第二十三章数据分析与统计估计（期中知识清单）九年级数学上学期新教材冀教版

第二十三章 数据分析与统计估计　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 平均数与加权平均数 1.1 算术平均数 一般地，我们把 个数 的和与 的比值，叫作这 个数的算术平均数，简称平均数，记作 ，读作” 拔”，即 示例：数据 的平均数为 。 注意：因为 ，所以取平均数可以抵消各数据之间的差异。平均数是一组数据的代表值，它反映了数据的”一般水平”，体现了数据的集中趋势。 1.2 加权平均数 已知 个数 ，若 为一组正数，则把 叫作 个数 的加权平均数， 分别叫作这 个数的权重，简称权。 示例：数 的权分别为 时，其加权平均数为 。 注意：一组数据的加权平均数，不仅与组中的每个数据有关，还跟每个数据的”重要程度”（即权重）有关。当各数据的重要程度不同时，一般采用加权平均数作为一组数据的代表值。 1.3 用测量值的平均数估计真实值 在实际生活中，我们经常要对某个量进行测量，测量往往会产生误差。为了得到比较准确的结果，可以进行多次测量，用这些测量值的平均数作为这个量的估计值。 示例：用 辆汽车测量同一段公路的长度（单位：），测量结果为 ，用它们的平均数 估计这段公路的长度。 2. 中位数与众数 2.1 中位数 一般地，将 个数据按大小顺序排列，若 为奇数，则把处于中间位置的数据叫作这组数据的中位数；若 为偶数，则把处于中间位置的两个数据的平均数叫作这组数据的中位数。所以，中位数是一种位置量数。 示例：数据 （ 个，奇数）的中位数是第 个数 。 注意：当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，可以用中位数作为这组数据的代表值来描述数据的集中趋势。 2.2 众数 一般地，把一组数据中出现次数最多的数据叫作众数。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。 示例：数据 中， 和 都出现 次，众数是 和 ；数据 没有众数。 注意：当一组数据中有较多的重复数据时，可以用众数作为这组数据的代表值。 3. 四分位数与箱线图 3.1 四分位数 一般地，用 表示一组数据的中位数，那么，中位数把这组数据分为两组，用 和 分别表示第一组数据和第二组数据的中位数。这样， 这三个数就把这组数据分为个数相等的四组，这三个数叫作这组数据的四分位数。其中， 分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数（或 分位数、 分位数、 分位数）。 示例：数据 的四分位数分别为 ，，。 3.2 百分位数 一般地，一组数据按从小到大排列后，若某个数 使得这组数据中至少有 的数据小于或等于 ，且至少有 的数据大于或等于 ，则称 为这组数据的 分位数（或第 百分位数）。四分位数是特殊的百分位数： 分别对应 、、 分位数。 示例： 分位数 是这样一个数，它使得至少有 的数据小于或等于 ，且至少有 的数据大于或等于 。 3.3 箱线图 为了直观地表示两组数据，便于对比它们的整体分布情况，还可以借助四分位数及数据的最小值和最大值，绘制出形如由一个箱子和两条线段组成的图形，从而得到箱线图。 注意：箱线图不仅可以直观地反映出一组数据的分布特征，还可以对多组数据进行整体比较，为我们提供更多的数据信息。 4. 数据的方差 4.1 方差 为了描述一组数据相对于其平均数的离散程度，通常先求各个数据与平均数偏差的平方和，为了消除不同数据个数对结果的影响，再除以数据的个数，就得到一个偏差平方的平均数。 设 个数据 的平均数为 ，各数据与平均数偏差的平方分别是 。偏差平方的平均数叫作这组数据的方差，用 表示，即 示例：数据 的平均数为 ，方差为 。 注意：方差的大小反映了一组数据的离散程度（或波动程度）：数据分布比较分散时，方差较大；分布比较集中时，方差较小。 4.2 离差平方和 我们称 为这组数据的离差平方和。 5. 数据的分类 5.1 组内离差平方和与组间离差平方和 设一组数据为 ，将这组数据分成两组，第一组为 ，第二组为 。称 为组内离差平方和（简称组内差）， 为组间离差平方和（简称组间差），则有 其中 是全体数据的离差平方和。 示例：把 个地区的人均二氧化碳排放量按从小到大排列为 ，按”组内离差平方和最小”的原则分组：第一组 个、第二组 个（ 单独一组）时组内差最小。 注意：一个合理的分组原则是使组内差 达到最小，组间差 达到最大。由于总体的离差平方和 不变，因此只需考虑使组内差 达到最小即可。 6. 用样本推断总体 6.1 用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差 用样本估计总体是统计的基本思想，一般常用样本的某种特征去估计总体的相应特征。总体的平均数和方差是最重要的两个数字特征，在统计学中，常用样本平均数估计总体平均数，常用样本方差估计总体方差。 示例：工人师傅加工一种直径为 的轴，随机抽取 件，测得直径（单位：）为 ，样本平均数 ，样本方差 ，据此估计总体平均数和总体方差分别约为 和 。 注意：由于抽样的任意性，即使样本容量相同，不同样本的平均数一般也不相同。当样本容量较大且具有较好的代表性时，样本平均数在总体平均数附近波动，样本方差在总体方差附近波动，随着样本容量的增大，波动的幅度会减小。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 平均数随数据的平移与缩放 若数据 变换为 （），则 。如各数据都加上 ，平均数也加 ；都乘以 ，平均数也乘以 。 1.2 方差随数据的平移与缩放 数据同时加上（或减去）同一个常数，方差不变；数据同时乘以 ，方差变为原来的 倍。如 个轴直径数据都减 后，方差不变；再乘 ，方差变为原来的 倍。 1.3 方差的简便计算 ，即”方差 数据平方的平均数 平均数的平方”。 【使用提醒】套此式须用原数据 ；若已用”新数据法”平移了数据，要先把数据还原。 1.4 平均数、中位数、众数受极端值影响的差异 平均数与每一个数据都有关系，任何一个数的变动都会引起平均数的变动，因此平均数容易受极端值（过大或过小的数据）的影响；中位数和众数只与数据的位置或出现次数有关，不受极端值的影响。 1.5 权相等时加权平均数退化为算术平均数 当 时，，加权平均数即算术平均数。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求平均数的三种方法 ① 基本法：直接求和除以个数；② 加权法：数据重复出现或按比例时，用频数（比例）作权的加权平均数；③ 新数据法：各数据都接近某个常数 时，先求各数据减 后的平均数 ，再 。如 都接近 ，先减 得新数据和为 ，，故 。 2.2 求中位数与四分位数、百分位数 先把数据从小到大排序，再由 定位置：若 为整数 ，则 取第 个与第 个数据的平均数；若不是整数，则向上取整，取对应位置的数据。如 个数据中，，取第 个数为 。 2.3 求众数 统计各数据出现的次数，出现次数最多的数据即众数；众数可能不止一个，也可能没有。 2.4 求方差的规范步骤 先求平均数 → 求各数据与 的差 → 求各差的平方 → 求和 → 除以数据的个数。数据较多或较大时，可用 1.3 的简便公式或新数据法。 2.5 比较两组数据的波动（稳定性） 当两组数据的平均数相等或接近时，方差小的一组更稳定、波动更小。如甲、乙两人射击成绩的平均数都为 环，，，乙的成绩比甲更稳定。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 新数据法求平均数 各数据都接近常数 时，先求各数据减 后的平均数 ，再 个鸭蛋质量都接近 ，先减 得新数据和为 ，，故 加权平均数”权”的两类 权可以是频数（个数），也可以是比例（百分比或分数） 出现 次、 出现 次，则 方差简便公式 ，避免逐项求差 求 的方差，先套公式再算 中位数”先排序” 中位数必须先按大小排序，不能按原始顺序取中间 的中位数是 众数”可多个/可没有” 众数是出现次数最多的数据，不止一个或没有都属正常 没有众数 4. 常见考试模型 4.1 加权平均数的实际应用 公式：，其中 为权（频数、百分比或”重要程度”的比例）。 限定：权必须为正；权之和通常为 （比例形式）或总频数。 示例：如按专业素养、综合素质、才艺展示、临场应变分别占 计算总成绩：。 4.2 选用平均数、中位数、众数做代表值 公式：数据差异不大时用平均数；有个别极端值时用中位数；数据重复较多（如鞋码、销量）时用众数。 限定：要结合实际问题背景说明选用的理由，不能只写一个数。 示例：如 名销售员月销量中有较大数据使平均数偏大，用中位数或众数作月销量定额比平均数更合理。 4.3 用方差比较稳定性 公式：，平均数相同时， 小者更稳定。 限定：比较波动大小须在平均数相等或接近的前提下，平均数差异大时先看平均数。 示例：如 两只股票前 个交易日收盘价，分别算平均数与方差，方差小者涨跌变化幅度小、更稳定。 4.4 用百分位数确定分数线（等级） 公式：按 定位置求 分位数，再据分位数划等级。 限定：等级比例之和应为 ；落在分界点上的成绩按”小于或等于”归入相应等级。 示例：如 名学生成绩按一等奖 、二等奖 、三等奖 划定：先求 分位数 、 分位数 ，则 三等奖、 二等奖、 一等奖。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求中位数不先排序，直接取原顺序的中间数 典例：数据 的中位数是多少？ 错解：共 个数，第 个数是 ，所以中位数是 。 正解：先按从小到大排序得 ，第 个数是 ，所以中位数是 。 原因：概念理解错误。中位数的定义先要求”将 个数据按大小顺序排列”，排序是中位数求法的第一步。学生看到”中间位置”就机械地取原始数据序列的正中间，忽略了排序这个前提条件。求中位数务必先排序，再按奇偶个数的规则取中间位置的数据（或两个数据的平均数）。 易错点 2：忽略众数可能不止一个 典例：数据 的众数是多少？ 错解：众数是 。 正解： 和 都出现了 次，出现次数最多且相同，所以众数是 和 。 原因：思维定式。学生受”一个答案”的惯性影响，找到一个出现次数最多的数据就停笔，忽略了”一组数据的众数可能不止一个”这一定义要点。凡众数问题都要把所有出现次数并列最多的数据都写出，同时还要注意”可能没有众数”的情形。 易错点 3：加权平均数误按算术平均数计算 典例：某校按平时作业 、单元测验 、期中考试 、期末考试 计算学期总评，小丽四项成绩（单位：分）分别为 ，求她的学期总评成绩。 错解：（分）。 正解：（分）。 原因：概念理解错误。四项成绩在总评中的地位（权重）不同，不能简单相加除以 ，必须用加权平均数。学生只看到”几个数求平均”，忽略了题目给出的权重（百分比），把加权平均当成了算术平均。凡给出”比例、百分比、频数”等权重信息的求平均，都要用加权平均数。 易错点 4：方差随平移、缩放的变化规律记混 典例：数据 （单位：），若把每个数据都减去 后再乘 ，方差变为原来的多少倍？ 错解：减去 后乘 ，方差变为原来的 倍。 正解：数据同时减去一个常数，方差不变；再同时乘以 ，方差变为原来的 倍。所以方差变为原来的 倍。 原因：忽略使用前提。方差刻画的是数据相对于平均数的离散程度，平移（加减常数）不改变各数据与平均数的差，故方差不变；缩放（乘 ）使各差变为原来的 倍，平方后即为 倍。学生常把”乘 方差乘 “错记成”乘 “，或把平移误认为会改变方差。 易错点 5：平均数受极端值影响，误用平均数做代表值 典例：某排球队 名队员的年龄（单位：岁）为 ，用哪个数作为这组年龄的代表值较好？ 错解：用平均数 （岁）作为代表值。 正解： 是极端值，使平均数明显偏大，不能反映大多数队员的真实水平。用中位数 （或众数 ）作为代表值较好。 原因：思维迁移错误。学生习惯了”平均数是一组数据的代表值”，遇到数据就默认求平均数，没有先观察数据中是否存在极端值。当有个别数据与其他数据差异很大时，平均数不再是较好的代表值，应改用受极端值影响较小的中位数（或众数）。 易错点 6：用样本估计总体时忽略样本的代表性 典例：为了估计一批鸡蛋中每个鸡蛋的平均质量（单位：），小红专挑个头大的鸡蛋 个，称得总质量 ；小明随意拿出 个鸡蛋，称得总质量 。谁的结果更客观？ 错解：小红挑的都是大鸡蛋， 更能反映”好鸡蛋”的质量，小红的结果更客观。 正解：小红专挑个头大的鸡蛋，样本不具有代表性，不能反映这批鸡蛋的整体水平；小明随机抽取，样本具有代表性，其结果更客观。 原因：忽略隐含条件。用样本估计总体要求样本具有代表性，抽样必须是随机的，不能人为挑选。学生把”挑好的”误当成”代表”，忽略了”随机抽样、样本有代表性”是样本能估计总体的前提。凡用样本估计总体，都要先确认抽样是否随机、样本是否具有代表性。 学科网（北京）股份有限公司 $