江西省南康中学2026-2027学年高二上学期教学质量检测（一）数学试题

高二数学学科第一次测试题

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1．已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（   ）

A．  B．  C．  D．

2．“”是“直线和直线平行”的（    ）

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

3．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（   ）

A．复数的模为5      B．复数的共轭复数为

C．复数的虚部为      D．复数在复平面内对应的点在第四象限

4．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ）

A．外离    B．外切    C．相交    D．内含

5．曲线与的关系是（    ）

A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点

C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点

6．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ）

A．   B．4    C．8    D．

7．已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的最大值为（    ）

A.     B.     C.     D.

8．已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9．以下四个命题表述正确的有（    ）

A．直线l过点，且在轴上截距相等，则直线l的方程为

B．直线恒过定点

C．，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件

D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3

10．已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ）

A．圆心坐标为

B．对，直线与圆一定相交

C．直线被圆截得的最短弦长为

D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为

11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（    ）

A．曲线与直线有3个公共点

B．曲线与圆有4个公共点

C．曲线所围成的图形的面积为：

D．若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.

12．过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程是___________．

13．若实数满足，则的最大值是____________.

14．已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆 引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为_________.

 

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（13分）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；

(2)过点，且与椭圆有相同的焦点．

 

 

 

 

16．（15分）已知圆过与两点，且圆心在直线上．

(1)求圆的方程；

(2)过点作圆的切线，求的方程；

 

 

 

 

 

 

 

17．（15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求B的大小；

(2)若，的面积为，求的周长．

 

 

 

 

 

 

 

 

18．（17分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

(1)证明：平面；

(2)若F是BC上靠近B的四等分点；

（i）求EF和平面夹角的正弦值；

（ⅱ）求点P到平面的距离.

 

 

 

 

 

 

 

19．（17分）已知圆和圆．

(1)若圆与圆相交，求的取值范围；

(2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值；

(3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和（直线、的斜率都存在且不为0），它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．

 

 

 

 

高二数学学科第一次测试题参考答案

6．A【详解】由圆，得圆心，半径，易得点关于轴的对称点为，如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离．故选：A.

7．B【详解】因为点为直线与直线的交点，所以由可得，且过定点，过定点，所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆(去除)，圆心为，半径.而圆的圆心为，半径为，所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离，所以的最大值为：

8．B【详解】如图，，解得，所以，因这样的点有且仅有一个，由图知此时，则圆心到直线的距离为6，即，化简得，其中，，则， ，所以，即，则直线的斜率为，所以直线，即，联立，解得，即，因的中点坐标为，且，则以为直径的圆的方程为 ，整理得，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，将两圆的方程相减得，故直线的方程为.故选：B.

9．BC【详解】对于A，注意到当直线过原点且过点时，方程为： ，满足在轴上截距相等，则A选项错误；对于B，将直线化为：，令，则直线过定点，故B正确；对于C，直线与垂直需满足：，得或.由可得两直线垂直，由或得不到，则是直线与直线垂直的充分不必要条件，故C正确；对于D，因与平行，则，则与距离，即为与的距离，为，故D错误.故选：BC

10．ABD【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确；对于B：，则直线过定点，又，则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确；对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为，当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误；对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为，连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得，则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为，综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确.

11．ABD【详解】对于A，由，可得，所以，即，解得或，所以或或，所以曲线与直线有3个公共点，故正确；对于B，由，可得，则有，平方得，代入，得，即，因为，，所以关于的方程有两个不同的正根，从而得有四个不同的解，所以曲线与圆