精品解析：福建泉州市南安第一中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段考数学试题

南安一中2025-2026学年度高一年第一次阶段考 数学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，又，所以. 2. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数需同时满足定义域相同、对应法则相同的判定准则，逐一分析各选项的两组函数即可得出结论. 【详解】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得或， 因此“”是“”的充分不必要条件. 4. 设常数，集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若，则. 当时，，满足，所以符合题意； 当时，若，则，解得. 综上，. 5. 已知函数， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，即，则， 所以 可转化为， 所以， 所以． 6. 若函数的定义域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对任意，分母都有意义且不为零，故需满足恒成立，对进行分类讨论即可. 【详解】由题意，对任意，都有恒成立. 当时，不等式化为，恒成立，符合题意； 当时，使 的解集为， 有，解得. 综上所述，的取值范围是. 7. 表示与中的较大者，设，则函数的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】就、、分类讨论可得，再分类求值域后可得其最小值. 【详解】设，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，， 当时，， 故函数的最小值为0. 故选：C. 8. 如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断. 【详解】当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 因此 由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数，故A选项符合. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可. 【详解】A选项，任取符合，但是，故A错误； B选项，由于，则，即，故B正确； C选项，若，则，同时乘以可得，同时乘以可得，则，故C正确； D选项，若，，则，则，即，故D正确. 故选：BCD. 10. 设，，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为1 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式结合已知条件逐个分析判断. 【详解】对于A项，，当且仅当，即时等号成立，此时的最大值为2，故A正确； 对于B项，由题可得，令 当，有最小值，此时，故B正确； 对于C项，，当且仅当，即时，有最小值，故C错误； 对于D项，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，因为，所以，故D错误. 11. ，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数．人们有时也称之为“向下取整函数”．则下列命题中正确的是（ ） A. ， B. ，， C. ，，若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据的定义，逐一分析各个选项即可判断得解. 【详解】对于A，由，得恒成立，A错误； 对于B，，，则， 当时，，有； 当时，，因此，，B正确； 选项C，取，满足，而，C错误； 对于D，，当时，，则， 即有，又，因此； 当时，，则，即有， 又，因此，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合满足，则符合条件的集合有__________个. 【答案】4 【解析】 【详解】由可知必须属于； 又，故是的子集； 对的每个子集，集合均满足题设条件，且一一对应； 的子集为、、、，共4个，因此符合条件的集合有4个． 13. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】命题“”为假命题， 它的否定：为真命题， 即， 令， 二次函数对称轴， ， 存在性：只需， ， 实数的取值范围：. 14. 已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原不等式变形，根据一次因式在零点两侧符号改变，得到二次式必须在该零点处等于，建立关系式，代入后用基本不等式求最小值． 【详解】由，得是增函数， 且当时，，当时，， 由在时恒成立， 得当时，恒成立，当时，恒成立， 所以当时，，化简得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据交、并、补的概念进行运算即可. （2）分和两种情况，根据可求的取值范围. 【小问1详解】 由，，则或， 则，或. 【小问2详解】 由于，当时，，得 当时，，且，解得. 综上可知或， 即的取值范围为. 16. 已知函数． （1）在直角坐标系中，画出函数的图象； （2）若，求实数的值； （3）若直线与函数的图象有3个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分段理解函数，先画出分段函数的图象； （2）分两段解方程求出对应的； （3）利用分段函数的图象，观察水平线与图象的交点数量，得到的取值范围． 【小问1详解】 当时，是开口向上的抛物线， 顶点为，过、，保留左侧（含）部分，为实心点， 当时，是斜率为的射线，过（空心点，不含端点），向右下方延伸， 【小问2详解】 因为， 当时，，即，解得，符合题意， 当时，，解得，符合题意， 综上，实数的值为或； 【小问3详解】 结合图象走势分析： 抛物线段值域为，射线段值域为， 当时，抛物线对应2个交点、射线对应1个交点，总计3个公共点， 因此直线与函数的图象有3个公共点时，的取值范围是． 17. 如图，长方形（）的周长为.       （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）设，得到，再由基本不等式即可求解； （2）（ⅰ）由几何关系，通过 ，得，进而可求得的周长； （ⅱ）设，在中，可得，再结合三角形面积公式及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，长方形（）的周长为，， 所以 ， 设，则， 所以， 由于，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值是. 【小问2详解】 （ⅰ）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以， ， ，所以 ， 所以， 所以的周长为 ； （ⅱ）设，则 ， 由 可得 ，解得. 由（ⅰ）知， ， 在中，有， 解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值为，此时. 18. 已知函数，， （1）若关于x的不等式的解集为或，求的值. （2）若关于x的不等式解集中恰好有3个整数，求实数a的取值范围. （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值； （2）由得，令，求出解集中恰有3个整数时a的取值范围即可． （3）由在上恒成立，知在上恒成立，化简得，设，求出的最大值，进一步求出实数a的取值范围； 【小问1详解】 解：因为函数，a，， 又的解集为或， 所以2，4方程的两根， 由， 解得 【小问2详解】 由得， 令， 则，知， 故解集中的3个整数只能是3，4，5或，0，1； 若解集中的3个整数是3，4，5， 则，得； 解集中的3个整数是，0，1； 则，得； 综上，由知，实数a的取值范围为或． 【小问3详解】 因为函数，a，， 由在上恒成立， 知在上恒成立， 化简得， 设， 设， 因为在在上单调递增， 即， 所以． 19. 已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． （1）试判断集合和集合是否具有性质； （2）若具有性质，，证明：； （3）若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质 （2） 依题意，集合中的元素构成有序数对，共有个． 因为，所以，又当时，， 所以当时，， 因此集合中元素的个数不超过，故． （3），理由： 对集合中的元素分两种情况讨论： ①若，则，，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，则，，．， 可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，所以． 同理，对集合中的元素也分两种情况讨论： ①若，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素．所以． 综上可得． 【解析】 【分析】（1）由定义即可直接判断； （2）由新定义得到集合中元素的个数不超过，即可求证； （3）对集合中的元素分两种情况讨论：，得到或，得到，，进而得到，同样讨论集合中的元素，得到，即可求证； 【小问1详解】 对于集合，若，则，所以集合不具有性质． 对于集合，因为，，，，，，，，所以集合具有性质． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：通过或推出，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，同理推出集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安一中2025-2026学年度高一年第一次阶段考 数学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设常数，集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 表示与中的较大者，设，则函数的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 设，，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为1 11. ，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数．人们有时也称之为“向下取整函数”．则下列命题中正确的是（ ） A. ， B. ，， C. ，，若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合满足，则符合条件的集合有__________个. 13. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是_______． 14. 已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）在直角坐标系中，画出函数的图象； （2）若，求实数的值； （3）若直线与函数的图象有3个公共点，直接写出的取值范围． 17. 如图，长方形（）的周长为.       （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 18. 已知函数，， （1）若关于x的不等式的解集为或，求的值. （2）若关于x的不等式解集中恰好有3个整数，求实数a的取值范围. （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 19. 已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． （1）试判断集合和集合是否具有性质； （2）若具有性质，，证明：； （3）若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $