精品解析：北京市西城区北京师范大学附属中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次学情自测试题

2026—2027初三第一学期月考 数学试卷 考生须知 1．本试卷有三道大题，共6页．考试时长90分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将机读卡和答题纸交回． 一、单选题（本大题共10小题，共20分）． 1. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3，5 B. 3， C. ，5 D. 5. 已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（ ） A. 5 B. C. 8 D. 6. 已知二次函数的图象如图，其中b，c的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 9. 已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 关于的一元二次方程（），有下列四个结论： ①若是该方程的一个根，则一定有成立； ②若，则方程有一根为； ③若该方程的解为和，则方程的解是或； ④当，，时，方程一定有实数根． 其中，正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③ D. ②④ 二．本大题共10小题，共20分． 11. 二次函数的对称轴是直线__________． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则________． 13. 将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是________． 14. 若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围为________． 15. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 16. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 17. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 18. 已知点，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是________． 19. 如图，二次函数（）与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是________． 20. 在平面直角坐标系中，已知点，，二次函数（）与线段只有一个交点，则的取值范围为________． 三．解答题（21题20分，22题8分，23题6分，24题6分，25题6分，26题7分，27题7分，共60分） 21. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 22. 二次函数中的，的部分取值如下表： 根据表中数据填空： … 0 1 2 3 … … 0 … （1）该函数图象的对称轴是________； （2）与轴的交点坐标是________； （3）二次函数解析式是________； （4）画出该二次函数的图象； （5）结合图象，当时，的取值范围是________________； （6）结合图象，方程有实数解，的取值范围是____________． 23. 关于的方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个根都是整数，求正整数的值． 24. 小军同学计划为一幅长寸，宽寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 25. 2025年世界人形机器人运动会将在北京举行，其中"篮球投篮机器人挑战赛"成为热门项目，篮球飞行轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足二次函数关系（）． 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 （米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度 （米） 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）根据上述数据，机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为________； （2）求机器人投篮时篮球飞行的竖直高度满足的函数关系式（）； （3）若篮球在水平距离5米处的竖直高度满足，视为有效投篮，则机器人投篮________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮________（填“有效”或“无效”）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围； （3）已知直线：，若抛物线总在直线的上方，求的取值范围． 27. 在平面直角坐标系中，已知点，直线和图形，点关于直线的对称点为．给出如下定义：若图形上存在点，直线上存在点，使得点是的中点，则称点是直线关于图形的关联点． （1）已知，，直线．在，，中，是直线关于线段的关联点的是________； （2）已知直线，正方形的四个顶点分别为，，，，记正方形及其内部为图形． ①已知点，若点是直线关于图形的关联点，直接写出的取值范围； ②令，记抛物线在之间的部分为图形，若图形上存在直线关于图形的关联点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027初三第一学期月考 数学试卷 考生须知 1．本试卷有三道大题，共6页．考试时长90分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将机读卡和答题纸交回． 一、单选题（本大题共10小题，共20分）． 1. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：二次函数的顶点坐标为. ∵， ∴，， ∴顶点坐标为. 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根． 4. 将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3，5 B. 3， C. ，5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 5. 已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，则的值为（ ） A. 5 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】无需解方程，利用根与系数的关系直接计算两根之和. 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得，． 6. 已知二次函数的图象如图，其中b，c的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上所述，，． 7. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 8. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 9. 已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 10. 关于的一元二次方程（），有下列四个结论： ①若是该方程的一个根，则一定有成立； ②若，则方程有一根为； ③若该方程的解为和，则方程的解是或； ④当，，时，方程一定有实数根． 其中，正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解，逐个验证结论，结合条件推导判别式的符号，最终确定正确选项． 【详解】解：① 将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ② 将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④ 由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确； 综上，正确结论为②④． 二．本大题共10小题，共20分． 11. 二次函数的对称轴是直线__________． 【答案】 【解析】 【分析】将二次函数化成顶点式即可得． 【详解】解： ． 则此二次函数的对称轴是直线， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得． 13. 将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：抛物线向左平移个单位，自变量加上： ； 再向上平移个单位，常数项加上： ． 所以平移后抛物线表达式为． 14. 若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 15. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是__________（用“<”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【详解】解：二次函数中，，，根据对称轴公式得对称轴为， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，， ∴ ． 16. 抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式，先确定抛物线开口方向与对称轴；开口向上，对称轴左侧随增大而减小，根据都在递减区间，所以对称轴要在或者的右侧． 【详解】解：抛物线解析式为， 顶点式，，抛物线开口向上， 对称轴为直线． 开口向上时，在对称轴左侧，即，随增大而减小． 当时，随增大而减小． ∴全部落在递减区间里面， 所以 ， 解得 ． 17. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 18. 已知点，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线对称轴，开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．先算出点到对称轴的距离，由得到点到对称轴距离小于点到对称轴距离，列绝对值不等式求解． 【详解】解：抛物线，，开口向上， 对称轴：． 点到对称轴的距离：． 因为开口向上，，说明点离对称轴更近， ， ， ， ， ． 19. 如图，二次函数（）与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式化为，然后得到该表达式的解集即为抛物线不在直线上方时，对应的取值范围． 【详解】解：点 B 在轴上且是两图象的交点，所以抛物线与直线交点的横坐标为和． 由 B 是公共点知， 于是等价于， 即抛物线不在直线上方． 由图象，这在两交点之间成立，故解集为． 20. 在平面直角坐标系中，已知点，，二次函数（）与线段只有一个交点，则的取值范围为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分图1，图2，图3，图4，图5这5种情况，求出临界情况下a的值，结合函数图象可得答案． 【详解】解：如图1所示，当抛物线恰好经过点A时， 则，解得； 如图2所示，当时，此时满足抛物线与线段只有一个交点； 如图3所示，当抛物线的顶点恰好在线段上时， ∵对称轴为直线， ∴当时， ∴， 解得； 如图4所示，当抛物线恰好经过点B时， 则，解得， 如图5所示，当时，此时满足抛物线与线段只有一个交点； 综上所述，当或或时，满足抛物线与线段只有一个交点． 三．解答题（21题20分，22题8分，23题6分，24题6分，25题6分，26题7分，27题7分，共60分） 21. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ． 【小问4详解】 解：， ， ． 22. 二次函数中的，的部分取值如下表： 根据表中数据填空： … 0 1 2 3 … … 0 … （1）该函数图象的对称轴是________； （2）与轴的交点坐标是________； （3）二次函数解析式是________； （4）画出该二次函数的图象； （5）结合图象，当时，的取值范围是________________； （6）结合图象，方程有实数解，的取值范围是____________． 【答案】（1）直线 （2） （3） （4）二次函数的图象如图所示： （5） （6） 【解析】 【分析】（1）根据时的函数值与时的函数值相同可求出对称轴， （2）根据时，可求出与x轴的交点坐标； （3）先利用对称轴公式得到a与b的等量关系，再将已知点代入解析式，代入消元求出a、b，写出函数一般式． （4），顶点坐标．取关键点：，，，，． 在平面直角坐标系中描出这几个点，用平滑曲线连接，画出抛物线． （5）开口向上的抛物线，顶点是最小值；比较区间两端点函数值，确定最大值，写出范围． （6）将方程有解转化为抛物线与水平线存在交点，由抛物线最小值确定取值范围． 【小问1详解】 解：由表格可知时的函数值与时的函数值相同， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 ∵当时，， ∴由对称性可得，， ∴与x轴的交点坐标是； 【小问3详解】 解：由（1）得对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 【小问4详解】 略 【小问5详解】 解：抛物线解析式$y=(x-1)^2-4$，开口向上，顶点$(1，-4)$，顶点为最低点． 当时，最小值为． 再计算区间端点，对应的函数值： ，； ，． 在区间内，最大值为，最小值为． 的取值范围是． 【小问6详解】 解：方程变形为． 方程有实数解等价于抛物线与直线有交点． 抛物线开口向上，函数最小值为． 所以的取值范围是． 23. 关于的方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个根都是整数，求正整数的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及求根公式的应用．解题关键在于理解根的判别式与根的关系，利用判断根的情况并求解参数范围；同时掌握求根公式，通过对根的表达式分析及代入验证来确定满足条件的参数值． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，已知方程有实数根，所以，通过构建关于的不等式求解的取值范围． （2）先利用求根公式得出方程的根的表达式，再结合第一问的取值范围确定正整数可能的值，然后通过代入逐一验证根是否为整数，从而确定符合条件的值． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴． ∴． 解得． 即的取值范围是． 【小问2详解】 解：解方程，得． ∵， ∴正整数的值为1，2，3． 当时，，不合题意，所以舍去； 当时，，不合题意，所以舍去； 当时，，得到方程的根为，，都是整数． ∴正整数的值是3． 24. 小军同学计划为一幅长寸，宽寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 【答案】寸 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的建立与求解，矩形面积公式，根据题意构建关于画框宽度的一元二次方程是解题关键． 设画框左右宽度为寸，进而表示出上下宽度，再结合矩形面积公式与题目中的面积比例关系列出一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，最终得出画框宽度． 【详解】解：设摆台画框的左、右边宽度为寸，则上、下边宽度为寸， 已知创意画的长为寸，宽为寸，则创意画的面积为平方寸， 画框所占面积为创意画面积的， 画框的面积为平方寸， 画框与创意画的总面积为平方寸， 带画框的整体长为寸，宽为寸， ， 可得， 即， 解得，（不合题意，舍去）， 故摆台画框的左、右边宽度为寸． 答：摆台画框的左、右边宽度应是寸． 25. 2025年世界人形机器人运动会将在北京举行，其中"篮球投篮机器人挑战赛"成为热门项目，篮球飞行轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足二次函数关系（）． 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 （米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度 （米） 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）根据上述数据，机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为________； （2）求机器人投篮时篮球飞行的竖直高度满足的函数关系式（）； （3）若篮球在水平距离5米处的竖直高度满足，视为有效投篮，则机器人投篮________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮________（填“有效”或“无效”）． 【答案】（1）篮球飞行竖直高度的最大值为米． （2） （3）有效；无效 【解析】 【分析】（1）根据数据表，然后根据抛物线的对称性确定顶点坐标即可解答； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）结合数据表和挑战者的函数解析式，求得的函数值，再根据判断即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据知， ∵当和时，纵坐标都是， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点为． ∴篮球飞行的竖直高度的最大值为米． 【小问2详解】 解：设， 将代入得，解得． 所以机器人投篮时篮球飞行的竖直高度满足的函数关系式． 【小问3详解】 解：机器人：时由数据表，满足，故机器人投篮有效； 挑战者：时，不满足，故挑战者投篮无效． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围； （3）已知直线：，若抛物线总在直线的上方，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入解析式可求出c的值，根据增减性可确定对称轴，根据对称轴公式可得对应的关系式； （2）由对称性可得点在抛物线C上，要满足对于，，则要满足或，据此求解即可； （3）抛物线总在直线的上方，则抛物线C与直线l没有交点，据此利用判别式求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线C经过点， ∴把代入得； ∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴抛物线C的对称轴为直线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得对称轴为直线， ∵点在抛物线C上，且， ∴点在抛物线C上； ∵对于，，都有，且当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴或， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：∵抛物线总在直线的上方， ∴抛物线C与直线l没有交点， 由（1）得，，则抛物线：， 令，则， ∵抛物线C与直线l没有交点， ∴方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组得 解不等式组得， ∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，已知点，直线和图形，点关于直线的对称点为．给出如下定义：若图形上存在点，直线上存在点，使得点是的中点，则称点是直线关于图形的关联点． （1）已知，，直线．在，，中，是直线关于线段的关联点的是________； （2）已知直线，正方形的四个顶点分别为，，，，记正方形及其内部为图形． ①已知点，若点是直线关于图形的关联点，直接写出的取值范围； ②令，记抛物线在之间的部分为图形，若图形上存在直线关于图形的关联点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）和 （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据关联点的定义，先求出点关于直线的对称点．利用中点坐标公式，是线段的中点，可得的坐标，在直线上选取合适的点，检验点能否落在线段上； （2）①先求出点关于直线的对称点，结合中点公式写出点坐标，根据点落在正方形内部，得到纵坐标的不等式，求出的取值范围；②当，确定正方形的横、纵坐标范围．设图形上的点，求出关于直线的对称点，利用中点公式写出的坐标．横坐标可通过调整的横坐标满足正方形范围，只需对纵坐标列不等式，转化为：存在同时满足两组不等式，利用两个取值范围存在公共数的充要条件列出不等式组，求解取值范围． 【小问1详解】 解：关于直线的对称点． 取直线上点，由中点公式，，在线段上，故是关联点． 关于直线的对称点． 设，则．线段上点纵坐标为，若纵坐标等于0，则，且横坐标不在范围内，故不是关联点． 关于直线的对称点． 取，，即为点，在线段上，故是关联点． 综上，是关联点的为和． 【小问2详解】 ①点关于直线的对称点． 设在直线上，． 在正方形内：横坐标，存在使得，因此横坐标条件可以满足；纵坐标，满足． 解不等式组 解得． ②当，图形是正方形，满足． 设图形上点，其中． 关于直线的对称点． 设在直线上，由中点公式，． 的横坐标：，只要选取合适的，就可以使，横坐标条件一定可以满足． 的纵坐标：． 在正方形内，纵坐标满足，即 令，由，可得． 不等式转化为 拆分为两个不等式： ，化简得； ，化简得． ∴． 存在数同时满足 , 两个区间存在公共数的充要条件：区间右端点大于等于，并且区间左端点小于等于． 即 由得； 由，解得． 若，则不等式的取值范围内全部数值都小于0， 又因为，不存在满足条件的，此情况无解． 综合两种情况，取值范围：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $