江西省南康中学2025-2026学年高二上学期第一次大考数学试题
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数 学 试 卷
命题人
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线
的斜率为
，在
轴上的截距为
，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知椭圆
上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．2
3．已知直线：
和直线
：
，则“
”是“∥”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若方程
表示双曲线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．或
5．若存在点
，使得圆
与圆
关于点对称，则
（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．已知点
在抛物线
上，若点到抛物线的对称轴的距离是6，到焦点的距离是10，则
的值是（ ）
A．2或4 B．6或12 C．4或16 D．2或18
7．如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线
的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为
，最大直径为
，双曲线的离心率为
，则该花瓶的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
为坐标原点，点在双曲线上，点，
分别在双曲线
的两条渐近线上，且
，若
与
的面积之积为
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．或
C．2 D．2或
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0。
9．设点
，
分别为椭圆：
的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得
成立的点恰好是4个，则实数
的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．4
10．已知抛物线
的焦点为
，为
轴上一点，且
，线段
与抛物线相交于点，
，则下列结论正确的有（ ）
A．直线的方程为
B．以线段
为直径的圆与轴相切
C．
D．
11．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线
被称为“四叶玫瑰线”（如图所示），
是上在第一象限内的一点．下列结论中正确的是（ ）
A．曲线上任意一点到原点的距离都不超过2
B．曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
C．存在一个以原点为中心、边长为
的正方形，使曲线在此正方形区域内（含边界）
D．
的最大值为
三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．抛物线
的准线方程为 .
13．已知为抛物线
上的任意一点，为其焦点，
为圆
上的一点，则
的最小值为 .
14．如图是数学家 Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球
，球
的半径分别为4和2，球心距离
，截面分别与球，球相切于点
（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于
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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知点
及圆
．
(1)若直线经过点，，求的方程；
(2)若直线
过点且截圆所得的弦长为6，求的方程．
16．已知点
，
，
中恰有两个点在抛物线
上，
(1)求
的标准方程；
(2)若点
，
在上，且
，证明：直线
过定点．
17．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为
，的焦距为8．
(1)求双曲线C的标准方程；
求证：点A在以线段为直径的圆上．
18．已知动直线与与椭圆
交于
、
两不同点，且
的面积
，其中为坐标原点.
（1）若动直线垂直于轴.求直线的方程；
（2）证明：
和
均为定值；
（3）椭圆上是否存在点
，，
，使得三角形面积
若存在，判断
的形状；若不存在，请说明理由.
19．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−
.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：
是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
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