精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2026-2027学年八年级上学期10月期中阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期10月八年级期中阶段测试 数 学 学 科 （满分：100分，限时：90分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的高一定在三角形的内部 B. 三角形的三条中线一定在三角形的内部 C. 三角形的三条高不一定相交 D. 三角形的三条角平分线必定交于一点 2. 如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，求作，使得．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图： ①作射线；②以点为圆心，以为半径画弧交于点；③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；④过点作射线，即为所求作的角；⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点．则下列排序正确的是（ ） A. ①②③④⑤ B. ①③②⑤④ C. ①②③⑤④ D. ①⑤②③④ 5. 大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年（公元1368年），位于昆明市以西约2公里的滇池湖畔，完好保存着许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑．如图，建筑的顶端可看作等腰三角形，，是的中点．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如下图，直线L是一条河，是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站M，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的方格中，，，，，，分别位于格点上，从，，，四点中任取一点，与点，为顶点作三角形，则所作三角形是等腰三角形的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9. 如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数为________． 10. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．若，，，则_______m． 11. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E．已知的周长为17cm，，则的周长为________． 12. 如图，在中，，，，为边上的动点，为边上的动点，连接，，则的最小值是__________． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13. 如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）作出关于直线l对称的，并写出各顶点的坐标． 14. 如图，BD是的角平分线，BE是的AC边上的中线． （1）若的周长为13，，，求AB的长． （2）若，，求的度数． 15. 如图，于E，于F，若 （1）求证：平分； （2）直接写出之间的等量关系． 16. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 17. 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于点D，点E是BC上点，AE=AB． 求证：（1）BD=ED； （2）CD=AB+BD． 18. 模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月八年级期中阶段测试 数 学 学 科 （满分：100分，限时：90分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的高一定在三角形的内部 B. 三角形的三条中线一定在三角形的内部 C. 三角形的三条高不一定相交 D. 三角形的三条角平分线必定交于一点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高线，角平分线和中线的定义和概念，熟知三角形高线，角平分线和中线的定义和概念是解题的关键． 【详解】解：A、钝角三角形的高可以在三角形外部，原说法错误，符合题意； B、三角形的三条中线一定在三角形的内部，原说法正确，不符合题意； C、三角形的三条高不一定相交，原说法正确，不符合题意； D、三角形的三条角平分线必定交于一点，原说法正确，不符合题意； 故选A． 2. 如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，两次利用该定理即可求得结果，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴为的中线， 即， 故选：C． 3. 如图，已知，求作，使得．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，根据作图方法可判断A、B，可利用证明，则可判断D；根据现有条件无法推出C中的结论． 【详解】解：由作图方法可得， ∴， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：C． 4. 用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图： ①作射线；②以点为圆心，以为半径画弧交于点；③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；④过点作射线，即为所求作的角；⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点．则下列排序正确的是（ ） A. ①②③④⑤ B. ①③②⑤④ C. ①②③⑤④ D. ①⑤②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角的步骤，熟练掌握尺规作图的基本原理和顺序是解题的关键． 先回忆尺规作一个角等于已知角的完整步骤，再对照题目给出的五个步骤进行逻辑排序． 【详解】解：①作射线； ③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以为半径画弧交于点； ⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点； ④过点作射线，即为所求作的角． ∴正确排序为：①③②⑤④， 故选：． 5. 大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年（公元1368年），位于昆明市以西约2公里的滇池湖畔，完好保存着许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑．如图，建筑的顶端可看作等腰三角形，，是的中点．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的等边对等角可判断选项A，根据三线合一可判断选项B、C，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴，故选项A正确； ∵，是的中点， ∴，，故选项B、C正确． 由已知得不到，故D不正确； 故选：D 6. 如下图，直线L是一条河，是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站M，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点P关于直线L的对称点，连接，交直线l于点M，根据轴对称的性质可证明点M即为水泵站的位置，据此可得答案． 【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故选：D． 7. 如图，在的方格中，，，，，，分别位于格点上，从，，，四点中任取一点，与点，为顶点作三角形，则所作三角形是等腰三角形的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理结合等腰三角形有两条边相等的定义逐个判断，最后统计出等腰三角形的总个数即可． 【详解】解：如图，设小方格边长为1， 在中，，故是等腰三角形， 在中，，故是等腰三角形， 在中，，，，故不是等腰三角形， 在中，，故是等腰三角形， 综上所述，所作三角形是等腰三角形的有3个． 8. 如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得DE的长，本题得以解决． 【详解】解：作QF⊥AC，交AC的延长线于点F， 则∠QFC=90°， ∵△ABC是等边三角形，PE⊥AC于点E， ∴∠A=∠ACB=60°，∠PEA=90°， ∴∠PEA=∠QFC， ∵∠ACB=∠QCF， ∴∠A=∠QCF， 在△PEA和△QFC中， ， ∴△PEA≌△QFC（AAS）， ∴AE=CF，PE=QF， ∵AC=AE+EC=4cm， ∴EF=CF+EC=4cm， ∵∠PED=90°，∠QFD=90°， ∴∠PED=∠QFD， 在△PED和△QFD中， ， ∴△PED≌△QFD（AAS）， ∴DE=FD， ∵DE+FD=EF=4cm， ∴DE=2cm， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定与性质和数形结合的思想解答． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9. 如图，∠CBD，∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数为________． 【答案】39° 【解析】 【分析】根据平角的定义求出∠ABD，根据三角形的外角性质得出∠ADE＝∠ABD+∠A，代入即可求出答案． 【详解】解：∵∠ABD+∠CBD＝180°，∠CBD＝70°， ∴∠ABD＝110°， ∵∠ADE＝∠ABD+∠A，∠ADE＝149°， ∴∠A＝39°． 故答案为：39° 【点睛】本题主要考查对三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键． 10. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．若，，，则_______m． 【答案】18 【解析】 【分析】先根据“HL“定理判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 在和中，， ∴， ∴, ∴． 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是直角三角形全等三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键． 11. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E．已知的周长为17cm，，则的周长为________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形周长的计算．先根据是的垂直平分线得出，，从而得到的长度，再根据的周长为17cm得出，从而可得到的长度，最后再得出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又∵的周长为， ∴，即， ∴． 故答案为：11． 12. 如图，在中，，，，为边上的动点，为边上的动点，连接，，则的最小值是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】延长至，使得，连接，作于，得出，，当、、三点共线，且时，的值最小，即为的长，证明是等边三角形，进而求解即可． 【详解】解：延长至，使得，连接，作于， ∵， ∴垂直平分， ，， ∴， 当、、三点共线，且时，的值最小，即为的长， ∵，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 的最小值为7． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13. 如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于x轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）作出关于直线l对称的，并写出各顶点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作： ，，， （2） 解：如图，即为所求作： ，，， 【解析】 【分析】本题考查了在平面直角坐标系内作轴对称图形，点的坐标；掌握轴对称图形的作法是解题的关键． （1）按要求作出关于x轴对称的，写出坐标，即可求解； （2）按要求作出关于直线l对称的，写出坐标，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 14. 如图，BD是的角平分线，BE是的AC边上的中线． （1）若的周长为13，，，求AB的长． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）3；（2）． 【解析】 【分析】（1）首先根据中线的性质得到，然后根据的周长为13，即可求出AB的长； （2）首先根据BD是的角平分线得到，然后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）∵BE是的AC边上的中线， ∴， 又∵的周长为13， ∴； （2）∵BD是的角平分线， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】此题考查三角形中线和角平分线的概念，三角形内角和定理的运用，解题的关键是熟练掌握三角形中线和角平分线的概念，三角形内角和定理． 15. 如图，于E，于F，若 （1）求证：平分； （2）直接写出之间的等量关系． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∴在和中， ， ∴ ∴， ∵ ∴平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据相“”定理得出，故可得出，所以平分； （2）由（1）中可知平分，故可得出，所以，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：结论： 理由：∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∵ 即：． 16. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 【答案】（1） 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 17. 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于点D，点E是BC上点，AE=AB． 求证：（1）BD=ED； （2）CD=AB+BD． 【答案】 证明：（1）∵AB=AE， ∴△ABE为等腰三角形， ∵AD⊥BC， ∴DE=BD； （2）在△ACE中，∠AEB=∠C+∠CAE=∠B， 又∵∠B=2∠C， ∴2∠C=∠C+∠CAE， ∴∠C=∠CAE， ∴CE=AE=AB， ∴CD=CE+DE=AB+BD． 【解析】 【分析】（1）通过等腰三角形三线合一证明． （2）由三角形外角等于不相邻两内角和及∠B=2∠C得到AE=CE=AB再通过等量代换证明CD=AB+BD． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握并灵活运用等腰三角形的性质是解题关键． 18. 模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 【答案】（1）， （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴ ， 在和中， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $