4c=10,-5分 2 K为=x上一点， 平身 在等腰△AEK中， ①若AE=AK, 0 .k=10t, .K(t,10) “E八K同为y套上的点。 .10t=8(6+t) 11/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得1=24；-7分 ②若AE=EK, 则K与D重合，由题可得 (6,16) :161=8f6+)） 解得1=6： ③若AK=EK, =6+ k_25 化简得=4， 又：.4=8(6+) ,8(t+6)25 -12<0,不符合1>0含去： 解得‘=-7 综上所述，t的值为24或6.…9分 27.(1)解：MA=MC, ∴.∠MAC=∠MCA, :CA平分∠OCP, .∠OCA=∠PCA, AB⊥CD,PA⊥I, ∴.∠AOC=∠APC=90° .∠OCA+∠OAC=∠PCA+∠PAC=90°， ∴.∠OAC=∠PAC, .∠MCA=∠PAC, .PA∥CM, 又AP⊥I, .MC⊥I, 12/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MC是⊙M的半径， ∴.直线1与⊙M相切.3分 (2)证明：①连接AD, C A D ,四边形ADCE是⊙M的内接四边形， ∴.∠ADC+∠AEC=180°， .∠AEP+∠AEC=180°， ∴.∠ADC=∠AEP, ,AB是⊙M的直径，且AB⊥CD, AB垂直平分CD, .AC=AD ∴.∠ACD=∠ADC, ∴.∠AEP=∠ACD」 由圆周角定理推论得：∠ACD=∠AED, .∴.∠AEP=∠AED ②如图，过点A作AF⊥DE于点F,连接AD, D D .∠AFD=∠APC=90° 由圆周角定理推论得：∠ADF=∠ACP, 在△ADF和△ACP中， 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「∠AFD=∠APC ∠ADF=∠ACP AD=AC △ADF≌AACP(AAS) .'DF =CP,AF=AP, 在RteAEF和Rt△AEP中， AE=AE AF=AP, ,RtAAEF≌RtAAEP(HL) ∴.EF=EP, ED=EF+DF=EP+CP=EP+(EP+EC)=2EP+EC 即2EP+EC=ED.-7分 (3)①LAEP=∠AED仍成立：②2EP-EC=ED-9分 【详解】(1)略. (2)略。 (3)解：①∠AEP=∠AED仍成立；②2EP-EC=ED 如图，过点A作AN⊥DE于点N,连接AD, D C /B A D :AB是⊙M的直径，且AB⊥CD, ∴AB垂直平分CD, .'AC=AD .4C-AD 14/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AEP=∠AED :AP⊥I,AN⊥DE, .∠AWE=∠APE=90°， 在△ANE和△APE中， [∠ANE=∠APE ∠AEN=∠AEP AE=AE △ANE≌aAPE(AAS) .EN EP,AN=AP, 在RtAADN和RtAACP中， AD=AC AN=AP, ,RteADNS≌RtAACP(HL) ..DN=CP, ED=EN+DN=EP+CP=EP+(EP-EC)=2EP-EC 即2EP-EC=ED 15/15 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1章~第3章。 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知是方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 4．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．例如：的两根分别为，，即，则方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或0 B．或 C．或 D．0或 5．如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．如图，点 是反比例函数 （）在第一象限内图象上的一点，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，矩形 的面积为 6，则 的值为______． 8．在学校就餐时，往往需要在窗口前排队等待．经调查发现，同学们的舒适度指数与等待时间之间满足如图所示的反比例函数关系．当舒适度指数不低于15时，同学们才感觉到舒适，那么在窗口排队的同学至多等待________才合适． 9．若，则x的值为_________． 10．一元二次方程的一个根为a，则的值是________ 11．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 12．如图在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，点在线段上，点在的右侧，和都是等腰直角三角形，，若函数的图象经过点，且与的面积之差为3，则______． 13．如图，某公园圆形喷泉的直径是景观轴线，长为6米．A，B，C，D为喷泉边缘上的四个喷头位置，其中A，D为直径两端．已知，且，则喷头C，D之间的距离为______米． 14．在圆柱形油槽内装有一些油，截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了______． 15．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖宽，则根据题意所列方程为___． 16．把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______． 三、解答题（本题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解方程： (1)． (2)． 18．如图，是 的弦，半径 于点 ，交 于点 ，已知 ，． (1)求证：； (2)求的半径． 19．2023年11月，第一届全国学生(青年)运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月份数量持续增高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个． (1)求 10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． (2)若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在11月销量的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在 12月份可获利4200元？ 20．某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． (1)当时，求此时大棚内的温度； (2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间段是什么． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于、两点，连结、． (1)求、的值和反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)当时，关于的不等式的解集为____________． 22．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求圆心O到的距离． 23．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”，理由：．再如，（x，y是整数），所以M也是“完全数”． 解决问题： (1)请你再写一个小于10的“完全数”___________；并判断40是否为“完全数”_______； (2)若二次三项式（x为整数）是“完全数”，可配方成（m，n为常数），则的值为_______； 探究问题： (3)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完全数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论： (4)已知实数x，y满足，求的最小值是_______． 24．按要求完成下列各题： (1)已知，为方程的两根，求的值． (2)阅读材料：已知，，且．求的值． 解：由可知，∴．∴． 又，且，即， ∴m，是方程的两根．∴________．∴________． (3)根据阅读材料所提供的方法及（2）的方法完成下题的解答． 已知，且，求的值． 25．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，其中，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)若的面积为6，求点B的坐标及直线的解析式； (3)随着点B的变化四边形的形状也在变化，在变化过程中，四边形能变为菱形吗？，如果能，请求出B点坐标．如果不能，请说明理由． 26．【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度后，若点在双曲线上，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度后，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度后，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，直接写出满足条件的的值． 27．如图所示的平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点．直线l过点C，，垂足为点P． (1)如图1，当平分时，试说明：直线l与相切； (2)如图2，当直线l与相交时，且另一个交点E在弧上时，连接、与． ①求证：； ②连接，证明：． (3)如图3，当直线l与相交，且另一个交点E在弧上时，连接、与．（2）中的两个结论是否仍成立？若成立，请直接回答成立；若不成立，请直接写出结果． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $