精品解析：北京市育英学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，3）在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A. x1＜x2＜x3 B. x2＜x3＜x1 C. x3＜x1＜x2 D. x1＜x3＜x2 5. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ） A. 不小于 B. 不小于 C. 小于 D. 小于 7. 我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数与图象上的动点，轴于点D，轴于点E，点C在y轴的正半轴上，连接，若四边形是平行四边形，给出下面四个结论： ①； ②若，，则； ③； ④当时，四边形一定是正方形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 方程的根为_________． 10. 写出一个顶点为的二次函数表达式_________． 11. 已知一元二次方程的两个根分别是，，则_________． 12. 若点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为__________________（用“”连接）． 13. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，设人每次能手把手教会名同学，那么所列方程为_________． 14. 二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次不等式的解集是___________． 15. 如图，已知线段，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，在下方交于点，连接交于点．以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，，则的大小为_________． 16. 如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字误明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19. 已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线； （3）当时，直接写出的取值范围． 20. 如图，在中，，，分别为，的中点，点，在射线上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 22. 如图，矩形的两条邻边，，上是否存在点，使得为直角？如果不存在，请说明理由；如果存在，求出满足条件的点E有几个． 23. 直线与反比例函数的图象交于点． （1）求，的值． （2）结合函数图象，直接写出时的取值范围； （3）设点P的坐标为且，过点P作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求的值． 24. 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 25. 数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3，且不考虑接缝）． 某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小． 下面是他们的探究过程，请补充完整： （1）设长方体包装盒的底面边长为x，表面积为、可以用含x的代数式表示长方体的高为．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积． 得到y与x的关系式：_________（）； （2）列出y与x的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位） x/ … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 80.5 42.0 31.2 ① 28.5 31.3 （3）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象： （4）结合画出的函数图象，解决问题： 长方体包装盒的底面边长约为_______时，需要的材料最省． 26. 在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点B的坐标为，点A与点B不重合． （1）求此抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； （2）连接． ①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出a的取值范围； ②在①的条件下，过点B作x轴的垂线交抛物线于点C，若线段的长随a的增大而减小，求a的取值范围． 27. 四边形和都是正方形，其中正方形可以绕顶点旋转（）． （1）如图1，点在上，点在上，连接和，取的中点，连接，求证： ； （2）如图2，正方形绕点旋转到图2位置，连接和，取线段的中点，连接． ①依题意补全图2； ②判断线段与的关系，并证明你的结论． 28. 在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点关于点的对称点为，点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“转称点”． （1）如图，已知点，点是点关于点的“转称点”． ①当时，在图中画出点的位置，并直接写出点的坐标； ②的长度是否与有关?若无关，求的长；若有关，说明理由； （2）已知点是边长为2的等边三角形（点按逆时针方向排列），点是点关于点的“转称点”，在绕点A旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 2. 用配方法解一元二次方程时，将方程化为的形式，则n的值为（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，即通过移项、配方将方程化为完全平方式． 【详解】解：对进行配方， 移项得， 配方：， 即，故． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线向左平移1个单位长度，需要把原式中的替换成即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得． 4. 若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，3）在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A. x1＜x2＜x3 B. x2＜x3＜x1 C. x3＜x1＜x2 D. x1＜x3＜x2 【答案】D 【解析】 【分析】先将A、B、C三点坐标代入反比例函数中求出x1、x2、x3，再比较大小即可解答． 【详解】解：将点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，3）代入反比例函数中，得： x1=，x2=1，x3=， ∵＜＜1， ∴x1＜x3＜x2， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、实数的大小比较，熟知所有反比例函数图象上的点的坐标满足该函数的解析式是解答的关键． 5. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式及求函数值等知识；数形结合是解题的关键． 首先确定抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，根据图象得出当时，y的值最大，即可得出结果． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点， ∴抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图所示三条抛物线分别经过A、D、C， B、D、C，A、B、D， 当经过A、D、C三点时，由图像得：当时，y的值最大，即取得最大值， 故选：C 6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ） A. 不小于 B. 不小于 C. 小于 D. 小于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的方法和步骤，设该反比例函数的解析式为，把代入求出，得出该反比例函数的解析式为，再把代入求出，根据反比例函数的增减性，即可解答． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴在第一象限内，p随V的增大而减小， ∴为了安全起见，气球的体积应不小于， 故选：B． 7. 我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的几何解法及完全平方公式的应用，熟练掌握几何法中“大正方形面积四个长方形面积小正方形面积”的关系是解题的关键． 类比题目中几何法解一元二次方程的方法，先确定长方形的长和宽，再根据大正方形面积的组成（四个长方形面积 + 小正方形面积），结合小正方形面积求出相关边长，进而计算的值． 【详解】解：∵ 方程为， ∴ 长方形的长为，宽为，小正方形的边长为． ∵ 小正方形的面积为64， ∴ ，即（边长为正）． ∵ 大正方形的边长为，大正方形的面积为， ∴ （大正方形边长为正）． ∵ ，， ∴ 两式相减得：， 即，解得． 将代入，得， 解得． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数与图象上的动点，轴于点D，轴于点E，点C在y轴的正半轴上，连接，若四边形是平行四边形，给出下面四个结论： ①； ②若，，则； ③； ④当时，四边形一定是正方形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用平行四边形对角线平分的性质，结合中点坐标公式即可得出的表达式进行判断； ②设的中点为H，利用中点坐标公式即可求得点B的坐标，从而得到的值； ③利用三角形面积公式表示出的表达式，从而进行判断； ④根据题意可得出，通过一线三垂直模型证明，从而得出，但不一定是，继而得到四边形不一定是正方形． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形，，的中点在y轴上， ∴， 设，则， ∴，故①正确； ②由题意，设的中点为H， ∵， ∴的中点， ∵， ∴， ∴，故②错误； ③，故③正确； ④由题意，∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，但不一定是， ∴四边形不一定是正方形，故④错误， 综上所述，正确结论为①③． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 方程的根为_________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：， 即，． 10. 写出一个顶点为的二次函数表达式_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：由题意设函数表达式为：， 若取，则函数表达式为． 11. 已知一元二次方程的两个根分别是，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式的展开式中计算，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是， ∴， ∴． 12. 若点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为__________________（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数的性质，进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴在抛物线上距离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，，， 又∵， ∴． 13. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，设人每次能手把手教会名同学，那么所列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 那么第一节课后共有名同学学会了这个实验， 第二节课这名同学每人又教会了名同学， 则可列方程为． 14. 二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 7 … 则关于的一元二次不等式的解集是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上，且开口向上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的不等式的解集是或． 15. 如图，已知线段，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，在下方交于点，连接交于点．以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，，则的大小为_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】由作图得为等边三角形、是的垂直平分线，从而、；再由知为等腰直角三角形，把拆成与之和即可求． 【详解】解：分别以点、为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，在下方交于点（如图）． ，． 为等边三角形， ． ，， 点、都在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ，为的中点． 点在线段上， ． 以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点， ． 为等腰直角三角形， ． 点在上， ． 点、分别在的两侧， ． 16. 如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 【答案】 ①. 34 ②. 5 【解析】 【分析】（1）求出​到之间有4个相邻住宅间隔，即可求解； （2）求出学生从处总步行时间和以及6名学生的校车行驶时间和，可得总时间和为，即可求解，特别注意理想通勤时间之和计算时校车时间需要计算6次． 【详解】解：（1）根据题意得：​到之间有个相邻住宅间隔， 所以住在处的学生的理想通勤时间为； （2）车站设在处， 这6名学生从自家住宅至处总步行时间和为． 校车从​处到学校的行驶时间为， ∵一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和， ∴这6名学生的理想通勤时间之和为， 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 因为， 所以时，总时间和最小． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字误明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原方程移项，得， 分解因式，得， 得到或， 解得，， 原方程的解为，． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解、代数式求值以及整式的混合运算，正确理解题意是解答的关键，运用了整体思想．根据是方程的一个根，可以得到，然后将所求式子化简，再将整体代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， 代入得，， 19. 已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）它的顶点坐标为； 图象如图所示： ； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，再运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：； ∴它的顶点坐标为； 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象略； 【小问3详解】 解：当时，的最大值为4， 由图象可得，当时，． 20. 如图，在中，，，分别为，的中点，点，在射线上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）过点作于，利用勾股定理及平行四边形的性质、矩形的性质及判定得出的值，进而求出的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 21. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 【答案】（1） ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在于正确的解方程． （1）根据，进行作答即可； （2）由，解得，，由方程的实数根均为非负数，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，，， ∵该方程的实数根均为非负数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为． 22. 如图，矩形的两条邻边，，上是否存在点，使得为直角？如果不存在，请说明理由；如果存在，求出满足条件的点E有几个． 【答案】存在点，使得为直角，满足条件的点E有两个 【解析】 【分析】在和中，利用勾股定理分别表示出和，再根据列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 在中，， 在中，， 若为直角，则有， ∴， 整理得， 解得或， ∵，， ∴存在两个点，使得为直角． 23. 直线与反比例函数的图象交于点． （1）求，的值． （2）结合函数图象，直接写出时的取值范围； （3）设点P的坐标为且，过点P作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点在直线上，求出；根据点在反比例函数上，求出； （2）不等式可变形为，即，再结合函数图象即可解答； （3）令直线与反比例函数的函数值为，求出的横坐标，根据的长列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ， ， ∵点在反比例函数上， ∴，解得． 【小问2详解】 解：不等式可变形为，即， 两个函数在第一象限的交点为， 结合图象：当时，，即； 【小问3详解】 解：过点作平行于轴的直线，其解析式为， ∵直线与直线的交点为， ， ， ∵直线与反比例函数的交点为， ，即， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 即当时，． 24. 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 【答案】（1） （2）车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方 【解析】 【分析】（1）结合题意设抛物线的函数解析式为，代入点的坐标，即可得到答案； （2）将代入中，求出点的横坐标，点的横坐标加上车长不超过米，则这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方． 【小问1详解】 解： 由题可得：抛物线的顶点的坐标为， 设与的函数解析式为， 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得， 解得， 抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得（舍去），， ， 车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方． 25. 数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过3，且不考虑接缝）． 某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小． 下面是他们的探究过程，请补充完整： （1）设长方体包装盒的底面边长为x，表面积为、可以用含x的代数式表示长方体的高为．根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积． 得到y与x的关系式：_________（）； （2）列出y与x的几组对应值：（说明：表格中相关数值精确到十分位） x/ … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 80.5 42.0 31.2 ① 28.5 31.3 （3）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象： （4）结合画出的函数图象，解决问题： 长方体包装盒的底面边长约为_______时，需要的材料最省． 【答案】（1） （2） （3） 如图所示： （4） 【解析】 【分析】（1）根据长方体表面积公式即可求解； （2）将代入（1）中所得函数关系式即可； （3）描点连线即可完成作图； （4）观察图象，找到图象最低点的横坐标即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：观察图象可知，当约为时，需要的材料最省， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数在几何中的实际应用．掌握函数的研究方法是解题关键． 26. 在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点B的坐标为，点A与点B不重合． （1）求此抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； （2）连接． ①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出a的取值范围； ②在①的条件下，过点B作x轴的垂线交抛物线于点C，若线段的长随a的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）①或或；② 【解析】 【分析】（1）根据二次函数对称轴公式求解即可； （2）①由点A和点B的坐标结合线段，得出，，求出点关于抛物线的对称点，再结合图象分情况讨论求解即可； ②求出点C的坐标，再得出表达式，最后由二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：①∵点，点的坐标为，点A与点B不重合， ∴，，即， ∵点为抛物线上一点， ∴点关于抛物线的对称点为， ∵线段与抛物线有且只有1个公共点， 当点B在点A左侧时，，即； ∵ ∴此时点D在点B左侧，即线段与抛物线只有一个交点A，如图， 当点B在点A右侧时，，即 如图，当点为抛物线的顶点时，， ∵线段与抛物线有且只有1个公共点， ∴； 当点在点左侧时，如图， ∴，即，此时线段与抛物线只有一个交点A， 综上所述，a的取值范围为或或； ②把点代入得，， ∴， ∴， ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， ∴点C的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴设， 当时，， ∴或； 当时，， ∴； 该函数与x轴的交点坐标为和，对称轴为直线， 画出函数图象如下： ∴由图象可得，当或时，线段的长随的增大而减小， ∵在①的条件下，或或， ∴综上所述，当时，线段的长随的增大而减小． 27. 四边形和都是正方形，其中正方形可以绕顶点旋转（）． （1）如图1，点在上，点在上，连接和，取的中点，连接，求证： ； （2）如图2，正方形绕点旋转到图2位置，连接和，取线段的中点，连接． ①依题意补全图2； ②判断线段与的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵四边形、是正方形， ∴， ∴， ∴， 在中，点P是斜边的中点， ∴， ∴； （2）①补全图形如图2所示， ②线段与的关系为，证明： 如图3，延长至M使，连接，则， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，作， ∴， ∴ ∵ ∴ 即 ∴ ∴， 【解析】 【分析】（1）先判断出，进而得出，得出，最后根据直角三角形的性质，即可得出结论； （2）根据题意补全图形即可； ②线段与的关系为，延长至M使，连接，则，判断出，得出，再判断出，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②略 28. 在平面直角坐标系中，已知点不与原点重合．对于点给出如下定义：点关于点的对称点为，点关于直线的对称点为，称点是点关于点的“转称点”． （1）如图，已知点，点是点关于点的“转称点”． ①当时，在图中画出点的位置，并直接写出点的坐标； ②的长度是否与有关?若无关，求的长；若有关，说明理由； （2）已知点是边长为2的等边三角形（点按逆时针方向排列），点是点关于点的“转称点”，在绕点A旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长． 【答案】（1）①； ②的长度与无关， （2），或 【解析】 【分析】（1）①根据“转称点”定义得到，点、关于点对称，点、关于直线对称，根据点，得到点，；②的长度与t值无关，根据，，得到； （2）连接，过点A作于点D，设点B关于点C对称点为，根据等边三角形定义得到，，根据三线合一得到，，根据含30°的直角三角形性质得到，根据“转称点”定义得到，垂直平分，推出，得到当点N与点重合时，长最大，此时，、、三线重合，根据，得到，根据勾股定理得到， 推出，或． 【小问1详解】 ①∵点是点关于点的“转称点”， ∴点、关于点对称，点、关于直线对称， ∵点，， ∴点， ∴，即，在平面直角坐标系中描出和Q； ②的长度与无关，理由： 由①知，，， ∴轴，， ∴的长与t的值无关； 【小问2详解】 连接，过点A作于点D，设点B关于点C对称点为， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵点是点关于点的“转称点”， ∴，点、N关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， 当点N与点重合时，长最大， 此时，、、三线重合， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，或． 【点睛】本题主要考查了定义新概念，等边三角形，含的直角三角形，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握关于成中心对称的两点及关于坐标轴对称的两点的坐标特征，轴对称性质，等边三角形性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $