精品解析：北京师范大学附属实验中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

第一学期初三年级数学试卷 试卷说明： 1、本试卷考试时间为120分钟，总分为100分； 2、本试卷共有8页，28道小题； 3、请将选择题、填空题及解答题答案写在答题纸相应位置处； 4、一律不得使用涂改液及涂改带． 一．选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只一个是符合题意的． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 求解即可； 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的特点；熟知二次函数顶点式的顶点坐标是解题的关键． 2. 如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3. 若的半径为 3，圆心到直线的距离为 4，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离，据此即可解答． 【详解】解：∵的圆心O到直线的距离，的半径，， ∴直线与相离． 4. 已知二次函数，下列关于其图像的结论中，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 关于直线对称 C. 随的增大而增大 D. 与轴有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】先确定二次函数的二次项系数，因为二次项系数的符号决定开口方向，所以可通过系数正负判断开口方向是否正确． 利用二次函数顶点式计算对称轴，判断是否为． 结合开口方向和对称轴，分析函数的增减性，如果开口向上，那么在对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大，据此判断增减性结论是否成立． 根据顶点位置和开口方向即可判断图像与轴的交点个数． 【详解】，开口向上，对称轴为直线 ，最小值为 3，与 轴无交点； 随 的增大先减小后增大，故 A、C、D 均错． 5. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与解，解一元二次方程，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，据此可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为0，， ∴将代入，得：， 解得，． ∵方程是一元二次方程， ， ． ∴ 故选：C． 6. 下列关于圆的论断中，错误的是（ ） A. 过不共线三点可以作一个圆 B. 垂直于弦的直径一定平分这条弦 C. 圆心到切线的距离等于半径的长度 D. 相等的弦所对的圆心角相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、切线的性质、弦与圆心角的关系，即可判断． 【详解】解：A、过不在同一条直线的三点一定可以作一个圆，原说法正确，故选项不符合题意； B、垂直于弦的直径一定平分这条弦，原说法正确，故选项不符合题意； C、圆心到切线的距离等于半径的长度，原说法正确，故选项不符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，原说法错误，故选项符合题意． 7. 已知的半径为 5，为内一点，且，则内，过点的所有弦中，弦长不可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，交于，，连接，利用勾股定理求出，可得的长，根据过点的最短的弦是垂直于的弦，最长的弦是过点的直径，即可判断． 【详解】解：过点作，交于，，连接，则，， 在中，， ∴， ∵的半径为 5， ∴的直径为， ∴过点的最短的弦长为8，最长的弦长为10， ∴过点的所有弦中，弦长不可能为 7． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点， 依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设， ∴， 则， 又∵，， ∴ ∴（负值已舍去） 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若抛物线开口向上，且与轴交于点，写出一个满足条件的抛物线的解析式：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【详解】解：开口向上，即 ， 与 轴交于 ，即 ． 满足条件的抛物线的解析式可以是 （答案不唯一）． 10. 某商场今年 10 月份销售额为 80 万元，11、12 月份每月平均销售额增长率均为，则 12 月份销售额（万元）关于的函数表达式为____（不要求注明的取值范围）． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意得． 11. 一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π． 故答案为6π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12. 如图，等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为______． 【答案】1 【解析】 【详解】过点O作OD⊥AB于点D， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠OAD=30°， ∵∠ADO=90°，∴OD=AO==1， 即其内切圆半径的长为1， 故答案为1. 13. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm. 则直尺的宽为______cm. 【答案】3 【解析】 【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，连结OE，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF的长. 【详解】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，连结OE， ∵DE＝8cm， ∴EF＝DE＝4cm， ∵OC＝5cm， ∴OE＝5cm， ∴OF＝cm． 故答案为3. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，解答此类题目先构造出直角三角形，再根据垂径定理及勾股定理进行解答． 14. 如图，、切于、两点，且切线长，切于点，分别交、于点、，则的周长为_____；若，则_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于第一空，由切线长定理得到，，，再根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可；对于第二空，连接，由切线的性质和角平分线的判定定理可证明平分，平分，求出的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系求解即可． 【详解】解：由切线长定理得，，， ∴的周长 ； 如图所示，连接， 由切线的性质可得， 又∵， ∴平分，平分， ∴； ∵， ∴， ∴． 15. 已知是正六边形的外接圆，P为上除C、D外任意一点，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】连接、，如图，利用正六边形的性质得到，讨论：当P点在弧上时，根据圆周角定理得到，当P点在弧上时，利用圆内接四边形的性质得到． 【详解】解：连接、，如图， ∵是正六边形的外接圆， ∴， 当P点在弧上时，， 当P点在弧上时，， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆：熟练掌握正多边形的有关概念和正多边的性质，也考查了圆周角定理． 16. 如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先连接，作于点，连接，利用等边对等角得出，利用垂径定理得出，再利用勾股定理和特殊的三角函数值，得出，，进一步得出，，再根据含角的直角三角形的性质，得出，，最后根据点在以为直径的上，可得当点在的延长线上时，的长最小，即可解答． 【详解】解：如图，连接，作于点，连接， ． 以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点， ，， ． ， ，． 在中，，， ，， ， ． ， ， ，． ， ， 点在以为直径的上， 的半径为， 当点在的延长线上时，的长最小，此时最小值为． 三．解答题（本题共68分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求法，判断出判别式的值是解决本题的关键． 先判断方程的根的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】解：方程为， ， ， ， ． 18. 解方程： 【答案】， 【解析】 【详解】解： 或 ，． 19. 如图，在⊙O中，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C， （1）求证：∠AOC＝∠BOC； （2）若点D是OC的中点，且AB＝6，求⊙O的半径． 【答案】（1）详见解析；（2）2． 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可． （2）在Rt△AOD中 证明∠OAD＝30°，AD＝3，根据OA＝计算即可． 【详解】（1）证明：∵OA＝OB，OD⊥AB， ∴∠AOC＝∠BOC（三线合一）． （2）解：在Rt△AOD中，∵点D是OC的中点， ∴OA=OC＝2OD， ∴∠OAD＝30°， ∵OD⊥AB， ∴AD＝DB＝3， ∴OA＝＝＝． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象G经过点，直线与y轴交于点B，与图象G交于点C. （1）求m的值. （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W. ①当直线l过点时，直接写出区域W内的整点个数. ②若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围. 【答案】（1）m=6；（2）①1个；②k>4. 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入，求出m的值即可； （2）①把点（2，0）代入y=kx-1，可求出直线l解析式，联立反比例函数解析式可求出C点坐标，画出图象，根据整点的定义即可得答案；②由直线l解析式可得B点坐标为（0，-1），利用待定系数法可得直线AB的解析式，可得B点坐标为（0，-1），当点C在点A下方时，可得整点最多有3个，不符合题意，当点C在点A上方时，根据直线AC经过整点（1，3）时有3个整点，把（1，3）代入y=kx-1，可求出k的值，整点不少于4个即可得k的取值范围. 【详解】（1）∵函数的图象G经过点， ∴2=， 解得：m=6. （2）①如图，∵直线l经过（2，0）， ∴2k-1=0， 解得：k=， ∴直线l的解析式为y=x-1， ∴点（4，1）在直线l上， ∴， 解得：，或（舍去）， ∴点C坐标为（，）， ∵直线l的解析式为y=kx-1，与y轴交于点B， ∴点B坐标为（0，-1）， 设直线AB的解析式为y=mx+n， ∵A（3，2），B（0，-1）， ∴， 解得：, ∴直线AB的解析式为y=x-1， ∴点（2，1）在直线AB上， ∵4<<5，1<<2， ∴区域W内的整点个数只有（3，1），共1个. ②当点C在点A下方时， 如图，当y=1时，， 解得：x=6， ∴点C坐标为（6，1）， ∵y=(x>0)的函数值y随x的增大而减小， ∴x>6时，没有整点， ∴最多有（3，1），（4，1），（5，1）三个整点，不符合题意， 当点C在点A上方时， 如图，当x=2时，反比例函数y==3，一次函数y=2-1=1， ∴当x=2时有一个整点（2，2）， ∵整点不少于4个， ∴x=1时，整点数应不少于3个， ∴整点为（1，1），（1，2），（1，3）， 当直线AC经过（1，3）时，k-1=3， 解得：k=4， ∴k>4时，区域W内的整点不少于4个. 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质并利用数形结合的思想是解题关键. 21. 已知二次函数的解析式是． … … … … （1）补全表格并在图中用描点法画出该二次函数的图象； （2）其中，在函数的图象上，且，，则＿＿＿（用“”、“”或“”填空）； （3）当时，的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】（1）补充表格如下： … … … … 二次函数的图象如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令求出值，再填入表中，然后在坐标系中正确描点并画出平滑的曲线； （2）由，，结合图象可得，，即可判断； （3）先求出抛物线的对称轴为，在对称轴处的函数值取得最大值；在自变量的取值范围内，找端点与顶点，比较得出最大值与最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 由图可知，， ； 【小问3详解】 抛物线的对称轴为， 当时，自变量取值范围包含对称轴， 抛物线开口向下， 当时，取得最大值； 比较两端点的函数值： 当时，； 当时，； 的最小值为， 的取值范围是． 22. 如图，在中，，以边为直径作交于点，连接并延长交的延长线于点，点为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 为的直径， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 又为的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）连接．由“直径所对的圆周角等于90度”可得，由“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得，再由，可得，可证，即可证明； （2）先根据三角形外角定理可得，进而可得，则，进而可得．在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， 的半径为2， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得，， 即， 解得：． 23. 某广场计划修建一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上（水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足二次函数关系），以水管下端点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，某方向上抛物线路径的形状如图所示． （1）经实验测量发现：当OA长为2米时，水流所形成的抛物线路径的最高点距地面3米，距OA所在直线1米，求抛物线的解析式； （2）计划在小型喷泉周围建一个半径为米的圆形水池，在不改变抛物线路径形状的情况下，仅改变水管OA出水口点A的高度，以保证水流的落地点B不会超出水池边缘，则水管OA最多可以设计为几米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线顶点为 ∵ ∴ 设抛物线解析式为 ∴ ∴ ∴ （2）∵抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，对称轴为直线 ∴设平移后的抛物线为 ∴由题意：得：抛物线过点 ∴ ∴ ∴ 当时， ∴此时点A坐标为 ∴水管最多可以设计为米 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）已知点，将点向右平移 3 个单位长度，得到点． ①直接写出点的坐标： ； ②若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图像，求的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）① ；② 或 【解析】 【分析】（1）先将代入解析式化简，再根据二次函数的性质求得对称轴即可； （2）①直接根据点的平移规律求解即可；②先说明是直线上的线段，且线段长为，P、Q的中点坐标为，抛物线开口向上，对称轴为直线以及直线与抛物线的交点的距离为，即P、Q可以同时位于抛物线的内部；再分和两种情况，分别画图，并根据题意列方程组求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，则对称轴为直线． 【小问2详解】 解：①∵将点向右平移 3 个单位长度得到点， ∴，即． ②∵，， ∴是直线上的线段，且线段长为，P、Q的中点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 令得 ，解得． ∴直线与抛物线的交点的距离为，即P、Q可以同时位于抛物线的内部， 如图：当时，点P在抛物线的下方，点Q在抛物线的上方， ∴，解得：； 如图：当时，点P在抛物线的上方，点Q在抛物线的下方， ∴，解得：． 综上， 或 ． 25. 某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表： x … －3 － －2 －1 0 1 2 3 … y … －2 － m 2 1 2 1 － －2 … 其中m=____________； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）根据函数图象 ①写出该函数的一条性质_______________； ②直线经过点（－l，2），若关于x的方程有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是__________________. 【答案】（1）m=1， （2）如图所示： （3）①函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）；②1<b<2. 【解析】 【分析】（1）把x=-2代入函数解释式即可得m的值； （2）描点、连线即可得到函数的图象； （3）①根据函数图象得到函数y=x2-2|x|+1的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而减少； ②根据函数的图象即可得到b的取值范围是1＜b＜2． 【详解】（1）当x=-2时，m=-（-2）2+2×|-2|+1=-4+4+1=1． （2）略 （3）①答案不唯一．如：函数图象关于y轴对称． ②由函数图象知：∵关于x的方程-x2+2|x|+1=kx+b有4个互不相等的实数根， ∴b的取值范围是1＜b＜2． 故答案为1；函数图象关于y轴对称；1＜b＜2． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键． 26. 已知点是抛物线与直线的公共点． （1）当抛物线的对称轴为直线时，求的值； （2）已知，抛物线上两点的坐标分别为，试比较三者之间的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴求得，进而求得抛物线的解析式，将代入即可求得b的值； （2）先求得，进而求得，再由求得，由，，结合作差法求得，，，进而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线的对称轴为直线，得 ， ∴抛物线的解析式为， 将代入，得； 【小问2详解】 解：由在上得，则； 由得， 将代入，得，则， ∴． ∵是抛物线上的两点， ∴，． ∵，，， ∴，，， ∴． 27. 如图，在中，，，，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）依题意，补全图形，并证明：； （2）求的度数； （3）若N为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） （3） 结论：． 理由：如图，延长到T，使得，连接． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明，可得； （2）证明，可得结论； （3）结论：．如图，延长到T，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：略． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点M，N，且，则称线段是的“倍弦线”． （1）如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段，，，中，的“倍弦线”是_____________； （2）的“倍弦线”与直线交于点E，求点E纵坐标的取值范围； （3）若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出b的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）依次连接线段，，，，通过“倍弦线”的定义判断即可； （2）通过M、N均在圆上，可以求得MN的取值范围，进而可以求出PQ的取值范围，结合图形，就可以求出点E纵坐标的取值范围； （3）先画出P、Q两点的运动轨迹，分别求出直线与两个圆相切时对应的P、S坐标，进而就可以去就出b的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，连接AB分别交于点E、F，连接AD分别交于点G、H，连接CD分别交于点K、F，连接CB， ∵CB与没有交点，故CB不符合题意； 观察图像，，故AD不符合题意； ，∴线段AB是的“倍弦线”； ，∴线段CD是的“倍弦线”， 故的“倍弦线”是，； 【小问2详解】 由题意，可得， ∵M、N在圆上， ∴， ∴， 如图，当且点P在直线上时， ∵， ， ∴， 结合图形，点E的纵坐标取值范围为； 【小问3详解】 由题意可得，P、Q的运动轨迹分别是以M为圆心，1为半径的圆和以N为圆心，2为半径的圆，如图所示， 当直线与圆N相切时，如图中的直线RP，切点为Q， 连接NQ，∵直线RP与相切，， 因为R、P在直线上，∴， ∴△QRN是等腰直角三角形， 过点Q作轴垂足为E，则， 设，则，即，解得（负值舍去）， ， 则，将其代入中，解得， ∴直线RP的解析式为， 当时，解得， 故， 当直线与圆M相切时，如图中的直线SW，切点为T， 连接MT，∵直线SW与相切，， 因为S、W在直线上，∴， ∴△TWM是等腰直角三角形， 过点T作轴垂足为F，则， 设，则，即，解得（负值舍去）， ， 则，将其代入中，解得， ∴直线SW的解析式为， 当时，解得， 故， 综上，b的取值范围为． 【点睛】本题考查了坐标与图形的新定义问题，涉及到的知识点较多，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的判定与性质，圆的切线性质，一次函数的应用等，解题的关键在于正确作出辅助线，理解“倍弦线”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一学期初三年级数学试卷 试卷说明： 1、本试卷考试时间为120分钟，总分为100分； 2、本试卷共有8页，28道小题； 3、请将选择题、填空题及解答题答案写在答题纸相应位置处； 4、一律不得使用涂改液及涂改带． 一．选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，其中只一个是符合题意的． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 若的半径为 3，圆心到直线的距离为 4，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 4. 已知二次函数，下列关于其图像的结论中，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 关于直线对称 C. 随的增大而增大 D. 与轴有两个交点 5. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 6. 下列关于圆的论断中，错误的是（ ） A. 过不共线三点可以作一个圆 B. 垂直于弦的直径一定平分这条弦 C. 圆心到切线的距离等于半径的长度 D. 相等的弦所对的圆心角相等 7. 已知的半径为 5，为内一点，且，则内，过点的所有弦中，弦长不可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若抛物线开口向上，且与轴交于点，写出一个满足条件的抛物线的解析式：__________． 10. 某商场今年 10 月份销售额为 80 万元，11、12 月份每月平均销售额增长率均为，则 12 月份销售额（万元）关于的函数表达式为____（不要求注明的取值范围）． 11. 一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______． 12. 如图，等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为______． 13. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm. 则直尺的宽为______cm. 14. 如图，、切于、两点，且切线长，切于点，分别交、于点、，则的周长为_____；若，则_____． 15. 已知是正六边形的外接圆，P为上除C、D外任意一点，则的度数为________． 16. 如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为________． 三．解答题（本题共68分） 17. 解方程：． 18. 解方程： 19. 如图，在⊙O中，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C， （1）求证：∠AOC＝∠BOC； （2）若点D是OC的中点，且AB＝6，求⊙O的半径． 20. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象G经过点，直线与y轴交于点B，与图象G交于点C. （1）求m的值. （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W. ①当直线l过点时，直接写出区域W内的整点个数. ②若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围. 21. 已知二次函数的解析式是． … … … … （1）补全表格并在图中用描点法画出该二次函数的图象； （2）其中，在函数的图象上，且，，则＿＿＿（用“”、“”或“”填空）； （3）当时，的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿． 22. 如图，在中，，以边为直径作交于点，连接并延长交的延长线于点，点为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． 23. 某广场计划修建一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上（水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足二次函数关系），以水管下端点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，某方向上抛物线路径的形状如图所示． （1）经实验测量发现：当OA长为2米时，水流所形成的抛物线路径的最高点距地面3米，距OA所在直线1米，求抛物线的解析式； （2）计划在小型喷泉周围建一个半径为米的圆形水池，在不改变抛物线路径形状的情况下，仅改变水管OA出水口点A的高度，以保证水流的落地点B不会超出水池边缘，则水管OA最多可以设计为几米？ 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）已知点，将点向右平移 3 个单位长度，得到点． ①直接写出点的坐标： ； ②若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图像，求的取值范围． 25. 某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表： x … －3 － －2 －1 0 1 2 3 … y … －2 － m 2 1 2 1 － －2 … 其中m=____________； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）根据函数图象 ①写出该函数的一条性质_______________； ②直线经过点（－l，2），若关于x的方程有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是__________________. 26. 已知点是抛物线与直线的公共点． （1）当抛物线的对称轴为直线时，求的值； （2）已知，抛物线上两点的坐标分别为，试比较三者之间的大小关系，并说明理由． 27. 如图，在中，，，，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）依题意，补全图形，并证明：； （2）求的度数； （3）若N为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点M，N，且，则称线段是的“倍弦线”． （1）如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段，，，中，的“倍弦线”是_____________； （2）的“倍弦线”与直线交于点E，求点E纵坐标的取值范围； （3）若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $