江西省上高二中2026-2027学年高二上学期第二次阶段性练习数学试题

2028届高二年级数学学科第二次阶段性练习试卷 参考答案与评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A A A A A B 题号 8 9 10 11 12 13 14 答案 A ABD ACD ABC 或 6 15．【详解】圆配方得，圆心，半径． （1），故点在圆外，切线有两条． ①当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，切线方程为； ②当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到的距离，符合题意． 所以所求切线方程为或． （2）圆心到直线：的距离， 弦长．由得，即， 所以，化简得，即．所以实数的取值范围是． 【评分细则】（1）配方求出圆心、半径得1分；判断点在圆外、切线有两条得1分；求出得2分；补充得2分（只写缺的扣2分）．（2）写出点到直线的距离公式得2分；写出弦长公式得2分；由正确解出得3分（漏掉等号写成的扣1分）． 16．【详解】（1）圆的圆心，半径；圆的圆心，半径． 圆心距，所以圆与圆外离． （2）设动圆的半径为（），圆心．因为动圆与圆内切， 所以；因为动圆与圆外切，所以， 即，代入得． 若，则，但，矛盾，舍去； 故，得，即到的距离比到的距离大3，在靠近圆的一侧． 由双曲线定义，，；，， 故，且双曲线的中心为的中点． 所以动圆圆心的轨迹方程为，即（）， 它表示双曲线靠近圆的一支（左支）． 【评分细则】（1）写出两圆的圆心与半径得3分；算出圆心距得2分；与比较并判定外离得2分（结论正确但未说明比较过程的扣1分）．（2）设出、并正确写出两切关系得2分；化出并舍去的情形得2分；求出、、得2分；写出方程并正确限定（一支）得2分（缺范围或写成整条双曲线的扣1~2分）． 17．【详解】（1）在中，，为的中点，所以． 因为是直三棱柱，所以平面，又平面，所以． 又平面，平面，，且，， 所以平面． （2）因为，，所以，故； 又是直角三角形斜边上的中线，所以， 所以． 因为平面，而平面即平面，所以点到平面的距离为， 故，即三棱锥的体积为． 【评分细则】（1）由等腰三角形得得3分；指出平面从而得3分；强调与相交并引用线面垂直的判定定理得1分（漏写“相交”的扣1分）．（2）求出、得2分；求出得2分；说明高为得2分；代入体积公式得并作答得2分（答案正确但未说明高的取法的酌情扣1分）． 18．【详解】（1）设椭圆：（），将，代入得，．令，，则，，解得，，故，．所以椭圆的标准方程为． （2），故，． 设，，由椭圆定义知． 在中，，由余弦定理得，即． 又，代入得，解得． 所以，即的面积为． （3）以为底，设，则到直线（即轴）的距离为， 故．由椭圆方程知椭圆上点的纵坐标满足， 当且仅当时取等号，故，此时点的坐标为或（短轴端点）． 【评分细则】（1）正确设出方程并代入两点得方程组得3分；正确解出、得1分；写出标准方程得1分．（2）求出、得1分；写出定义式得1分；列出余弦定理并化简得2分；正确求出得1分；代入面积公式得得1分．（3）写出得2分；指出得2分；正确求出得1分；写出得1分． 19．【详解】（1）椭圆：中，，，故，所以． 双曲线与椭圆有公共焦点，故双曲线的半焦距． （2）设，，因为在第一象限，所以．由椭圆的定义得； 在中，由余弦定理得，即． 又，所以，代入并整理得，解得． 由双曲线的定义得，所以，即，得． 又，所以．故双曲线的标准方程为． （3）由（2）知：，即．将其代入椭圆的方程并整理， 得，即，解得． 因为在第一象限，所以，，故， 所以点的坐标为．因此的面积． 【评分细则】（1）由椭圆方程求出得2分；由“公共焦点”得双曲线半焦距得2分．（2）写出得1分；由余弦定理列出得2分；结合求出得1分；由双曲线定义求出，得1分；写出双曲线的标准方程得1分（未求直接写方程的酌情扣1分）．（3）联立两曲线方程并正确消元得2分；解出并由第一象限确定取值得2分；求出并写出点的坐标得2分；正确求出的面积得1分（面积公式用错或结果不正确的扣1分）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二年级数学学科第二次阶段性练习试卷 满分：150分考试 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．过点且倾斜角为120°的直线方程为（ ） A． B． C． D． 2．圆的圆心坐标与半径分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．直线被圆截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 4．圆：与圆：的位置关系及公切线条数分别为（ ） A．外切，3条 B．内切，1条 C．相交，2条 D．外离，4条 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，则的值为（ ） A．7 B．13 C．2 D．7或13 6．双曲线的离心率与渐近线方程分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 7．已知点，在直线：的同侧，为直线上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆与双曲线有公共焦点，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，则下列结论正确的是（ ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为 C．若为上一点，且，则或9 D．若为上一点，则 10．已知圆：，直线：，则下列结论正确的是（ ） A．圆的圆心为，半径为2 B．过点且与圆相切的直线有且仅有1条 C．当时，直线与圆相交 D．若直线与圆交于两点，且，则 11．已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，则下列结论正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B． C．若双曲线的离心率为2，则 D．双曲线的离心率的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为________． 13．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是________． 14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上的动点，点，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知圆：． （1）求过点且与圆相切的直线方程；（6分） （2）已知直线：与圆交于，两点，若，求实数的取值范围．（7分） 16．已知圆：与圆：，动圆与圆内切、与圆外切． （1）判断圆与圆的位置关系；（7分） （2）求动圆圆心的轨迹方程，并指出它表示什么曲线．（8分） 17．如图，在直三棱柱中，，，，为的中点． （1）证明：平面；（7分） （2）求三棱锥的体积．（8分） 18．已知椭圆：（）经过点和． （1）求椭圆的标准方程；（5分） （2）设，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，求的面积；（6分） （3）设为椭圆上的动点，求面积的最大值，并指出此时点的坐标．（6分） 19．已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，为与的一个公共点，且在第一象限． （1）求双曲线的半焦距；（4分） （2）若，求双曲线的标准方程；（6分） （3）求点的坐标及的面积．（7分） 学科网（北京）股份有限公司 $