第2章 直线与圆的位置关系（单元自测）数学新教材浙教版九年级下册

第2章 直线与圆的位置关系 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 2．四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（ ） A． B． C． D． 3．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（ ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 4．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ） A．0， B．， C．， D．， 5．下列命题是假命题的是（ ） A．点动成线，线动成面，面动成体 B．正六边形具有不稳定性 C．正五边形可以单独密铺 D．等边三角形的内心和外心重合 6．如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（ ） A． B． C． D． 7．如图，I 为的内心，线段的延长线交的外接四于D， 设 的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则（ ） A．20 B．21 C． D． 8．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（ ） A．142 B．96 C．192 D．124 9．如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（ ） A．55° B．65° C．70° D．78° 10．如图，四边形是半圆的内接四边形，点在上，连接的内心是的中点．若是直线上的动点，则I，E两点间的距离最小值是（ ） A． B． C．1 D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线． 作法：如图2． （1）连接； （2）以为直径作圆，与交于C、D两点； （3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的切线． 下列可作为以上作图依据的是________． 甲：直径所对的圆周角为直角； 乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 丙：同弧所对圆周角相等． 12．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ________． 13．如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图： （1）连接，作线段的中点； （2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点； （3）作射线，． 不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论：________． 14．如图，平面直角坐标系中，圆心在x轴上的与同时与纵轴相切．，直线l：交x轴于点B．记B点的横坐标为，与的组合图形记为曲线M．若直线l：与曲线M至少有4个不同的公共点，则的取值范围为________． 15．如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于E，连接，则下列结论中：①；②；③；④是的切线；正确的序号是________．    16．如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连结，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①； ②是的切线； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）如图，，是的切线，，为切点，延长，与，延长线交于点，点． （1）求证：； （2）过点作交于点．若，．求的长． 18．（8分）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． （1）尝试按照小丽的思路求出r； （2）小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 19．（8分）如图，是的直径，弦与相交于点．过点作，交的延长线于点，，． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的半径 20．（8分）如图，四边形是平行四边形，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，是的外接圆．已知，，点到的距离为． （1）若圆心在线段上，求的度数； （2）在（1）的条件下，过点作交于点，使，求证：是的切线； （3）若圆心不在线段上，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，试求线段的长． 21．（8分）已知反比例函数经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； （3）若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 22．（8分）如图，在中，． （1）尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） （2）连接、，四边形是正方形吗？为什么？ （3）若，，求的半径的长． 23．（8分）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． （1）如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （2）当时，请直接写出线段之间的数量关系． 24．（8分）如图，，是的两条互相垂直的直径，，点在上，连接，．过点作交的延长线于点，．点在线段上，． （1）若，求的长； （2）求证：是的切线； （3）当点在上运动时，试求线段的最大值． 25．（8分）如图1，是中的平分线，，以为半径的与相交于点，且． （1）求证：是切线； （2）如图2，设与的切点为，连接．当时，求的半径； （3）若是线段的中点，连与交于，在（2）的条件下，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 直线与圆的位置关系 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离，然后比较即可求解． 【解析】根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离， ∵， ∴根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆相交， ∴直线和圆的位置关系是相交．故选B． 2．四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交求解即可． 【解析】、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选C． 3．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（ ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【解析】设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离．故选D． 4．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ） A．0， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可． 【解析】如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A 5．下列命题是假命题的是（ ） A．点动成线，线动成面，面动成体 B．正六边形具有不稳定性 C．正五边形可以单独密铺 D．等边三角形的内心和外心重合 【答案】C 【分析】本题考查几何基本概念和命题真假的判断，需逐一分析各选项的正确性即可． 【解析】选项A：点动成线，线动成面，面动成体是几何基本事实，正确． 选项B：正六边形各边长度固定但角度可变，具有不稳定性（如蜂窝结构可压缩），正确． 选项C：密铺要求图形内角能整除．正五边形内角为，，非整数，无法单独密铺，故为假命题． 选项D：等边三角形的内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）重合于重心，正确． 故选C． 6．如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接，，根据点为的内心，可得和分别平分和，再根据平移，使其顶点与点重合，可得，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长． 【解析】如图，连接，， 点为的内心， 和分别平分和， ，， 将平移，使其顶点与点重合， ，， ，， ，， ，， ． 所以图中阴影部分的周长为． 故选B． 7．如图，I 为的内心，线段的延长线交的外接四于D， 设 的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则（ ） A．20 B．21 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内心和三角形的外接圆，相似三角形的判定与性质等知识，连接，作于E，记外接圆圆心为，连接交圆O于F，连接，先证明，再证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【解析】连接，作于E，记外接圆圆心为，连接交圆O于F，连接，如图： ∵I为的内心， ∵平分， ∴， 又∵I为的内心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ， ∴，即， 故选A． 8．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（ ） A．142 B．96 C．192 D．124 【答案】A 【分析】本题考查矩形中的动点问题，连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，由四边形是矩形，得，又，点G是的中点，即得，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，根据，，可得，，，可得，从而，得四边形面积的最小值是142． 【解析】连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点G是的中点， ∴， ∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即四边形面积的最小值是142． 故选A． 9．如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（ ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【答案】C 【分析】连接，则，而，求得，由切线长定理得，则，所以，于是得到问题的答案． 【解析】如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ． ，是⊙O的切线， ， ， ． 故选C． 10．如图，四边形是半圆的内接四边形，点在上，连接的内心是的中点．若是直线上的动点，则I，E两点间的距离最小值是（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，垂线段最短等知识，连接，过点作于点，根据三角形内心的定义得是的平分线，是的平分线，则，进而得，根据圆周角定理得，由此得，则，继而得，再根据“垂线段最短”得，因此当点与点重合时，两点间的距离为最小，最小值是线段的长，在中求出，则，在中，根据，得，由此即可得出两点间的距离的最小值，掌握相关知识是解题的关键． 【解析】连接，过点作于点，如图： ∵的内心是的中点， ∴是的平分线，是的平分线， ∴， ， ∴， 根据圆周角定理得：， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵的内心是的中点， ∴， ∴， ∵点是直线上的动点， 根据“垂线段最短”得：， ∴当点与点重合时，两点间的距离为最小，最小值是线段的长， ∵是半圆的直径， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，， ， ∴两点间的距离的最小值为， 故选D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线． 作法：如图2． （1）连接； （2）以为直径作圆，与交于C、D两点； （3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的切线． 下列可作为以上作图依据的是________． 甲：直径所对的圆周角为直角； 乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 丙：同弧所对圆周角相等． 【答案】甲乙 【分析】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质．连接，，根据直径所对的圆周角为直角以及切线的判定可知、是所求作经过点的切线，进而可得答案． 【解析】如图2，连接，， 为直径， ， ，为的半径， 、是所求作经过点的切线． 可作为以上作图依据的是甲乙． 故答案为甲乙． 12．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ________． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【解析】如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为相切． 13．如图，已知点为⊙O外一点．尺规作图： （1）连接，作线段的中点； （2）以点为圆心，以线段的长为半径作⊙C，与⊙O交于，两点； （3）作射线，． 不再另外添加辅助线和字母，请根据以上信息写出一个正确结论：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查圆周角定理、切线的判定及切线长定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．连接，则可得，根据切线的判定可得直线，与相切，即可得结论． 【解析】连接，∵为的直径， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切， 同理，直线与相切， ∴， 故答案为（答案不唯一）． 14．如图，平面直角坐标系中，圆心在x轴上的与同时与纵轴相切．，直线l：交x轴于点B．记B点的横坐标为，与的组合图形记为曲线M．若直线l：与曲线M至少有4个不同的公共点，则的取值范围为________． 【答案】且 【分析】根据直线l：与曲线M至少有4个不同的公共点，利用一次函数平移，数形结合的思想找到临界点，解直角三角形，求出直线与坐标轴的交点，即可解答． 【解析】如图，设直线与y轴交于点H， 当时，则，当时，则， ， ， ， ， ， 如图，当直线与切与点时，连接， 此时，直线l：与曲线M有3个不同的公共点，且， ， ，则此时点B与点C重合， ； 当直线经过原点O时，此时，，直线l：与曲线M有3个不同的公共点， 如图，当直线与切与点时，连接， 同理，此时，点B与点A重合，直线l：与曲线M有3个不同的公共点，且，， ， 综上，直线l：与曲线M至少有4个不同的公共点，且， 故答案为且． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，一次函数的平移问题，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数平移及直线与圆的位置关系是解题的关键． 15．如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于E，连接，则下列结论中：①；②；③；④是的切线；正确的序号是________．    【答案】①②③④ 【分析】此题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理，正确的识图是解题的关键． 连结，根据三角形中位线定理得到，①正确；根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，②正确；根据切线的判定定理得到是的切线，④正确；根据线段垂直平分线的性质得到，求得，③正确． 【解析】连结，     为中点，点为的中点， 为的中位线， ， 故①正确； 是直径， ， 即，又， 为等腰三角形， ， 故②正确； ，且， ， 是半径， 是的切线， 故④正确； 是中点，， ， ， ， 故③正确． 故答案为①②③④． 16．如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连结，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①； ②是的切线； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】②④（或④②） 【分析】连接，根据是的直径，得出，根据已知可得垂直平分，即可判断①，根据中位线的性质即可判断②，根据等边对等角可得，进而判断③；根据平行线的性质可得，进而得出是等腰直角三角形，再根据扇形面积减去的面积即可判断④；根据已知可得，进而得出与的面积比为，即可判断⑤，即可求解． 【解析】如图，连接， ∵是的直径 ∴ 又∵， ∴垂直平分 ∴故①错误； ∵分别为的中点， ∴ ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；故②正确 ∵，即， 又 ∴ ∴，故③错误， 当时， ∴ ∴， ∵，则是等腰直角三角形， 又， ∴，故④正确 ∵ ∴ 当时， ∴与的面积比为 ∴与的面积比为，故⑤错误． 故答案为②④． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，中位线的性质，切线的判定，三角形的面积，扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）如图，，是的切线，，为切点，延长，与，延长线交于点，点． （1）求证：； （2）过点作交于点．若，．求的长． 【答案】（1） 证明：∵，是的切线，，为切点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的切线长定理，圆的切线的性质，等腰直角三角形的判定与三边关系，二次根式，熟练掌握这些性质、判定与定理是解题的关键． （1）由圆的切线长定理得，结合切线的性质，和，即可判定，即可得； （2）判定是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形三边关系得出，由，得出，则可得，即可求解． 【解析】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（8分）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． （1）尝试按照小丽的思路求出r； （2）小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 【答案】（1） （2）两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即． 【分析】（1）按照题目要求求解即可． （2）利用勾股定理证明两式相等即可． 【解析】（1） 如图，连接，，， ∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点， ∴，，， ， 即， ∴， 解得． （2）略． 19．（8分）如图，是的直径，弦与相交于点．过点作，交的延长线于点，，． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的半径 【答案】（1）为的切线， 理由如下：连接， ，, ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2） 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，根据三角形内角和定理角定理和等腰三角形的性质求得，由圆周角定理求出，由平行线的性质求得，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）先证明，求出，则． 【解析】（1）略 （2） 解：， ， ， ， 又， ， ， 即， ， ， 即的半径为． 20．（8分）如图，四边形是平行四边形，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，是的外接圆．已知，，点到的距离为． （1）若圆心在线段上，求的度数； （2）在（1）的条件下，过点作交于点，使，求证：是的切线； （3）若圆心不在线段上，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，试求线段的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图1，连接，则， 在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，则，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）或 【分析】（1）利用圆周角定理证明即可； （2）连接，利用角的等量代换证出即可； （3）分类讨论与各边相切时的情况，利用勾股定理和相似三角形的性质列出等式求解即可． 【解析】（1）解：∵是的外接圆，且圆心在线段上， ∴是的直径，点在上， ∴； （2）略 （3）解：如图2，当与相切时，与只有一个交点，即为切点， 连接并延长与相交于点， ∴， ∵， ∴，则， ∴在中，， 由垂径定理得，， ∴； 如图3，当与BC相切时，设切点为，延长交于点， 过点作于点，于点，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴，则， 设的半径为，则， 在中，，即， 解得：， ∴， 连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同前可得，， ∴， ∵与有两个交点和，与有两个交点和， ∴与和所在的直线都不相切， 综上所述，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，线段的长为或． 【点睛】本题考查了几何综合，其中涉及到了平行四边形的性质，切线的判定，勾股定理，圆的性质，相似三角形的判定及性质，合理分析题目作出辅助线是解题的关键． 21．（8分）已知反比例函数经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； （3）若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 【答案】（1） (2)，，； （3） 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、圆的性质、三角形的面积公式． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据点的坐标求出的长，进而求出的方程，联立的方程和反比例函数的解析式即可求解； （3）根据点，的坐标，求出直线的解析式，进而求出直线与轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可求解． 【解析】（1）解：将点代入反比例函数中，得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵点为圆心，，， ， 的方程为， 联立， 将代入得 ，即， 设，则， 解得或． 当时，，， 时 时． 当时，，， 时， 时． 除点外的其余交点的坐标为，，； （3）由（2）可知，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入中，得 ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 直线与轴的交点坐标为， ． 22．（8分）如图，在中，． （1）尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） （2）连接、，四边形是正方形吗？为什么？ （3）若，，求的半径的长． 【答案】（1） 如图所示，为所求： （2） 四边形是正方形，理由如下： 连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （3）2 【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心O，然后过点O作边的垂线交于点F，确定半径，继而可求得的 内切圆； （2）连接，根据切线的性质得到，求得，得到四边形 是矩形，根据角平分线的性质得到，求得，得到四边形是正方形； （3）根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可 得到结论． 【解析】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去）， 即的半径r的长为2． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形的内切圆与内心，作图一复杂作图,勾股定理，切线的性质，正方形的判定，关键是掌握 三角形的内心是三角形角平分线的交点． 23．（8分）在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设． （1）如图，当时． ①求的大小（用含的式子表示）； ②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （2）当时，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）①； ② 证明：过点作交于, ∴. ∵ ∴, ． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上， ∴， ， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． ∵点与点关于直线对称， ∴， ， ， ， ， ． （2）． 【分析】（1）①连接，，利用等腰直角三角形的性质求得，，再利用四边形内角和来求解；②过点作交于,易得，利用全等三角形的性质得到，再利用对称性来求解； （2）利用②的方法来求解． 【解析】（1）解：①连接，，如下图 为边上一点，点与点关于直线对称， ，，， ． 在中，， ，， ． ， ， ， ． ②略 （2） 证明：同②的方法． 【点睛】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键． 24．（8分）如图，，是的两条互相垂直的直径，，点在上，连接，．过点作交的延长线于点，．点在线段上，． （1）若，求的长； （2）求证：是的切线； （3）当点在上运动时，试求线段的最大值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴． 由（ ）知，， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3） 【分析】（ ）由圆周角定理得，再根据直角三角形的性质即可求解； （ ）连接，由等腰三角形的性质及已知可得，进而由得到，即得到，即可求证； （ ）过点作，交于点，以点为圆心，为半径作圆，连接，的延长线交于点，由得，进而得，，得到点在上，可知当、、在同一直线上，即与重合时，最大，即为的长，再利用勾股定理解答即可求解． 【解析】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴； （2）略 （3）解：如图，过点作，交于点，以点为圆心，为半径作圆，连接，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在上， ∴当、、在同一直线上，即与重合时，最大，即为的长， ∵， ∴在中，， ∴， ∴线段的最大值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 25．（8分）如图1，是中的平分线，，以为半径的与相交于点，且． （1）求证：是切线； （2）如图2，设与的切点为，连接．当时，求的半径； （3）若是线段的中点，连与交于，在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于， ∵是的平分线，，，为半径， ∴，点也在圆上，即也为半径， 又∵， ∴是切线； （2） （3） 【分析】（1）过点作于，根据角平分线的性质得出，根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，即可证得是切线； （2）连接，根据切线得出，根据“直径所对的圆周角是直角”，得出，推出，根据等边对等角，由，得出，则，公共角，证明，得出，由，得，计算求出、，计算，最后根据，计算即可求得的半径； （3）连接，过点作，交的延长线于，由（2）得，，，，，得出，，结合勾股定理得出，求出、，根据，求出，根据勾股定理计算，根据与的切点为，得出，，根据勾股定理计算，得出，由，得出，求出，根据是线段的中点，求出，推出，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，得出，，结合，计算，根据计算，求出的值，根据的边上的高和的边上的高相等，则，得出答案即可． 【解析】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为； （3）解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵由（2）得，，，，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与的切点为， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相等， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质、圆的切线的判定、角平分线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $