考点02 直线与圆的位置关系6题型突破+能力强化（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级下册
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内容正文：
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考点02直线与圆的位置关系
①相交：直线与圆有两个公共点
三种位置关系定义
②相切：直线与圆有唯一公共点（该点叫切点）
核心概念与判定方法
③相离：直线与圆没有公共点
①相交d红
②相切d=r
g相离dr
数量关系判定法
注意：此方法是解决选择题和填空题最快的方法
圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
切线的性质定理
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
应用技巧：见切点，连半径，得垂直
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
0经过半径外端（点在圆上）
圆的切线性质与判定
判定三要素/②垂直于半径
切线的判定定理
③直线
直线与圆的
若已知直线过圆上一点：连半径，证垂直
常用辅助线
位置关系
若未知直线是否过圆上一点：作垂直，证半径(=r)
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
切线长定理
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何模型：构成两个全等的直角三角形
定义：三角形三条角平分线的交点
三角形的内心
性质：内心到三角形三边的距离相等
定义：与三角形三边都相切的圆
三角形的内切圆
圆心：即为三角形的内心
半径：内心到任意一边的垂直距离，记为r
三角形的内心与内切圆
内心：角平分线交点，对应内切圆
定义对比
外心：垂直平分线交点，对应外接圆
锐角三角形：内心和外心均在三角形内部
内心与外心的耕析
位置特征
直角三角形：内心在内部，外心在斜边中点
钝角三角形：内心在内部，外心在三角形外部
等边三角形特例
在等边三角形中，内心、外心、重心、垂心四心合
考点在缺
精准补渴
考点一：直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
图示
d小
d
公共点个数
2
0
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公共点名称
交点
切点
直线名称
割线
切线
圆心O到直线1的距
ckr
正r
离d与半径r的关系
d>r
等价关系
kr直线1与
正r直线1与
心r直线1与
。0相交
。0相切
⊙0相离
要点说明：
1“公共点个数”是几何定义，“d与r的大小关系”是代数刻画，二者等价，解题时按需选用。
2.d是点到直线的距离，即垂线段长度，不是圆心到直线上任一点的距离。
3直线与圆“有公共点”包括相交与相切两种情形，共1个或2个公共点，不能误答为“只有一个”。
考点二：切线的判定
定理内容：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
两个条件（缺一不可）：
①直线经过半径的外端（即直线与圆有公共点）；
②直线垂直于这条半径。
三种常用判定方法：
1.定义法：与圆有且只有一个公共点（多用于直观判断，证明中较少单用)。
2数量法：圆心到直线的距离等于半径。
3判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
【两大判定模型一一必考大题模板】
模型
适用场景
辅助线做法
证明目标
模型一
题目明确告知直线与圆
连接圆心与公共点
证明半径与直线垂直
有交点
有公共点（点在圆上）
(得到半径)
(证90°)
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模型二
未告知公共点
过圆心作直线的垂线
证明垂线段OH=x
无交点
(不知是否在圆上)
(垂足为H)
(证距离等于半径)
考点三：切线的性质
定理内容：圆的切线垂直于过切点的半径。
几何语言：：直线AB是⊙O的切线，C为切点，.AB1OC。
半径
0
B
C
垂直
A
【核心结论一一知二推一】
一条直线若满足以下三个条件中的任意两个，必推出第三个：
①垂直于切线：
②过切点：
③过圆心。
【辅助线口诀】见切线，连切点，得垂直。
题目中只要出现"切线”二字，第一反应就是连接圆心和切点，立即得到90°直角，从而构造直角三
角形，激活勾股定理、三角函数、相似等工具。
考点四：切线的作法与切线长定理
切线与切线长的区别：
切线：直线，不可度量长度：
切线长：圆外一点到切点之间的线段长度，可以度量。
注意：只有圆外一点才有切线长，圆上、圆内的点不存在切线长。
定理内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹
角。
几何语言：，：PA、PB分别切⊙O于A、B,∴.PA=PB,∠APO=∠BPO。
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切线长定理的基本图形(PA、PB为切线)：
PA=PB:
OP垂直平分弦AB(即OPLAB且平分AB);
四边形OAPB中有一组对角为直角，可借助勾股与三角函数计算。
考点五：三角形的内心与内切圆
三角形内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外
三角形的内切圆
切三角形
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的
概念
三角形的内心
内心
性质
三角形的内心到三角形三条边的距离相等，等于其内切圆的半径
三角形外心、内心的区别
名称
外心
内心
图形
B
三角形的外心到三角形三个顶点的距
性质
三角形的内心到三角形三条边的距离相等
离相等
位置
外心不一定在三角形内部
内心一定在三角形内部
角度关系
∠BOC=2∠A
LB0C-90°+号LA
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题型突破通法接城
题型一：判断位置关系
1.(24-25九年级下·上海虹口·阶段检测)已知⊙0的半径3cm,直线1上有一点到圆心0的距离为3cm,
那么直线I与⊙0的位置关系是()
A.相切
B.相交
C.相离或相切
D.相切或相交
【答案D
【详解】解：~直线l上有一点到圆心O的距离为3cm,
∴圆心O到直线l上的距离d≤3cm,
⊙0的半径r=3cm,
.d≤r,
当d=r时，直线I与⊙0相切：
当d<r时，直线I与⊙0相交：
∴.直线1与⊙0的位置关系是相切或相交.
故选：D
2.(2026上海宝山二模)如图，∠ABC=30°，点0为射线BC上一点，B0=8,如果⊙0是以点O为圆
心，半径为3的圆，那么⊙O与直线BA的位置关系是()
A
O C
A.相离
B.相切
C.相交
D.不能确定
【答案】A
【详解】解：作OD⊥AB于点D,
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:∠ABC=30°，BO=8,
÷0D=20B=4,
,⊙0的半径为3,4>3，
:,.⊙0与直线BA的位置关系是相离
3.(25-26九年级下·上海长宁·期中)已知⊙0及其所在平面内的直线L,P为直线1上的一点，如果⊙0半
径为3，且P0=3,那么下列对直线1的表述不正确的是()
A.直线I可能经过圆心O
B.直线1可能与⊙0相交
C.直线1可能与⊙0相切
D.直线1可能与⊙O相离
【答案】D
【详解】解：设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,
由题意得r=3,P为1上一点，P0=3,
:点到直线的距离，垂线段最短，
.d≤PO=3,即d≤r,
∵直线与圆相离的判定条件为d>r,
∴d不可能大于r,
∴直线1不可能与⊙0相离
4.(24-25九年级下·上海阶段检测)已知同一平面内有⊙0和点A与点B,如果⊙0的半径为3cm,线段
OA=5cm,线段OB=3cm,那么直线AB与⊙O的位置关系为()
A.相切
B.相交
C.相离或相切
D.相交或相切
【答案】D
【详解】解：，O0的半径为3cm,线段OA=5cm,线段OB=3cm
∴.点A在以O为圆心5cm长为半径的圆上，点B在以O圆心3cm长为半径的⊙0上
当AB⊥OB时，如左图所示，由OB=3cm知，直线AB与⊙O相切：
当AB与OB不垂直时，如右图所示，过点O作OD⊥AB于点D,则OD<OB,所以直线AB与⊙0O相交；
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“直线AB与⊙0的位置关系为相交或相切，
故选：D
题型二：由位置关系求参数范围
点方法
直角三角形斜边上的高用“等面积法”最快：h=两直角边之积：斜边。
5.(2025·上海杨浦模拟预测)如图，已知点0到直线I的距离为5，如果在以点O为圆心的圆上有且只有
两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长”的取值范围是()
A.2<r<5
B.3≤r<5
C.2<r≤7
D.3<r<7
【答案】D
【详解】解：已知点O到直线1的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线1的距离为2.
过点O作直线I的垂线，垂足为A.
当圆与直线的位置关系满足：以O为圆心的圆与直线1相交，且在直线I两侧到直线1距离为2的点中，
只有两个在圆上.
从距离角度看，圆的半径r要满足：5-2<r<5+2,即3<r<7.
故选：D
6.(25-26九年级下·上海杨浦期中)在平面直角坐标系x0中，己知点M(⑧，6)，以M为圆心，r为半径
的圆与x轴相交，与y轴相离，那么可以取的值是()
A.6
B.7
C.8
D.10
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【答案】B
【详解】解：点M的坐标为(8,6)，
∴圆心M到x轴的距离=6，到y轴的距离4，=8，
,圆与x轴相交，与y轴相离，
.r>4且r<d2,即6<r<8,
观察选项，只有7满足该范围，因此选B
7.(2026上海青浦二模)在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,动点O在对角线AC上.如果以点O为圆
心，以1为半径长的⊙0与边AB有两个公共点，那么线段OA的取值范围是()
A1s0as月
B.1<0A<
4
c1k01号
0.1s0A<
4
【答案】D
【详解】解：，四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4,∠ABC=90°
..AC=AB2+BC2=32+42=5
过点O作OE⊥AB于E
○
B
.OE⊥AB,∠ABC=90
∴.OE∥BC
∴.△AOE△ACB
OE OA
BC-AC'
OE OA
即45，
整理阳Oe-01
:⊙0半径为1，且⊙0与边AB(线段AB)有两个公共点
·需满足两个条件：①直线AB与O0相交，②端点A在⊙0外（或圆上）.
①直线AB与⊙0相交，即圆心到AB的距离小于半径则OE<1,
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4
01<1,
解得01
②端点A在⊙0外（或圆上），则OA≥1
综上，1sOA<
4
8.(25-26九年级上·上海静安期末)己知点A坐标为（山，-3），如果半径为r的⊙A与x轴无公共点，与y
轴有公共点，那么”的取值范围是
【答案】1≤r<3
【详解】解：圆心A(,-3)到x轴的距离为3=3，
由于圆与x轴无公共点，
故圆心到x轴的距离大于半径，即”<3：
圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点，
故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即r≥1：
因此，r的取值范围是1≤r<3。
故答案为：1≤r<3.
9.(24-25九年级下·上海徐汇阶段检测)如图，在梯形ABCD中，ADI‖BC,∠B=90°，AD=1,
AB=2,BC=3,点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙0，与边AD只有一个公共点时，则
OC的取值范围是
【答案】2s0C≤13
6
【详解】解：作DE⊥BC于E,则∠DEB=∠DEC=90°，如图所示：
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D
B OEO
ADI‖BC,∠B=90°，
∴.∠DAB=90°.
·∠ABC=∠DEB=∠BAD=90°，
∴四边形ABED是矩形，
.DE=AB=2.BE=AD=1,LADE=909
.BC=3
∴.CE=2=DE,
当点O运动到点E时，ED⊥AD,此时O0与AD相切，
r=0C=2,
当⊙0经过点A时，
A
D
设OA=OC=x,则OB=3-x,
在Rt△AB0中，由勾股定理得：2+(3-x)2=x2,
解得：x13
5
:以0为圆心，0C为半径的00：与边AD只有一个公共点时，则OC的取值范围是2≤0C≤
6:
故答案为：2sx≤13
10.(1)如图，已知矩形ABCD中，AB=4,BC=4V5,O是AC上一点，A0=1,且⊙0的半径长为
2,则线段AB与⊙O没有公共点时t的取值范围为
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线段AB与⊙O有两个公共点1时的取值范围为
(2)己知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,以C为圆心作⊙C,则如果⊙C与斜边AB有且只
有一个公共点，那么⊙C的半径长R的取值范围
如果⊙C与斜边AB有两个公共点，那么⊙C的半径长R的取值范围
如果⊙C与斜边AB没有公共点，那么⊙C的半径长R的取值范围」
(R-2
【答案1)之3,05、3
4:号<Rs3,0<R<号政0<R<号
或3<R≤4：5
【详解】解：(1)：矩形ABCD中，AB=4,BC=4V3,
∴.∠ABC=90°，AC=√AB2+BC2=8,
如图，作OE⊥AB于E,
D
则OE∥BC,
∴.△OEAACB
AO OE I OE
·4C8C,即84N5:
..OF=3
,
2
当o0的牛长为2线设B与00设有公兆时，9>2，
43
解得：t>
3
当线段4B与00有两个公共点，时，1<2，
解得：1<4
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:O是AC上一点，A0=1,
.0≤t<
45
3:
(2),Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,
..AB=AC2+BC2=5,
:以C为圆心作⊙C,⊙C与斜边AB有且只有一个公共点，
∴如图，当⊙C与AB相切时，此时只有一个交点，令交点为D,则CD⊥AB,CD=R,
IAC.BC=1AB-CD.
∴.3×4=5CD,
:C①=号0R专
12
Γ5
如图，当⊙C经过点A时，此时与AB有两个公共点，此时R=3,
如图，当⊙C经过点B时，此时与AB有一个公共点，此时R=4,
B
12
综上所述，如果OC与斜边4B有且只有一个公共点，那么OC的半径长R的取值范围为R=了或3<R≤4：
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如果⊙C与斜边AB有两个公共点，那么OC的半径长R的取值范国5<R≤3：
1
如果OC与斜边4B没有公共点，那么OC的半径长R的取值范围O<R
5或0<R<12
·
题型三：
切线证明
点方法
“连半径、证垂直”的关键是证平行，常借助等腰三角形与角平分线构造等角。
11.(24-25九年级下·上海阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，弦CD与AB相交于点E.点D为AB的
中点，过点D作DF∥AB,交CA的延长线于点F
C
B
D
(1)试判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由：
(2)若CF=CD,∠F=67.59,DEDC=2,求⊙0的半径.
【详解】(1)FD为⊙0的切线，理由如下：
如图，连接OD,
B:点D为
的中点，
D
AB
∴AD=BD,
∴.∠AOD=∠BOD=90°，
DF∥AB,
.∠ODF=∠BOD=90°，
.OD⊥DF,
,OD是⊙0的半径，
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.FD为⊙O的切线：
(2)解：如图，连接AD
B.:
D
CF=CD∠F=67.5
.∠CDF=∠F=67.5°，∠ACD=180°-67.5°-67.5°=45°，
:A0=OD,∠AOD=90°，：.∠EAD=45°，.∠ACD=∠EAD=45°，
DE DA
又：∠ADE=∠CDA'ADAEADCA·DA-DC,即DA=DB.DC=2'
∴.DA=V2(负值舍去)，
:04=0D=4D=1,即00的半径为1.
12.(25-26九年级上上海阶段检测)如图，己知Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30,BC=6,过点
A作AE⊥AB,且AE=18,连接BE交AC于点P.
E
(1)求CP的长
(2)以点A为圆心，以AP为半径作⊙A,试判断直线BE与⊙A的位置关系，并说明理由.
【详解】(1)解：：∠ABC=90°，∠CAB=30°，BC=6
.AC=12,
,AE⊥AB,即∠EAB=90°，
∴∠EAB+∠ABC=180°，
·.AElIBC,
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.△APEACPB
AP AE
n AC-CP=AE
÷CP-BC,即CP
BC'
12-CP18
6
.CP=3.
(2)解：直线BE与⊙A相切，理由如下：
,∠ABC=90°，BC=6,AC-12.
AB=VAC2-BC2=6√5，
:∠EAB=90°，AE=18,AB=6N3,
:BE=VAE+AB2=12√5，
由(1)知△APE∽△CPB」
EP AE
EB-BP AE
·BP=BC,即
BP
BC,
.123-BP18
BP
6
BP=35:
:AB2=(6N5=108,AP2=(AC-CP)}=81,Bp2=27,
.'AB2=AP2+BP2,
∴.△ABP是直角三角形，且∠APB=90°，
AP⊥BP,
,AP是⊙A的半径，
:直线BE与⊙A相切.
13.(23-24九年级下·上海阶段检测)如图，⊙0是△ABD的外接圆，AB是⊙0的直径，C是AB延长线
上一点，LEDB在⊙O上，连接DC,若LDEB=∠CDB.
D
O
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(1)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由
(2)若AB=20,BD=DE=4N5,求BE的长
【详解】(1)解：CD与⊙0相切，理由如下：
如图所示，连接OD,
B
:AB是⊙O的直径，
.∠ADB=90°，
.∠A+∠0BD=90°，
..OD=OB
∴∠ODB=∠OBD,
,∠A=∠DEB,∠DEB=∠CDB,
.∠A=∠CDB
.∠ODB+∠BDC=90°，
即∠0DC=90°，
OD⊥CD.
∴.CD为⊙O切线即CD与OO相切.
(2)解：如图所示，设OD交BE于点H,
E
D
F
.BD=DE,
.BD=DE,
OD⊥BE'
BH-EH-DE.
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,AB=20
0B=OD=10,
设OH=x,则DH=10-x,
在Rt△BHD和R△BHO中，由勾股定理得，
BH2=BD2-DH2,BH2=OB2-OH2,
.BD2-DH2 =OB2-OH2,
:(45-(10-x)2=102-x2,
解得x=6,
∴0H=6,
∴.BH=VOB2-OH2=8,
.BE=2BH=16
14.(2024上海模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于D,BE交
OO于F,连接BD,BC,CF,∠BFC=∠AED.
A
B
(1)求证：△BOD∽aEOB,并判断直线AE与⊙0的位置关系.
(2)求证：
SBOD=
1
SBCr2cos2∠ODB
【详解】(1)证明：AE与⊙0相切，理由如下：
:∠BFC=∠BAC,∠BFC=∠AED.
∴.∠BAC=∠AED,
OE⊥AC,
.∠ADE=∠ADO=90°，
∴、∠DAE+∠AED=90°，
.∠DAE+∠BAC=90°，
.OA⊥AE,
,OA是半径，
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、AE与⊙O相切
OA⊥AE,
∴∠OAE=90°
∴∠AD0=∠0AE=90°，
,∠AOD=LEOA,
.△ODAPAOAE,
OA OD
÷0E0A'
.OB=OA,
OB OD
OE OB'
.∠DOB=∠BOE,
.△BOD∽△EOB
(2)证明：AB是直径，
∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADO.
OE∥BC,
·∠ODB=∠DBC,∠OEB=∠CBF,
∴.Ccos∠ODB=coS∠DBC=
BC
BD'
.△BOD EOB,
∴.∠OBD=∠OEB,
.∠OBD=∠CBF,
.∠BFC=∠BAC,
△ABD∽△FBC,
SARCE
(BC
:.S.ABD
=cos2∠ODB
BD
O是AB中点，
SAD=2SAmOD
SA业=25AABD☐
1
1
1
-X-
S△BFS△r
2cos2∠ODB2cos2∠ODB
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题型四：切线性质计算
15.(2026上海松江·模拟预测)己知矩形ABCD,AB=6,BC=8,P是对角线BD上一点，以点P为圆心、
”为半径画圆，如果圆P与矩形ABCD的边BC、CD所在的直线都相切，那么r的值为()
24
24
12
2
A.5;
B.
7:
5；
D.7
【答案】B
【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则B(0,0),A(0,6),C(8,0),D(8,6).
:四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8,
∴.对角线BD过(0,0)和(8,6)，
设直线BD的解析式是y=a,则8k=6,
3
解得：k=
4
3
即：直线BD的解析式为V=4,
:⊙P与BC所在直线y=0,CD所在直线x=8都相切，
∴，圆心P到BC的距离等于半径r,即P的纵坐标为r;圆心P到CD的距离等于半径r,即P的横坐标为
8-r,
P点坐标为（⑧-r,r)
,:P在对角线BD上，
∴.将P点坐标代入BD的解析式得：
3
P=8-),整理得：7，=24，
24
解得：r=7·
A
B
M
C x
16.(2025·上海模拟预测)如果有三个圆分别任取一条半径都能组成一个直角三角形，则称这三个圆为
一组“Rgt圆组”.已知在直角梯形ABCD中，∠A=90°，两底中AD=9,BC=6,腰CD=5.点0
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在AD上，以点O为圆心，作三个同心圆分别与直线BC相切，过点D和点C.若三个同心圆为一组
“Right圆组”，则OD=()
413
87
83
4125
A.6或2
B.3或8
C.3或2
D.6或8
【答案】A
【详解】解：如图，以点O为圆心，作三个同心圆分别与直线BC相切于点E,过点D和点C,其半径分
别为：OE、OD、OC,OE⊥BC.
过点C作CH⊥AD,垂足为H,
E B
在直角梯形ABCD中，∠A=90°，
、.ADI‖BC,∠ABC=90°，
:四边形ABEO、ABCH是矩形，
.AB=OE=CH,AH=BC=6,OA=BE,
.DH=AD-AH=9-6=3,
∴.在Rt△CDH中，CH=VCD2-DH2=V52-32=4,
∴.AB=OE=4
设0D=x,则0A=9-x,CE=BC-BE=6-(9-x=x-3,
.0C2=0E2+CE2=42+x-3)2,
若三个同心圆为一组“Rigt圆组”，
当0C为斜边时，即：0D2+0E2=0C2
42+(x-3)2=42+x2,
3
解得：七=2
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当OD为斜边时，即：OC2+OE2=OD2
42+(x-3)}+42=x2,
解得：x4
413
综上所述：OD长为6或2·
故选：A
17.(25-26九年级上·上海宝山期末)若以点A(2,)为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径
长是
【答案】V5或2
【详解】解：①如图，当⊙A经过原点时，⊙A与两坐标轴只有3个交点，
此时该圆的半径长0A=V22+平=V5:
②如图，当⊙A与y轴相切（切点为B)且与x轴相交时，⊙A与两坐标轴只有3个交点，
则AB上y轴，
此时该圆的半径长AB=2:
∴.综上，该圆的半径长是V5或2
故答案为：V5或2.
18.(2026上海徐汇二模)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点O在边AB上，如果⊙0与
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△ABC的一边所在的直线相切，且经过△ABC的一个顶点，那么OB的长是
A
B
25.120
【答案】8或49
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E,
当⊙O与BC相切于点D时，则OD⊥BC
D E
.AB=AC=5,BC=8
-c
∴.AE=V√AB2-BE2=V5-42=3
设0B=x,则OA=OD=5-x
:OD⊥BC,AE⊥BC
sin∠ABC=OD、AE
n5-x-3
OB=AB,即x=5
t25
8
当⊙O与AC相切于点F时，则OF⊥AC,过点B作BG⊥AC于点G,
G
B
AB=AC
∴.∠ABC=∠C
324
.'BG=BC.sin C=8x
55
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设OB=x,则OF=OB=x,OA=AB-OB=5-x,
OF∥BG
∴.△AOF△ABG
OF OA
·BGAB
5
120
解得：x=
49
25.120
综上所述，
OB的长是8或49
19.(2026·上海浦东新二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12.点D、E分别在边
3
AC、
BC上，且品的值为子、以E为圆心，BD为半径作圆，如果OE与BC的三边有三个公共点，
那么CD的值为
B
E
36
【答案】4或17
【详解】解：设CD=3x,则CE=4x,
在Rt△DCE中，DE=VCD2+CE2=5x,
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=VAC2+CB2=V5+122=13,
如图1，当⊙E与AB相切时，切点为F,则⊙E与△ABC的三边有三个公共点，
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e-
D
与相切，
E
图1
⊙E
AB
.EF⊥AB,EF=ED=5x,
.∠C=90°
∴∠EFB=∠C=90°，∠B=∠B,
∴.△BFEABCA,
BE EF BE 5x
:BAAC,即5=5，则BB=13x
..BC=BE+CE=13x+4x=17x,
BC=12,
12
六17x=12,解得x
Γ17
36
CD=3x=
17
如图2，当ED=EB时，则OE与△ABC的三边有三个公共点，
A
D
图2
ED=EB
..BC=BE+CE=5x+4x=9x.
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∴9x=12,解得x
3,
.CD=3x=4;
36
综上所述：CD的值为4或7：
题型五：内切圆与切线长定理
点方法
内切圆切点分段问题，本质是“设未知数+切线长相等”列三元一次方程组，是高频基础题。
20.(24-25九年级下上海徐汇阶段检测)如图，把aABC剪成三部分，边AB,BC,AC放在同一直线
I上，点O都落在直线MN上，直线MN∥1.在△ABC中，若∠BOC=124°，则∠BAC的度数为()
M
A
B
A.72°
B.70°
C.68
D.54°
【答案】C
【详解】解：过点O分别作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,如图所示：
M O
Q
A
E
B
D
直线MN∥1，
∴.OD=OE=OF，
∴点O是△ABC的内心，即点O为三个内角平分线的交点，
.∠B0C=124°
∴.∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=56°
:.∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=112°，
:.∠BAC=180°-(LABC+∠ACB)=68°.
故选：C
21.如图，己知PAPB是OO的两条切线，A,B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：
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①PA=PB:②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△ABP的内心.其中所有正确说法的个数是
()
B
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】D
【详解】解：：PA,PB是OO的两条切线，
·PA=PB,∠0AP=∠OBP=90°，故①正确：
.OA=OB,
∴.△OAP≌△OBP,
.△OAP,AOBP关于OP对称，
.OP⊥AB,故②正确：
取OP的中点Q,连接AL,B0,如图所示：
A
B
则40=2OP=B吧，
即：OA=Q0=QP=QB
.以为圆心，A为半径，则B,O,A,P四点共圆，故③正确：
连接AM,BM,如图所示：
B
则∠OAB+∠PAB=∠APM+∠PAB=90°，
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.∠OAB=∠APM,
..OA=OM,
∴∠OAM=∠OMA,
:.∠OAB+∠BAM=∠APM+∠PAM,
∴.∠BAM=∠PAM,
即：AM平分∠BAP:
同理可得：BM平分∠ABP:
∴.M是△ABP的内心.故④正确：
故选：D
22.(24-25九年级下·上海阶段检测)在△ABC中，∠A=80°，⊙0截△ABC三边所得的线段相等，那么
∠BOC的度数是
【答案】130°
【详解】解：如图，点D、E、FG、M、N为⊙O与△ABC的交点，过点O作OK⊥DE,OH⊥FG,
OP⊥MN.
:⊙O截△ABC三边所得的线段相等，
∴.OK=OH=OP.
∴.BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB,
∠CB0=)∠ABC,BCO=ACB,
1
2
2
∠A=80°，
.∠ABC+∠ACB=100°
E∠CBO+ZBCO=)ABC+∠ACB)=50
∠B0C=130°，
故答案为：130°
M
G
23.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,且AD=2,△ABC的周长为
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14,则BC的长为
D
0
B
E
【答案】5
【详解】解：：⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,
.AF=AD=2,BD=BE,CE=CF,
:△ABC的周长为14，
.AD+AF+BE+BD+CE+CF=14,
∴.2(BE+CE)=10
∴BC=5.
故答案为：5，
24.(2025九年级下·上海专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,作BG平
BF
分∠ABC,交4C于点G·以点G为圆心，作OG切AB于点D,交BG于点EF·则EF
G
【答案】
1+5
2
【详解】解：连接DG,
G
B
:在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,
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∴.AB=VAC2+BC2=5,
:∠ACB=90°，CG是⊙G的半径，
.BC是⊙G的切线，
:AB是⊙G的切线，切点为D,
∴.GD⊥AB,即∠BDG=90°，BD=BC=3,
BG平分∠ABC,∠ACB=90°，
..DG=CG.
.AD=AB-BD=2,
设DG=x,则CG=x,AG=4-x,
在RtAADG中，AG=AD2+GD2,
.(4-x2=x2+2,
.DG=3
FG=CG=DG=3
∴.EF=2FG=3,
BG=BC2+CG
2
∴.BF=BG+FG=
.3+3v5
2，
3+35
.BF
2
1+V5
EF 3
2
故答案为：
1+V5
2
25.(2025上海模拟预测)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,以点C为圆心，V5为半径作⊙C.
BE
直线AE和AF都和OC相切(B在P上方)，连接BE、DF,则DF的值为一·
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【容案1号
【详解】解；如图所示，连接AE,AF,AC,
,四边形ABCD是矩形，
.∠ADC=∠ABC=90°，AD=BC=3,CD=AB=4,
∴AC=VAB2+BC2=5:
:直线AE和AF都和⊙C相切(E在F上方)，
、.AF=AE,∠AFC=∠AEC=90,CF=CE=5,
.AF=AE =AC2-CE2=25
如图所示，以点D为原点，以直线CD和直线AD分别为x轴，y轴建立坐标系，则A(0,3),C(4,0),
B(4,3),
设E(m,n),
(m-4}+(n-0)2=(5)
m-0+(n-3)2=(252
[m-22
m-
5
解得{11或∫m=2（舍去)，
n25
n=-1
》
同理可得F(2,-1),
5-g4g可329m-a-01-0r-5
25
.BE
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故答案为：5
B
D
题型六：综合证明与计算
点方法
先由切线得垂直，再找相似或全等，最后用比例或勾股收尾：书写时注意“切线判定”与“切线性质”
方向不能混用。
26.
(2025·上海杨浦·二模)为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设
一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某
一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度），
根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出
不同形状的花圃下半圆形步道的半径.
花圃一：如图1，△ABC是一个等腰三角形的花圃，经测量AB=AC=13m,BC=24m,半圆形步道的圆
心在边BC上：
花圃二：如图2，四边形DEFG是一个梯形的花圃，DG∥EF,经测量DG=9m,EF=27m,∠E=45°，
tanF=2,半圆形步道的圆心在边EF上.（结果保留根号）
G
图1
图2
【详解】花圃一：根据题意得，当半圆与AB,AC相切时，半圆的半径最大，
如图所示，点D即为所求作的圆心：
过点D作DE⊥AB于点E,故DE为半圆的半径
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D
G
D
C
米
图1
图2
AB=AC=13m,BC=24m
由作图得，AD垂直平分BC
.BD=BC =12cm
.AD=AB2-BD2=5(m)
..w-AD-BD-AB-DE
2*13DE
2x5x12=
DE=60
m
13
60
一半圆形步道的半径为13m:
花圃二：根据题意得，当半圆与DE,GF相切时，半圆的半径最大，
如图所示，点A即为所求作的圆心：
过点A作AN⊥HF于点N,过点A作AM⊥HE于点M
E
M
F
图1
图2
:.AM=AN,且AM,AN为半圆的半径
∠E=45°
∴，△MEA是等腰直角三角形
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.'tanF=A
=2
FN
∴，设FN=x,则AM=AN=2x
..EA=22x,AF=AN2+NF2=5x
EF EA+AF =27m
∴.2W2x+V5x=27
解得x=18V2-95
∴.AM=AN=2x=36V2-18√5
“半圆的半径为(36v2-18V5)m
27.(2026上海松江·模拟预测)在直角坐标平面xOy中，已知点A(5,0)、点B0,-5引（如图）.抛物线
4
y=ax2-4ax+
a与y轴交于点c,顶点为D
0L1
B
CP
(1)设直线CD与x轴交于点p,求PD的值：
(2)如果点D在△OAB的内部，求a的取值范围，并用a表示△ADB的面积：
3)是否存在这样的a,使得点D是△ABC的外接圆圆心，如果存在，求这时∠ACD的正弦值；如果不存在，
试说明理由.
【答案】时
9
(2)0<a<
=
1520
3a
4时，点D是△ABC的外接圆圆心，sin乙4CD=Y5
3)存在，且当a=
【解14解：y=-4c+a=a-2
4
-a
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4
30,
令x=0得：y=30:令x=2得：y=
过点D作DE⊥x轴，如图所示：
x=2
D
4
:a为抛物线y=m-4r+
a二次项系数，
.a≠0，
:DE⊥x轴，
DE∥OC,
∴.△COP∽△DEP,
CP_CO
PD DE'
c)2
CP CO
PD DE
(2)解：由(1)得：
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ix-2
E
D
G
F
B
设直线AB解析式为y=c+b,将点A(5,0)、点B0,-5代入得：
5x+b=0
[k=1
b=-5
，解得：
1b=-5
∴.直线AB解析式为y=x-5,
,点D在aOAB的内部，
∴点D只能在线段EF上运动（不包含端点），
:DE⊥x轴，
.E(2,0),
在y=x-5中，令x=2,得：y=2-5=-3,
F(2,-3),
÷要使点D只能在线段EF上运动（不包含端点），则-3<-
3a<0
0<a<
89
过点D作DG⊥AB,
·A5,0),E(2,0),F(2,-3)
AE=5-2=3,EF=0-(-3)=3,即4E=EF,
.∠DFG=45°.
DG=DF_
DF.
√22
3a--3)=3-8
a,
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DG=
3W24W2
2
3a,
:A(5,0),B0,-5,即0A=0B=5,
∴.△OAB是等腰直角三角形，
.AB=5V2,
2
(3)解：由三角形的外接圆的定义可得：点D是△ABC三边垂直平分线的交点，
由(2)得：△OAB是等腰直角三角形，
∴由等腰三角形“三线合一”的性质可得：线段AB的垂直平分线即为二、四象限的角平分线y=一x,如
图所示：
VA
x=2
=x-5
∴点D在直线y=-x上，
将D2代入直线，-得：a=2.解得：a=
∴此时点D为(2，-2)，点C为(0，)，
又点B为0，-5，
·此时BC的垂直平分线为直线y
1+(-5)=-2,
2
∴此时点D也在BC的垂直平分线上，
∴此时DC=DA=DB,
∴以点D为圆心，以DA为半径画圆，即⊙D为△ABC的外接圆，
:△OAB是等腰直角三角形，
.∠CBA=45°，
∴由圆周角定理可得：∠CDA=2∠CBA=90°
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∴.△ADC是等腰直角三角形，即∠ACD=45°，
.sin∠ACD=sin450=
2,
综上：当a-手时，点D是△1BC的外接圆圆心，sm∠4CD=
2
28.(23-24九年级下·上海阶段检测)如图1，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠DAC-37°，AC=10.
点O在边AD上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动.以点O为圆心，OD为半径，在
AD的下方作半圆0，半圆0与AD交于点M,(sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75)
M
D
图1
图2
备用图
(1)如图1，当0D=25时，∠0CD=_,点C到半圆0的最短距离=-：
(2)如图2，半圆O与AC交于点E、F,当EF=6.4时，求扇形EOF的面积？
(3)以AD,DC为边作矩形ABCD,当半圆O与△ABC有两个公共点时，请直接写出线段OD长的取值范
围
【答案】(1)30：2W3
.212
245π
5
3)4
<0D≤8或3<0D<6
【详解】(1)解：连接OC,与半圆O交于点B,
在Rt△DC中，sin∠DAC=DC
,
.DC=AC.sin37°=10×0.6=6
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在Rt△ODC中，tan∠OCD
0D25V5
CD6=3,
.∠0CD=30°
,0C=V0D2+CD2=4V5,
∴BC=0C-0B=4W3-25=2V3,
∴点C到半圆O的最短距离为2√3，
故答案为：30,2V3:
(2)解：过点O作OH⊥EF于点H,连接OF,如图，
D
则EH=FH=)EF=32
2
:∠AH0=∠ADC=90°，∠A=∠A,
.△AOH∽△ACD,
AO OH
:.AC-DC
8-OD OH
10
6
0H=8-0D).
.OH2+HF2=OF2.
[38-0Dj+32=0n2。
解得：OD=4或OD=-13(不合题意，舍去)，
..OM=OA=OD=4.
A,M,E三点重合，
.∠E0F=180°-2×37°=106°
106元×42212元
·扇形E0r的面积=360
45：
(3)解：如图，
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M
B M2
当⊙O与AC边相切于点M1时，O,M,⊥AC,
此时，⊙O与△ABC有一个公共点，
由(2)知：0M1=3;
当OO与BC边相切于点M2时，O2M21BC,
此时，⊙O与△ABC有三个公共点，
∴.OM2=CD=6
:当圆心O在O与02之间时，半圆O与△ABC有两个公共点，
∴.3<0D<6:
当⊙O的圆心O在O2与点A之间时，此时⊙O与△ABC有两个或三个公共点，
当⊙O经过点B时，⊙0与△ABC有三个公共点，
A
.OB2 =0A2+AB2.OB=OD.OA=8-OD.
.0D2=(8-0D}+62,
解得：OD=25
4
当OD=
2
4时，⊙0与。4BC有三个公共点，
5
当4
<OD≤8时，O0与4BC有两个公共点，
5
综上，当半圆O与。4BC有两个公共点时，OD的取值范围是4
<0D≤8或3<0D<6
5
故答案为：4
<0D≤8或3<0D<6
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3
29.(2025上海黄浦二模)己知，在AABC中，4C=5:AB=7cosA
5,D是边AB上一动点，连
C04
接CD:点0在线段CD上，且0OD5,以点0为圆心，C0为半径作o0,交边4C于点E
R A
备用图
备用图
(1)当点D与点A重合时，判断⊙0与边AB的位置关系并说明理由：
EH
(2已知点F在O0上，且CE=CF,EF与边BC交于点H'当EF经过圆心O时（如图），求EF的值：
(3)过点D作DP∥AC,交边BC于点P,当OO与线段DP只有一个交点时，求BD的取值范围.
【详解】(1)解：⊙0与边AB相切，理由如下：
过点C作CT⊥AB于点T,
7
备用图
:在A4BC中，AC=54B=7,cosA=3
AT=AC×cosA=3,
.'.CT=AC2-AT2=4,
产8m=B-4n=4snA=Cg-4,
Ac5,anA=CT4
.BT=CT,
.BC=VCT2+BT2=4V2,
CT⊥AB,
∠B=∠TCB=45°，
过点O作OU⊥AB于点U,
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C04
:OD-5,当点D与点4重合时，
C04
0A5
0-g40,
.sinA=OU 4
AO5
:0U-号40，
5
∴.C0=0U,
而OC为半径，OU为点O到边AB的距离，
:.⊙0与边AB相切：
(2)解：CE=CF,CD经过圆心，
CD⊥EF,
,EF经过圆心O,
..OE=OF=OC,
∴，△OCE为等腰直角三角形，
.∠CEF=45°=∠B,
·∠ECH=∠BCA,
∴.△ECHABCA,
.∠CHE=∠A,
设CO=OE=OF=4k,则EF=8k,
'.tan∠CHE=tanA=
4_0C
3 OH'
..OH=3k,
、EHE0+OH4k+3k7
:.EF
EF
8k8:
C04
(3)解：“0C为半径，OD5,
..OD>OC,
.⊙0一定不经过点D,
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当⊙O与线段DP相切时，如图：
K
D
过点O作OR⊥DP于点R,过点D作DK⊥AC于点K,
..OR=OC.
=sin∠2=sinA,
.∠2=∠A,
,DP∥AC,
∠1=∠2，
.∠1=∠A,
..DA=DC,
DK⊥AC,
.AK=KC,
C
5
.AD=AK
21
25
cosA cosA
6
5
∴.BD=AB-AD=7-
2517
6
6
当⊙O经过点P时，过点O,D分别作OM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N,
÷.CM=MP,OM I DN,
CO CM 4
ODMN 5'
设CM=MP=4x,则MN=5x,
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:PN=x,
.BN=BC-CM-MN=42-9x,
∠B=45°
.BD=
BN
=8-9W2x,
coS∠B
,DP∥AC,
BP BD
∴BCBA'
x+42-9x_8-92x
4V2
7
解得：
4
BD=8-9w2x27
42’
7
当2
BD<7时，符合题意，
综上所述，当O0与线段DP只有一个交点时，2
<BD<7或BD=
6
融汇黄通
较力是化
一、单选题
1.(2024上海虹口二模)在口ABCD中，BC=5,S。D=20.如果以顶点C为圆心，BC为半径作⊙C,
那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是()
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个.
【答案】B
【详解】解：如图，
:在平行四边形ABCD中，BC=5,SBARCD=20,
设点C到AD的距离为d,
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∴.点C到AD的距离d=20÷5=4,
4<5=BC
∴直线AD与圆C相交，即有2个交点，
故选：B
2.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点O在对角线BD上，且⊙O与边AD、CD相切，点P是⊙0与
线段OB的交点，如果⊙P是既与OO内切，又与正方形ABCD的两条边相切，那么关于⊙O的半径r的方
程是(
B
C
A.2r+r.cos45°=1
B.2r+2r.cos45°=1
C.3r+r.c0s45°=1
D.3r+2r.cos45°=1
【答案】C
【详解】解：如图，由内切的定义可知，⊙P的半径为2r,
过点P作PM⊥CD于点M,过点O作ON⊥PM于点N,过点O作OO⊥CD于点O,
.四边形ONM0为矩形，
..ON =OM,
OP=n,∠OPN=45°，
.0N=r.cos45°，
.DO+OM+CM=1.
.r+rC0s45°+2r=1,即3r+rcos45°=1，
故选：C
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2
B
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=18,AC=24,点0在边AB上，且B0=20A.以点0为圆心，r
为半径作圆，如果⊙O与t△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径「不可以取的是()
B
◇
A.6
B.10
C.15
D.16
【答案】C
【详解】解：∠C=90°，BC=18,AC=24,
∴AB=VAC2+BC2=30,
.B0=20A,
∴.0A=10,0B=20,
过O分别作OD⊥AC于D,OE⊥BC于E,
∴.∠BEO=∠C=∠AD0,
∠A=∠A,∠B=∠B
∴.△BEO-△BCA,△AOD-△ABC,
BO OE
AO OD
·BMAc,ABBC
20_0E10_OD
30-24,3018’
∴.0E=16,0D=6,
当⊙0过点C时，连接OC,根据勾股定理得0C=VOD2+CD2=273,
如图，'以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，
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.r=6或10或16或2√73，
故选：C
1
4.(25-26九年级下上海阶段检测)如图，AMBC中，AC=AB=8,c0sB=4分别以点C、A为圆心
作圆C、圆A,有两个命题：①若圆C与边AB有唯一公共点，则圆C半径的取值范围是4≤：≤8；②若
圆A与圆C外切于点E,过点E作AC的垂线交三角形的其它边于点D,则线段DE的取值范围是
0<DE≤√5.关于这两个命题说法正确的是()
A.命题①正确，命题②错误
B.命题①错误，命题②正确
C.命题①，②都正确
D.命题①，②都错误
【答案】B
【详解】解：过C作CH⊥AB于H,
HA------
C.AB=AC=8
∠B=∠ACB.
在R△BCH中，cosB=0-1
BC 4'
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设BH=x,
则BC=4x,AH=8-x
根据勾股定理得C+(8-x}=64,
解得x=1,
则CH=15,BC=4,
圆C与AB有唯一交点时，：=V5或4<≤8，命题①错误
圆A与圆C外切于E,
则A,E,C共线，DE⊥AC,
当D在BC上且DE最长时，
DE最大值为V15,又DE>0,
故0<DE≤V5,命题②正确。
5.(2025:上海模拟预测)在四边形ABCD中，AD川BC,∠ABC=90°，AB=4,BC=4,AD=1.点
O是边CD上一点，如果以O为圆心，OD为半径的圆与边BC有交点，那么OD的取值范围是()
.5
A.2≤OD≤3
20
5
B.9
≤OD≤
2
c
20s0Ds8
20
26
0.
sODs9
9
26
【答案】C
【详解】解：如图1，过点D作DH⊥BC于H,
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BH E
图1
AD=BH=1,AB=DH=4,HC=4-1=3,
在Rt△DHC中，CD=V32+42=5,
当⊙O与BC相切时，此时⊙O与线段BC有一个公共点，此时半径最小，
设OD=0E=x,则OC=5-x,
在RACOE中，smC=OE-DH_4
OC DC 5'
:0B=专5-，
4
6-9,
4
由0D=0E得，x=
20
解得x=
如图2，当以OD为半径的OO过点B时，半径最大，过点O作OF1BC于F,
A D
图2
设OD=OB=y,则OC=5-y,
在R△cOr中，simC=OE=DH4
OC DC 5'
0r-6-功4
3,心=5-叨=3
5,
3
:BF=4-FC=1+3,
在RtABOF中，由勾股定理得，BF2+OF2=OB
0+写+4-=.
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85
85
解得y=
26，
即⊙0的最大半径为26
所以当以O为圆心，OD为半径的圆与边BC有交点，那么OD的取值范围为
OD5
20
26
故选：C
二、填空题
6.(24-25九年级下·上海阶段检测)如图，己知∠PO0=30°，点A、B在射线00上（点A在点0、B之
间)，半径长为4的⊙A与直线OP相切，半径长为10的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是
P
【答案】8<OB<14
【详解】解：设切点为点D,
P
D
则由题意得，
Q
AD⊥OP
∠PO0=30°，.OA=2AD=8,
:半径长为10的⊙B与⊙A内含，.AB<R,-R,.AB<10-4=6,0B<8+6=14,
点A在点O、B之间，
.OB>8,
∴.8<0B<14,
故答案为：8<OB<14」
7.(24-25九年级下上海阶段检测)如图，已知⊙P的半径为1，圆心p在抛物线y=
2-1上运动，当
2
⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为一·
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【答案】(2，)或(-2,1)或(0，-)
【详解】解：：⊙P的半径为1，⊙P与x轴相切，
∴.点P的纵坐标为±1，
当y=1时1-1，
解得x=+2,
÷点P的坐标(2，)或(-2，)：
当y=1时，1=2-1，
解得x=0,
∴点P的坐标为(0，-)，
综上，点P的坐标为(2,1)或(-2，)或(0，-1)，
故答案为：(2,1)或(-2,1)或(0，-1)」
8.(24-25九年级下·上海·阶段检测)在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，如果大圆的弦长为8cm,
那么这两个圆所形成的圆环面积为_cm.
【答案】16m
【详解】解：如图，令大圆的弦AB与小圆相切于点C,连接OC并延长交大圆于点D,连接OA,
:AB与小圆相切于点C,
OC⊥AB,
.AB=8cm,
AC=24B-4cm
设大圆的半径为Rcm,小圆的半径为rcm,
由勾股定理得：OA2-OC2=AC2,
R2-r2=16,
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:圆环面积为πR2-πr2=π(R2-r2）=16πcm2,
故答案为：16π.
D
9.(24-25九年级下·上海阶段检测)如图，已知扇形A0B的半径为18，圆心角为90°，E是半径OA上一
点，F是弧AB上一点.将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧AF恰好与半径OB相切于点G,若
OE=10,则O到折痕EF的距离为，
B
【答案】3v10
【详解】解：如图，过点G作OG的垂线，交AE的延长线于O,连接OO交EH于H,连接AO,则点
、G、F在以点O为圆心，O'G为半径的圆上，
由折叠的性质可得：AF=AF,
:⊙0与⊙0是等圆，
∴.0'G=0A,
.AO⊥OB,O'G⊥OB,
A0∥O'G
∴.四边形AOG0为矩形，
.AO⊥A0,
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.'.AO'=EO"-AE
.A'E=AE,O'A'=O'G=0A.
∴.EO'=EO,
OE=10,扇形AOB的半径为18，
.AE=8,EO'=10
A0=6
∴.00=VA02+A02=6V10
连接AA',由折叠的性质可得AA'⊥EF,
,∠AEA'=∠OEO',∠AAE=∠AAE,∠EOO'=∠EO'O,
∠AEA+∠AME+∠A'AE=∠OEO'+∠EOO'+∠EOO=180°，
∴.∠AA'E=∠EOO,
.AA∥00，
OO'⊥EF,
..OH =O'H,
:0H=00=30】
.O到折痕EF的距离为30，
故答案为：3V10
10.如图，己知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,动点N从点C出发，沿着CA方向以1个单位
长度/秒的速度匀速运动，同时动点M从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，
设运动时间为t秒(0<t≤2.5)，以M为圆心，MA长为半径的⊙M与AB的另一个交点为点D,连接
DN,当⊙M与线段DN只有一个公共点时，t的取值范围是
M
C
【答案】0<1s820
7或13
2
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【详解】解：：∠ACB=90°，AC=4,BC=3,
AB=VAC2+BC2=V42+32=5,
当⊙M与线段DN只有一个公共点时，分两种情况：
①点M从运动开始一直到DN与OM相切时：
当DN与⊙M相切时，则∠NDA=90°，
4
M
由题意，得：CN=AM=t,
.AW=4-4,AD=21,
∠A=∠A,∠NDA=∠ACB=90°，
∴.△ADN△ACB
猫0助号名
4-1_2t
8
·t=78
:当0<15号时：DN与0M见有一个交点：
②当⊙M恰好过点N时，如图，连接MN,则：AM=MD=MN,
A
B
C
·.∠MDN=∠DNM,∠MNA=∠NAM
:∠ADN+∠MND+∠AWM+∠NAM=2(∠MND+∠ANM）=2∠AWD=180°
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.∠DNA=90°，
..CN=AM=t,
AN=4-4,AD=21,
:∠A=∠A,∠DNA=∠ACB=90°.
.△AWND∽AACB
AN AD
4-t2t
∴AC=AB,即4=5，
解得：1=20
13’
:0<1s
,
0
:当
2时，满足题意：
820
综上所述，t的取值范围为0<t≤
或g<1s
:
故答案为0<1≤820
7或13
1s5
-2
11.(2025九年级下·上海专题练习)如图，AB⊥CD于点O.作半径为r的⊙0和其内接三角形EFG,
F在CD上，EG⊥CD,∠EFC=∠GFC=30°.连接并双向延长OE.在AB下方作⊙O切线马，满足
(∥OE,切点为点H,交OD于点1.在CD右侧作过点I的⊙0切线，交OE于点J.连接W.若
EH=√2，则HW的长度是一
C
0
B
D
【答案】
v21
3
【详解】解：如图：连接OH,
.∠EFC=∠GFC=30°，EG⊥CD,
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:.EF=FG,∠EFG=∠EFC+∠GFC=6O°
O
B
D
∴.△EFG是等边三角形，
:⊙O和其内接三角形EFG,
∴∠EOF=120°
.∠EOA=∠EOF-∠AOF=30°，∠EOC=60°，
4为⊙0的切线，
∴.∠0H=90°，
4∥0E
∴.∠H0=∠I1OJ=∠AOC=60°，∠EOH=∠OHⅢ=90°
..EO=OH,
∴.△EOH是等腰直角三角形，
÷OB=0M=sin45EH=2
H=1,
2
:∠HOI=∠HOJ-∠IOJ=∠30°，
:m=m30°.0H=50H=5
3
3
12为⊙0的另一条切线，
.∠0W=∠0IH=60°，
.4∥OE、
∴∠10J=∠0IH=60°
.∠10J=∠0W=60°，
∴.△1OJ是等边三角形，
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÷0W=W=01=2Hm=2
3
∴HJ=VOH2+OJ2
+
23
√2i
3
3
√21
故答案为：
3
12.(24-25九年级上·上海·自主招生)已知开口向上的二次函数f(x)的顶点为D,且与x轴交于A,B两
f(x)
点，与y轴交于点C,若。MBC的外接圆与y轴相切，且∠ADB=150°，则x的最小值是
【答案】2-2W6+2W2
【详解】解：如下图所示，设二次函数解析为y=a心+br+c(a≠0)，
由题意可知CG=AG=BG=-
2a'CG⊥OC,DG⊥AB:
设方程a2+bx+c=0的两个根为x、x,其中，<2，
则+5=6
a
·AB=为-x=V(x+x2-4xx2=
√b2-4ac
∴AH=VB2-4ac
2a
在Rt△AHG中，AH2+HG=AG2,
即
4a2
4a2,
解得：ac=1,
又∠ADB=150°.
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.∠ADH=75°，
在△AHD中，∠AHD=90°，∠ADH=75°，
∠DAH=15°，
如下图所示，作∠MDH=60°，则∠ADM=∠A=15°，
∴.MA=MD,∠DMH=∠A+∠ADM=30°，
设HD=x,则MD=2DH=2x,
:.MH=(2x)-x=3x.AM=MD=2x
∴AH=AM+DM=2x+V3x,
A
M
H
D:AH:DH=(2x+3x):x=2+3
即Bac:4c-2+5.
2a
4a
解得：b=2V6-2√2，
f(x)_ax2+bx+c
m+C+b(x>0)
x
-ax-5-b(x<0)
当x>0,m+C+b≥2ac+h=2+2W6-2W2,
当x<0,-ax-￡-b≥2ac-b=2-2W6+2W2.
故最小值为2-2V6+2√2
故答案为：2-2√6+2√2.
三、解答题
13.(23-24九年级下·上海自主招生)已知I是△ABC的内心，AI交BC于D,交⊙0于E,AE=8,AI=4
,求DE长度
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E
【答案】2
【详解】解：连接BI,
:AE=8,A=4,
.IE=4,
I是△ABC的内心，
:.∠BAE=∠CAE,∠ABI=∠IBD,
,∠CAD和∠DBE都对应弧EC,
∴∠CAD=∠DBE.
又：∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=IBE.
∴.BE=IE=4.
:∠CAD=∠DBE
∴.∠BAE=∠DBE,
又∠AEB=∠BED,
△ABE∽△BDE,
AE BE
·BEDE'
DE=
BE2 IE2 16
LAE AE82
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E
14.(2025上海松江·二模)如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，点0在边BC上，以0为圆心，
OC为半径的圆与边AC交于点D,与边AB相切于点E.
E
B
(1)当BC=12时，求⊙0的半径长；
AD
(2)求CD的值.
【答案】(1)4
a时
【详解】(1)解：⊙0与AB边相切于点E,
.AB⊥OE,
∴.∠OEB=90°，
∠B=30°，OE=OC,
∴0B=20E=20C,
.OB+OC=BC=12.
.20C+0C=12.
.0C=4,
∴.⊙0的半径长为4。
(2)解：连接OD、ED,则OD=OC=OE,
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E
D
:∠OEB=∠A=90°∠B=30°
∠B0E=∠C=90°-∠B=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴.∠COD=60°，CD=OD,
∠DOE=180°-∠COD-∠BOE=60°，
∴.△EOD是等边三角形，
∴.∠OED=60°，DE=OD.
÷∠AED=180°-∠OED-∠OEB=30°，
:.AD=1ED
2
ED=OD=CD.
AD 1
.CD 2'
AD
D的值为
15.(25-26九年级上上海宝山期末)如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线
上，PC与半圆相切于点C,与OF的延长线相交于点D,AC与OF相交于点E,DC=DE.
0
B
(1)求证：OD⊥AB:
OP CP
2)若OB=DE,求证：D02=A0.0P
【详解】(1)证明：连接OC,
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D
B
DC=DE
∠DCE=∠DEC
:PC是切线，.OC⊥CD,即∠DCE+∠ACO=90°，
:OA=OC,.∠OAC=∠AC0,
,∠DCE=∠DEC,∠AEO=∠DEC,.∠AEO+LCAO=90°，
.∠AOE=90°，.OD⊥AB:
(2)证明：连接0C,
D
根据解析(1)可得：
B
OD⊥AB
∴∠D0P=90°，.∠D0C+∠COP=90°，
:PC是切线，.OC⊥CD,.∠OCD=∠OCP=90°，
.L0DC+LD0C=90°，.∠ODC=∠COP,
DC OC OD
AODCAPOC OC=CP-OPOC2=DC.CP'
OP CP
OP CP
OB-DE'DC-DE OC=0BOCDC
OP OC OC OD OP OD OC OD
CP-DC CP-OPCP-OC DC-OC
:.OC2 =OD.DC,OC2 DC.CP,..OD.DC=DC.CP,
OC OD OC OD
∴OD=CP,Cp=oP,0D-OP,·0D2=0C.0P
.AO=OC,..OD2=AO.OP
16.(24-25九年级下上海阶段检测)如图，已知⊙C的圆心在x轴上，且经过A(,0)、B(-3,0)两点，
抛物线y=mr+br+c(m>0)也经过A、B两点，与y轴的交点为D,顶点为P.
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B
A
D
(1)求点D和P的坐标（用含m的代数式表示）：
(2)连接PB、PD,当m=1时，求∠BPD的正切值：
(3)当m为何值时，直线PD与⊙C相切？
【答案】(1D(0,-3m）,P(-1,4m):
(2)tan∠BPD=3:
)当m=3
时，直线pD与oc相切。
【详解】(1)解：~抛物线y=mr+br+C(m>0)经过A(,0）、B(-3,0)两点，
抛物线的对称轴为直线x=
2
6
=1,
2m
∴.b=2m,
将A,0)、B(-3,0)两点代入解析式得：
[m+b+c=0
9m-36+c=0:解得：c=-3m,
∴y=mx2+2mx-3m(m>0)」
当x=0时，y=-3m；当x=-1时，y=m-2m-3m=-4m;
则D(0,-3m）,P(-l,-4m):
(2)解：如图，连接BD,
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B
A
D
由(1)可知，D(0,-3m）,P(-l,-4m):
当m=1时，则D(0,-3),P(-1,-4)
B(-3,0),
BP=2+4=25,DP=VP+P=V2,BD=32+32=32,
:.BP2 DP2+BD2,
∠BDP=90°，
ian∠BPD=B
Dp=3:
(3)解：A(1,0)、B(-3,0)
AB=4,
:CC的圆心在x轴上，且经过A、B两点，
..BC=AC=2.
C(-1,0)
由(1)可知，D(0,-3m）,P(-l,-4m).
:.CP=4m,DP=+m,
设点C到直线DP的距离为h,
则S.am=2CPk-2DPh,
4mx1=1+m2.h,
4m
.h=-
m2+1?
:直线PD与OC相切，
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4m
h=2:即m+2,
解得：m=
3或ms-3
3
(舍)，
即当m=
3时，直线pD与oC相切.
17.(2425九年级下上海虹口阶段检测)如图，在平面直角坐标系x0中，抛物线y=-
)x2+bx+c与
转负半轴交于点4，与x箱正半轴交于点及，与轴正半轴交于点C,已知40=0C-0B
环
A
(1)求b、c的值：
2将抛物线y=弓++c平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点卫
①如果平移后的新抛物线经过D(4,)点，且它的对称轴与以0为圆心，OP长度为半径的⊙0相切，求平
移后新抛物线的解析式：
②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E,使得∠OCE=∠CBA,记点E在新抛物线上的对应点为F,如果
点F在CE的延长线上，且OP=3OB,求平移后的新抛物线的顶点坐标.
1
【答案】(1)b=2,c=1
523
a0y=7+3x-3:②38
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【详解】(1)解：令x=0时，y=c,即C(0,c),c>0
∴.OC=c,
×40=0C=)0B,
∴.A(-c,0),B(2c,0),
将4-e0,B2s0代入y=+i+c,
[_1c2-bc+c=0
2
1
得：
b=
2x(2c'+2bc+c=0
解得：
29
c=1
1
即：b=
2’c=18
(2)①设平移后的解析式为y=2+mr+m,且经过D(4,1),
×平+4m+n=l,即：n三9-4m9
令x=0,则y=n,即：P(0,n).
又·P(0,n)在y轴负半轴，则n<0,即9-4m<0,
9
0p=-n:m>4
4
m
X=-
=m
平移后的对称轴为直线
1
2×
-2
:它的对称轴与以O为圆心，OP长度为半径的⊙O相切，
∴.m=-n,即m=-(9-4m）.
解得：m=3,则n=-3,
1
∴.平移后新抛物线的解析式y=-亏x2+3x-3；
2
②连接CE交x轴于M,
由)可原的线解析式为=方++1=一+
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1
:A0=OC=5OB=1,
六OB=2,则am∠CBA=0C=1
OB2
“∠0CE=∠CBA,则tm∠0CE=iam∠CBA=)O%
20C
设直线cE的解析式为y=和+4代入M[0,C0):
1
k+b=0
得
2
,解得：
k=-2
b=1
b=1
∴直线CE的解析式为y=-2x+1,
y=-2x+1
可得：
y=-)x2+x+1:解得：
1
1
x=0或x=5
2
2
y=1y=-9
÷E(5,-9)
B
.G
过点F作FG⊥EG,则FG∥y轴，
∴.LEFG=LOCE,
EG
设EG=1,则FG=
an∠EFG
=2,
∴，新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，
即，新抛物线解析式为：y=
-x-1-+9-24
-x-
228
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又，0P=30B=6,
解得：4=2,6=-7（舍去），
:平移后的新线解行式为)=-2小+名4=引公
/523
·新抛物线的顶点坐标为2一8
18.(23-24九年级下·上海徐汇阶段检测)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,6),点B(1,3),直线
:y=kx(k≠0)，直线：y=-x-2,直线马经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P,且与l2相交于点C,直
线h与x轴、y轴分别交于点D、E,若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2上（此时抛物线的
顶点记为M)，再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线马上（此时抛物线的顶点记为N),
YA
(1)求抛物线y=x+bx+c的解析式.
(2)判断以点N为圆心，直径长为6V2的圆与直线2的位置关系，并说明理由.
(3)设点F、H在直线上（点H在点F的下方），当△MHF与△OAB相似时，求F、H的坐标（直接写
出结果)
【详解】(1)解：把点A、B坐标代入y=x2+bx+c得：
c=6
b=-4
3=1+b+e:解得：c=6·
则抛物线的表达式为：y=x2-4x+6:
(2)以点N为圆心，直径长为6W2的圆与直线2相切，理由如下：
y=x2-4x+6=(x-2)2+2,
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故顶点坐标为(2,2)，
把点P坐标代入直线表达式得：2=2k,即k=1,
∴直线表达式为：y=x,
设：点M(2,m)代入直线2的表达式得：m=-4,
即点M的坐标为(2，-4)
设：点N(n,-4)代入直线马表达式得：n=-4,
则点N坐标为(-4,4)，
同理得：点D、E的坐标分别为（-2,0)、(0，-2)、
y=x
x=-1
联立1，得=-x-2,解得：
y=-1即：点c的坐标为(-L,-)
÷0C=√1-02+(1-0=2，CE=2=0C,
:点C在直线y=x上，·∠C0E=∠0EC=45°，
∠OCE=90°，即：NC11,
NC=V(-1+4)2+(-1+4)2=3V2.
以点N为圆心，直径长为6W2的圆
以点N为圆心的圆的半径为
∴以点N为圆心，半径长为4的圆与直线2相离：
62=32
2
∴以点N为圆心，直径长为6√2的圆与直线h2相切：
(3)解：①当点F在直线2下方时，
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L
B
K
D
E
F/a
设：∠OBK=Q,点A、B的坐标分别为(0,6)，(1,3)，
则AO=6,AB=B0=V10,
过点B作BL⊥y轴交于点，则an∠0AB={,sin∠0AB=
3
V10:
OK=A0sin∠OAB=1
v10i sina=OK_3
6
=×6
OB 5'
:等腰△MHF和等腰aOAB相似，
∠HFM=∠ABO,则∠KBO=∠OFM=a,
点C、M的坐标分别为-山，)、(2，-4)，
则CM=32,FM==52,CF=4N2
sina
OF=OC+FC=5V2,则点F的坐标为(-5，-)，
FH=FM=52,
OH=OF+FH=10W2,则点H的坐标为(-10，-10)：
②当点F在直线2上方时，
同理可得点F的坐标为（⑧，8），点H的坐标为(3,3)或(-10，-10)：
故：点F、H的坐标分别为(-5，-5)、(-10，-10)或(8,8)、(3,3)或(8,8)、(-10，-10)，
19.(23-24九年级下上海杨浦阶段检测)如图，∠BA0=90°，AB=8,动点P在射线A0上，以PA为
半径的半圆P交射线AO于另一点C,CD∥BP交半圆P于另一点D,BEI‖AO交射线PD于点E,
EF⊥AO于点F,连接BD,设AP=m.
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B
E
D
C
(1)判断直线BD与圆P的位置关系并说明理由
(2)在点P的整个运动过程中，当点P为线段AF三等分点时，求出所有符合条件的的值.
5
3B)在点P的整个运动过程中，当an∠DBE=2时，请直接写出。CDP与。BDp面积比.
【详解】(1)解：直线BD与圆P相切，理由如下：
.PA=PC=PD
.∠PDC=∠PCD
CD∥BP.
∴.∠BPA=∠PCD、∠BPD=∠PDC,
.∠BPA=∠BPD,
.BP=BP,
∴.△BAP2ABDP,
.∠BDP=∠BAP=90°，
.BD⊥PD
:PD为半径，
∴.BD为圆P的切线；
(2)如图1，当点C在AF的左侧时，
~点P为线段AF三等分点，且AP=PC,
.AP=PC=CF,
∴.AF=3CF,
,则
图1
.AF=3CF
AC=2CF
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∴.CF=AP=PC=m,
∴.PF=2m,
∠APB=90°-∠ABP,∠EBP=90°-∠ABP,
∴.∠APB=∠EBP,
由(1)可知△BAP≌aBDP,
.∠APB=∠DPB,
∴.∠EBP=∠DPB,
:.BE=PE,
∴.PE=BE=AF=3m,
在Rt△PEF中，由PF2+EF2=PE2可得(2m)2+82=(3m)},
8V5
解得：m=
(负值舍去)：
如图2，当点C在AF的右侧时，
E
D
点P为
的三等分点，
P
0
图2
AF
(P)
∴3PF=AF,
AP=PC
:PF-PC+PF),整理得：PC-2PF
∴.PF=CF,
.AF =3CF,
∴.AC=4CF,
.CF-TAP-3PC-7m
1
21
2
11
1
3
PF-m-2m-7m,PE-BE-4F-m+zm
2.
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3
在Rt△PEF中，由pF+EF2=PE可得（吃m'+8=(m,
解得：m=4V2(负值舍去)：
85
综上，m的值为5或42：
(3)如图3，过点D作DG⊥AC于点G,延长GD交BE于点H,
H
P
图3
·.·△BAP≌△BDP
Sr=SBMP=)AP·AB,
1
又'Scp=
PCDG,且AP=PC
1
PC.DG
S.CDL=
DG
SBDP
P:AB
1
AB'
当点D在矩形ABEF的内部时，
由tan∠DBE-
DH 5
BH12可设DH=5x、BH=12x:
则BD=BA=GH=13x,
∴.DG=GH-DH=8x,
S.CDL DG=8x8
则S。BDP
AB13x13:
如图4，当点D在矩形ABEF的外部时，
D
E
hh
GF
P
图4
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由tan∠DBE=
DH 5
BH=12可设DH=5x八BH=12x
则BD=BA=GH=13x,
..DG=GH+DH=18x,
S.CDL DG 18x18
则S,mAB13xi3
818
综上，ACDP与ABDP面积比为13或3
20.(25-26九年级下·上海开学考试)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm,AB=20cm,动
4
点D由点C向点A以每秒1cm速度在边AC上运动，动点B由点C向点B以每秒3cm速度在边BC上运动，
若点D、点E从点C同时出发，运动t秒(1>0)，连接DE.
图1
图2
(1)求证：△DCE∽△BCA:
(2)如图2，设经过点D、C、E三点的圆为⊙P:
①当⊙P与边AB相切时，求t的值：
②在点D、点E运动过程中，若⊙P与边AB交于点F、G(点F在点G左侧)，连接CP并延长交边AB于
点M,连接PF,当△PFM与△CDE相似时，求CE的长
【解1uE明：由题意得：D=C-子，
∠C=90°，AC=16,AB=20:
.CB=V202-162=12,
4
CD1,CE31:
CB12AC1612
CD CE
·CBAC'
又，∠C=∠C=90°
:.△DCE∽△BCA
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(2)①连接CP并延长CP交AB于点H,
A
:∠ACB=90°，
DE是OP的直径
∴点P为DE中点，
:CP=DP=PE=DE」
.∠PCE=∠PEC,
△DCE∽△BCA,
∠CDE=∠B,∠A=∠CED,
,∠CDE+∠CED=90°，
∴.∠B+∠HCB=90°
CH⊥AB:
:⊙P与边AB相切，
∴点H为切点，CH为⊙P的直径，
.sinA=CHI_CB
CH 12
CAAB
即16-20
CH=48
,
.DE=CH=
5
CD 12
.sinA=sinCED=
CD-CB,即4820，
DE AB
5
:CD=144
25·
1l4
25·
0<t≤16
②由题意得
3s12解得
4
0
0<t≤9
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48
由①得CM=
cP=DE=6,
5
CM⊥AB
.PM-4-51 PF=CP=51
56
6,∠PMF=90°，
.∠ACB=∠PMF=90°
∴，由△PFM与△CDE相似可得：
5,48_51
情况一：PFPM得5，
5三5,6-解得：36)
DE CD 3
t=
5
5,485
-t
情况二：
PF=PM得8=56
6
4,解得：，32：
I=
DE CE 3
31
5
或136
六综上所达：当△PFW与ACDE相似时，1=号
21.(2025北京顺义二模)在平面直角坐标系xO少中，对于⊙0和图形W,给出如下定义：若图形W上
任意两个不同点P,Q,⊙0上存在两点A,B,使得PA=QB,则称图形W为⊙0的“平衡图形”
M
O
G
图1
图2
(1)如图1，⊙0的半径为1
①点c20yc0》
C(,0)D(-1)D(2)D(4,0)在线段CD,:C,D,'CD,中，线段
是⊙0的“平衡图形”：
②若直线y=V3x+b(b>0)与坐标轴交于点E,F,线段EF为⊙O的“平衡图形”.则b的取值范围是
(2)如图2，
点G(子5，-3M0,4M6=3列：若AG是O0的“平衡图形”，直接写出o0的半
径r的取值范围。
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【答案】(1)①CD,C2D2:②0<b≤4
r-
【详解】(1)解：①设线段CD上点C到⊙O的距离为c,
1≤d6≤3
设线段CD上点D到⊙O的距离为4n,
×D(-1,1)
0D,=2,
2-1≤dn≤2+1g
∴.线段CD上任意一点到⊙0的距离d,满足1≤d4≤V2+1,
:线段CD上存在任意两个不同点P,O,使得PA=B,则线段CD为⊙O的“平衡图形”：
设线段C2D2上点C2到⊙O的距离为46，
1
设线段C2D2上点D到⊙O的距离为n,
D(1,2),
∴0D,=V5,
V5-1≤d≤V5+1,
线假C八上任意一点到0O的距离4满足5-1s4≤，
:线段C,D上存在任意两个不同点P,2,使得PA=QB,则线段CD为⊙0的“平衡图形”：
设线段CD,上点C到⊙O的距离为%，
.0≤d6,≤2.
设线段C3D上点D3到⊙O的距离为dn,
D(4,0)
3≤d,≤5，这两个距离范围没有公共部分，
.线段CD上不存在任意两个不同点P,,
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使得PA=QB,则线段CD不是⊙O的“平衡图形”：
综上所述，线段CD、C,D是⊙0的“平衡图形”：
故答案为：CD、C,D:
②解：设直线y=3x+b(b>0)与y轴交于点F:
当x=0时，y=b,
当y=0时，=-56，
3
0E=
2b,
3
OF=b'
b
∴.tan∠FEO=
3
5
b
3
∴.∠FE0=60°，
∠EFO=30°，
当线段EF完全在OO内时，线段EF上任意一点P到OO的距离d满足1-OP≤d≤1+OP,即只要这个图
形都在⊙O内这个图形上所有的点都符合题意，此时0<b<1:
当线段EF上点F在⊙O上时，任意一点P到⊙O的距离d满足0≤d≤2，b=1时也符合题意，
当线段EF一部分在⊙0内，一部分在⊙0外时，点F到⊙0的距离4r满足b-1≤d,≤b+1,
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当EF与OO相切时.如上图所示：此时b=2,
.1≤dr≤3；
当线段EF全部在⊙O外时，如图所示：
P
作OR1EF于B,
片点乃到00的距离d,满足-1s4,≤+1，
2
点F到⊙O的距离d5满足b-l1≤de≤b+1,
:6-1≤+1时符合题意，即6≤4
综上所述，0<b≤4，
故答案为：0<b≤4：
(2)解：设直线GM为y=mx+n,
将9(35.-3）M04f入
n=4
得Bm+n国
「m=√5
解得
n=4’
y=V3x+4:
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点N(6,-3),
0N=V62+(-3}=3V5,
①当⊙0在△GMN内时，
由题意可知，若△GMN是⊙O的“平衡图形”，则△GMN上任意一点P到⊙O的距离p满足
OP-r≤dp≤OP+r,
M
Sh
作OS⊥GM于g,由上题可知：OS=)oM=2,
.GM上点S到⊙0的距离d,满足2-r≤d,≤2+r,
△GMN上任意-点P到⊙0的距离dr满足3W5-r≤dnm≤3V5+r,
35-2+r时将合题直，即r经5-1
②当⊙0在△GMN时，
M
(P)SA
(9
同①可得：PAnx=2+0Bm=r-3N5
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∴.r-3V5<2+r,即此时r可以无限大；
综上所述，若△GMN是O0的“平衡图形”，OO的半径，的取值范围是r≥)5-1.
2
80/80
考点02 直线与圆的位置关系
考点一：直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
图示
公共点个数
2
1
0
公共点名称
交点
切点
/
直线名称
割线
切线
/
圆心O 到直线l 的距离d 与半径r 的关系
d<r
d=r
d＞r
等价关系
d<r 直线l 与
⊙ O 相交
d=r 直线l 与
⊙ O 相切
d>r 直线l 与
⊙ O 相离
要点说明：
1.“公共点个数”是几何定义，“d与r的大小关系”是代数刻画，二者等价，解题时按需选用。
2.d是点到直线的距离，即垂线段长度，不是圆心到直线上任一点的距离。
3.直线与圆“有公共点”包括相交与相切两种情形，共1个或2个公共点，不能误答为“只有一个”。
考点二：切线的判定
定理内容：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
两个条件（缺一不可）：
① 直线经过半径的外端（即直线与圆有公共点）；
② 直线垂直于这条半径。
三种常用判定方法：
1.定义法：与圆有且只有一个公共点（多用于直观判断，证明中较少单用）。
2.数量法：圆心到直线的距离等于半径。
3.判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
【两大判定模型——必考大题模板】
模型
适用场景
辅助线做法
证明目标
模型一
有交点
题目明确告知直线与圆
有公共点（点在圆上）
连接圆心与公共点
（得到半径）
证明半径与直线垂直
（证 90°）
模型二
无交点
未告知公共点
（不知是否在圆上）
过圆心作直线的垂线
（垂足为 H）
证明垂线段 OH = r
（证距离等于半径）
考点三：切线的性质
定理内容：圆的切线垂直于过切点的半径。
几何语言：
【核心结论——知二推一】
一条直线若满足以下三个条件中的任意两个，必推出第三个：
① 垂直于切线；
② 过切点；
③ 过圆心。
【辅助线口诀】见切线，连切点，得垂直。
题目中只要出现"切线"二字，第一反应就是连接圆心和切点，立即得到 90° 直角，从而构造直角三角形，激活勾股定理、三角函数、相似等工具。
考点四： 切线的作法与切线长定理
切线与切线长的区别：
切线：直线，不可度量长度；
切线长：圆外一点到切点之间的线段长度，可以度量。
注意：只有圆外一点才有切线长，圆上、圆内的点不存在切线长。
定理内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
几何语言：
切线长定理的基本图形（PA、PB为切线）：
PA=PB；
OP垂直平分弦AB（即OP⊥AB且平分AB）；
四边形OAPB中有一组对角为直角，可借助勾股与三角函数计算。
考点五： 三角形的内心与内切圆
三角形内切圆
三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形
三角形的内心
概念
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
性质
三角形的内心到三角形三条边的距离相等，等于其内切圆的半径
三角形外心、内心的区别
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
三角形的内心到三角形三条边的距离相等
位置
外心不一定在三角形内部
内心一定在三角形内部
角度关系
∠ BOC=2 ∠ A
∠ BOC=90° +∠ A
题型一：判断位置关系
1．（24-25九年级下·上海虹口·阶段检测）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交
C．相离或相切 D．相切或相交
2．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
3．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（ ）
A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交
C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离
4．（24-25九年级下·上海·阶段检测）已知同一平面内有和点A与点B，如果的半径为，线段，线段，那么直线与⊙的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切
题型二：由位置关系求参数范围
直角三角形斜边上的高用“等面积法”最快：h=两直角边之积÷斜边。
5．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
7．（2026·上海青浦·二模）在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________．
9．（24-25九年级下·上海徐汇·阶段检测）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是____________．
10．（1）如图，已知矩形中，，，O是上一点，，且的半径长为2，则线段与没有公共点时的取值范围为__________；
线段与有两个公共点时的取值范围为__________．
（2）已知中，，，，以C为圆心作，则如果与斜边有且只有一个公共点，那么的半径长R的取值范围__________；
如果与斜边有两个公共点，那么的半径长R的取值范围__________；
如果与斜边没有公共点，那么的半径长R的取值范围__________；
题型三：切线证明
“连半径、证垂直”的关键是证平行，常借助等腰三角形与角平分线构造等角。
11．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，是的直径，弦与相交于点E．点D为的中点，过点D作，交的延长线于点F．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的半径．
12．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知中，，过点作，且，连接交于点．
(1)求的长
(2)以点为圆心，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
13．（23-24九年级下·上海·阶段检测）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，在上，连接，若．
(1)判断CD与的位置关系，并说明理由
(2)若，，求的长
14．（2024·上海·模拟预测）如图，是⊙O的直径，是弦，点E在圆外，于D，交于F，连接，，，．
(1)求证：，并判断直线与的位置关系．
(2)求证： ．
题型四：切线性质计算
15．（2026·上海松江·模拟预测）已知矩形，是对角线上一点，以点为圆心、为半径画圆，如果圆与矩形的边、所在的直线都相切，那么的值为（ ）
A．； B．； C．； D．．
16．（2025·上海·模拟预测）如果有三个圆分别任取一条半径都能组成一个直角三角形，则称这三个圆为一组“Right圆组”． 已知在直角梯形中，，两底中，，腰． 点在上，以点为圆心，作三个同心圆分别与直线相切，过点D和点C． 若三个同心圆为一组“Right圆组”，则OD =（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
17．（25-26九年级上·上海宝山·期末）若以点为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是______．
18．（2026·上海徐汇·二模）如图，在中，，点在边上，如果与的一边所在的直线相切，且经过的一个顶点，那么的长是__________．
19．（2026·上海浦东新·二模）如图，在中，，，．点、分别在边、上，且的值为．以为圆心，为半径作圆，如果与的三边有三个公共点，那么的值为_________．
题型五：内切圆与切线长定理
内切圆切点分段问题，本质是“设未知数+切线长相等”列三元一次方程组，是高频基础题。
20．（24-25九年级下·上海徐汇·阶段检测）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
21．如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（24-25九年级下·上海·阶段检测）在中，，截三边所得的线段相等，那么的度数是______
23．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______．
24．（2025九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，作平分，交于点．以点为圆心，作切于点，交于点、．则______．
25．（2025·上海·模拟预测）如图，矩形中，，以点C为圆心，为半径作． 直线和都和相切（E在F上方），连接，则的值为______．
题型六：综合证明与计算
先由切线得垂直，再找相似或全等，最后用比例或勾股收尾；书写时注意“切线判定”与“切线性质”方向不能混用。
26．（2025·上海杨浦·二模）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）．
根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径．
花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上；
花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号）
27．（2026·上海松江·模拟预测）在直角坐标平面中，已知点、点（如图）．抛物线与轴交于点，顶点为．
(1)设直线与轴交于点，求的值；
(2)如果点在的内部，求的取值范围，并用表示的面积；
(3)是否存在这样的，使得点是的外接圆圆心，如果存在，求这时的正弦值；如果不存在，试说明理由．
28．（23-24九年级下·上海·阶段检测）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，）
(1)如图1，当时， °，点C到半圆O的最短距离= ；
(2)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？
(3)以，为边作矩形，当半圆O与有两个公共点时，请直接写出线段长的取值范围
29．（2025·上海黄浦·二模）已知，在中，，，，是边上一动点，连接．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点．
(1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由；
(2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值；
(3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围．
一、单选题
1．（2024·上海虹口·二模）在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个．
2．如图，在边长为1的正方形中，点在对角线上，且与边相切，点是与线段的交点，如果是既与内切，又与正方形的两条边相切，那么关于的半径的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
4．（25-26九年级下·上海·阶段检测）如图，中，，，分别以点C、A为圆心作圆C、圆A，有两个命题：①若圆C与边有唯一公共点，则圆C半径的取值范围是；②若圆A与圆C外切于点E，过点E作的垂线交三角形的其它边于点D，则线段的取值范围是．关于这两个命题说法正确的是（ ）
A．命题①正确，命题②错误 B．命题①错误，命题②正确
C．命题①，②都正确 D．命题①，②都错误
5．（2025·上海·模拟预测）在四边形中，，，，，．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点， 那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，已知，点A、B在射线上（点A在点O、B之间），半径长为4的与直线相切，半径长为10的与内含，那么的取值范围是_______
7．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标为_____．
8．（24-25九年级下·上海·阶段检测）在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，如果大圆的弦长为，那么这两个圆所形成的圆环面积为_____．
9．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，已知扇形的半径为18，圆心角为，E是半径上一点，F是弧上一点．将扇形沿对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径相切于点G，若，则O到折痕的距离为___________．
10．如图，已知在中，，，动点N从点C出发，沿着方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点M从点A出发，沿着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（），以M为圆心，长为半径的与的另一个交点为点D，连接，当与线段只有一个公共点时，t的取值范围是__________．
11．（2025九年级下·上海·专题练习）如图，于点．作半径为的和其内接三角形，在上，，．连接并双向延长．在下方作切线，满足，切点为点，交于点．在右侧作过点的切线，交于点．连接．若，则的长度是______．
12．（24-25九年级上·上海·自主招生）已知开口向上的二次函数的顶点为，且与轴交于，两点，与轴交于点，若的外接圆与轴相切，且，则的最小值是_____________．
三、解答题
13．（23-24九年级下·上海·自主招生）已知I是的内心，交于D，交于E，，求长度．
14．（2025·上海松江·二模）如图，在中，，，点在边上，以O为圆心，为半径的圆与边交于点，与边相切于点E．
(1)当时，求的半径长；
(2)求的值．
15．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
16．（24-25九年级下·上海·阶段检测）如图，已知的圆心在轴上，且经过、两点，抛物线也经过、两点，与轴的交点为，顶点为．
(1)求点和的坐标（用含的代数式表示）；
(2)连接、，当时，求的正切值；
(3)当为何值时，直线与相切？
17．（24-25九年级下·上海虹口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，已知．
(1)求b、c的值；
(2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P．
①如果平移后的新抛物线经过点，且它的对称轴与以O为圆心，长度为半径的相切，求平移后新抛物线的解析式；
②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在CE的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标．
18．（23-24九年级下·上海徐汇·阶段检测）已知抛物线经过点，点，直线，直线，直线经过抛物线的顶点，且与相交于点，直线与轴、轴分别交于点、，若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线上（此时抛物线的顶点记为），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线上（此时抛物线的顶点记为）．
(1)求抛物线的解析式．
(2)判断以点为圆心，直径长为的圆与直线的位置关系，并说明理由．
(3)设点、在直线上（点在点的下方），当与相似时，求、的坐标（直接写出结果）．
19．（23-24九年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，，，动点在射线上，以为半径的半圆交射线于另一点，交半圆于另一点，交射线于点，于点，连接，设．
(1)判断直线与圆P的位置关系并说明理由
(2)在点P的整个运动过程中，当点P为线段三等分点时，求出所有符合条件的m的值．
(3)在点P的整个运动过程中，当时，请直接写出与面积比．
20．（25-26九年级下·上海·开学考试）如图1，在中，，，，动点D由点C向点A以每秒速度在边上运动，动点E由点C向点B以每秒速度在边上运动，若点D、点E从点C同时出发，运动t秒（），连接．
(1)求证：；
(2)如图2，设经过点D、C、E三点的圆为；
①当与边相切时，求t的值；
②在点D、点E运动过程中，若与边交于点F、G（点F在点G左侧），连接并延长交边于点M，连接，当与相似时，求的长．
21．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，对于和图形，给出如下定义：若图形上任意两个不同点，，上存在两点，使得，则称图形为的“平衡图形”
(1)如图1，的半径为1
①点，，，，，．在线段，，中，线段______是的“平衡图形”；
②若直线与坐标轴交于点，线段为的“平衡图形”．则的取值范围是______；
(2)如图2，点，，．若是的“平衡图形”，直接写出的半径的取值范围．
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