福建省晋江市养正中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

养正中学2026—2027年高一上数学学科素养检测（一） 数学试卷 参考答案与解析 命卷人：姚新琪　审卷人：蔡玉蓥 一、单选题 1．如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分为中不属于的元素。 【解答】阴影为中不属于的部分为，选B。 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，结论否定。 【解答】把“”改为“”，把“”改为“”，选D。 3．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】比较定义域和对应关系。 【解答】A中定义域；B中定义域，定义域；C中定义域；D中两者定义域均为，且。选D。 4．已知集合，则的真子集的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举中的元素。 【解答】，共3个元素，真子集个数，选C。 5．设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别解不等式比较解集。 【解答】；或。是的真子集，故充分不必要，选A。 6．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用判别式、对称轴及端点函数值。 【解答】需，，且，即或，，，得，选C。 7．已知命题：，，则的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求成立的充要条件。 【解答】，当时取最小值2，故。是的必要不充分条件，选B。 8．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按的符号讨论二次函数在区间上的最大值。 【解答】时成立。时，的对称轴为。 时抛物线开口向上，在上只需端点处极限且，得。时，但不在区间内，区间内仍有。 时抛物线开口向下，最大值在顶点处，需，得。综上，选D。 二、多选题 9．下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】CD 【分析】逐项用不等式性质或举反例。 【解答】A中时不成立；B中取负数不成立；C中，正确；D中，正确。选CD。 10．已知为正实数，，则（　　） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】用基本不等式求最值。 【解答】A中，正确；B中，当时取得最大值8，所以的最大值为；其最小值趋近于2但不取到，故“最小值为”错误；C中，所以，正确；D中设，，当即时取等号，正确。选ACD。 11．已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”。下列说法正确的是（　　） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不可能是“可分集合” 【答案】ABD 【分析】按定义检验奇偶性与子集和。 【解答】A中去掉1后2+3+4=9为奇数，不能平分，故不是，正确；B中逐一检验均可平分，正确；C中四个元素的集合若可分，任一三元子集需一数等于另两数之和，排序后首三元满足，而三元需，与矛盾，故不可能，错误；D中五个元素去掉一个后四数需分成两对和相等，排序后去掉最大与去掉次大所得等式矛盾，故不可能，正确。选ABD。 三、填空题 12．已知，则函数的最大值为______． 【答案】 【分析】平方后用基本不等式。 【解答】，，故，当时取等号。 13．已知集合，，若，则实数的取值为______． 【答案】 【分析】分与讨论。 【解答】。时，满足；时，需，得。故。 14．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值为______． 【答案】 【分析】按的符号讨论两个因式的符号。 【解答】时原不等式为，即，解为，不能对任意成立，舍去。 时，而在充分大时为正，乘积为负，舍去。 时，的根异号，设正根为。当时，需，故；当时，需，故。因此，即，得，。故。 四、解答题 15．（13分）已知函数的定义域为集合，集合。 （1）求集合； （2）设全集，求，。 【答案】（1），；（2），。 【分析】（1）由根式、分母有意义求解；（2）先求补集再运算。 【解答】（1）且，得，；得或，。 （2），所以；，。 16．（15分）已知集合，。 （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）需覆盖；（2），分是否为空集。 【解答】（1）的补集为，需，即且，得。 （2）。时，满足；时，需且，得。故。 17．（15分）北京冬奥会举世瞩目，树立了中国形象，同时也带动了中国冰雪运动器械的蓬勃发展。张家口某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产千件，需另投入成本万元。当年产量低于30千件时，；当年产量不低于30千件时，。每千件产品的售价为30万元，且生产的产品能全部售完。 （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1），；（2）千件时最大，最大为300万元。 【分析】利润=销售额−成本−固定成本，分段求最值。 【解答】（1），即时；时。 （2）时，，对称轴在区间右侧，故在上单调递增，所以。 时，令，则。由基本不等式，，故，当且仅当，即（）时取等号。因为，所以千件时年利润最大，最大利润为300万元。 18．（17分）已知函数。 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若，对，，若存在实数使得成立，求的最小值。 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）。 【分析】（1）由根与系数关系；（2）因式分解后按讨论；（3）用判别式消去，再求最小值。 【解答】（1），为的两根，由根与系数关系得。 （2）即，即。当时解集为；当时解集为；当时解集为；当时解集为；当时解集为。 （3）恒成立，需且，所以。令，则。当时，在处取最小值，，求导得时最小，最小值为；当时，。故最小值为。 19．（17分）已知函数。 （1）若，，函数的最小值为0，求的值； （2）若，，，不等式有且仅有四个整数解，求的取值范围； （3）当时，对，。若存在实数使得成立，求的最小值。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【分析】（1）配方；（2）因式分解后数整数；（3）由判别式消去，再求最小值。 【解答】（1），最小值为，且，故。 （2），即。时解集为，恰有4个整数解需；时解集为，无正整数解。故。 （3）恒成立，需且，所以。由得。固定时随增大而增大，故取。令，，求导得时最小，最小值为。 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 养正中学2026—2027年高一上数学学科素养检测（一） 数学试卷 满分：150分　考试时间：120分钟 命卷人：姚新琪　审卷人：蔡玉蓥 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．已知集合，则的真子集的个数是（　　） A． B． C． D． 5．设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知命题：，，则的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 8．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知为正实数，，则（　　） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”。下列说法正确的是（　　） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不可能是“可分集合” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则函数的最大值为______． 13．已知集合，，若，则实数的取值为______． 14．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．（13分）已知函数的定义域为集合，集合。 （1）求集合； （2）设全集，求，。 16．（15分）已知集合，。 （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围。 17．（15分）北京冬奥会举世瞩目，树立了中国形象，同时也带动了中国冰雪运动器械的蓬勃发展。张家口某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产千件，需另投入成本万元。当年产量低于30千件时，；当年产量不低于30千件时，。每千件产品的售价为30万元，且生产的产品能全部售完。 （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18．（17分）已知函数。 （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若，对，，若存在实数使得成立，求的最小值。 19．（17分）已知函数。 （1）若，，函数的最小值为0，求的值； （2）若，，，不等式有且仅有四个整数解，求的取值范围； （3）当时，对，。若存在实数使得成立，求的最小值。 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $