精品解析：吉林省吉林市第五中学2026-2027学年度八年级上学期期中教学质量检测数学试卷

吉林市第五中学2026-2027学年度八上期中教学质量检测 数学学科 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、 ，错误； B、，错误； C、 ，正确； D、 ，错误． 3. 数学课上，老师让小明准备三根木棒用来研究三角形三条边之间的关系，小明已经准备了和的木棒．若第三根木棒能够和已经准备了的木棒构成三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系，求得第三边的范围，即可求解． 【详解】解：设第三根木棒的长度是， 则， 所以， 所以第三根木棒的长度可以是． 故选B． 4. 下列命题中，逆命题是真命题的为（ ） A. 全等三角形的对应边相等 B. 若，则 C. 对顶角相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】A 【解析】 【分析】先分别写出每个选项的逆命题，再逐项判断真假即可． 【详解】解：A．原命题的逆命题为“如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等”，根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的三角形全等，∴该逆命题是真命题，符合题意； B．原命题的逆命题为“若，则”，反例：当，时，，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意； C．原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，∴该逆命题是假命题，不符合题意； D．原命题的逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，反例：∵和的绝对值相等，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意． 5. 如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答． 【详解】选项A，添加， 在和中， ， ∴≌（ASA）， 选项B，添加， 在和中，，，，无法证明≌； 选项C，添加， 在和中， ， ∴≌（SAS）； 选项D，添加， 在和中， ， ∴≌（AAS）； 综上，只有选项B符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 6. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和求出，最后根据求出结果即可． 【详解】解：根据作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知点，则点关于轴对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，对已知点的坐标进行对应变换即可求解. ． 【详解】解：∵ 平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∴ 点的横坐标保持不变，纵坐标取的相反数， ∴ 所求点的坐标为． 8. 若，，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算拆分已知幂，代入数值计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此有， ∵ ，， ∴ 将已知值代入上式，得， 解得． 9. 如图，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，2小时后，轮船在处测得小岛在北偏西方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，______触礁的危险．（“有”或“无”） 【答案】有 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质．含直角三角形的性质，根据题意过点作，求出的长度与18比较即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， 海里， 海里， 海里， 有触礁的危险． 故答案为：有． 10. 如果与相乘的结果是，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式运算法则，得到关于的等式，求解，后计算的值. 【详解】解：由题意可得： 根据同底数幂相乘的法则，对应字母的指数相等，因此可得 ， 解得，， 因此. 11. 如图， 在中，，，是的两条高线， P是上一个动点，连接，． 若，， 则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称−最短问题、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质. 如图，连接，只要证明，即可推出，由，推出P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴P、C、E共线时，的值最小，最小值为. 故答案为：． 三、解答题（12-14题每小题6分，15-17题每小题7分，18-19题每小题8分，20-21题每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先根据角的关系，准备条件，再根据证明，即可证明． 【详解】略 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为，值为 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式法则计算，然后合并同类项即可． 【详解】解：， ， ， 当时， 原式． 15. 如图是的长方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A和点B都在格点上． （1）在图①中画出一个，使点C在格点上； （2）在图②中画出一个等腰，使点D在格点上； （3）在图③中画出—个等腰直角，使点E在格点上． 【答案】（1） 如图①，即为所求（答案不唯一）． （2） 如图②，等腰即为所求（答案不唯一）． （3） 如图③，等腰直角即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意直接画图即可． （2）由勾股定理得，再根据等腰三角形的判定与性质画图即可． （3）根据等腰直角三角形的判定画图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 如图，于于F，若， （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用单项式乘多项式法则计算，然后计算加法时合并同类项即可． （2）先计算和，利用整式运算法则直接计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，， ∴，， ． 18. 如图，某社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，现计划修建一个“工”字型的绿化带（阴影部分）用来种植草坪，其余部分作为休闲区域． （1）用含x，y的式子表示“工”字型区域的面积并化简； （2）若，，预计种植草坪每平方米的费用为60元，求修建绿化带所需要的费用． 【答案】（1） （2）4680元 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积； （2），代入求出面积，再计算费用即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： ； 【小问2详解】 解：当时，原式， 费用为（元）． 答：修建绿化带所需要的费用为4680元． 19. 如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形． （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可求证； （2）由（1）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，为的中点， ∴平分， ； 20. 阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原 两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积 相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”例如，所以 和与和都是“友好数对”． （1）36和84______“友好数对”．（填“是”或“不是”） （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整． 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为__________和____________． 因为它们是友好数对，所以______________________． 并试求，，，的等量关系． （3）若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 【答案】（1）是 （2），，， （3）31和39 【解析】 【分析】（1）计算和，根据定义判断； （2）利用“十位数字个位数字”表达出交换后的两位数，结合友好数对的定义列出等量关系，并化简； （3）根据（2）得，解方程得到，写出两个两位数． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴36和84是友好数对． 【小问2详解】 解：，，， ∵这两个数是友好数对， ∴， 化简得：． 【小问3详解】 解：由（2）得：， 解得：， ∴两个两位数为：31和39． 【点睛】本题考查了新定义，对于数的表示、整式的运算——多项式乘多项式、解一元一次方程，理解新定义列出方程是关键． 21. 已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． （1）如图1，若，，直接求出的度数； （2）如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，求证： ． 【答案】（1） （2） ，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴， 同理得， ∴，即， ∴； （3） 证明：如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）先根据三角形的内角和得，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得和的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【小问1详解】 解：如图1，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结．点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）在点P从A运动到C的过程中，线段的长为__________；（用含t的代数式表示） （2）当点P与点C重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求t的值； （4）分别过点P、Q作于点D，于点E．当时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）2或4 （4）或5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）由动点P从点A出发，沿A—C—A以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，即可求解； （2）当点P与点C重合时求得，由即可求解； （3）分类讨论：①当时，由为轴对称图形得，即可求解；②当时，同理可求； （4）①当时，由全等三角形的性质得，即可求解；②当时，同理可求． 【小问1详解】 解：由的运动得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点P与点C重合时， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； ②当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； 故当为轴对称图形时，为t的值或； 【小问4详解】 解：①当时， ，， ， ， 解得； ②当时， ，， ， ， 解得； 故t的值为或5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第五中学2026-2027学年度八上期中教学质量检测 数学学科 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 数学课上，老师让小明准备三根木棒用来研究三角形三条边之间的关系，小明已经准备了和的木棒．若第三根木棒能够和已经准备了的木棒构成三角形，则第三根木棒的长度可以是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，逆命题是真命题的为（ ） A. 全等三角形的对应边相等 B. 若，则 C. 对顶角相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 5. 如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知点，则点关于轴对称的点的坐标为_______． 8. 若，，则_______． 9. 如图，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，2小时后，轮船在处测得小岛在北偏西方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，______触礁的危险．（“有”或“无”） 10. 如果与相乘的结果是，那么______． 11. 如图， 在中，，，是的两条高线， P是上一个动点，连接，． 若，， 则的最小值是_____． 三、解答题（12-14题每小题6分，15-17题每小题7分，18-19题每小题8分，20-21题每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算：． 13. 如图，已知，，．求证：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图是的长方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A和点B都在格点上． （1）在图①中画出一个，使点C在格点上； （2）在图②中画出一个等腰，使点D在格点上； （3）在图③中画出—个等腰直角，使点E在格点上． 16. 如图，于于F，若， （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 17. 已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求： （1）的值； （2）的值． 18. 如图，某社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，现计划修建一个“工”字型的绿化带（阴影部分）用来种植草坪，其余部分作为休闲区域． （1）用含x，y的式子表示“工”字型区域的面积并化简； （2）若，，预计种植草坪每平方米的费用为60元，求修建绿化带所需要的费用． 19. 如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． （1）求证：为等腰三角形． （2）求的度数． 20. 阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原 两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积 相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”例如，所以 和与和都是“友好数对”． （1）36和84______“友好数对”．（填“是”或“不是”） （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整． 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为__________和____________． 因为它们是友好数对，所以______________________． 并试求，，，的等量关系． （3）若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 21. 已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． （1）如图1，若，，直接求出的度数； （2）如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，求证： ． 22. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结．点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）在点P从A运动到C的过程中，线段的长为__________；（用含t的代数式表示） （2）当点P与点C重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求t的值； （4）分别过点P、Q作于点D，于点E．当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $